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  • 一、离差(Deviation) 离差即标志变动度,又称“偏差”,是观测值或估计量的平均值与真实值之间的差,是反映数据分布离散程度的量度之一,或说是反映统计总体中各单位标志值差别大小...平均差也称为均值,是数据分布中所

    一、离差(Deviation)

    离差即标志变动度,又称“偏差”,是观测值或估计量的平均值与真实值之间的差,是反映数据分布离散程度的量度之一,或说是反映统计总体中各单位标志值差别大小的程度或离差情况的指标,常写作:
    在这里插入图片描述

    即参与计算平均数的变量值与平均数之差。离差的性质有二: (1)离差的代数和等于0;(2)参与计算平均数的各变量值与平均数之差的平均和,小于这些变量值与平均数之外的任何数之差的平均和。

    二、平均差(Mean Deviation、Average Deviation)

    平均差也称为均值,是数据分布中所有原始数据与平均数距离的绝对值的平均。平均差计算公式:
    在这里插入图片描述
    上述公式可以简记为:
    在这里插入图片描述

    其中,被减数代表每个数据的值,减数表示平均数,N=数据个数。

    三、方差(Variance Deviation)

    方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数,即 :在这里插入图片描述
    s²就表示方差。如果用作样本统计时,作为样本X的方差的估计时,发现其数学期望并不是X的方差,而是X方差的(n-1)/n倍,因此用样本进行统计时,方差的计算公式调整为如下:
    在这里插入图片描述
    这就是统计上所谓的“无偏估计”。为了区分以上两种情况,第一个公式的结果称为总体方差,第二个公式的结果称为样本方差。

    样本方差可以简记为:
    在这里插入图片描述

    如果用D表示方差,则如下公式成立:

    1. 设C是常数,则D(C)=0
    2. 设X是随机变量,C是常数,则有:
      D(CX) = C²D(X)
      D(X+C) = D(X)
    3. 设 X 与 Y 是两个随机变量,则有:
      D(X+Y) = D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)
      D(X-Y) = D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)
      D(aX+bY) = a²D(X)+b²D(Y)+2ab*cov(X,Y)
      其中cov表示协方差。

    四、标准差(Standard Deviation)

    对方差取算术平方根,得到的结果称为标准差,总体方差的算术平方根称为总体标准差,样本方差的算术平方根称为样本标准差。

    样本标准差可以简记为:
    在这里插入图片描述

    五、协方差(Covariance)

    离差、平均差、方差、标准差一般是用来描述一维数据的,但实际中常常遇到含有多维数据的数据集,如果需要评估两个数据之间的联系,可以使用协方差。协方差是一种用来度量两个随机变量关系的统计量,其计算公式如下:

    在这里插入图片描述
    也可以记为:
    在这里插入图片描述
    可以看出,方差是协方差在X=Y时的一种特例。

    协方差的结果如果为正值,则说明两者是正相关的,如果结果为负值就说明负相关的,如果为0,也是就是统计上说的“相互独立”。

    从协方差的定义上我们也可以看出一些显而易见的性质,如:
    在这里插入图片描述

    六、协方差矩阵(covariance matrix)

    协方差也只能处理二维问题,那维数多了自然就需要计算多个协方差,比如n维的数据集就需要计算 n! / ((n-2)!*2) 个协方差,那自然而然的我们会想到使用矩阵来组织这些数据。

    在统计学与概率论中,协方差矩阵的每个元素是各个向量元素之间的协方差,是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。

    协方差矩阵定义:
    设X=(x1,x2,…,xn)为n维变量,则称矩阵:
    在这里插入图片描述
    为n维随机变量 的协方差矩阵(covariance matrix),也记为 D(X),其中:
    在这里插入图片描述
    为X的分量Xi 和 Xj的协方差。

    协方差矩阵为对称非负定矩阵,协方差矩阵具有如下性质:
    在这里插入图片描述
    公式中右上角的T表示矩阵的转置矩阵,转置是一个数学名词,即矩阵的行和列对应互换。直观来看,将矩阵A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转,即得到A的转置。一个矩阵M, 把它的第一行变成第一列,第二行变成第二列,…,最末一行变为最末一列, 从而得到一个新的矩阵N。

    七、皮尔森相关系数(Pearson correlation coefficient)

    7.1、概述

    皮尔森相关系数也称皮尔森积矩相关系数(Pearson product-moment correlation coefficient) ,是一种线性相关系数,是最常用的一种相关系数。皮尔森相关系数记为r,用来反映两个变量X和Y的线性相关程度,r值介于-1到1之间,绝对值越大表明相关性越强。

    7.2、定义

    皮尔森相关系数为两个变量X、Y之间的协方差和两者标准差乘积的比值。定义公式如下:
    r=ρ(X,Y)=cov(X,Y)/(σ(X)*σ(Y))
    σ表示标准差。

    由于方差是协方差的特例,标准差又是方差的算术平方根,因此上述公式也可以这样表示:
    在这里插入图片描述

    7.3、值含义

    相关系数的绝对值越大,相关性越强:相关系数越接近于1或-1,相关度越强,相关系数越接近于0,相关度越弱。

    当r大于0小于1时表示x和y正相关关系。当r大于-1小于0时表示x和y负相关关系。当r=1时表示x和y完全正相关,r=-1表示x和y完全负相关。当r=0时表示x和y不相关

    通常情况下通过以下取值范围判断变量的相关强度:

    • 0.8-1.0 极强相关
    • 0.6-0.8 强相关
    • 0.4-0.6 中等程度相关
    • 0.2-0.4 弱相关
    • 0.0-0.2 极弱相关或无相关

    参考资料:

    1. 百度百科;
    2. 皮尔森相关系数(Pearson correlation coefficient)
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  • 数据的离散程度即衡量一组数据的分散程度如何,其衡量的标准和方式有很多,而具体选择哪一种方式则需要依据实际的数据要求进行抉择。 首先针对不同的衡量方式的应用场景大体归纳如下: 极:极为数据样本中的...

    数据的离散程度即衡量一组数据的分散程度如何,其衡量的标准和方式有很多,而具体选择哪一种方式则需要依据实际的数据要求进行抉择。

    首先针对不同的衡量方式的应用场景大体归纳如下:

    极差:极差为数据样本中的最大值与最小值的差值R=max(i)-min(i),是所有方式中最为简单的一种,它反应了数据样本的数值范围,是最基本的衡量数据离散程度的方式,受极值影响较大。如在数学考试中,一个班学生得分的极差为60,放映了学习最好的学生与学习最差的学生得分差距为60.

    四分位差:即数据样本的上四分之一位和下四分之一位的差值Q_{d}=Q_{u}-Q_{l},放映了数据中间50%部分的离散程度,其数值越小表明数据越集中,数值越大表明数据越离散,同时由于中位数位于四分位数之间,故四分位差也放映出中位数对于数据样本的代表程度,越小代表程度越高,越大代表程度越低。

    平均差:即M_{d}=\frac{\sum_{n}^{i=1}\left |x_{n} -\bar{x} \right |}{n},针对分组数据为M_{d}=\frac{\sum_{n}^{i=1}\left |x_{n} -\bar{x} \right |f_{i}}{n}。各变量值与平均值的差的绝对值之和除以总数n,平均差以平均数为中心,能全面准确的反应一组数据的离散状况,平均差越大,说明数据离散程度越大,反之,离散程度越小。

    方差/标准差:方差是各变量与平均值的差的平方和除以总数n-1,s^{2}=\frac{\sum_{n}^{i=1}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n-1}针对分组数据s^{2}=\frac{\sum_{n}^{i=1}(x_{i}-\bar{x})^{2}f_{i}}{n-1},方差开根号后为标准差,方差与标准差都能很好的反应数据的离散程度。

    异种比率:是指非众数组的频数占总频数的比例。V_{r}=\frac{\sum f_{i}-f_{m}}{\sum f_{i}}=1-\frac{f_{m}}{\sum f_{i}}其中\sum f_{i}为变量值的总频数,f_{m}为众数组的频数。异种比率越大,说明非众数组的频数占总频数的比重越大,众数的代表性越差,即占比越小,异种比率越小,说明众数的代表性越好,即占比越大。异种比率主要适合度量分类数据的离散程度,当然连续数据可以计算异种比率。

    离散系数:即变异系数,针对不同数据样本的标准差和方差,因数据衡量单位不同其结果自然无法直接进行对比,为出具一个相同的衡量指标,则进行了离散系数的计算。离散系数为一组数据的标准差与平均数之比V_{i}=\frac{s}{\bar{x}}

     

    import numpy as np
    import stats as sts
    scores = [31, 24, 23, 25, 14, 25, 13, 12, 14, 23,
              32, 34, 43, 41, 21, 23, 26, 26, 34, 42,
              43, 25, 24, 23, 24, 44, 23, 14, 52,32,
              42, 44, 35, 28, 17, 21, 32, 42, 12, 34]
    #集中趋势的度量
    print('求和:',np.sum(scores))
    print('个数:',len(scores))
    print('平均值:',np.mean(scores))
    print('中位数:',np.median(scores))
    print('众数:',sts.mode(scores))
    print('上四分位数',sts.quantile(scores,p=0.25))
    print('下四分位数',sts.quantile(scores,p=0.75))
    #离散趋势的度量
    print('最大值:',np.max(scores))
    print('最小值:',np.min(scores))
    print('极差:',np.max(scores)-np.min(scores))
    print('四分位差',sts.quantile(scores,p=0.75)-sts.quantile(scores,p=0.25))
    print('标准差:',np.std(scores))
    print('方差:',np.var(scores))
    print('离散系数:',np.std(scores)/np.mean(scores))
    #偏度与峰度的度量
    print('偏度:',sts.skewness(scores))
    print('峰度:',sts.kurtosis(scores))</span>
    

     

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  • printf("请输入第一组标准差,第二组标准差,第一组均值,第二组均值,样本量,以空格间隔\n"); for (int i = 0; i ; i++) { scanf("%lf", &inp[i]); } r = compute_d(inp[0], inp[1], inp[2], inp[3], (int)inp[4])...

    两组数据的样本量必然是一样的,所以只需要输入一次样本量:

    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    
    
    double compute_d(double SE1, double SE2, double mean1, double mean2, int num)
    {
    	double S_within = 0.0, d = 0.0, r = 0.0;
    	S_within = sqrt((SE1*SE1*(num - 1) + SE2 * SE2*(num - 1)) / (num + num - 2));
    	d = fabs((mean1 - mean2) / S_within);
    	r = d / sqrt((d*d + 4));
    	return r;
    }
    
    int main()
    {
    	double compute_d(double SE1, double SE2, double mean1, double mean2, int num);
    	double inp[5], r=0;
    	int flag;
    	printf("请输入第一组标准差,第二组标准差,第一组均值,第二组均值,样本量,以空格间隔\n");
    	for (int i = 0; i < 5; i++)
    	{
    		scanf("%lf", &inp[i]);
    	}
    	r = compute_d(inp[0], inp[1], inp[2], inp[3], (int)inp[4]);
    	printf("计算出r系数为:%lf", r);
    	scanf("%d", &flag);
    	return 0;
    }
    
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  • 因为在两组数据平均值不同或单位不同时,无法利用方差和标准差来比较它们的离散程度,故提出了新的方法,叫做离散系数,专门解决以上问题。2、其次,离散系数的公式是什么?yes,就是 标准差比上平均值3、最后,回到...

    1、首先,为什么要用离散系数?

    因为在两组数据平均值不同或单位不同时,无法利用方差和标准差来比较它们的离散程度,故提出了新的方法,叫做离散系数,专门解决以上问题。

    2、其次,离散系数的公式是什么?

    9b7cec9a04738b97514a13691c6324ca.png

    yes,就是 标准差比上平均值

    3、最后,回到主要问题,为什么这么算?

    既然说离散系数可以解决平均值不等和单位不同的问题,那么这个比值就恰恰可以解决这一问题。

    对于单位,标准差和平均值是与变量值一致的单位,故标准差比上平均值回消掉单位,达到无量纲化目的(就是单位一除不就没了)

    对于平均值不同,既然变成了分数,那就可以进行通分,比较分子(此时分母一样,不就类似平均值相同了)。比如两组数据分别有离散程度2/3、4/5,通分可得10/15、12/15,此时比较分子不就意味着同均值的情况下比较了吗~

    完毕!

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    给你比心心,祝学习快乐

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