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  • 所以这个就是对这个概念需要理解的一个点: 这里计算的是样本的标准偏差,总体标准偏差公式是基于正态分布推导而来,所以总体标准差公式是除以N,而在应用中,不是数学统计的意义,只能以有限的样本序列去近似描述...

    [导读] 遇到一些朋友说信号处理真难,学是很辛苦的学了,就是不知道怎么用。学而不能致用,如此辛苦的学习就有点费时费力了。当然本文也并非想说学必致用,有的东西学了还真不见得能用上。只不过学过的,想用的要会用则达到学的目的了。此言:学以致用,学能致用!谨与诸君共勉!

    很多时候,为什么学而不能致用呢?没有用的需求,当然就不说了。往往不会用,是因为不知道怎么去用,而不知道怎么用,个人觉得很重要的原因是因为很多基础的概念没有理解到位,对于工程技术人员而言,对于基础概念的理解把握,往往决定了解决问题的方向、思路、深度。以信号处理来说,里面就有大量的基础概念需要真正去理解。本文就来聊聊如何去描述度量信号的几个概念。

    均值

    信号处理中一个最为简单的概念就是均值(Mean),和你想的一样,加起来除以样本数量:

    在学习DSP时,要习惯各种数学表示的方案,比如这里 就是表示求和, 表示从 开始求和。为了让都能看懂,这个公式换一个表达形式:

    所以 就是更为简洁的描述求和的数学语言。

    对于这个公式在延申一下,这里是离散信号,如果是离散概率序列 ,对于确定的 其概率为 ,则这样的离散概率分布序列,其均值则为:

    其实,对于前一公式也可以用概率均值去理解,看成N个样本集合,则每一个样值其概率就是

    那么研究均值有啥意义呢?其实一般对于原始样本直接计算均值可能意义不是特别大,但是基于均值衍生的其他统计量则非常有价值,比如接下来要说的标准偏差,简称为标准差

    平均偏差

    在谈标准差之前,先谈谈平均偏差。何为平均偏差,严格讲应该称为平均绝对偏差(Average Absolute Deviation),在谈平均绝对偏差前,先谈谈绝对偏差,绝对偏差,从字面意义上理解,很容易可以想到其计算这样是这样得来,由某样本与均值的差的绝对值:

    那么平均绝对偏差,所差的就是一个平均了:

    来试着理解一下这个公式, 是任一样本 与该样本集均值的差的绝对值,表示的是该样本 与均值的偏离程度,每个样本与均值的偏离程度之和再求平均,则就是字面意思了,所有样本与平均值的偏离程度,故称为平均偏差。

    平均偏差可以反应样本点与均值的平均偏离程度。

    标准偏差

    标准偏差(Standard Deviation)与平均偏差(Average Deviation)类似,也是基于平均值的统计量。所不同的是,标准差是利用样本与均值绝对偏差的平方和求取的。

    标准差反应信号相对平均值的波动程度。标准差数值越小,反应信号数值分布更靠近平均值,反之越大则表示信号相对平均值更分散

    标准偏差根据样本是研究样本的总体,还是只是收集的部分样本而分为两种情况:

    • 总体标准偏差

    • 样本标准偏差

    总体标准偏差

    如果仅将数据视为总体,则可以将其各点绝对偏差之和除以数据点总数N,而后开平方:

    样本标准偏差

    如果待研究的数据看成待研究系统数据的部分,则可以将其各点绝对偏差之和除以数据点总数N-1,而后开平方:

    看到这个公式,有的盆友或许会问,为啥除的是N-1?而不是N!所以这个就是对这个概念需要理解的一个点:

    这里计算的是样本的标准偏差,总体标准偏差公式是基于正态分布推导而来,所以总体标准差公式是除以N,而在应用中,不是数学统计的意义,只能以有限的样本序列去近似描述总体的特征,除以N-1是一种无偏估计,所谓无偏估计,是指无偏性,无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差。在多次重复下,它们的平均数接近所估计的参数真值。

    我们计算这个参数,就是想利用这个参数去反应样本序列集的客观特征,所计算的样本序列往往可能只是截取的数据段,并非所有的数据样本。在信号处理中,我们拿到的数据一般而言都是系统的部分样本,所以实际使用中应该使用样本标准差进行计算。

    对于标准偏差的理解,还有一层需要理解透,它的量纲仍然是原样本的量纲,比如研究的是电压信号,单位为伏,则计算而得的标准偏差依然是伏。

    有趣的栗子

    在国外网站上看到一组有趣的图片,可以更好的帮助理解:

    https://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html

    假设有这样几种可爱的狗狗:其身高分别为:600mm, 470mm, 170mm, 430mm, 300mm.

    则其均值为:

    所以上图中用绿色线标识下身高均值:

    从而每个狗相对均值的偏差如下图:

    从而,其标准差则为:

    然后再标识一下每个狗的身高

    上图可看出第2、4、5个狗的身高与均值的偏差在一个标准差内,而第1、3只狗身高与均值超出了一个标准差。标准差概念也经常用来衡量产品的生成品质,比如你常听到的说法,这个零件的加工偏差是否在一个标准差内,这里的标准差就是标准偏差的意思。

    上面的公式如果不开平方,这就是常说的方差了,类似有两种概念:

    • 样本方差:

    • 总体方差:

    再来个栗子

    前面说标准差,常用来衡量数据的分布情况:

    标准差反应信号相对平均值的波动程度。标准差数值越小,反应信号数值分布更靠近平均值,反之越大则表示信号相对平均值更分散

    为啥这样说,看看下面这个栗子就好理解了:

    假设有这样三组数据,假定这三组数据来自三个同类型传感器的采样值,对相同的外界多次采样(这里为了说明问题,请不用考虑数据本身的合理性),我们来计算一下其均值、平均偏差、样本标准差。

    135791113151719
    24578913151324
    35577810121330

    三组数据连同其均值绘制成曲线:

    第1组:

    第2组:

    第3组:

    从曲线图我们可以很直观的看出第1个传感器表现更好,那么如何用一个特征值来区分呢?如用平均绝对偏差显然并不能很好的描述,三组数据均值相同,无法区分三个传感器的表现,因为计算出平均绝对偏差相同。如用样本标准差进行度量,则可以得出:

    其物理含义,表示第1组数据分布程度相对更为靠近平均值。

    总结一下

    均值、平均偏差、标准偏差、方差是信号处理几个基础概念,尤其标准差、方差在很多复杂的滤波算法、估计算法中是重要的理论基础概念。所以准确的理解这些概念,也是能理解更为复杂的算法的基础。所谓基础不牢、地动山摇!

    END

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  • 相对标准平方偏差计算软件,祝你RSD=99.99%,亲测好用
  • 平均分布下的标准差公式计算方法,统计学的基础知识,包含密度函数,分布函数推导过程,是人工智能的数据分析的基础知识
  • 标准差SD、相对标准偏差RSD学习python实现前言一、SDRSD的定义、公式、深层意义(1)定义(2)公式(3)RSD的必要性二、Python实现1.SD2.读入数据总结 前言 提示:这里可以添加本文要记录的大概内容: 例如:...

    一、SD和RSD的定义、公式、深层意义

    (1)定义

    RSD定义:相对标准偏差(relative standard deviation;RSD)又叫标准偏差系数、变异系数、变动系数等,由标准偏差除以相应的平均值乘100%所得值,可在检验检测工作中分析结果的精密度。
    SD定义:标准差也被称为标准偏差,标准差(Standard Deviation)描述各数据偏离平均数的距离(离均差)的平均数,它是离差平方和平均后的方根,用σ表示。

    (2)公式

    SD:
    在这里插入图片描述
    RSD:
    在这里插入图片描述
    多了解点:
    在这里插入图片描述

    (3)RSD的必要性

    只用SD不足以反映数据偏离中心的程度!
    虽然标准偏差能够反映检测结果的精密程度,但是对于下面两组数据则无法正确体现:
    第一组:10.1、10.2、10.3、10.4、10.5.
    SD=0.158
    第二组: 0.1、0.2、0.3、0.4、0.5.
    SD=0.158
    虽然这两组数据的都为0.158,但第一组数据是在10.3的基础上“波动”0.158,第二组数据是在“0.3”的基础上“波动”0.158,两组数据的“波动基础”明显不同。
    数量级不同,绝对波动不能反映真实的波动程度,要用相对波动!
    这样,必须引人“相对标准偏差”这个概念来体现这种波动的相对大小。这样,第一组数据的RSD=1.5%,第二组数据的RSD=52.7%,精密程度立刻体现出来。

    (4)多学一点(关于n-1)

    多学一点:为什么SD的分母是n-1,而不是n,我理解数学家大概的想法排除掉样本中偏离度比较大的点,但是没有实际的排除,是从维度自由度上解决的,即n-1。这个问题知有很好的文章写的很好,链接:https://www.zhihu.com/question/20099757?rf=21126585
    补充知识:有偏估计、无偏估计和标准差的一些关系,去看看概率统计相关

    二、Python实现

    1.求SD

    (1)numpy.std() 求标准差的时候默认是除以 n 的,即是有偏的,np.std无偏样本标准差方式为加入参数 ddof = 1;关于numpy.std()的官网手册链接:https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.std.html
    (2)pandas.std() 默认是除以n-1 的,即是无偏的,如果想和numpy.std() 一样有偏,需要加上参数ddof=0 ,即pandas.std(ddof=0) ;DataFrame的describe()中就包含有std();

    以numpy.std举例:
    代码:

    import numpy as np
    import pandas as pd
    a = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])
    std1 = np.std(a, ddof = 1)                                     #方法1,np.std无偏样本标准差方式为加入参数 ddof = 1
    std2 = np.sqrt(((a - np.mean(a)) ** 2).sum() / (a.size - 1))   #方法3,直接用公式啦
    
    print(std1) 
    print(std2)
    
    

    输出结果:

    3.0276503540974917
    3.0276503540974917
    
    Process finished with exit code 0
    
    

    关于pandas:要了解下DataFrame,下次再写。
    补看下这篇文章,参考链接https://www.jianshu.com/p/8024ceef4fe2

    2.求RSD

    import numpy as np
    
    a = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])
    std1 = np.std(a, ddof = 1)                                     #方法1,np.std无偏样本标准差方式为加入参数 ddof = 1
    std2 = np.sqrt(((a - np.mean(a)) ** 2).sum() / (a.size - 1))   #方法2,直接用公式啦
    print(std1)
    print(std2)
    
    ave = np.mean(a)
    rsd1 = std1 / ave
    rsd2 = std2 / ave
    print(rsd1)
    print(rsd2)
    

    结果:

    3.0276503540974917
    3.0276503540974917
    0.6728111897994427
    0.6728111897994427
    
    Process finished with exit code 0
    
    

    先写这点,回头再加


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  • 移动标准差以及移动平均值(movstd、movmean) 最近在工作中遇到这样一个问题: 有一个序列长度为 nnn 的序列 T=[t0,t1,…,tn−1]T=[t_0, t_1, \dots, t_{n-1}]T=[t0​,t1​,…,tn−1​],给定一个窗大小 m(m<=n)m ...

    移动标准差以及移动平均值(movstd、movmean)

    最近在工作中遇到这样一个问题:
    有一个序列长度为 n n n 的序列 T = [ t 0 , t 1 , … , t n − 1 ] T=[t_0, t_1, \dots, t_{n-1}] T=[t0,t1,,tn1],给定一个窗大小 m ( m < = n ) m (m <= n) m(m<=n),下标从0开始,计算窗大小的均值和标准差,即计算T[0:m-1]、T[1:m]、T[2:m+1]…T[n-m+1:n] 的平均值和标准差

    暴力解法

    最简单的无脑的方法就是暴力循环了,很明显这种方法特别慢,时间复杂度为 O ( n ∗ m ) O(n*m) O(nm)

    下面为你呈现暴力代码

    import numpy as np
    import time 
    
    # generate time sequence
    n = 1000 * 1000
    m = 1000
    T = np.random.rand(n)
    
    # brute force
    means = np.zeros(n - m + 1)
    stds = np.zeros(n - m + 1)
    
    start_time = time.time()
    for i in range(n - m + 1):
        means[i] = np.mean( T[i:i+m] )
    end_time = time.time()
    print('Running time of brute force for mean is {}s'.format((end_time - start_time)))
    
    start_time = time.time()
    for i in range(n - m + 1):
        stds[i] = np.std( T[i:i+m] )
    end_time = time.time()
    print('Running time of brute force for std is {}s'.format((end_time - start_time)))
    
    Running time of brute force for mean is 5.774143934249878s
    Running time of brute force for std is 20.721827030181885s
    

    movmean

    有没有办法进行优化呢?这里介绍移动标准差(movstd)和移动平均值(movmean)

    先从移动平均值(movmean)开始,它很简单并且符合直觉:在滑动的过程中,有很多重叠部分,我们可以利用重叠的部分,从而节约计算时间

    如上图所示,计算时可以利用前一个均值,这样就避免了不必要的加法操作,平均值的计算复杂度降低为 O ( n ) O(n) O(n)
    μ i ∗ m = ( t i + t i + 1 + ⋯ + t i + m − 1 ) \mu_i*m = (t_i + t_{i+1} + \dots + t_{i+m-1}) μim=(ti+ti+1++ti+m1)

    μ i + 1 ∗ m = μ i ∗ m − t i + t m \mu_{i+1}*m = \mu_i*m - t_i + t_m μi+1m=μimti+tm

    下面代码显示了如何实现 movmean

    def movmean(T, m):
        assert(m <= T.shape[0])
        n = T.shape[0]
        
        sums = np.zeros(n - m + 1)
        sums[0] = np.sum(T[0:m])
        
        cumsum = np.cumsum(T)
        cumsum = np.insert(cumsum, 0, 0) # 在数组开头插入一个0
        
        sums = cumsum[m:] - cumsum[:-m]
        return sums/m
    
    start_time = time.time()
    means_2 = movmean(T, m)
    end_time = time.time()
    print('Running time of movmean is {}s'.format((end_time - start_time)))
    
    Running time of movmean is 0.009449005126953125s
    

    movstd

    在介绍移动标准差之前,我们先回顾下标准差计算公式:
    σ = 1 m ∑ i = 1 m ( t i − u ) 2 \sigma = \sqrt{\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m(t_i - u)^2} σ=m1i=1m(tiu)2

    假设有一个长度为 3 的序列 [a, b, c],我们来计算一下它的标准差

    首先计算均值:
    μ = 1 m ( a + b + c ) \mu = \frac{1}{m}(a+b+c) μ=m1(a+b+c)

    然后标准差:
    σ = 1 3 ( ( a − μ ) 2 + ( b − μ ) 2 + ( c − μ ) 2 ) = 1 3 ( a 2 + b 2 + c 2 − 2 a μ − 2 b μ − 2 c μ + μ 2 ) = 1 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) − ( 1 3 ( a + b + c ) ) 2 \begin{array}{l} \sigma &= \sqrt{ \frac{1}{3} ((a-\mu)^2 + (b-\mu)^2 + (c-\mu)^2)} \\ &= \sqrt{ \frac{1}{3} (a^2 + b^2 + c^2 -2a\mu - 2b\mu - 2c\mu + \mu^2)} \\ &= \sqrt{ \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2) - (\frac{1}{3}(a+b+c))^2 } \\ \end{array} σ=31((aμ)2+(bμ)2+(cμ)2) =31(a2+b2+c22aμ2bμ2cμ+μ2) =31(a2+b2+c2)(31(a+b+c))2

    我们可以发现,标准差的计算可以用累计和来表示,而累加和是可以在 O ( n ) O(n) O(n)时间内完成,这就是 movstd

    下面的代码展示了如何计算 movstd

    def movstd(T, m):
        n = T.shape[0]
        
        cumsum = np.cumsum(T)
        cumsum_square = np.cumsum(T**2)
        
        cumsum = np.insert(cumsum, 0, 0)               # 在数组开头插入一个0
        cumsum_square = np.insert(cumsum_square, 0, 0) # 在数组开头插入一个0
        
        seg_sum = cumsum[m:] - cumsum[:-m]
        seg_sum_square = cumsum_square[m:] - cumsum_square[:-m]
        
        return np.sqrt( seg_sum_square/m - (seg_sum/m)**2 )
    
    start_time = time.time()
    stds_2 = movstd(T, m)
    end_time = time.time()
    print('Running time of movstd is {}s'.format((end_time - start_time)))
    
    Running time of movstd is 0.03198814392089844s
    

    总结

    通过提前计算好累计和,移动平均和移动标准差以空间换时间,算法速度比起暴力方法提升了几个数量级

    展开全文
  • 目录1 期望值(Expectation)2 偏差(Bias)3 方差(Variance)3.1 总体方差(Population Variance)3.2 样本方差(Sample Variance)4 标准差(Deviation)4.1 总体标准差(Population Standard Deviation)4.2 ...


    1 期望值(Expectation)

    一件事情有n种结果,每一种结果值为 x i x_i xi,发生的概率记为 p i p_i pi,那么该事件发生的期望为:

    E = ∑ i = 1 n x i p i E=\sum_{i=1}^{n}{x_i}{p_i} E=i=1nxipi


    2 偏差(Bias)

    定义: 描述的是预测值(估计值)的期望与真实值之间的差距。偏差越大,越偏离真实数据。
    S 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( y i − f ( x i ) ) 2 S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(y_i-f(x_i))}^2 S2=n1i=1n(yif(xi))2
    y i y_i yi 表示预测值, f ( x i ) f(x_i) f(xi) 表示真实值。 偏差描述了准确性


    3 方差(Variance)

    3.1 总体方差(Population Variance)

    定义: 描述的是预测值的变化范围,离散程度,也就是离其期望值的距离。方差越大,数据的分布越分散。

    σ 2 = E [ ( X − μ ) 2 ] \sigma^2=E[(X-\mu)^2] σ2=E[(Xμ)2]
    其中: μ \mu μ 为全体平均数。方差描述了稳定性。

    注:
    上面的式子需要知道 X X X的具体分布是什么(在现实应用中往往不知道准确分布),计算起来也比较复杂。

    3.2 样本方差(Sample Variance)

    定义: 在真实世界中,除非在某些特殊情况下,找到一个总体的真实的方差是不现实的。因此,从总体中取出 n n n个样本 ,用各样本值与样本算数平均数的离差平方的平均数对 σ 2 \sigma^2 σ2进行估计。

    有偏估计: 现实中往往并不清楚 X X X服从什么分布,但若知道 μ \mu μ的真值,则可对 X X X采样,并通过下式来估计 σ 2 \sigma^2 σ2
    S 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\mu)}^2 S2=n1i=1n(Xiμ)2
    无偏估计: 更多的情况,我们不知道 μ \mu μ是多少的,只能计算出 X ‾ \overline{X} X。用下式子进行估计,得到的样本方差是总体方差的无偏估计。
    S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\overline{X})}^2 S2=n11i=1n(XiX)2
    推导过程参见为什么样本方差(sample variance)的分母是 n-1?


    4 标准差(Deviation)

    4.1 总体标准差(Population Standard Deviation)

    定义: 标准差为方差的算术平方根,能反映数据的离散程度。
    σ = D ( X ) \sigma=\sqrt{D(X)} σ=D(X)

    注:
    D ( X ) D(X) D(X)为总体方差。

    4.2 样本标准差(Sample Standard Deviation)

    定义: 即样本方差的算术平方根。

    有偏估计:
    S = ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 n S=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\overline{X})}^2}{n}} S=ni=1n(XiX)2

    无偏估计:
    S = ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 n − 1 S=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\overline{X})}^2}{n-1}} S=n1i=1n(XiX)2


    5 协方差(Covariance)

    5.1 协方差(Covariance)

    定义: 协方差代表了两个变量之间的关系。如果 协方差为正值,说明两个变量呈正相关;如果协方差为负值,则两个变量呈负相关;若 协方差为0,两个变量相互独立。
            期望值分别为 E ( X ) E(X) E(X) E ( Y ) E(Y) E(Y) 的两个实随机变量 X X X Y Y Y 之间的协方差 C o v ( X , Y ) Cov(X,Y) Cov(X,Y) 定义为:
    C o v ( X , Y ) = E [ ( X − E [ X ] ) ( Y − E [ Y ] ) ] = E [ X Y ] − 2 E [ Y ] E [ X ] + E [ X ] E [ Y ] = E [ X Y ] − E [ X ] E [ Y ] \begin{aligned} Cov(X, Y) &=E[(X-E[X]) (Y-E[Y])] \\ & =E[XY]-2E[Y]E[X]+E[X]E[Y] \\ & =E[XY]-E[X]E[Y] \end{aligned} Cov(X,Y)=E[(XE[X])(YE[Y])]=E[XY]2E[Y]E[X]+E[X]E[Y]=E[XY]E[X]E[Y]
    计算公式:
    σ ( X , Y ) = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) ( Y i − Y ‾ ) \sigma(X,Y) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})} σ(X,Y)=n11i=1n(XiX)(YiY)

    注:
    方差是一种特殊的协方差。当X=Y时: C o v ( x , y ) = D ( X ) = D ( Y ) Cov(x,y)=D(X)=D(Y) Cov(x,y)=D(X)=D(Y)

    直观理解:
            协方差表示的是两个变量总体误差的方差,这与只表示一个变量误差的方差不同。两个变量在变化过程中是同方向变化?还是反方向变化?同向或反向程度如何?
             X X X变大,同时 Y Y Y也变大,说明两个变量是同向变化的,这时协方差就是正的。
             X X X变大,同时 Y Y Y变小,说明两个变量是反向变化的,这时协方差就是负的。
            从数值来看,协方差的数值越大,两个变量同向程度也就越大。反之亦然。

    5.2 协方差矩阵(Covariance Matrix)

    概念: 设 为 n n n维随机变量 X = ( X 1 , X 2 , . . . X N ) T X=(X_1,X_2,...X_N)^T X=(X1,X2,...XN)T,称矩阵

    在这里插入图片描述
    n n n维随机变量 X X X的协方差矩阵(covariance matrix),也记为 D ( X ) D(X) D(X) ,其中

    在这里插入图片描述

    X X X的分量 X i X_i Xi X j X_j Xj的协方差(设它们都存在)。

    注:
    上述矩阵中,对角线上的元素为各个随机变量的方差,非对角线上的元素为两两随机变量之间的协方差,根据协方差的定义,我们可以认定协方差矩阵为对称矩阵(symmetric matrix),其大小为 n × n n×n n×n(即方阵)。

    参考如何直观地理解「协方差矩阵」?

    5.3 相关系数

    概念: 就是用 X X X Y Y Y 的协方差除以 X X X 的标准差和 Y Y Y 的标准差。
    ρ x y = r ( X , Y ) = C o v ( X , Y ) σ X σ Y = ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) ( Y i − Y ‾ ) ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 ∑ i = 1 n ( Y i − Y ‾ ) 2 \begin{aligned} \rho_{xy}&=r(X,Y) \\ & =\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y} \\ & =\frac{\sum_{i=1}{n}{(X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\overline{X})^2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(Y_i-\overline{Y})^2}}} \end{aligned} ρxy=r(X,Y)=σXσYCov(X,Y)=i=1n(XiX)2 i=1n(YiY)2 i=1n(XiX)(YiY)

    性质:

    1. 有界性
      相关系数的取值范围为-1到1,其可以看成是无量纲、标准化后的协方差。
    2. 统计意义
      值越接近1,说明两个变量正相关性(线性)越强,越接近-1,说明负相关性越强,当为0时表示两个变量没有相关性。
      参考如何通俗易懂地解释「协方差」与「相关系数」的概念?
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平均偏差和标准偏差公式