标准差和标准误是两个不同的概念，标准差就是一个变量的所有数据的离均差平方和再平均之后开平方，它是度量离散程度的指标。标准误用于估计参数的可信区间,进行假设检验等。它们与样本含量的关系不同:当样本含量 n 足够大时,标准差趋向稳定；而标准误随n的增大而减小,甚至趋于0 .联系:标准差,标准误均为变异指标,当样本含量不变时,标准误与标准差成正比。标准误的计算公式为
 

 
 

 
 
          标准误在标准差的基础上消去了数据量带来的影响，对一些数据量相差大的数据集来说，标准误比标准差更有意义。
 偏度系数和峰度系数是一个可以用来衡量数据集的分布形状的系数。
  
偏度系数的计算公式如下：
 

 
 
       它是一个取值通常在-3--3之间的值，它衡量了数据集的对称程度。偏度系数越接近0，这说明数据集越对称，越远离0则表明
 
数据集越不对称。如果偏度系数为正，则表明他的数据在右边更为分散，若为负的，则说明他的左侧更为分散。
  
峰度系数的计算公式如下：
 

 
 
          它是用数据集的四阶中心矩来计算出来的。正态分布的峰度系数为3.峰度系数越接近0，就说明数据集的分布峰度与正态分布越相似。越远离0，数据集的分布峰度就越和正态分布不相似。如果说峰度系数为负，则表明数据集较为集中，两侧数据集较少。如果它为正则相反。如果偏度系数和峰度系数都为0的时候，则该数据集服从一个标准的正态分布。
 

 

均方根误差（RMSE），平均绝对误差(MAE)，标准差(Standard Deviation)
 
RMSE
 
Root Mean Square Error,均方根误差
是观测值与真值偏差的平方和与观测次数m比值的平方根。
是用来衡量观测值同真值之间的偏差
MAE
 
Mean Absolute Error ，平均绝对误差
是绝对误差的平均值
能更好地反映预测值误差的实际情况.
标准差
 
Standard Deviation ，标准差
是方差的算数平方根
是用来衡量一组数自身的离散程度
其中N应为n-1
 

RMSE与标准差对比：标准差是用来衡量一组数自身的离散程度，而均方根误差是用来衡量观测值同真值之间的偏差，它们的研究对象和研究目的不同，但是计算过程类似。
 
RMSE与MAE对比：RMSE相当于L2范数，MAE相当于L1范数。次数越高，计算结果就越与较大的值有关，而忽略较小的值，所以这就是为什么RMSE针对异常值更敏感的原因（即有一个预测值与真实值相差很大，那么RMSE就会很大）。
 
 
 
平均值、标准差、相关系数、回归线及最小二乘法
 
 
 
 
 
N个数据的平均值计算公式：
   [1]
 
 
 
 
 
 
 
标准差表示了所有数据与平均值的平均距离，表示了数据的散度，如果标准差小，表示数据集中在平均值附近，如果标准差大则表示数据离标准差比较远，比较分散。标准差计算公式：
 [1]
 
 
 
x、y两个变量组成了笛卡尔坐标系中的一个坐标(x,y)，这个坐标标识了一个点的位置。
 
各包含n个常量的X,Y两组数据在笛卡尔坐标系中以n个点来进行表示。
 
 
 
相关系数用字母r来表示，表示两组数据线性相关的程度（同时增大或减小的程度），从另一方面度量了点相对于标准差的散布情况，它没有单位。包含n个数值的X、Y两组数据的相关系数r的计算方法：
 
简单的说，就是 r=[(以标准单位表示的 x )X(以标准单位表示的 y )]的平均数
 
根据上面点的定义，将X、Y两组数据的关系以点的形式在笛卡尔坐标系中画出，SD线表示了经过中心点（以数据组X、Y平均值为坐标的点），当r>0时，斜率=X的标准差/Y的标准差；当r<0时，斜率=-X的标准差/Y的标准差；的直线。通常用SD线来直观的表示数据的走向：
 
1、当r<0时,SD线的斜率小于0时，则说明数据负相关，即当x增大时y减少。
 
2、当r>0时，SD线的斜率大于0时，则说明数据正相关，此时当x增大时y增大。
 
3、相关系数r的范围在[-1,1]之间，当r=0时表示数据相关系数为0(不相关)。当r=正负1时，表示数据负相关，此(x,y)点数据都在SD线上。
 
4、r的值越接近正负1说明(x,y)越靠拢SD线，说明数据相关性越强，r的值越接近0说明(x,y)点到SD线的散度越大（越分散），数据相关性越小。
 
 
 
 
 
 
 
回归方法主要描述一个变量如何依赖于另一个变量。y对应于x的回归线描述了在不同的x值下y的平均值情况，它是这些平均值的光滑形式，如果这些平均值刚好在一条直线上，则这些平均值刚好和回归线重合。通过回归线，我们可以通过x值来预测y值（已知x值下y值的平均值）。下面是y对应于x的回归线方程：
 
简单的说，就是当x每增加1个SD，平均而言，相应的y增加r个SD。
 
从方程可以看出：
 
 
 
1、回归线是一条经过点，斜率为的直线。
 
 
 
 
2、回归线的斜率比SD线小，当r=1或-1时，回归线和SD线重合。
 
 
 
 
当用回归线从x预测y时，实际值与预测值之间的差异叫预测误差。而均方根误差就是预测误差的均方根。它度量回归预测的精确程度。y关于x的回归线的均方根误差用下面的公式进行计算:
 
 
由公式可以看出，当r越接近1或-1时，点越聚集在回归线附近，均方根误差越小；反之r越接近0时，点越分散，均方根误差越大。
 
 
 
 
 
 
 
最小二乘法寻找一条直线来拟合所有的点，使得这条直线到所有的点之间的均方根误差最小。可以看到，当求两个变量之间的关系时，最小二乘法求出的直线实际上就是回归线。只不过表述的侧重点不同：
 
 
 
 
1、最小二乘法强调求出所有点的最佳拟合直线。
 
 
 
 
2、回归线则是在SD线的基础上求出的线，表示了样本中已知变量x的情况下变量y的平均值。
 
 
 
 
 
由以上可知，一个散点图可以用五个统计量来描述：
 
 
 
1、所有点x值的平均数，描述了所有点在x轴上的中心点。
 
 
 
 
2、所有点x值的SD,描述了所有点距离x中心点的散度。
 
 
 
 
3、所有点y值的平均数，描述了所有点在y轴上的中心点。
 
 
 
 
4、所有点y值的SD,描述了所有点距离y中心点的散度。
 
 
 
 
5、相关系数r，基于标准单位，描述了所有点x值和y值之间的关系。
 
 
 
 
相关系数r将平均值、标准差、回归线这几个概念联系起来：
 
 
 
1、r描述了相对于标准差，点沿SD线的群集程度。
 
 
 
 
2、r说明了y的平均数如何的依赖于x --- x每增加1个x标准差，平均来说，y将只增加r个y标准差。
 
 
 
 
3、r通过均方根误差公式，确定了回归预测的精确度。
 
 
 
 
注意：以上相关系数、回归线、最小二乘法的计算要在以下两个条件下才能成立：
 
 
 
1、x、y两组样本数据是线性的，如果不是线性的先要做转换。
 
 
 
 
2、被研究的两组样本数据之间的关系必须有意义。
 
 
 
 
参考：
 
https://blog.csdn.net/capecape/article/details/78623897
 
https://blog.csdn.net/Raymond_Lu_RL/article/details/6701064

 

 

  
 
 

  一、定义、公式
  
二、方差、标准差 vs 协方差、相关系数 区别
 
 
一、定义、公式
 

  1、方差
 
 
定义：用于衡量一组数据的离散程度。在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。
 
公式： 
 

  
 
 

  
 为样本方差，X为变量，  为样本均值，N为样本例数。
 
 

  2、标准差
 
 
定义：标准差（Standard Deviation） ，是离均差平方的算术平均数的算术平方根，用σ表示。标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，在概率统计中最常使用作为统计分布程度上的测量依据。
 
公式： 
 

   变异系数： 
 
 

   ，其中 
 
 

   指数据的平均数
 
 

  
ps：标准差越小，说明数据越集中。
 
 

  3、协方差
 
 
定义：协方差（Covariance）用于衡量两个变量的总体误差。如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。
 
公式1： 
 

  
 
 
公式2: 
 

   ------该公式易于理解
 
 
公式2---可以有如下理解：如果有X,Y两个变量，每个时刻的“X值与其均值之差”乘以“Y值与其均值之差”得到一个乘积，再对这每时刻的乘积求和并求出均值。
 

  
注：
1.协方差可以反应两个变量的协同关系， 变化趋势是否一致。同向还是方向变化。
2.X变大，同时Y也变大，说明两个变量是同向变化的，这时协方差就是正的。
3.X变大，同时Y变小，说明两个变量是反向变化的，这时协方差就是负的。
4.从数值来看，协方差的数值越大，两个变量同向程度也就越大。反之亦然。
 
 

  4、相关系数
 
 
定义：相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。
 
公式： 
 

  
 
 
ps：相关系数是协发差的归一化(normalization)， 消除了两个变量量纲/变化幅度不同的影响。单纯反映两个变量在每单位变化的相似程度。
 
关于量纲化，可查看具体案例的，案例中清晰说明了协方差与相关系数之间的关系。
 

  
该案例转自以为CSDN老师，如有叨扰，可留言，我会删除链接，谢谢。

相关性：指两变量之间的关联程度，如正相关，负相关，不相关。
 
 
二、方差、标准差 vs 协方差、相关系数 区别
 

  方差、标准差
 
 
用来描述一维数据。
 

  协方差、相关系数
 
 
协方差只能处理二维问题，维数多了就需要计算多个协方差，比如n维的数据集就需要计算 n! / ((n-2)!*2) 个协方差。
 

 

 

   文章主要用于自我总结与温习，如果对你也有帮助，手留余香，记得【关注/收藏】哦。
 

#include <math.h>
#define	MINZERO			(0.0000001)

class CCalculate
{
public:
	CCalculate();
	virtual ~CCalculate();

	//获取最大值
	template<class T>
	static T GetMax( T* x,int nLen)	
	{
		T Temp,Max;
		Max = *x;
		for (int i=0; i<nLen;i++)
		{
			Temp = *(x+i);
			if (Temp >= Max)
			{
				Max = Temp;
			}
		}
		return Max;
	}

	//获取最大值序号 从0开始计算
	template<class T>
	static int GetMaxNum( T* x,int nLen)	
	{
		T Temp,Max;
		Max = *x;
		int n = 0;
		for (int i=0; i<nLen;i++)
		{
			Temp = *(x+i);
			if (Temp >= Max)
			{
				Max = Temp;
				n = i;
			}
		}
		return n;
	}

	//获取最小值
	template<class T>
	static T GetMin( T* x,int nLen)		
	{
		T Temp,Min;
		Min = *x;
		for (int i=0;i<nLen;i++)
		{
			Temp = *(x+i);
			if(Temp <= Min)
			{
				Min = Temp;
			}
		}
		return Min;
	}
	 
	//获取最小值序号 从0开始计算
	template<class T>
	static int GetMinNum( T* x,int nLen)		
	{
		T Temp,Min;
		Min = *x;
		int n = 0;
		for (int i=0;i<nLen;i++)
		{
			Temp = *(x+i);
			if(Temp <= Min)
			{
				Min = Temp;
				n = i;
			}
		}
		return n;
	}

	//获取平均值
	template<class T>
	static double GetAve( T* x,int nLen)
	{
		double sum = 0.00;
		double Ave = 0.00;
		for (int i=0;i<nLen;i++)
		{
			sum += (double)*(x+i);
		}
		Ave = sum/nLen;
		return Ave;
	}

	//获取标准差=标准偏差
	template<class T>
	static double GetSD( T* x,int nLen)
	{
		if (nLen <= 0)
		{
			return -1;
		}
		double sum = 0.00;
		double Ave = 0.00;
		Ave = GetAve(x,nLen);
		for (int i=0; i< nLen; ++i)
		{
			sum += (*(x+i)-Ave)*(*(x+i)-Ave);

		}
		double SD = sqrt((sum/nLen));
		return SD;
	}

	//获取标准误差SE
	template<class T>
		static double GetSE(IN T* x, IN int nLen)	
	{
		double SD = 0.00;
		SD = GetSD(x,nLen);
		double SE = double(SD/sqrt((double)nLen));
		return SE;
	}

	//获取变异系数CV
	template<class T>
	static BOOL GetCV(IN T* x, IN int nLen, OUT double& CV)	
	{
		double Ave = 0.00;
		double SD = 0.00;
		Ave = GetAve(x,nLen);
		if(Ave < MINZERO && Ave > -MINZERO)
		{
			return FALSE;
		}
		SD = GetSD(x,nLen);
		CV = SD/(double)Ave;
		return TRUE;
	}

	//获取平滑指数SI：Smooth Index
	template<class T>
	static BOOL GetSI(IN T* x, IN int nLen,OUT double& SI)
	{
		double CV = 0.00;
		if(!GetCV(x, nLen,CV))
		{
			return FALSE;
		}
		if (CV < MINZERO && CV > -MINZERO)
		{
			return FALSE;
		}
		SI = 1.00/CV;
		return TRUE;
	}
	
	//获取大于thres的数据的百分比
	template<class T>
	static double GetUpPercent(T* x, int nLen, T thres)
	{
		double dPer = 0.00;
		int nCount = 0;
		for (int i=0;i<nLen;i++)
		{
			if(*(x+i) > thres)
			{
				nCount++;
			}
		}
		dPer = ((double)nCount)/nLen;
		return dPer;
	}

	//获取大于thres的数据的个数
	template<class T>
	static int GetUpNum(T* x, int nLen, T thres)
	{
		int nCount = 0;
		for (int i=0;i<nLen;i++)
		{
			if(*(x+i) > thres)
			{
				nCount++;
			}
		}
		return nCount;
	}

	//获取小于thres的数据的百分比
	template<class T>
	static double GetDownPercent(T* x, int nLen, T thres)
	{
		double dPer = 0.00;
		int nCount = 0;
		for (int i=0;i<nLen;i++)
		{
			if(*(x+i) < thres)
			{
				nCount++;
			}
		}
		dPer = ((double)nCount)/nLen;
		return dPer;
	}

	//获取小于thres的数据的个数
	template<class T>
	static int GetDownNum(T* x, int nLen, T thres)
	{
		int nCount = 0;
		for (int i=0;i<nLen;i++)
		{
			if(*(x+i) < thres)
			{
				nCount++;
			}
		}
		return nCount;
	}

	//获取两组数据的相关系数，无前后关系
	template<class T>
	static BOOL GetCorrCoef(IN T* x,IN T* y,IN int nLen,OUT double& r)
	{
		double xAve = GetAve(x,nLen);
		double yAve = GetAve(y,nLen);
		double Sum = 0.00;
		double xSum2 = 0.00;
		double ySum2 = 0.00;

		for (int i=0;i<nLen;i++)
		{
			Sum += (*(x+i)-xAve)*(*(y+i)-yAve);
			xSum2 += (*(x+i)-xAve)*(*(x+i)-xAve);
			ySum2 += (*(y+i)-yAve)*(*(y+i)-yAve);
		}
		double res = sqrt(xSum2*ySum2);
		if (res < MINZERO && res > -MINZERO)
		{
			return FALSE;
		}
		r = Sum/res;	
		return TRUE;
	}

	//获取两组数据的回归系数，有前后关系		x自变量，y因变量  b斜率 a截距
	template<class T>
	static BOOL GetRegressCoef(IN T* x,IN T* y,IN int nLen,OUT double& b,OUT double& a)
	{
		double xAve = GetAve(x,nLen);
		double yAve = GetAve(y,nLen);
		double Sum = 0.00;
		double xSum2 = 0.00;
		
		for (int i=0;i<nLen;i++)
		{
			Sum += (*(x+i)-xAve)*(*(y+i)-yAve);
			xSum2 += (*(x+i)-xAve)*(*(x+i)-xAve);
		}
		if (xSum2 < MINZERO && xSum2 > -MINZERO)
		{
			return FALSE;
		}
		b = Sum/xSum2;	
		a = yAve - xAve*b;
		return TRUE;
	}
};

 
CCalculate::CCalculate()
{

}


CCalculate::~CCalculate()
{

}