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  • 做函数图像的基本步骤
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    2020-10-16 00:00:00

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    一、绘制图像的常用思路

    在通常情况下,手动绘制函数图像的基本思路是确定自变量的取值范围、选取合适的自变量点、通过函数表达式得出对应的应变量的点、将这些点连接起来,即可得到大致图像。

    使用Matlab绘制函数图像也是使用这样的思路,当自变量的点取得够多时,连接这些点的图形就越接近函数图像。

     

    二、Matlab中绘制图形的常用语言规范和绘图函数

    在Matlab中,选取自变量的操作变得及其简单,大致格式如下:X = 下限:取值间隔:上限。详细情况可以看案例。Matlab对于函数的表示也十分的接近自然语言,可以参考案例学习。在绘制图像时,Matlab对于二维和三维图像有不同的函数。绘制二维图像一般使用的是“plot”函数,在调用它时,只需要给定对应的自变量和应变量即可,例如plot(x,y)就是绘制x为自变量y为应变量的函数图像;对于三维图像一般使用“surf”函数,它的使用也和“plot”函数大致相同。当然,这两种绘图函数还有一些更加深入的用法,这里不一一介绍。

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    画二次函数图像的步骤2019-11-14 09:26:25文/叶丹

    画二次函数图像的步骤:五点法是选五个极其重要的点,分别为顶点、与x轴的交点、与y轴的交点及其关于对称轴的对称点,然后根据这五点作图。

    二次函数的画法

    五点法

    五点草图法又被叫做五点作图法是二次函数中一种常用的作图方法。

    注明:虽说是草图,但画出来绝不是草图。

    五点草图法中的五个点都是极其重要的五个点,分别为:顶点、与x轴的交点、与y轴的交点及其关于对称轴的对称点。

    正规考试也是用这种方法初步确定图像。但是正规考试的要求在于要列表格,取x、y,再确定总体图像。五点法是可以用在正规考试中的。

    描点法

    1、列表

    先取顶点,用虚线画出对称轴。取与x轴两个交点(如果存在)、y轴交点及其对称点(如果存在)和另外两点及其对称点。原则上相邻x的差值相等,但远离顶点的点可以适当减小差值。

    2、依据表格数据绘制函数图像

    二次函数求根公式

    推导ax²+bx+c=0的解。

    移项,ax²+bx=-c

    两边除a,然后再配方,

    x²+(b/a)x+(b/2a)²=-c/a+(b/2a)²

    [x+b/(2a)]²=[b²-4ac]/(2a)²

    两边开平方根,解得

    x=[-b±√(b2-4ac)]/(2a)

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  • 函数图像

    千次阅读 2021-06-28 13:04:47
    在数学中,函数 f 的图形(或图象)指的是所有有序对(x, f(x))组成的集合[1]。具体而言,如果x为实数,则函数图形在平面直角坐标系上呈现为一条曲线。如果函数自变量x为两个实数组成的有序对(x1, x2),则图形就是所有...

    在数学中,函数 f 的图形(或图象)指的是所有有序对(x, f(x))组成的集合[1]。具体而言,如果x为实数,则函数图形在平面直角坐标系上呈现为一条曲线。如果函数自变量x为两个实数组成的有序对(x1, x2),则图形就是所有三重序(x1, x2, f(x1, x2))组成的集合,呈现为曲面(参见三维计算机图形)。

    中文名

    函数图象

    外文名

    Functions images图象性质

    满足等式:y=kx+b

    应    用

    水量g是抽水时间t的一次函数

    函数图像几何与方程论

    编辑

    语音

    Functions images(函数的图象)

    bc868716837b0cae62cefc7b46ab9542.png

    一次函数图像点集{(x,y)丨y=x}叫做函数y=x的图象

    一次函数

    自变量x和因变量y有如下关系:

    y=kx+b(k,b为常数,k≠0)

    则称y是x的一次函数。

    特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。

    若两个变量x,y间的关系式可以表示为y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。

    函数图像图象性质

    1. 作法与图形:通过如下3个步骤(1)算出该函数图象与Y轴和X轴的交点的坐标(2)描点;(3)连线,可以作出一次函数的图象——一条直线。

    2. 性质:在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。

    3. k,b与函数图象所在象限。

    当k>0时,直线必通过一、三象限,从左往右,y随x的增大而增大;

    当k<0时,直线必通过二、四象限,从左往右,y随x的增大而减小;

    当b>0时,直线必通过一、二象限;当b<0时,直线必通过三、四象限。

    特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图象。

    这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四 象限。

    6d60d010b3eb4ffebdbed299f8ef9742.bmp

    反比例函数图像4. (1) 函数关系中自变量可取值的集合叫做函数的定义域。求用解析式表示的函数的定义域,就是求使函数各个组成部分有意义的集合的交集,对实际问题中函数关系定义域,还需要考虑实际问题的条件。 (2)值域与定义域内的所有x值对应的函数值形成的集合,叫做函数的值域。(3)单调性定义:对于给定区间上的函数f(x)。

    函数图像例题

    已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。如果b=0,则函数解析式为y=kx,所以说正比例函数是特殊的一次函数。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程: y1=kx1+b① 和y2=kx2+b②。 (3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 (5)在y=kx+b中,使x,y分别等于0,可求出两个坐标系必定经过的两点(0,b)和(-b/k,0)。

    函数图像应用

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    语音

    1.当时间t一定,距离S是速度v的一次函数。S=vt。

    2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

    函数图像分类

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    语音

    一次函数

    正比例函数

    函数图像反比例函数

    形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数,叫做反比例函数。

    自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

    如图,上面给出了x分别为正和负(2和-2), k=4 时的函数图象。

    函数图像双钩函数

    2d0d39dd079b4dc4e7f51baab3dc03be.png

    双钩函数图像函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)叫做双钩函数。

    该函数是奇函数,图象关于原点对称。位于第一、三象限。

    当x>0时,由基本不等式可得:y ≥2√ab

    当且仅当ax=b/x,即x=√(b/a)时取等号。

    故其顶点坐标为(√(b/a),2√ab),图象在(0,√(b/a))上是单调递减的,在(√(b/a),+∝)上是单调递增

    同理:当x<0时,由基本不等式可得:y≤-2√ab

    当且仅当ax=b/x,即x=-√(b/a)时取等号。

    故其顶点坐标为(-√(b/a),-2√ab),

    图象在(-∝,-√(b/a))上是单调递增,

    在(-√(b/a),0)上是单调递减的。

    当a<0,b<0 时可转化为a>0,b>0的情况

    通常,作图时,x看做0。代入得y,也就是纵轴坐标(0,y)

    有时,通过平移,把形如y=(ax+b)/(cx+d)也看成反比例函数。

    特殊位置关系

    当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等

    当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1)

    函数图像二次函数

    8b7ec93d0e3d2901213db5b85201bb3d.png

    二次函数图像一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c

    (a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)

    则称y为x的二次函数。

    二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

    表达式

    一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

    顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)]

    交点式:y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A(x₁ ,0)和 B(x₂,0)的抛物线]

    注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:

    h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a

    图象

    在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图象,

    可以看出,二次函数的图象是一条抛物线。

    性质

    1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

    对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

    特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

    2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )

    当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。

    3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

    当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

    |a|越大,则抛物线的开口越小。

    4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

    当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;

    当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

    5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

    抛物线与y轴交于(0,c)

    6.抛物线与x轴交点个数

    Δ= b方-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。

    Δ= b方-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

    Δ= b方-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)

    位置关系

    二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:

    解析式 顶点坐标 对 称 轴

    y=ax^2 (0,0) x=0

    y=a(x-h)^2 (h,0) x=h

    y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h

    y=ax^2+bx+c (-b/2a,[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a

    当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,

    当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.

    当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;

    当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

    当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

    当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

    因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

    2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

    3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而减小.

    4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:

    (1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);

    (2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

    (a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|

    当△=0.图象与x轴只有一个交点;

    当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.

    5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

    顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.

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    二次函数是中学时代必学的一类基本初等函数,是在学习了一次函数的基础上再进行研究的,在学习时要学会掌握画函数图像的方法,之前都是借助直尺来画函数图像的,现在可以借助专业的绘图工具来完成,下面就一起来学习快速画二次函数图像的方法。

    绘图工具几何画板免费获取地址:http://wm.makeding.com/iclk/?zoneid=13398

    以f(x)=2x2+3x-5为例,具体操作步骤如下:

    一、绘制函数:

    1.在“绘图”菜单中选择“绘制新函数”命令,出现“新建函数”对话框。

    在“绘图”菜单中选择“绘制新函数”的命令

    2.输入函数表达式。在“新建函数”对话框中,按对话框上的数字按钮输入函数图像点击“确定”,自动生成f(x)=2x2+3x-5的函数图像。

    新建函数对话框中输入函数表达式

    3. f(x)=2x2+3x-5的图像如图所示。

    二次函数f(x)=2x

    2+3x-5的图像示例

    二、调整图像:

    1.整体移动。单击“移动箭头工具”,在坐标系中按住坐标原点拖动可以移动整个坐标系的位置。

    选中坐标原点整体移动函数图像

    2.调整数据。如果觉得数据不够精确,或者太详细了,你可以单击“移动箭头工具”,然后在选中X轴上的红点并拖动可以放大或者缩小刻度。

    选中X轴与函数图象的交点拖动调节刻度值

    以上就是给大家介绍的快速画二次函数图像的方法,不管是新手还是老用户,都可以很快地掌握这种简单的几何绘图方法。除此之外,还可以画任意普通函数,具体教程可访问:www.jihehuaban.com.cn/xinshourumen/hanshu-tuxiang.html

    以上文章转载自:http://www.jihehuaban.com.cn/xinshourumen/huizhi-hanshu.html

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