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  • 一、离差(Deviation) 离差即标志变动度,又称“偏差”,是观测值或估计量的平均值与真实值之间的差,是反映数据分布离散程度的量度之一,或说是反映统计总体中各单位标志值差别大小...平均差也称为均值,是数据分布中所

    一、离差(Deviation)

    离差即标志变动度,又称“偏差”,是观测值或估计量的平均值与真实值之间的差,是反映数据分布离散程度的量度之一,或说是反映统计总体中各单位标志值差别大小的程度或离差情况的指标,常写作:
    在这里插入图片描述

    即参与计算平均数的变量值与平均数之差。离差的性质有二: (1)离差的代数和等于0;(2)参与计算平均数的各变量值与平均数之差的平均和,小于这些变量值与平均数之外的任何数之差的平均和。

    二、平均差(Mean Deviation、Average Deviation)

    平均差也称为均值,是数据分布中所有原始数据与平均数距离的绝对值的平均。平均差计算公式:
    在这里插入图片描述
    上述公式可以简记为:
    在这里插入图片描述

    其中,被减数代表每个数据的值,减数表示平均数,N=数据个数。

    三、方差(Variance Deviation)

    方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数,即 :在这里插入图片描述
    s²就表示方差。如果用作样本统计时,作为样本X的方差的估计时,发现其数学期望并不是X的方差,而是X方差的(n-1)/n倍,因此用样本进行统计时,方差的计算公式调整为如下:
    在这里插入图片描述
    这就是统计上所谓的“无偏估计”。为了区分以上两种情况,第一个公式的结果称为总体方差,第二个公式的结果称为样本方差。

    样本方差可以简记为:
    在这里插入图片描述

    如果用D表示方差,则如下公式成立:

    1. 设C是常数,则D(C)=0
    2. 设X是随机变量,C是常数,则有:
      D(CX) = C²D(X)
      D(X+C) = D(X)
    3. 设 X 与 Y 是两个随机变量,则有:
      D(X+Y) = D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)
      D(X-Y) = D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)
      D(aX+bY) = a²D(X)+b²D(Y)+2ab*cov(X,Y)
      其中cov表示协方差。

    四、标准差(Standard Deviation)

    对方差取算术平方根,得到的结果称为标准差,总体方差的算术平方根称为总体标准差,样本方差的算术平方根称为样本标准差。

    样本标准差可以简记为:
    在这里插入图片描述

    五、协方差(Covariance)

    离差、平均差、方差、标准差一般是用来描述一维数据的,但实际中常常遇到含有多维数据的数据集,如果需要评估两个数据之间的联系,可以使用协方差。协方差是一种用来度量两个随机变量关系的统计量,其计算公式如下:

    在这里插入图片描述
    也可以记为:
    在这里插入图片描述
    可以看出,方差是协方差在X=Y时的一种特例。

    协方差的结果如果为正值,则说明两者是正相关的,如果结果为负值就说明负相关的,如果为0,也是就是统计上说的“相互独立”。

    从协方差的定义上我们也可以看出一些显而易见的性质,如:
    在这里插入图片描述

    六、协方差矩阵(covariance matrix)

    协方差也只能处理二维问题,那维数多了自然就需要计算多个协方差,比如n维的数据集就需要计算 n! / ((n-2)!*2) 个协方差,那自然而然的我们会想到使用矩阵来组织这些数据。

    在统计学与概率论中,协方差矩阵的每个元素是各个向量元素之间的协方差,是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。

    协方差矩阵定义:
    设X=(x1,x2,…,xn)为n维变量,则称矩阵:
    在这里插入图片描述
    为n维随机变量 的协方差矩阵(covariance matrix),也记为 D(X),其中:
    在这里插入图片描述
    为X的分量Xi 和 Xj的协方差。

    协方差矩阵为对称非负定矩阵,协方差矩阵具有如下性质:
    在这里插入图片描述
    公式中右上角的T表示矩阵的转置矩阵,转置是一个数学名词,即矩阵的行和列对应互换。直观来看,将矩阵A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转,即得到A的转置。一个矩阵M, 把它的第一行变成第一列,第二行变成第二列,…,最末一行变为最末一列, 从而得到一个新的矩阵N。

    七、皮尔森相关系数(Pearson correlation coefficient)

    7.1、概述

    皮尔森相关系数也称皮尔森积矩相关系数(Pearson product-moment correlation coefficient) ,是一种线性相关系数,是最常用的一种相关系数。皮尔森相关系数记为r,用来反映两个变量X和Y的线性相关程度,r值介于-1到1之间,绝对值越大表明相关性越强。

    7.2、定义

    皮尔森相关系数为两个变量X、Y之间的协方差和两者标准差乘积的比值。定义公式如下:
    r=ρ(X,Y)=cov(X,Y)/(σ(X)*σ(Y))
    σ表示标准差。

    由于方差是协方差的特例,标准差又是方差的算术平方根,因此上述公式也可以这样表示:
    在这里插入图片描述

    7.3、值含义

    相关系数的绝对值越大,相关性越强:相关系数越接近于1或-1,相关度越强,相关系数越接近于0,相关度越弱。

    当r大于0小于1时表示x和y正相关关系。当r大于-1小于0时表示x和y负相关关系。当r=1时表示x和y完全正相关,r=-1表示x和y完全负相关。当r=0时表示x和y不相关

    通常情况下通过以下取值范围判断变量的相关强度:

    • 0.8-1.0 极强相关
    • 0.6-0.8 强相关
    • 0.4-0.6 中等程度相关
    • 0.2-0.4 弱相关
    • 0.0-0.2 极弱相关或无相关

    参考资料:

    1. 百度百科;
    2. 皮尔森相关系数(Pearson correlation coefficient)
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  • :极为数据样本中的最大值与最小值的差值,是所有方式中最为简单的一种,它反应了数据样本的数值范围,是最基本的衡量数据离散程度的方式,受极值影响较大。如在数学考试中,一个班学生得分的极为60,放映了...

    数据的离散程度即衡量一组数据的分散程度如何,其衡量的标准和方式有很多,而具体选择哪一种方式则需要依据实际的数据要求进行抉择。

    首先针对不同的衡量方式的应用场景大体归纳如下:

    极差:极差为数据样本中的最大值与最小值的差值R=max(i)-min(i),是所有方式中最为简单的一种,它反应了数据样本的数值范围,是最基本的衡量数据离散程度的方式,受极值影响较大。如在数学考试中,一个班学生得分的极差为60,放映了学习最好的学生与学习最差的学生得分差距为60.

    四分位差:即数据样本的上四分之一位和下四分之一位的差值Q_{d}=Q_{u}-Q_{l},放映了数据中间50%部分的离散程度,其数值越小表明数据越集中,数值越大表明数据越离散,同时由于中位数位于四分位数之间,故四分位差也放映出中位数对于数据样本的代表程度,越小代表程度越高,越大代表程度越低。

    平均差:即M_{d}=\frac{\sum_{n}^{i=1}\left |x_{n} -\bar{x} \right |}{n},针对分组数据为M_{d}=\frac{\sum_{n}^{i=1}\left |x_{n} -\bar{x} \right |f_{i}}{n}。各变量值与平均值的差的绝对值之和除以总数n,平均差以平均数为中心,能全面准确的反应一组数据的离散状况,平均差越大,说明数据离散程度越大,反之,离散程度越小。

    方差/标准差:方差是各变量与平均值的差的平方和除以总数n-1,s^{2}=\frac{\sum_{n}^{i=1}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n-1}针对分组数据s^{2}=\frac{\sum_{n}^{i=1}(x_{i}-\bar{x})^{2}f_{i}}{n-1},方差开根号后为标准差,方差与标准差都能很好的反应数据的离散程度。

    异种比率:是指非众数组的频数占总频数的比例。V_{r}=\frac{\sum f_{i}-f_{m}}{\sum f_{i}}=1-\frac{f_{m}}{\sum f_{i}}其中\sum f_{i}为变量值的总频数,f_{m}为众数组的频数。异种比率越大,说明非众数组的频数占总频数的比重越大,众数的代表性越差,即占比越小,异种比率越小,说明众数的代表性越好,即占比越大。异种比率主要适合度量分类数据的离散程度,当然连续数据可以计算异种比率。

    离散系数:即变异系数,针对不同数据样本的标准差和方差,因数据衡量单位不同其结果自然无法直接进行对比,为出具一个相同的衡量指标,则进行了离散系数的计算。离散系数为一组数据的标准差与平均数之比V_{i}=\frac{s}{\bar{x}}

     

    import numpy as np
    import stats as sts
    scores = [31, 24, 23, 25, 14, 25, 13, 12, 14, 23,
              32, 34, 43, 41, 21, 23, 26, 26, 34, 42,
              43, 25, 24, 23, 24, 44, 23, 14, 52,32,
              42, 44, 35, 28, 17, 21, 32, 42, 12, 34]
    #集中趋势的度量
    print('求和:',np.sum(scores))
    print('个数:',len(scores))
    print('平均值:',np.mean(scores))
    print('中位数:',np.median(scores))
    print('众数:',sts.mode(scores))
    print('上四分位数',sts.quantile(scores,p=0.25))
    print('下四分位数',sts.quantile(scores,p=0.75))
    #离散趋势的度量
    print('最大值:',np.max(scores))
    print('最小值:',np.min(scores))
    print('极差:',np.max(scores)-np.min(scores))
    print('四分位差',sts.quantile(scores,p=0.75)-sts.quantile(scores,p=0.25))
    print('标准差:',np.std(scores))
    print('方差:',np.var(scores))
    print('离散系数:',np.std(scores)/np.mean(scores))
    #偏度与峰度的度量
    print('偏度:',sts.skewness(scores))
    print('峰度:',sts.kurtosis(scores))</span>
    

     

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  • 平均值、标准、相关系数、回归线及最小二乘法 相关性 线性相关 数据在一条直线附近波动,则变量间是线性相关 非线性相关 数据在一条曲线附近波动,则变量间是非线性相关 不相关 数据在图中没有显示任何关系...

    平均值、标准差、相关系数、回归线及最小二乘法

     相关性

    线性相关

    数据在一条直线附近波动,则变量间是线性相关

    非线性相关

    数据在一条曲线附近波动,则变量间是非线性相关

    不相关

    数据在图中没有显示任何关系,则不相关

     

     

     

    平均值

    N个数据 的平均值计算公式:

       

     

    标准差

    标准差表示了所有数据与平均值的平均距离,表示了数据的散度,如果标准差小,表示数据集中在平均值附近,如果标准差大则表示数据离标准差比较远,比较分散。标准差计算公式:

     

    x、y两个变量组成了笛卡尔坐标系中的一个坐标(x,y),这个坐标标识了一个的位置。

    各包含n个常量的X,Y两组数据在笛卡尔坐标系中以n个点来进行表示。

    相关系数

    相关系数用字母r来表示,表示两组数据线性相关的程度(同时增大或减小的程度),从另一方面度量了点相对于标准差的散布情况,它没有单位。包含n个数值的X、Y两组数据的相关系数r的计算方法:

      

    简单的说,就是 r=[(以标准单位表示的 x )X(以标准单位表示的 y )]的平均数

    根据上面点的定义,将X、Y两组数据的关系以点的形式在笛卡尔坐标系中画出,SD线表示了经过中心点(以数据组X、Y平均值为坐标的点),当r>0时,斜率=X的标准差/Y的标准差;当r<0时,斜率=-X的标准差/Y的标准差;的直线。通常用SD线来直观的表示数据的走向:

    1、当r<0时,SD线的斜率小于0时,则说明数据负相关,即当x增大时y减少。

    2、当r>0时,SD线的斜率大于0时,则说明数据正相关,此时当x增大时y增大。

    3、相关系数r的范围在[-1,1]之间,当r=0时表示数据相关系数为0(不相关)。当r=正负1时,表示数据负相关,此(x,y)点数据都在SD线上。

    4、r的值越接近正负1说明(x,y)越靠拢SD线,说明数据相关性越强,r的值越接近0说明(x,y)点到SD线的散度越大(越分散),数据相关性越小。

     

     

    回归方法主要描述一个变量如何依赖于另一个变量。y对应于x的回归线描述了在不同的x值下y的平均值情况,它是这些平均值的光滑形式,如果这些平均值刚好在一条直线上,则这些平均值刚好和回归线重合。通过回归线,我们可以通过x值来预测y值(已知x值下y值的平均值)。下面是y对应于x的回归线方程:

     

    简单的说,就是当x每增加1个SD,平均而言,相应的y增加r个SD。

    从方程可以看出:

    1、回归线是一条经过点 ,斜率为 的直线。

    2、回归线的斜率比SD线小,当r=1或-1时,回归线和SD线重合。

     

     

    当用回归线从x预测y时,实际值与预测值之间的差异叫预测误差。而均方根误差就是预测误差的均方根。它度量回归预测的精确程度。y关于x的回归线的均方根误差用下面的公式进行计算:

     

    由公式可以看出,当r越接近1或-1时,点越聚集在回归线附近,均方根误差越小;反之r越接近0时,点越分散,均方根误差越大。

     

     

    最小二乘法寻找一条直线来拟合所有的点,使得这条直线到所有的点之间的均方根误差最小。可以看到,当求两个变量之间的关系时,最小二乘法求出的直线实际上就是回归线。只不过表述的侧重点不同:

    1、最小二乘法强调求出所有点的最佳拟合直线。

    2、回归线则是在SD线的基础上求出的线,表示了样本中已知变量x的情况下变量y的平均值。

     

    由以上可知,一个散点图可以用五个统计量来描述:

    1、所有点x值的平均数,描述了所有点在x轴上的中心点。

    2、所有点x值的SD,描述了所有点距离x中心点的散度。

    3、所有点y值的平均数,描述了所有点在y轴上的中心点。

    4、所有点y值的SD,描述了所有点距离y中心点的散度。

    5、相关系数r,基于标准单位,描述了所有点x值和y值之间的关系。


    相关系数r将平均值、标准差、回归线这几个概念联系起来:

    1、r描述了相对于标准差,点沿SD线的群集程度。

    2、r说明了y的平均数如何的依赖于x --- x每增加1个x标准差,平均来说,y将只增加r个y标准差。

    3、r通过均方根误差公式,确定了回归预测的精确度。

     

     

    注意:以上相关系数、回归线、最小二乘法的计算要在以下两个条件下才能成立:

    1、x、y两组样本数据是线性的,如果不是线性的先要做转换。

    2、被研究的两组样本数据之间的关系必须有意义。

    转载于:https://www.cnblogs.com/zangrunqiang/p/5635223.html

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  • usingSystem; usingSystem.Collections.Generic; usingSystem.Text; namespaceAppMath { publicclassMaths { /**////<summary> ///求出数据平均值,并保留三位小数 ///&...
    using System;
    using System.Collections.Generic;
    using System.Text;

    namespace AppMath
    {
        
    public class Maths
        
    {
            
    /**//// <summary>
            
    /// 求出数据平均值,并保留三位小数
            
    /// </summary>
            
    /// <param name="Valist">数据集合</param>
            
    /// <returns></returns>

            public double average(List<double> Valist)
            
    {
                
    double sum = 0;
                
    foreach (double d in Valist)
                
    {
                    sum 
    = sum + d;
                }

                
    double revl = System.Math.Round(sum / Valist.Count, 3);
                
    return revl;
            }

            
    /**//// <summary>
            
    /// 求数据集合标准差
            
    /// </summary>
            
    /// <param name="ValList"></param>
            
    /// <returns></returns>

            public double stdev(List<double> ValList)
            
    {
                
    double avg = average(ValList);
                
    double sumstdev = 0;
                
    foreach (double d in ValList)
                
    {
                    sumstdev 
    = sumstdev + (d - avg) * (d - avg);
                }

                
    double stdeval = System.Math.Sqrt(sumstdev);
                
    return System.Math.Round(stdeval, 3);
            }

            
    /**//// <summary>
            
    /// 相关系数,要求两个集合数量必须相同
            
    /// </summary>
            
    /// <param name="array1">数组一</param>
            
    /// <param name="array2">数组二</param>
            
    /// <returns></returns>

            public double correl(List<double> array1, List<double> array2)
            
    {
                
    //数组一
                double avg1 = average(array1);
                
    double stdev1 = stdev(array1);
                
    //数组二
                double avg2 = average(array2);
                
    double stdev2 = stdev(array2);

                
    double sum = 0;
                
    for (int i = 0; i < array1.Count && i < array2.Count; i++)
                
    {
                    sum 
    = sum + ((array1[i] - avg1) / stdev1) * ((array2[i] - avg2) / stdev2);
                }

                
    return Math.Round(sum, 3);
            }



        }

    }

    转载于:https://www.cnblogs.com/wangzhq/archive/2008/06/11/1217260.html

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  • 标准,协方差与相关系数

    千次阅读 2019-04-04 11:16:07
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平均差系数