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  • 加权几何平均数

    千次阅读 2017-08-30 11:06:15
     加权几何平均数的概述  根据统计资料的不同,几何平均数也有简单几何平均数加权几何平均数之分。  加权几何平均数,是统计学中的一种动态平均指标,多是指社会经济...加权几何平均数的计算公式  
    
    加权几何平均数的概述

      根据统计资料的不同,几何平均数也有简单几何平均数加权几何平均数之分。

      加权几何平均数,是统计学中的一种动态平均指标,多是指社会经济现象的同质总体在时间上变动速度的平均数。加权几何平均数是各标志值fi次方的连乘积的次方根。

      当各个变量值的次数(权数)不相同时,应采用加权几何平均数 。

    加权几何平均数的计算公式

      G=\sqrt[\sum f]{X_1^{f_1}\times X_2^{f_2}\times\ldots\times X_n^{f_n}}=\sqrt[\sum^n_{i=1}f]{\prod_{i=1}^N X_i^{f_i}}

      式中,fi为变量值Xi出现的次数,又称权数。

    加权几何平均数的举例分析

      例如,投资银行某笔投资的年利率是按复利计算的,10年的年利率分配是:第1年至第2年为5%;第3年至第5年为8%;第6年至第8年为10%;第9年至第10年为12%,则:

      平均年利率=平均本利率-1

      =\sqrt[10]{1.05^2\times1.08^3\times1.1^3\times1.12^2}-1

      =108.7743%-1

      =8.7743%

      问题:如果不按复利计算,平均年利率是多少?

      解:设本金为C,则:

      平均年利率=平均利息/本金

      =\frac{(2\times C\times5%+3\times C\times8%+3\times C\times 10%+2\times C\times12%)/10}{C}

      =\frac{2\times 5%+3\times8%+2\times12%}{2+3+3+2}

      =8.8%

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  • 指数加权平均数

    2020-08-07 15:02:57
    1.什么是指数加权平均? 指数加权平均也叫指数加权移动平均,是一种常见的序列数据处理方式。...其中观察该图发现有许多不规则的噪声,这时我们可以用指数加权平均来提取这组数据的相关趋势,按照上面公式可以列如下:

    1.什么是指数加权平均?

    指数加权平均也叫指数加权移动平均,是一种常见的序列数据处理方式。计算公式如下:

    其中,

    • θ_t:为第 t 天的实际观察值,
    • V_t: 是要代替 θ_t 的估计值,也就是第 t 天的指数加权平均值,
    • β: 为 V_{t-1} 的权重,是可调节的超参。( 0 < β < 1 )

    我们有这样一组气温数据,图中横轴为一年中的第几天,纵轴为气温:

    其中观察该图发现有许多不规则的噪声,这时我们可以用指数加权平均来提取这组数据的相关趋势,按照上面公式可以列如下:

    将计算后得到的 V_t 表示出来,就得到红色线的数值:

    可以看出,红色的数据比蓝色的原数据更加平滑,少了很多噪音,并且刻画了原数据的趋势。

    指数加权平均,作为原数据的估计值,可以抚平短期波动,起到了平滑的作用。

    2. 为什么在优化算法中使用指数加权平均

    上面提到了一些 指数加权平均 的应用,这里我们着重看一下在优化算法中的作用。

    以 Momentum 梯度下降法为例,

    Momentum 梯度下降法,就是计算了梯度的指数加权平均数,并以此来更新权重,它的运行速度几乎总是快于标准的梯度下降算法

    这是为什么呢?

    让我们来看一下这个图,

    例如这就是我们要优化的成本函数的形状,图中红点就代表我们要达到的最小值的位置,
    假设我们从左下角这里出发开始用梯度下降法,那么蓝色曲线就是一步一步迭代,一步一步向最小值靠近的轨迹。

    可以看出这种上下波动,减慢了梯度下降法的速度,而且无法使用更大的学习率,因为如果用较大的学习率,可能会偏离函数的范围。

    如果有一种方法,可以使得在纵轴上,学习得慢一点,减少这些摆动,但是在横轴上,学习得快一些,快速地从左向右移移向红点最小值,那么训练的速度就可以加快很多。

    这个方法就是动量 Momentum 梯度下降法,它在每次计算梯度的迭代中,对 dw 和 db 使用了指数加权平均法的思想。

    即使用了指数加权平均来代替权重weight和偏置bias 。

    这样我们就可以得到如图红色线的轨迹:

    可以看到:

    纵轴方向,平均过程中正负摆动相互抵消,平均值接近于零,摆动变小,学习放慢。

    横轴方向,因为所有的微分都指向横轴方向,因此平均值仍然较大,向最小值运动更快了。

    在抵达最小值的路上减少了摆动,加快了训练速度。

    3.β值如何选择?

    根据前面的计算式子:

    将V_{100} 展开得到:

    这里可以看出,V_t 是对每天温度的加权平均,之所以称之为指数加权,是因为加权系数是随着时间以指数形式递减的,时间越靠近,权重越大,越靠前,权重越小。

    再来看下面三种情况:

    当 β = 0.9 时,指数加权平均最后的结果如图红色线所示,代表的是最近 10 天的平均温度值;
    当 β = 0.98 时,指结果如图绿色线所示,代表的是最近 50 天的平均温度值;
    当 β = 0.5 时,结果如下图黄色线所示,代表的是最近 2 天的平均温度值;

    β 越小,噪音越多,虽然能够很快的适应温度的变化,但是更容易出现奇异值。

    β 越大,得到的曲线越平坦,因为多平均了几天的温度,这个曲线的波动更小。
    但有个缺点是,因为只有 0.02 的权重给了当天的值,而之前的数值权重占了 0.98 ,
    曲线进一步右移,在温度变化时就会适应地更缓慢一些,会出现一定延迟。

    通过上面的内容可知,β 也是一个很重要的超参数,不同的值有不同的效果,需要调节来达到最佳效果,一般 0.9 的效果就很好

     

    基于以上了解了指数加权平均后,考虑与原始的梯度下降进行对比比较,进而考虑深度学习中常见的优化算法,如

    深度学习--优化器算法Optimizer详解(BGD、SGD、MBGD、Momentum、NAG、Adagrad、Adadelta、RMSprop、Adam) - 郭耀华 - 博客园​www.cnblogs.com

    等进行学习分析。考虑现社区内讨论DP-SGD和DP-Adam进行创新点挖掘。

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  • 加权平均数

    2018-04-16 15:52:00
    算术平均数,我们平时说的平均数,就是算术平均数, ...但如果,每科所占的比重不一样,如 语文占 30%, 数学站 40%,英语占30%,这样所占比重不一样的平均数,就是加权平均数  加权平均分 = (90 * 0.3 + 8...

    算术平均数,我们平时说的平均数,就是算术平均数,

    假设一学生的期末考试,语文 90, 数学 85, 英语 90,

          平均分 = (90 + 85 + 90)/ 3

                   约= 88.3

    但如果,每科所占的比重不一样,如 语文占 30%, 数学站 40%,英语占30%,这样所占比重不一样的平均数,就是加权平均数

          加权平均分 = (90 * 0.3 + 85 * 0.4 + 90 * 0.3)/ (0.3 + 0.4 + 0.3)

                             = 88


    加权平均数,中的“权”,是权重的意思(也就是比重),即每个数对最终的平均数的贡献(重要性)是不一样的,
    当贡献一样时,此时的加权平均数,就是算术平均数。

    权重,可以根据需求自己设定(不同环境下,不同需求下都会有所不同)

     

    加权平均数的公式如下:

      数值: [x1, ... xn]

      各数的权值: [w1, ... wn] //权值可以自己定义的

      算术平均数(是一种特殊的加权平均数): 所有数值相加 除以 总数量
        a = (x1 + .... + xn) / n

      加权平均数: 所有数值乘以自己的权重后相加 除以 权重的和
        b = (x1 * w1 + ... + xn * wn) / (w1 + ... + wn)

      所以,当权重都相同 (而且为1的时候),加权平均数 和 算术平均数 一样。

     

    总结:

            算术平均数 是特殊的 加权平均数;

            加权平均数 是 算术平均数的广义模式;

            当权重相同时,算术平均数 等于 加权平均数;

    参考:https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0%E6%AC%8A%E5%B9%B3%E5%9D%87%E6%95%B8

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    在平均数的计算公式中,每个都有相同的重要性或权重。但有时候,计算平均数时会对每个观测值赋予显示其重要性的权重。以这种方式计算的平均数称做加权平均数。

    加权平均数

    ——第个观测值的数值;

    ——第个观测值的权重;

    举个例子来说明什么时候需要使用加权平均数。下面是一个公司在过去3个月5次购买原材料的样本。

    购买批次

    价格(美元/磅)

    数量(磅)

    1

    3.00

    1200

    2

    3.40

    500

    3

    2.80

    2750

    4

    2.90

    1000

    5

    3.25

    800

    我们注意到,每磅价格在2.80~3.40美元之间变化,而且采购数量也在500~2750磅之间变化。假设我们想知道原材料每磅平均价格的有关信息,因为订购的数量各不相同(可能存在量大从优的情况),我们必须要使用加权平均数。计算每磅价格的平均数时,要根据每个价格对应的数量来加权。在本例中,五个权重分别是=1200、=500、=2750、=1000、 =800。计算加权平均数如下:

    于是,使用加权平均数计算原材料每磅的平均价格是2.96美元。如果不是使用加权平均数公式而是使用平均数公式计算,结果为美元,得到带有误导性的结果,夸大了每磅实际的平均价格。

    在某个特定的加权平均数计算中,对权重的选择依赖于具体的应用。在任何情况下,当观测值的重要性变化时,分析人员必须选择能够最好反映每个观测值重要性的权重,来计算加权平均数。

    转载于:https://www.cnblogs.com/applre/p/4630176.html

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  • 加权平均数以及方差

    万次阅读 2016-01-23 15:35:06
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平均数与加权平均数的公式