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  • 算数平均数中位数众数和几何平均数
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    2019-10-23 10:11:02

    算数平均数、中位数、众数和几何平均数

    统计数据时经常用到的几种数的比较:

    算数平均数中位数众数几何平均数
    英文名Arithmetic meanMedianModeGeometric Mean
    别称均值中值
    定义n个变量的和除以n。中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数,即在这组数据中,有一半的数据比他大,有一半的数据比他小。一组数据中,出现次数最多的数就叫这组数据的众数。几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根。
    优点只需要知道变量组的总额,不需要知道每个变量值,就可以计算。不容易受极大值和极小值影响。数据项没有数值时也可以计算。不容易受极大值和极小值影响。
    缺点容易受极大值或极小值影响。需要知道每个变量的值,并且先排序,再找出中位数。需要知道每个变量出现的次数,仅适用于计算Top N的情况。变量值不能为0或负数,仅适用于具有等比或近似等比关系的数据。

    考虑上算数平均数和几何平均数的数据项采用不同的权重,就是加权算数平均数和加权几何平均数。

    在统计一般的“平均数”时,比如统计平均工资、平均房价时,用中位数比算数平均数更合理,可以避免受极大值或极小值影响。但是在实际中,考虑到统计成本,统计的样本比较小,统计数据缺失,统计对象的有意漏报错报,而算数平均数因为计算简单对数据要求不高,仍然被广泛使用。

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    1. 平均数

    平均数的概念很简单,不再详述,直接给出其公式:

    对于n个数字x1、x2…xn,其平均数公式为:
    x ‾ = x 1 + x 2 + . . . + x n n \overline x=\frac{x_1+x_2+...+x_n}n x=nx1+x2+...+xn

    2. 加权平均数

    什么是权,就是重要性,在数学中就是一个表示其所占比重的数值。假设xn的权为wn,则平均数公式为:
    x ‾ = x 1 w + x 2 w + . . . + x n w w + w + . . . + w \overline x=\frac{x_1w+x_2w+...+x_nw}{w+w+...+w} x=w+w+...+wx1w+x2w+...+xnw

    加权平均数平时其实用的很多,例如同时参加语文、数学、英语考试,这三门的权重比为2:2:1,三门考试成绩为100,90,80,则加权平均分为:
    x ‾ = 100 × 2 + 90 × 2 + 80 × 1 2 + 2 + 1 \overline x=\frac{100\times2+90\times2+80\times1}{2+2+1} x=2+2+1100×2+90×2+80×1

    3. 中位数

    平均数容易受个别极大、极小数字的影响,从而不能全面描述整体情况。而中位数有时候能较好的表达一组数据的中间水平。

    如果数据个数为奇数,处于中间的数为中位数。

    如果数据个数为偶数,则中间两个数的平均数为中位数。

    4. 众数

    一组数据中出现最多次的数为众数。

    5. 方差

    可以使用方差来描述数据波动的程序,方差越大,数据波动越大,反之方差越小,波动越小。方差方式如下:
    s 2 = ( x 1 − x ‾ ) 2 + ( x 2 − x ‾ ) 2 + . . . + ( x n − x ‾ ) 2 n s^2=\frac{{(x_1-\overline x)}^2+{(x_2-\overline x)}^2+...+{(x_n-\overline x)}^2}n s2=n(x1x)2+(x2x)2+...+(xnx)2

    6. 平均差

    由于方差与原始数据的单位不同,所以平时常用标准差来刻画数据的波动,标准差公式为:
    s = ( x 1 − x ‾ ) 2 + ( x 2 − x ‾ ) 2 + . . . + ( x n − x ‾ ) 2 n s=\sqrt{\frac{{(x_1-\overline x)}^2+{(x_2-\overline x)}^2+...+{(x_n-\overline x)}^2}n} s=n(x1x)2+(x2x)2+...+(xnx)2

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  • 如果观察值有偶数个,通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数。 lis = sorted(li) if len(lis) % 2 == 1: print("中位数:",lis[int((len(lis) - 1) / 2)]) else: print("中位数:",(lis[int(len(lis) / 2 - ...

    Python代码实现

    第一步:添加数据到列表
    def num(a):
        if float(a) == int(a):
            return int(a)
        return float(a)
    #添加数据
    li = []
    print("请逐条添加数据!  (若退出请输入0000)")
    while True:
        print("请输入:")
        x = input()
        if x == "0000":
            break
        li.append(num(float(x)))
    

    其中,num() 为自定义函数,用于取整,即在不影响数值的情况下,去掉小数点后的 0
    以上代码用于添加一组数据。

    功能一:最大值、最小值、总和
    print("最大值:",max(li))
    print("最小值:",min(li))
    print("总和:",sum(li))
    
    功能二:平均数

    平均数,统计学术语,是表示一组数据集中趋势的量数,是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。它是反映数据集中趋势的一项指标。解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数。

    avg = sum(li) / len(li)
    print("平均数:",avg)
    
    功能三:众数

    是一组数据中出现次数最多的数值,叫众数,有时众数在一组数中有好几个。

    d = {}
    for i in li:
        ss = d.get(i)
        if ss == None:
            d[i] = 1
        else:
            d[i] += 1
    for i in d.items():
        if i[1] == max(d.values()):
            print("众数:",i[0])
    

    其中,d 为字典,用于存储各个数据出现的次数,字典的键为数据,值为次数。

    功能四:中位数

    对于有限的数集,可以通过把所有观察值高低排序后找出正中间的一个作为中位数。如果观察值有偶数个,通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数。

    lis = sorted(li)
    if len(lis) % 2 == 1:
        print("中位数:",lis[int((len(lis) - 1) / 2)])
    else:
        print("中位数:",(lis[int(len(lis) / 2 - 1)] + lis[int(len(lis) / 2)]) / 2)
    
    功能五:极差

    极差又称范围误差或全距(Range),以R表示,是用来表示统计资料中的变异量数(measures of variation),其最大值与最小值之间的差距,即最大值减最小值后所得之数据。

    print("极差:",max(li) - min(li))
    
    功能六:方差与标准差

    统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中,研究方差即偏离程度有着重要意义。
    标准差(Standard Deviation) ,中文环境中又常称均方差,是离均差平方的算术平均数的平方根,用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的两组数据,标准差未必相同。

    sum1 = 0
    for i in li:
        sum1 += (i - avg) ** 2
    print("方差:",sum1 / len(li))
    print("标准差:",(sum1 / len(li)) ** (1 / 2))
    
    以上所有代码的运行效果:


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    平均数:反映了一组数据的平均大小,常用来一代表数据的总体 “平均水平”。

    中位数:像一条分界线,将数据分成前半部分和后半部分,因此用来代表一组数据的“一般水平”。

    众数:反映了出现次数最多的数据,用来代表一组数据的“多数水平”。

    平均数:与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的影响,这里的极端值是指偏大或偏小数,当出现偏大数时,平均数将会被抬高,当出现偏小数时,平均数会降低。

    中位数:与数据的排列位置有关,某些数据的变动对它没有影响;它是一组数据中间位置上的代表值,不受数据极端值的影响。

    众数:与数据出现的次数有关,着眼于对各数据出现的频率的考察,其大小只与这组数据中的部分数据有关,不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性,一组数据中可能会有一个众数,也可能会有多个或没有 。

    平均数:是统计中最常用的数据代表值,比较可靠和稳定,因为它与每一个数据都有关,反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况,也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此,它在生活中应用最广泛,比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。

    中位数:作为一组数据的代表,可靠性比较差,因为它只利用了部分数据。但当一组数据的个别数据偏大或偏小时,用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。

    众数:作为一组数据的代表,可靠性也比较差,因为它也只利用了部分数据。在一组数据中,如果个别数据有很大的变动,且某个数据出现的次数最多,此时用该数据(即众数)表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。

    平均数、中位数和众数的联系与区别:

    平均数应用比较广泛,它作为一组数据的代表,比较稳定、可靠。但平均数与一组数据中的所有数据都有关系,容易受极端数据的影响;简单的说就是表示这组数据的平均数。中位数在一组数据中的数值排序中处于中间的位置,人们由中位数可以对事物的大体进行判断和掌控,它虽然不受极端数据的影响,但可靠性比较差;所以中位数只是表示这组数据的一般情况。众数着眼对一组数据出现的频数的考察,它作为一组数据的代表,它不受极端数据的影响,其大小与一组数据中的部分数据有关,当一组数据中,如果个别数据有很大的变化,且某个数据出现的次数较多,此时用众数表示这组数据的集中趋势,比较合适,体现了整个数据的集中情况。

    转载自:
    作者:蒲公英110
    博客地址: https://www.cnblogs.com/zsq1993/p/6062316.html

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