调和平均数的代数形式（通俗）:
 
 
 
 
 
         应用场景：样本自变量（身高）和因变量（胖瘦）的乘积相等的情况下，改变每个样本的因变量（胖瘦），而不改变因变量的总和（井宽），所得自变量为调和平均数。
 
 
 
        上图也可以看成中速，慢速，快速，跑3个100米，x轴是时间，y轴是速度，xy的积是路程，每份面积相等符合上方应用场景。
 
还有网上其它资料显示：调和平均数应用的范围较小。在实际中，往往由于缺乏总体单位数的资料而不能直接计算算术平均数，这时需用调和平均
 
法来求得平均数。假如这个人是跑马拉松，我们只能观测他的300米，没有更多样本的情况下，调和平均数的方法就是尚佳的。
 
        注意，由于分子分母都可以乘以相同的数，所以因变量和自变量的乘积不一定是1可以是M，比如跑步的路程就是每份100。但是每个样本的面积M约掉公约数M后也还是面积为1的正方形（我采集3段100米和3段1米是一样的），分子分母都约调公约数M后就成了公式中令人费解的样子。
 
        这样的话顺带就理解了带权重的调和平均数：假设第一个橡皮泥是班长，改他的面积为2，其它人还是1。这样班长的就是宽度就是2/x1，上方分子（总面积）也要把1+1+1改成2+1+1。就是把带权重的样本面积等比例放大缩小。
 
 转自: http://www.cnblogs.com/xiaobajiu/p/7867162.html

维基简介
 
在统计学中平均数是一组数据的中间值或典型值 。不同的平均数概念被用在不同的地方。通常我们所说的平均数是算术平均数，就是对数据求和后再除以数据的个数。在统计学中，均值，中间值和众数都用作对数据集中趋势（central tendency）的测量。所以它们三个也可以被称为平均数。
 
 
 
In colloquial language, an average is a middle or typical number of a list of numbers. Different concepts of average are used in different contexts. Often “average” refers to the arithmetic mean, the sum of the numbers divided by how many numbers are being averaged. In statistics, mean, median, and mode are all known as measures of central tendency, and in colloquial usage sometimes any of these might be called an average value.
 
 
举例说明
 
通过上面的解释我们可以看出平均值是用来描述一组数据的集中趋势的。举个例子来说，在数学史上高尔顿在伦敦成立了生物统计实验室，并打广告动员不同的家庭来做测量。在这个实验，他搜集身高、体重数据，测量特殊的骨骼和家庭成员的其他特性。通过对比数据他发现“向平均回归”（regression to the mean)的现象，表现为：非常高的父亲，其儿子往往比父亲矮一些；而非常矮的父亲，其儿子往往比父亲高一些。从这里我们也可以了解平均数的意义，就是我们如果得到了人类身高的平均数，我们就可以对单独的个体的身高进行估计，估计的值就是平均数上下范围。
 
均值、中位数、众数
 
均值、中位数、众数三者都可以认为是平均数，那么要如何判断该使用哪个平均数呢？
 
一般我们都是用均值来表示平均值，但是这是在保证均值无偏的情况下。
均值容易受到异常值（极大值或极小值的影响），这时候我们就要用中位数。 
 数据的分布向右斜偏，均值就会大于中位数，数据的分布向左斜偏，均值就会小于中位数。
当数值呈现双峰分布时，可以使用众数。也就是说当数据是类别数据，可以分为两组或多组时，就可以使用众数。

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平均数就是一组数的平均水平，反应了某个组的整体水平，也称作平均水平。
 
 
 
比如有一个保龄球队，6个队员，每个队员得分如下：
 
 
 
 
 
刘毅
 
 
86
 
 
小茹
 
 
73
 
 
优美
 
 
124
 
 
小静
 
 
111
 
 
桃子
 
 
90
 
 
晓峰
 
 
38
 
 
 
 
 
全队的平均分为：总得分/队员数=（86+73+124+111+90+38）/6=87。
 
这种“n个观察值的和/n”就是“算数平均数”。算术平均数利用的是“和求平均”，得到的是“中间”水平。
 
除了这种平均数，还有“几何平均数”，“调和平均数”。
 
 
 
几何平均数具有一定的几何意义：如下图所示：
 
 
 
 
对于n个观察值，n个观察值连乘积的n次方根就是几何平均数。正如：图中的a,b的几何平均数是square(ab)。也就是：
 
 
对于n个观察值，调和平均数定义为：
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
对于\(a>b>0\),我们把\(\frac{a-b}{ln a-ln b}\)称作\(a\)与\(b\)的对数平均数，并且有：
\(算术平均数>对数平均数>几何平均数\)，即：
\(\frac{a+b}{2}>\frac{a-b}{ln a-ln b}>\sqrt{ab}\)