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  • 样本加权平均数: 总体加权平均数: 几何平均数: 深度理解几何平均数的含义:1、比如持有了一只股票4年,买入价100元,每年的收益率分别为4.5%,2.1%,25.5%,1.9%,这是该用算术平均数还是几何平均数来呢?...

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    样本加权平均数

    总体加权平均数

    几何平均数

    深度理解几何平均数的含义:
    1、比如持有了一只股票4年,买入价100元,每年的收益率分别为4.5%,2.1%,25.5%,1.9%,这是该用算术平均数还是几何平均数来呢?
    我们先算出实际的收益是多少:
    每股实际收益=100(1+4.5%)(1+2.1%)(1+25.5%)(1+1.9%)-100=36.4457
    实际年利率为r则:

    求出r=8.0787%
    我们再来看看算术平均数和几何平均数是多少:

    显然实际收益率是和用几何平均数算出来的是一样的,为什么会这样呢,因为算术平均
    数并没有考虑到利息的时间价值。几何平均数也主要用于计算这种平均比率。而且几何
    平均数<=算术平均数
    2、再换个角度来理解几何平均数:
    当n=2时,
    =2,
    =18,那么根据公式可得
    ,用二维图来表

    示就是一个长宽分别为18和2的长方形面积和边长为6的正方形面积相等。

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    当n=3时,
    =10,
    =51.2,
    =8,则
    ,用三

    维图形来表示就是一个长方体的体积等于边长为16的正方体体积。

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    3、来看看为什么几何平均数比算术平均数低

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    异众比率

    为变量的总频数,
    为众数的频数。异众比率越大,非众数的频数越大,众数代表性越差。

    极差

    平均差: 未分组数据的平均差

    分组数据的平均差

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    表中演示了怎么计算分组平均差:2040/120=17(台)

    样本方差: 未分组数据方差

    分组数据方差

    总体方差: 未分组

    分组

    n-1称为自由度:自由度是指附加给独立的观测值的约束或限制的个数。通俗的理解就是,因为公式中已经知道了
    ,如果样本数据有n个,这时独立观测值就不是n个了,而是n-1个了。比如已知
    ,样本有三个数据,
    ,这时
    就不能任意取值,此时
    只能等于3,独立观测值就只有2个而不是3个。更一般的就是对于n个样本数据,如果附加的约束个数有k个,则自由度为n-k。

    理解为什么样本方差要除以n-1,而总体就不需要,而是直接除以N

    我们实际上是用样本的方差去估计总体的方差,既然是估计肯定就会有误差,我们除以n-1后计算出的方差就叫对总体
    的无偏估计;而总体计算出来的就是实实在在的总体方差,并没有估计一说。下面用图表来解释为什么要除以n-1。

    标准差: 未分组数据标准差

    分组标数据准差

    标准分数(z分数):

    标准分数也称标准化值或z分数,表示某个数据距离平均值多少个标准差。在对量纲不同的数据集进行比较时就需要使用标准分数这个概念了。比如一个数据集为[1,3,5,6,8],另一个数据集为[134,345,872,1004,2309]。这两个数据集的平均值和标准差都不同,而且第一个数据集中的数据与第二个数据集中的数据相差甚大,但是通过标准分数就能比较每个数据相较于自身数据集的离散程度。

    经验法则: 当一组数据对称分布时,经验法则表明:

    约有68%的数据在平均数

    个标准差的范围之内。

    约有95%的数据在平均数

    个标准差的范围之内。

    约有99%的数据在平均数

    个标准差的范围之内。
    也就是说一组数据中低于或高于平均数3个标准差的数据相当少,而在这3个标准差距离之外的数据我们就称之为离群点

    切比雪夫不等式:

    其中
    是期望,
    是标准差。

    经验法则适合对称分布的数据,对于不是对称分布的数据可以用切比雪夫不等式,它对任何分布形状的数据都适用

    将上面的式子变一下形:

    切比雪夫不等式提供的是下界,也就是所占比列至少是多少。通过上式的理解就是至少有
    的概率数据落在
    个标准差之内,对于
    ,该不等式的含义是:

    至少有75%的数据在平均数
    个标准差范围之内。

    至少有89%的数据在平均数
    个标准差范围之内。

    至少有94%的数据在平均数
    个标准差范围之内。

    离散系数(变异系数):

    对于平均水平不同或计量单位不同的不同数据集之间,是不能用标准差直接比较其离散程度的,需要引入离散系数来比较。离散系数是测度数据离散程度的相对统计量,主要是用于比较不同样本数据的离散程度。离散系数越大,说明数据的离散程度也大。

    偏态与峰态的度量:

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    偏态系数: 未分组数据

    分组数据

    偏态是对数据分布对称性的测度,测度偏态的统计量是偏态系数SK。如果数据的分布是对称的,则
    ,所以偏态系数为0,如果偏态系数不等于则表明分布是非对称的。

    SK>1或SK<-1,称为高度偏态分布
    SK在0.5~1或-1~-0.5之间,称为中等偏态分布
    当SK为正值时,表示数据正偏或右偏,所谓右偏就是均值在众数的左边。
    当SK为负值时,表示数据负偏或左偏,所谓左偏就是均值在众数的左边。

    峰态系数:

    未分组数据

    分组数据

    峰态是对数据分布平峰或尖峰程度的测度,测度峰态的统计量是峰态系数K。峰态是相对于标准正态分布而言的,标准正态分布的峰态为0。
    当K>0时,为尖峰分布。
    当K<0时,为扁平分布。

    概率的性质与运算法则:

    必然事件表示为
    ,不可能事件表示为

    事件A与B互斥:

    一般情况下:

    条件概率:

    B发生的条件下,A发生的概率

    随机变量:

    概率函数:
    称为
    随机变量
    称为随机变量
    概率函数

    离散型随机变量的期望和方差,标准差:

    随机变量的方差定义为每一个随机变量取值与期望值的离差平方的期望值。

    离散变量离散系数:

    与之前抽样调查中的离散系数
    完全相同,只是符号表示不一样而已。

    二项分布

    用X表示n次重复独立试验中时间A成功出现的次数。这种试验被称为伯努利试验
    ,而这就是二项式定理。

    二项式展开(共n+1项):

    泊松分布:

    为给定时间间隔内事件的平均数。泊松分布是用来描述在一指定范围内或在指定的面积或体积之内某一事件出现的次数的分布。

    在n重伯努利试验中,当成功的概率很小,即
    ,试验次数很大时,二项分布可近似等于泊松分布。

    泊松分布近似等于二项分布:

    在实际应用中,当
    时上式成立。

    连续性随机变量的概率分布:

    概率密度函数

    分布函数:

    期望和方差:

    正态分布

    标准正态分布

    概率密度函数

    分布函数

    一般正态分布转化为标准正态分布:

    统计量:

    样本均值

    反映总体X的的数学期望

    样本方差

    样本变异系数

    样本

    阶矩

    样本

    阶中心矩

    样本偏度

    样本峰度

    抽样分布:

    在总体为正态分布条件下,主要有
    分布,t分布,F分布三大抽样分布。

    分布:
    定义:设随机变量
    相互独立,且
    服从标准正态分布
    ,则它们的平方和
    服从自由度为n的
    分布。
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  • 基本原理 协方差分析的基本原理是将线性回归与方差分析结合起来,调整各组平均数和 F 检验的实验误差项,检验两个或多个调整平均数有无显著差异,以便控制在实验中影响实验效应(因变量)且无法人为控制的协变量(与...

    基本原理

    协方差分析的基本原理是将线性回归与方差分析结合起来,调整各组平均数和 F 检验的实验误差项,检验两个或多个调整平均数有无显著差异,以便控制在实验中影响实验效应(因变量)且无法人为控制的协变量(与因变量有密切回归关系的变量)在方差分析中的影响。(协变量的含义举例:当研究学习时间对学习绩效的影响,学生原来的学习基础、智力学习兴趣就是协变量)

    为了更好的帮助大家理解,下面简要介绍相关结构,大家也可以自行回顾一下本公众号推送的回归分析与方差分析模型的结构;

    (1)对于回归分析:

    被解释变量(因变量)=回归系数1+回归系数2·解释变量(自变量)+···+随机误差

    (2)对于方差分析:

    总离差=分组变量离差+随机误差

    协方差分析的模型

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    由上图可以看出:对于协方差分析:

    总离差=分组变量离差+协变量离差+随机误差

    在方差分析中,协变量离差包含在了随机误差中,在协方差分析中,单独将其分离出来,可以进一步提高实验精确度和统计检验灵敏度。

    作用

    协方差分析的作用:(1)协方差分析可以用来检测因子和因子组合的回归线的斜率和截距是否有差异;完整的统计学模型应当包括所有主效应和交互效应的截距和斜率项,反映某项的随机测量误差。它可以用来证明高阶交互作用很小,不必在模型中包括所有项。

    (2) 用来度量两个变量之间 “协同变异”大小的总体参数,即二个变量相互影响大小的参数,协方差的绝对值越大,两个变量相互影响越大。

    由于协方差分析模型应用时涉及方差分析和回归分析模型,并且涉及大量的推导公式。因此,本文没有展示出来。只介绍了协方差分析的总思路:在观测值中去除协变量的影响之后,应用方差分析,然后应用回归分析的方法计算回归系数。具体的模型建立推导过程可上网查资料或者参考多元统计的书籍。

    注意事项

    使用协方差分析的前提是每组的回归系数相等,且不为零。回归系数反映的是协变量对观测值的影响。只有这种影响的作用形式相同,才能用该模型。如果回归系数为零的话,用协方差分析也没有意义了。因此,我们在做协方差分析前要做两个假设检验.

    (1)协变量对因变量的影响对与个组来说都是相同的,即各组回归系数相等:

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    (2)这些相等的回归系数不为零:

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    以上就是本节的全部内容,请大家多多学习!

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  • 算数平均数通过算术平均数,可以求出一定观察期内预测目标的时间数列的算术平均数,以作为下期预测值。调和平均数调和平均数又称倒数平均数,是变量倒数的算术平均数的倒数。(1)简单平均式(2)加权平均式几何平均数...
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    算数平均数

    通过算术平均数,可以求出一定观察期内预测目标的时间数列的算术平均数,以作为下期预测值。

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    调和平均数

    调和平均数又称倒数平均数,是变量倒数的算术平均数的倒数。

    (1)简单平均式

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    (2)加权平均式

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    几何平均数

    几何平均数多用于计算平均比率和平均速度。

    (1) 简单几何平均法

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    (2) 加权几何平均法

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    众数

    众数是指社会经济现象中最普遍出现的标志值。从分布角度看,众数是具有明显集中趋势的数值。

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    L——众数所在组下限;

    U——众数所在组上限;

    ▲1——众数所在组次数与其下限的邻组次数之差;

    ▲2——众数所在组次数与其上限的邻组次数之差;

    d——众数所在组组距。

    中位数

    中位数是指将数据按大小顺序排列起来,形成一个数列,居于数列中间位置的那个数据。 在数列中出现了极端变量值的情况下,用中位数作为代表值要比用算术平均数更好,因为中位数不受极端变量值的影响。

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    极差

    极差是指总体各单位的两个极端标志值之差。

    R=最大标志值-最小标志值

    四分位差

    四分位差是指将各个变量值按大小顺序排列,然后将此数列分成四等份,所得第三个四分位上的值与第一个四分位上的值的差。主要用于测度顺序数据的离散程度。

    Q = Q3 − Q1

    其中:Q1的位置=(n+1)/4

    Q3的位置=3(n+1)/4

    方差/标准差

    方差和标准差也是根据全部数据计算的,它反映了每个数据与其均值相比平均相差的数值,因此它能准确地反映出数据的离散程度。

    设总体方差为σ2,对于未经分组整理的原始数据,方差的计算公式为:

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    对于分组数据,方差的计算公式为:

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    方差的平方根即为标准差,其相应的计算公式为:

    (1) 未分组数据

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    (2) 分组数据

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    平均差

    平均差是总体各单位标志对其算术平均数的离差绝对值的算术平均数。它综合反映了总体各单位标志值的变动程度。平均差越大,则表示标志变动度越大,反之则表示标志变动度越小。在资料未分组的情况下,平均差的计算公式为:

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    变异系数

    变异系数又称“标准差率”,是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量。当进行两个或多个资料变异程度的比较时,如果度量单位与平均数相同,可以直接利用标准差来比较。如果单位和(或)平均数不同时,比较其变异程度就不能采用标准差,而需采用标准差与平均数的比值(相对值)来比较。

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    偏度

    偏度是统计数据分布偏斜方向和程度的度量,是统计数据分布非对称程度的数字特征。

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    Sk——偏度;

    μ3——3阶中心矩;

    σ——标准差。

    在一般情形下,当统计数据为右偏分布时,Sk > 0,且Sk值越大,右偏程度越高;当统计数据为左偏分布时,Sk < 0,且Sk值越小,左偏程度越高。当统计数据为对称分布时,显然有Sk = 0。

    峰度

    峰度是指次数分布曲线顶峰的尖平程度,是次数分布的又一重要特征。统计上,常以正态分布曲线为标准,来观察比较某一次数分布曲线的顶端正党风尖顶或平顶以及尖平程度的大小。

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    综合指数

    综合指数的目的在于测定由不同度量单位的许多商品或产品所组成的复杂现象总体数量方面的总动态。综合指数包括数量指标指数和质量指标指数。

    数量指标指数

    (1)数量指标指数

    A. 以基期价格(P0)为同度量因素的销售量总指数

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    也称作拉斯贝尔数量指数公式

    B. 以报告期价格(P1)为同度量因素的销售量总指数

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    也称作派许数量指数公式。

    C. 以特定期价格(Pn)为同度量因素的销售量总指数

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    此公式的计算结果说明复杂现象总体数量指标综合变动的方向和程度

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    此差额说明由于数量指标的变动对价值量指标影响的绝对额。

    (2) 质量指标指数

    A. 以基期销售量(q0)为同度量因素的物价总指数

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    也称作 拉斯贝尔物价指数公式

    B. 以报告期销售量(q1)为同度量因素的物价总指数

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    也称作 派许物价指数公式

    C. 以特定期销售量(qn)为同度量因素的物价总指数

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    此公式的计算结果说明复杂现象总体质量指标综合变动的方向和程度。

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    此差额说明由于质量指标的变动对价值量指标影响的绝对额。

    加权平均数指数

    加权的目的,是为了衡量不同商品价格(或物量)的变动对总指数造成的不同影响。加权平均数指数因权数所属时期的不同,分为基期总量加权指数和报告期总量加权指数以及固定权数加权指数。

    (1)基期权数的算术平均数指数。

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    式中,p、q分别表示商品的价格和销售量;0、1分别表示基期和报告期;I表示总指数。

    (2)固定权数的算术平均数指数。

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    上式中,W代表某一固定时期的权数。

    加权调和平均数指数

    加权调和平均数指数按采用权数形式的不同也可以分为两种:报告期权数的调和平均数指数和固定权数的调和平均数指数。

    (1)报告期权数的调和平均数指数

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    (2)固定权数的调和平均数指数。这种加权调和平均数指数在实际工作中应用较少。

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    看到这里的同学,是不是很懵逼?放心好了,只要学统计学,这些公式都是绕不开的。

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  • 算数平均值、中位数、众数3.四分位数间距法(剔除异常值)/百分位数计算步骤:a.数据排序 b.中位数分成项数相等的高低两组 c.低值组中位数,第一四分位数Q1 d.高值组中位数,第三四分位数Q3 e.四分位间距 IQR=Q3-Q1...

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    描述数据

    1.频数分布表、树图、 频数密度=频数/组距
    2.算数平均值、中位数、众数
    3.四分位数间距法(剔除异常值)/百分位数
    计算步骤:a.数据排序 b.中位数分成项数相等的高低两组 c.低值组中位数,第一四分位数Q1
    d.高值组中位数,第三四分位数Q3 e.四分位间距 IQR=Q3-Q1
    展示方式:矩形-胡须图(也叫箱线图)

    标准离差
    1.方差
    2.标准差
    3.z-比值/标准比值 :从数据点到平均值的标准离差个数
    4.经验法则:对于接近正态分布的数据集合,约68%的数据分布在平均值左右各一个的标准离差的区间内;约95%的数据分布在平均数左右各两个的标注离差的区间内。所有数据分布在左右三个标准差的区间内。超过均为异常值,呈现可用箱型图。

    切比雪夫定理

    定义:任意一个数据集中,位于其平均数m个标准差范围内的比例(或部分)总是至少为1-1/m2,其中m为大于1的任意正数。对于m=2,m=3和m=5有如下结果:所有数据中,至少有3/4(或75%)的数据位于平均数2个标准差范围内。所有数据中,至少有8/9(或88.9%)的数据位于平均数3个标准差范围内。所有数据中,至少有24/25(或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。

    辛普森悖论

    定义:当人们尝试探究两种变量(比如新生录取率与性别)是否具有相关性的时候,会分别对之进行分组研究。然而,在分组比较中都占优势的一方,在总评中有时反而是失势的一方。举例:辛普森悖论就像是欲比赛总胜率评价好坏,于是有人A场挑战20 场而胜15场,另外B场100场挑战而胜10场,总胜率21%,另一人A场挑战100场而胜49场,而B场20场胜了1场,总胜率为42%,分场胜率前者更高,但总胜率显然后者更高。解决措施:为了避免辛普森悖论出现,就需要斟酌个别分组的权重,以一定的系数去消除以分组资料基数差异所造成的影响,同时必需了解该情境是否存在其他潜在要因而综合考虑。

    概率

    1.相关定义:随机试验、基本结果、样本空间、古典概率、相对频率、个别概率
    2.概率树:1分出层级 2填写已知信息 3每一级分支的概率和为1
    3.概率交并补的计算&条件概率
    4.贝叶斯定理:先验+似然(信息)->逼近真实(后验)
    公式: P(AIB)=P(A)*P(BIA)/P(A)*P(BIA)+P(A')*P(BIA')
    举例:现分别有 A、B 两个容器,在容器 A 里分别有 7 个红球和 3 个白球,在容器 B 里有 1 个红球和 9 个白球,现已知从这两个容器里任意抽出了一个红球,问这个球来自容器 A 的概率是多少?
    答:假设已经抽出红球为事件 B,选中容器 A 为事件 A,则有:P(B) = 8/20,P(A) = 1/2,P(B|A) = 7/10,按照公式,则有:P(A|B) = (7/10)*(1/2) / (8/20) = 0.875

    随机变量

    随机变量:对试验结果的数值描述。
    离散型随机变量:有限多个值或无限可数多个值的随机变量。
    连续性随机变量:某一个区间内任意值的随机变量。
    区别:随机变量是否可数。

    期望:概率分布的平均数
    期望值 :随机变量的平均数=每个数值*发生概率之和

    方差、标准离差:结果的分散性
    E(X)+E(Y)=E(X+Y) Var(X+Y)=Var(X)+Var(y)
    E(X)-E(Y)=E(X-Y) Var(X-Y)=Var(X)+Var(y)

    排列组合
    排列 (与顺序有关)
    有序排列 阶乘 n ! 圆形排位 (n-1)!
    重复排列公式(按类型排位):如果n个对象排位,其中包括第一个对象k个,第二类对象j个…,则排位公式 n!/j!k!m!.. ​

    组合(与顺序无关)
    C(n r)=n!/r!(n-r)!

    离散性概率分布

    几何分布 :进行多次独立重复试验,每一次试验都有成功和失败的可能,取得成功需要试验几次。
    P(X=r)=q(r-1)p
    P(X>r)=q的r次幂
    p(x<=r)=1- q的r次幂
    X~Geo§:X符合几何分布,其成功率为p
    期望E(X)=1/P
    方差Var(X)=q/p2

    二项分布 :一系列的独立重复试验,每一次试验都存在失败和成功的可能,每一次试验的成功概率相同,试验次数有限。
    1. 事件的结果只有两种,且“非黑即白”彼此对立。
    2. 事件之间彼此独立。
    3. 独立事件发生(或不发生)的概率已知。

    概率:P(X=r)=[nCr]PrQn-r [nCr]=n!/r!(n-r)!
    期望:公式:如果r~ B(r,p),那么E(r)=np
    方差:公式:如果r~ B(r,p),那么Var(r)=npq泊松分布 X~Po(λ) :单独事件在给定区间内随即发生、独立的发生,给定区间可以是时间或空间,已知该区间的事件平均发生次数(发生率),且为有限数值。

    简述:单位时间内独立事件发生的次数的概率分布。
    1.单个事件发生与否,以及发生概率是独立的。
    2.已知给定区间(时间/空间)内,事件平均发生次数(发生率);
    3.发生的次数是有限的。

    p(X=r)=e的-λ次幂* λ的r次幂/r! (e=2.718)
    E(X)=λ
    Var(X)=λ
    当二项分布的n很大且P很小时,可以用泊松分布代替二项分布 X~Po(np) 近似代替 X~B(n,p)。

    正态分布
    定义:X~N(μ,δ2) μ曲线的中间位置,δ2分散性,δ2越大,正态分布曲线越扁平、越宽。基本步骤:
    1.确定分布和范围 均值μ,方差δ2
    2.标准化 N(0,1) X-μ,Z=(X-μ) /δ
    3.查找概率 概率表查找概率,Z保留2位小数 (例如-3.27 第一列找-3.2 第一行找0.07 )4.P(Z>z)=1-P(Z<z) P(a<Z<b)=P(Z<b)-P(Z<a)
    5.aX+b~N(aμ+b,a2δ2)

    正态分布近似代替二项分布:如果X-B(N,P),且np>5,nq>5,则可以使用X~N(np,npq)近似代替二项分布。μ=np且δ2=npq 使用时应该进行连续性修正, P(X<=a),应额外增加0.5, P(X>=a),应额外减去0.5,P(a<=X<=b)=P(a-0.5<X<b+0.5)

    正态分布近似代替泊松分布 :如果X-Po(λ)且λ>15,则可用X~N(λ,λ)进行近似。 需要进行连续性修正。

    小结:
    连续概率分布----概率密度函数:面积=概率 (总面积=1)
    标准正态分布(二项分布的正态近似 连续性校正因子)
    指数分布(累计概率)(泊松分布)

    抽样

    分类:简单随机抽样(无偏性 独立性 重复/不重复抽样)/分层抽样/整群抽样/等距抽样/机会抽样

    中心极限定理 :
    定义:只要n足够大,便可以把独立同分布的随机变量之和当作正态变量。样本的平均值约等于总体的平均值。不管总体是什么分布,任意一个总体的样本平均值都会围绕在总体的整体平均值周围,并且呈正态分布。

    大数定理:当 样本容量N趋于无穷时,经验风险趋于期望风险。
    1.如果X的样本很大,则均值的分布近似为正态分布。[二项分布 X(均值-N(np,pq),泊松分布X(均值)~N(λ,λ/n)]
    2.如果从一个非正态总体X中取出一个样本,且样本很大,则均值的分布近似为正态分布。
    3.如果总体的均值和方差为μ和δ2,且n很大。例如 >30,X(均值)~N(μ,δ2/n)

    比列抽样分布:E(Ps)=p Var(Ps)=pq/n
    其中:p为总体比例;比例标准误差√Var(Ps);如果n>30,则Ps符合正态分布,Ps~N(p,pq/n),使用这个公式时需要进行连续性修正:± 1/2n

    置信区间

    1. 选择总体统计量
    2. 求出其抽样分布
    3. 决定置信水平
    4. 求出置信上下限
    5. 求Z,用μ改写不等式,即可得到μ的置信区间,最后求均值

    假设检验

    基本步骤:
    1.确定要进行检验假设
    2.选择检验统计量
    3.确定用于作决策的拒绝域
    4.求出检验统计量的P值
    5.查看样本结果是否位于拒绝域内
    6.做出决策

    z分布和t分布如何选择?
    z分布:总体方差已知并且样本个数大于30;
    t分布:总体的方差未知或者样本个数小于30
    样本量:通过边际误差逆推样本容量n.

    比较两个总体的方法
    1.当总体数量少的时候,比较两总体的标准离差
    2.当总体数量大的时候,比较两总体的平均数

    总体均值的区间估计:(总体标准差已知)
    样本的抽样分布服从标准误差=总体标准差/√样本量 的正态分布
    95%的值在均值附近±1.96个标准差内,即在置信区间为95%的情况下,总体的均值区间为 μ±1.96σ

    方差分析

    定义:用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。
    基本步骤:
    1、建立检验假设:H0:多个样本总体均值相等;H1:多个样本总体均值不相等或不全等。检验水准为0.05。
    2、计算检验统计量F值;
    3、确定P值并作出推断结果

    T检验:T检验是一种适合小样本的统计分析方法,通过比较不同数据的均值,研究两组数据是否存在差异。
    适用条件:(1) 已知一个总体均数;(2) 可得到一个样本均数及该样本标准差;(3) 样本来自正态或近似正态总体。
    问题:难产儿出生数n = 35,体重均值 μ= 3.42,S = 0.40,一般婴儿出生体重 μ0= 3.30(大规模调查获得),问相同否?
    解:1.建立假设、确定检验水准α
    H0:μ = μ0 (零假设null hypothesis)
    H1:μ ≠ μ0(备择假设alternative hypothesis)
    双侧检验,检验水准:α=0.05
    2.计算检验统计量 t=(μ- μ0)/(S/√n)=1.77 v=n-1=34
    3.查相应界值表,确定P值,下结论。
    查附表:t0.025 / 34 = 2.032, t < t0.025 / 34, P >0.05,按α=0.05水准,不拒绝H0,两者的差别无统计学意义。F检验:最常用的别名叫做联合假设检验,此外也称方差比率检验、方差齐性检验。它是一种在零假设之下,统计值服从F-分布的检验。其通常是用来分析用了超过一个参数的统计模型,以判断该模型中的全部或一部分参数是否适合用来估计母体。
    基本步骤:
    1.计算样本标准偏差的平方,即:S2=∑(-)2/(n-1)
    2.两组数据就能得到两个S2值 F=S2/S2'
    3.计算的F值与查表得到的F表值比较,如果F < F表 表明两组数据没有显著差异;F ≥ F表 表明两组数据存在显著差异。
    适用场景:
    1.假设一系列服从正态分布的母体,都有相同的标准差。这是最典型的F检验,该检验在方差分析(ANOVA)中也非常重要。
    2.假设一个回归模型很好地符合其数据集要求,检验多元线性回归模型中被解释变量与解释变量之间线性关系在总体上是否显著。卡方检验:统计样本的实际观测值与理论推断值之间的偏离程度,实际观测值与理论推断值之间的偏离程度就决定卡方值的大小,如果卡方值越大,二者偏差程度越大;反之,二者偏差越小;若两个值完全相等时,卡方值就为0,表明理论值完全符合。
    检验方法:
    独立四格表资料检验:四格表资料的卡方检验用于进行两个率或两个构成比的比较。
    1. 专用公式:若四格表资料四个格子的频数分别为a,b,c,d,则四格表资料卡方检验的卡方值=n(ad-bc)^2/(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),(或者使用拟合度公式)
    自由度v=(行数-1)(列数-1)=1
    2. 应用条件:要求样本含量应大于40且每个格子中的理论频数不应小于5。当样本含量大于40但有1=<理论频数<5时,卡方值需要校正,当样本含量小于40或理论频数小于1时只能用确切概率法计算概率。注意:卡方检验针对分类变量。

    方差分析检验和假设检验的区别
    方差分析可以简单理解为检验两个变量间是否存在因果关系,而假设检验是检验两个结果是否存在显著差异。小结(各个分布的应用 ):
    1.方差已知情况下求均值是Z检验。
    2.方差未知求均值是t检验(样本标准差s代替总体标准差R,由样本平均数推断总体平均数) 3.均值方差都未知求方差是X^2检验
    4.两个正态分布样本的均值方差都未知情况下求两个总体的方差比值是F检验。 案例解析:
    1.如果想研究不同性别的用户对两个促活的评价是否存在显著差异,用什么?
    答:如果男和女对促活的评价是存在显著差异的,那就意味着性别会影响对促活的体验。所以性别可以看成是促活的影响因素,此时就要用方差分析。方差分析又分为单因素方差分析和多因素方差分析,方差分析是做因素分析。
    2.如果想研究两个促活的效果,(比如看这两个促活在10天之内各自所带来的平均销量)是否存在显著差异,用什么?
    答:你还能用方差分析吗?两个促活之间是影响和被影响的关系吗?不是,两个促活之间是相互独立的,都是结果,你要比较的是这两个结果是否真的存在好坏之分,所以不能用方差分析。而要做这两个促活的平均销量检验(即两个总体均值之差的检验)也就是假设检验。

    3.假如AB测试如果测得数据是数值型的(比如停留时间等),那么用方差分析还是Z检验合适? 答:AB测试,是对两个版本测试,相互之间不存在影响与被影响的关系,而是相互独立的两个结果,所以你要测的不是它俩是否真有关联,而是它俩是否真有差异,因此做Z检验是合适的。

    回归分析

    线性回归
    简单线性回归y=ax+b
    误差平方和 SSE=∑(y-y(预测值))2
    总的平方和 SST=∑(y-y(均值))2
    回归平方和 SSR=∑(y(预测值)-y(均值))2
    三者的关系 SST=SSR+SSE
    判定系数 R2=SSR/SST

    最小二乘法:通过使因变量的观测值与因变量的预测值之间的离差平方和达到最小,得到估计的回归方程。

    协方差:协方差表示的是两个变量总体误差的期望。标准差和方差一般是用来描述一维数据的离散程度,协方差就是这样一种用来度量两个随机变量关系的统计量,S>0正向线性关系,S=0无线性关系,S<0负线性关系。

    相关系数:相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算,同样以两变量与各自平均值的离差为基础,通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度。

    显著性检验:t检验和f检验
    均方误差: S2=MSE=SSE/N-2
    估计的标准误差 s=√MSE

    t检验
    1.假设y=ax+b+c。原假设:a=0 备选假设 a≠0
    2.检验统计量 t=b1/s(b1为样本回归方程的斜率 s:b1的标准差)
    3.拒绝法则:p值≤α,则拒绝原假设

    F检验
    1.原假设,备选假设
    2.检验统计量:F=MSR/MSE
    MSR=SSR / 回归自由度(自变量个数)=SSR
    3.拒绝法则:p值≤α,则拒绝原假设

    时间序列分析

    水平模式:(数据围绕一个不变的均值上下波动)趋势模式:尽管时间序列数据通常呈现随机起伏的状态,但在较长一段时间内,仍然呈现出逐步的改变或移动到相对较高或较低的值。季节模式:在连续的时间段观测同样的重复模式来确认季节模式。循环模式:如果时间序列图显示出持续时间超过一年的在趋势线上下交替的点序列,则存在循环模式。

    准确度评估:预测误差=实际值-预测值 (预测精度的测度是预测误差的均值或平均数)MAE(预测误差绝对值的平均数)
    MSE(预测误差平方和的平均数)
    MAPE(平均绝对百分数误差)百分数误差=当周预测误差/实际值分析方法:移动平均法:移动平均法是用一组最近的实际数据值来预测未来一期或几期内公司产品的需求量、公司产能等的一种常用方法。简单移动平均的各元素的权重都相等。加权移动平均法:加权移动平均给固定跨越期限内的每个变量值以不相等的权重。
    其原理是:历史各期产品需求的数据信息对预测未来期内的需求量的作用是不一样的。除了以n为周期的周期性变化外,远离目标期的变量值的影响力相对较低,故应给予较低的权重。

    指数平滑法:实际上是一种特殊的加权移动平均法。
    其特点是: 第一,指数平滑法进一步加强了观察期近期观察值对预测值的作用,对不同时间的观察值所赋予的权数不等,从而加大了近期观察值的权数,使预测值能够迅速反映市场实际的变化。权数之间按等比级数减少,此级数之首项为平滑常数a,公比为(1- a)。第二,指数平滑法对于观察值所赋予的权数有伸缩性,可以取不同的a 值以改变权数的变化速率。
    其预测公式为:yt+1'=ayt+(1-a)yt'
    式中,yt+1'--t+1期的预测值,yt--t期的实际值;  yt'--t期的预测值。

    季节指数法:根据呈现季节变动的时间序列资料,用求算术平均值方法直接计算各月或各季的季节指数,据此达到预测目的的一种方法。
    直接平均季节指数法的一般步骤如下:
    ①收集历年(通常至少有三年)各月或各季的统计资料(观察值)。
    ②求出各年同月或同季观察值的平均数(用A表示)。
    ③求历年间所有月份或季度的平均值(用B表示)。
    ④计算各月或各季度的季节指数,即C=A/B。
    ⑤根据未来年度的全年趋势预测值,求出各月或各季度的平均趋势预测值,然后乘以相应季节指数,就得未来年度内各月和各季度包括季节变动的预测值。

    区别
    简单的全期平均法是对时间数列的过去数据一个不漏地全部加以同等利用;移动平均法则不考虑较远期的数据,并在加权移动平均法中给予近期资料更大的权重;而指数平滑法则兼容了全期平均和移动平均所长,不舍弃过去的数据,但是仅给予逐渐减弱的影响程度,即随着数据的远离,赋予逐渐收敛为零的权数。

    注:以上均为自我学习整理,才疏学浅若有错误请及时联系我修正,避免误导,谢谢~

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