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  • 平均值标准差,方差,协方差都属于统计数学;期望属于概率数学。 统计数学 1)平均值标准差,方差 统计学里最基本概念就是样本均值、方差、标准差。首先,我们给定一个含有n个样本集合,下面给出这些...

    1、写在前面

    平均值,标准差,方差,协方差都属于统计数学;期望属于概率数学。

    统计数学

    1)平均值,标准差,方差

    统计学里最基本的概念就是样本的均值、方差、标准差。首先,我们给定一个含有n个样本的集合,下面给出这些概念的公式描述:

    均值:

    方差:

    标准差:

    均值描述的是样本集合的中间点,它告诉我们的信息是有限的。

    方差(variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。统计中的方差(样本方差)是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。在许多实际问题中,研究方差即偏离程度有着重要意义。方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。

    而标准差给我们描述的是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。

    以这两个集合为例,[0, 8, 12, 20]和[8, 9, 11, 12],两个集合的均值都是10,但显然两个集合的差别是很大的,计算两者的标准差,前者是8.3后者是1.8,显然后者较为集中,故其标准差小一些,标准差描述的就是这种“散布度”。之所以除以n-1而不是n,是因为这样能使我们以较小的样本集更好地逼近总体的标准差,即统计上所谓的“无偏估计”。而方差则仅仅是标准差的平方。

    方差和标准差的区别:

    方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的,多了个平方,虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度,但是处理结果是不符合我们的直观思维的。 而标准差的根号就抵消了这个平方,就能相对直观了描述数据与均值之间的偏离程度。

    2)协方差

    标准差和方差一般是用来描述一维数据的,但现实生活中我们常常会遇到含有多维数据的数据集,最简单的是大家上学时免不了要统计多个学科的考试成绩。面对这样的数据集,我们当然可以按照每一维独立的计算其方差,但是通常我们还想了解更多,比如,一个男孩子的猥琐程度跟他受女孩子的欢迎程度是否存在一些联系。协方差就是这样一种用来度量两个随机变量关系的统计量,我们可以仿照方差的定义:

    来度量各个维度偏离其均值的程度,协方差可以这样来定义:

    协方差的结果有什么意义呢?如果结果为正值,则说明两者是正相关的(从协方差可以引出“相关系数”的定义),也就是说一个人越猥琐越受女孩欢迎。如果结果为负值, 就说明两者是负相关,越猥琐女孩子越讨厌。如果为0,则两者之间没有关系,猥琐不猥琐和女孩子喜不喜欢之间没有关联,就是统计上说的“相互独立”。

    从协方差的定义上我们也可以看出一些显而易见的性质,如:

    3)协方差矩阵

    前面提到的猥琐和受欢迎的问题是典型的二维问题,而协方差也只能处理二维问题,那维数多了自然就需要计算多个协方差,比如n维的数据集就需要计算个协方差,那自然而然我们会想到使用矩阵来组织这些数据。给出协方差矩阵的定义:

    这个定义还是很容易理解的,我们可以举一个三维的例子,假设数据集有三个维度,则协方差矩阵为:

    可见,协方差矩阵是一个对称的矩阵,而且对角线是各个维度的方差。

    概率论

    1)期望(相当于统计数学中的均值)

    离散型

    离散型随机变量X的取值为为X对应取值的概率,可理解为数据出现的频率,则:

    连续型

    2)方差

    E(X)表示期望,X表示原始数据,其结果就为方差。当方差很小时,X的值形成的簇比较接近它们的期望值。方差的平方根被称为标准差(standard deviation)。D(X)还可以简化为:

     这里我是这么理解的:E的作用就是求平均,既然求完平均了,那么E(X)不就是一个常数了嘛,既然是常数了,拿平均自己那还是自己呀,也就是E(E(X))那不就是E(X)嘛。既然是这样那就好理解了,E(2XE(X))=2E(X)E(X),E(X)的平方那也是常数,求平均还是自己。

    另外再看一个例子:

    3)标准差

    方差的平方根被称为标准差(standard deviation)。简单来说,标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。一个较大的标准差,代表大部分的数值和其平均值之间差异较大;一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。

    这里标准差和方差的区别与统计学中一样。

    均方误差

    均方误差一般被用在机器学习的预测值与真实值之间的距离。

    标准差(Standard Deviation),中文环境中又常称均方差,但不同于均方误差(mean squared error,均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数,也即误差平方和的平均数,计算公式形式上接近方差,它的开方叫均方根误差,均方根误差才和标准差形式上接近),标准差是离均差平方和平均后的方根,用σ表示。标准差是方差的算术平方根。 
    从上面定义我们可以得到以下几点: 
    1、均方差就是标准差,标准差就是均方差 
    2、均方误差不同于均方差 
    3、均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数 
    举个例子:我们要测量房间里的温度,很遗憾我们的温度计精度不高,所以就需要测量5次,得到一组数据[x1,x2,x3,x4,x5],假设温度的真实值是x,数据与真实值的误差e=x-xi 
    那么均方误差MSE= 
    总的来说,均方差是数据序列与均值的关系,而均方误差是数据序列与真实值之间的关系,所以我们只需要搞清楚真实值和均值之间的关系就行了。

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  • 相关性 线性相关 数据在一条直线附近波动,则变量间是线性相关 ...标准差表示了所有数据与平均值的平均距离,表示了数据的散度,如果标准差小,表示数据集中在平均值附近,如果标准差大则表示数据离标准...

    相关性

    线性相关

    数据在一条直线附近波动,则变量间是线性相关

    非线性相关

    数据在一条曲线附近波动,则变量间是非线性相关

    不相关

    数据在图中没有显示任何关系,则不相关

     

     

     

    平均值

    N个数据 的平均值计算公式:

       

     

    标准差

    标准差表示了所有数据与平均值的平均距离,表示了数据的散度,如果标准差小,表示数据集中在平均值附近,如果标准差大则表示数据离标准差比较远,比较分散。标准差计算公式:

    x、y两个变量组成了笛卡尔坐标系中的一个坐标(x,y),这个坐标标识了一个的位置。

    各包含n个常量的X,Y两组数据在笛卡尔坐标系中以n个点来进行表示。

    相关系数

    相关系数用字母r来表示,表示两组数据线性相关的程度(同时增大或减小的程度),从另一方面度量了点相对于标准差的散布情况,它没有单位。包含n个数值的X、Y两组数据的相关系数r的计算方法:

      

    简单的说,就是 r=[(以标准单位表示的 x )X(以标准单位表示的 y )]的平均数

    根据上面点的定义,将X、Y两组数据的关系以点的形式在笛卡尔坐标系中画出,SD线表示了经过中心点(以数据组X、Y平均值为坐标的点),当r>0时,斜率=X的标准差/Y的标准差;当r<0时,斜率=-X的标准差/Y的标准差;的直线。通常用SD线来直观的表示数据的走向:

    1、当r<0时,SD线的斜率小于0时,则说明数据负相关,即当x增大时y减少。

    2、当r>0时,SD线的斜率大于0时,则说明数据正相关,此时当x增大时y增大。

    3、相关系数r的范围在[-1,1]之间,当r=0时表示数据相关系数为0(不相关)。当r=正负1时,表示数据负相关,此(x,y)点数据都在SD线上。

    4、r的值越接近正负1说明(x,y)越靠拢SD线,说明数据相关性越强,r的值越接近0说明(x,y)点到SD线的散度越大(越分散),数据相关性越小。

     

     

    回归方法主要描述一个变量如何依赖于另一个变量。y对应于x的回归线描述了在不同的x值下y的平均值情况,它是这些平均值的光滑形式,如果这些平均值刚好在一条直线上,则这些平均值刚好和回归线重合。通过回归线,我们可以通过x值来预测y值(已知x值下y值的平均值)。下面是y对应于x的回归线方程:

     

    简单的说,就是当x每增加1个SD,平均而言,相应的y增加r个SD。

    从方程可以看出:

    1、回归线是一条经过点 ,斜率为 的直线。

    2、回归线的斜率比SD线小,当r=1或-1时,回归线和SD线重合。

     

     

    当用回归线从x预测y时,实际值与预测值之间的差异叫预测误差。而均方根误差就是预测误差的均方根。它度量回归预测的精确程度。y关于x的回归线的均方根误差用下面的公式进行计算:

     

    由公式可以看出,当r越接近1或-1时,点越聚集在回归线附近,均方根误差越小;反之r越接近0时,点越分散,均方根误差越大。

     

     

    最小二乘法寻找一条直线来拟合所有的点,使得这条直线到所有的点之间的均方根误差最小。可以看到,当求两个变量之间的关系时,最小二乘法求出的直线实际上就是回归线。只不过表述的侧重点不同:

    1、最小二乘法强调求出所有点的最佳拟合直线。

    2、回归线则是在SD线的基础上求出的线,表示了样本中已知变量x的情况下变量y的平均值。

     

    由以上可知,一个散点图可以用五个统计量来描述:

    1、所有点x值的平均数,描述了所有点在x轴上的中心点。

    2、所有点x值的SD,描述了所有点距离x中心点的散度。

    3、所有点y值的平均数,描述了所有点在y轴上的中心点。

    4、所有点y值的SD,描述了所有点距离y中心点的散度。

    5、相关系数r,基于标准单位,描述了所有点x值和y值之间的关系。


    相关系数r将平均值、标准差、回归线这几个概念联系起来:

    1、r描述了相对于标准差,点沿SD线的群集程度。

    2、r说明了y的平均数如何的依赖于x --- x每增加1个x标准差,平均来说,y将只增加r个y标准差。

    3、r通过均方根误差公式,确定了回归预测的精确度。

     

     

    注意:以上相关系数、回归线、最小二乘法的计算要在以下两个条件下才能成立:

    1、x、y两组样本数据是线性的,如果不是线性的先要做转换。

    2、被研究的两组样本数据之间的关系必须有意义。

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  • 平均值、标准差、相关系数、回归线及最小二乘法  相关性 线性相关 数据在一条直线附近波动,则变量间是线性相关 ...标准差表示了所有数据与平均值的平均距离,表示了数据的散度,如果标准差小,表示数据

    平均值、标准差、相关系数、回归线及最小二乘法

     相关性

    线性相关

    数据在一条直线附近波动,则变量间是线性相关

    非线性相关

    数据在一条曲线附近波动,则变量间是非线性相关

    不相关

    数据在图中没有显示任何关系,则不相关

     

    平均值

    N个数据 的平均值计算公式:

       

     

    标准差

    标准差表示了所有数据与平均值的平均距离,表示了数据的散度,如果标准差小,表示数据集中在平均值附近,如果标准差大则表示数据离标准差比较远,比较分散。标准差计算公式:

     

    x、y两个变量组成了笛卡尔坐标系中的一个坐标(x,y),这个坐标标识了一个的位置。

    各包含n个常量的X,Y两组数据在笛卡尔坐标系中以n个点来进行表示。

    相关系数

    相关系数用字母r来表示,表示两组数据线性相关的程度(同时增大或减小的程度),从另一方面度量了相对于标准差的散布情况,它没有单位。包含n个数值的X、Y两组数据的相关系数r的计算方法:

    简单的说,就是 r=[(以标准单位表示的 x )X(以标准单位表示的 y )]的平均数

    根据上面点的定义,将X、Y两组数据的关系以点的形式在笛卡尔坐标系中画出,SD线表示了经过中心点(以数据组X、Y平均值为坐标的点),当r>0时,斜率=X的标准差/Y的标准差;当r<0时,斜率=-X的标准差/Y的标准差;的直线。通常用SD线来直观的表示数据的走向:

    1、当r<0时,SD线的斜率小于0时,则说明数据负相关,即当x增大时y减少。

    2、当r>0时,SD线的斜率大于0时,则说明数据正相关,此时当x增大时y增大。

    3、相关系数r的范围在[-1,1]之间,当r=0时表示数据相关系数为0(不相关)。当r=正负1时,表示数据负相关,此(x,y)点数据都在SD线上。

    4、r的值越接近正负1说明(x,y)越靠拢SD线,说明数据相关性越强,r的值越接近0说明(x,y)点到SD线的散度越大(越分散),数据相关性越小。

     

     

    回归方法主要描述一个变量如何依赖于另一个变量。y对应于x的回归线描述了在不同的x值下y的平均值情况,它是这些平均值的光滑形式,如果这些平均值刚好在一条直线上,则这些平均值刚好和回归线重合。通过回归线,我们可以通过x值来预测y值(已知x值下y值的平均值)。下面是y对应于x的回归线方程:

    简单的说,就是当x每增加1个SD,平均而言,相应的y增加r个SD。

    从方程可以看出:

    1、回归线是一条经过点 ,斜率为 的直线。

    2、回归线的斜率比SD线小,当r=1或-1时,回归线和SD线重合。

     

     

    当用回归线从x预测y时,实际值与预测值之间的差异叫预测误差。而均方根误差就是预测误差的均方根。它度量回归预测的精确程度。y关于x的回归线的均方根误差用下面的公式进行计算:

    由公式可以看出,当r越接近1或-1时,点越聚集在回归线附近,均方根误差越小;反之r越接近0时,点越分散,均方根误差越大。

     

     

    最小二乘法寻找一条直线来拟合所有的点,使得这条直线到所有的点之间的均方根误差最小。可以看到,当求两个变量之间的关系时,最小二乘法求出的直线实际上就是回归线。只不过表述的侧重点不同:

    1、最小二乘法强调求出所有点的最佳拟合直线。

    2、回归线则是在SD线的基础上求出的线,表示了样本中已知变量x的情况下变量y的平均值。

     

    由以上可知,一个散点图可以用五个统计量来描述:

    1、所有点x值的平均数,描述了所有点在x轴上的中心点。

    2、所有点x值的SD,描述了所有点距离x中心点的散度。

    3、所有点y值的平均数,描述了所有点在y轴上的中心点。

    4、所有点y值的SD,描述了所有点距离y中心点的散度。

    5、相关系数r,基于标准单位,描述了所有点x值和y值之间的关系。


    相关系数r将平均值、标准差、回归线这几个概念联系起来:

    1、r描述了相对于标准差,沿SD线的群集程度。

    2、r说明了y的平均数如何的依赖于x --- x每增加1个x标准差,平均来说,y将只增加r个y标准差。

    3、r通过均方根误差公式,确定了回归预测的精确度。

     

     

    注意:以上相关系数、回归线、最小二乘法的计算要在以下两个条件下才能成立:

    1xy两组样本数据是线性的,如果不是线性的先要做转换。

    2、被研究的两组样本数据之间的关系必须有意义。

     

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  • 标准差公式的变形

    千次阅读 2016-04-07 20:19:00
    标准差的一般求法是:但是这样在程序中每次xi都减去x,不方便。 根据以上公式可以推导出: 标准差的平方=segem(xi*xi)/n-x*x;(x是平均值)。 推导过程如下: 将标准形式segem()展开后得到:1.segem(xi...

    标准差的一般求法是:但是这样在程序中每次xi都减去x,不方便。

    根据以上公式可以推导出:

                   标准差的平方=segem(xi*xi)/n-x*x;(x是平均值)。

    推导过程如下:

    将标准形式的segem()展开后得到:1.segem(xi*xi-2*xi*x+x*x)

                                                 2.segem(xi*xi)+n*x*x-2*segem(xi*x);

                                                 3.segem(xi*xi)+n*x*x-2*n*x*x=segem(xi*xi)-n*x*x;

                                                 4.再除以分母上的n得到segem(xi*xi)/n-x*x;

    转载于:https://www.cnblogs.com/c1299401227/p/5365265.html

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  • 方差计算公式,方差和标准差公式,方差,平方差,标准差公式如下若x1,x2,x3......xn的平均数为M,则方差公式可表示为:方差计算公式 平方差及方差和标准差公式例1 两人5次测验成绩如下:X:50,100,100,60...
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  • 方差/标准差/四分位数/z-score公式

    千次阅读 2015-10-28 11:53:24
    二、标准差公式 其中公式中数值X1,X2,X3,......XN(皆为实数),其平均值(算术平均值)为μ,标准差为σ。 三、四分位数 上图是四分位数箱线图 四分位数Qi所在位置公式为: 即 Q1位置= (n+1...
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  • 标准差

    2017-11-06 12:32:00
    标准差:中文环境中又常称均方差,是离均差平方算术平均平方根,用σ表示。...标准差定义是总体各单位标准与其平均数离差平方算术平均平方根。 标准计算公式: 假设有一组数值X₁,X₂,X₃,......
  • 标准差和均方根误差区别

    千次阅读 2018-06-15 14:22:10
    标准差 如是总体,标准差公式根号内除以n如是样本,标准差公式根号内除以(n-1)。因为我们大量接触是样本,所以普遍使用根号内除以(n-1)。标准差定义是观测与其平均数偏差平方和平方根。它反映组内个体间...
  • 标准差(数学)

    2020-04-26 14:57:30
    标准差 标准差 (Standard Deviation),也称均方差(Mean square error) 目录 [隐藏] ... 5标准差平均值之间关系 6标准偏差与标准差的区别 7标准差的应用分析 7.1...
  • 方差和标准差

    2019-10-21 20:53:37
    方差 方差用来衡量一段数据的离散程度,再概率论和统计学中有不同的定义, ...统计学:统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数 方差计算公式标准差 标准差计算公式: ...
  • 中文环境中又常称均方差,但不同于均方误差(mean squarederror,均方误差是各数据偏离真实值的距离平方的平均数,也即误差平方和的平均数,计算公式形式上接近方差,它的开方叫均方根误差,均方根误差才和标准差形式...
  • 观察近几年管综初数真题可以看到,关于数据分析这一块的内容整体上比较简单,主要是在平均值的基础上引入了方差和标准差,并且每年基本都考一道题,题量和分值比较稳定。虽然这部分内容的难度不大,但重点是把基本的...
  • java标准差代码实现

    万次阅读 2018-07-14 13:33:36
    标准差又称均方差,是离均差平方算术平均数平方根,用σ表示。标准差是方差算术平方根。标准差能反映一个数据集离散程度。... 标准差公式为 : μ为平均值。 下面为参考代码:package cn...
  • 在实际应用中,除了需要观察一组数据平均值水平外,还需要了解观察值之间偏离情况或集中位置等。衡量算法有几种:一极(range)也叫全距,一组数据中最大值与最小值差值。优点是可以快速简单观察数据总体...
  • java标准差实现代码

    2019-07-29 09:39:21
    例如,两组数的集合 {0,5,9,14} 和 {5,6,8,9} 其平均值都是 7 ,但第二个集合具有较小的标准差标准差公式为 : μ为平均值。 代码实现请查看: http://yayihouse.com/yayishuwu/chapter/2055 ...
  • ②统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本均值之的平方值的平均数,代表每个变量与总体均值间的离散程度。 概率论中计算公式 离散型随机变量的数学期望: ---------求取期望值 连续型随机变量的数学期
  • 方差、协方差、标准差(标准偏差/均方差)、均方误差、均方根误差(标准误差)、均方根值 ...②统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本均值之差的平方值的平均数,代表每个变量与总体均值间的离散程度...

空空如也

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平均值的标准差公式