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  • #include #include #include using namespace std;...[第七步显然不能左移到第步的位置](https://img-ask.csdn.net/upload/201606/14/1465903975_286390.png) 但是用check函数却会报错,百思不得其解!!
  • #比如: 138 <=> 一百三十 ...$cn_nums = %w{零 一 二 三 四 五 六 七 } $cn_decs = %w{十 百 千 万 十 百 千 亿} $conv = Iconv.new('gbk', 'utf-8') $cn_nums_map = { '〇' ...

     

    #比如: 138 <=> 一百三十八
    $KCODE = 'u'
    require 'jcode'
    require 'iconv'
    
    $cn_nums = %w{零 一 二 三 四 五 六 七 八 九}
    $cn_decs =  %w{十 百 千 万 十 百 千 亿}
    $conv = Iconv.new('gbk', 'utf-8')
    
    $cn_nums_map = {
        '〇' => 0,
        '一' => 1,
        '二' => 2,
        '三' => 3,
        '四' => 4,
        '五' => 5,
        '六' => 6,
        '七' => 7,
        '八' => 8,
        '九' => 9,
    
        '零' => 0,
        '壹' => 1,
        '贰' => 2,
        '叁' => 3,
        '肆' => 4,
        '伍' => 5,
        '陆' => 6,
        '柒' => 7,
        '捌' => 8,
        '玖' => 9,
    
        '貮' => 2,
        '两' => 2,
    }
    
    $cn_decs_map = {
        '个' => 1,
        '十' => 10,
        '拾' => 10,
        '百' => 100,
        '佰' => 100,
        '千' => 1000,
        '仟' => 1000,
        '万' => 10000,
        '萬' => 10000,
        '亿' => 100000000,
        '億' => 100000000,
        '兆' => 1000000000000,
    }
    
    def uputs(str)
        puts $conv.iconv(str)
    end
    
    class NumCnConv
    private
        def digit2cn(d)
            $cn_nums[d - '0'[0]]
        end
        def is_all_zero(str)
            return str == ('0'*str.size)
        end
    
    public
        def num2cn(num)
            str = num.to_s
    #        print str + ":"
            result = []
            str = str.reverse
            zero_count = 0      #zero_count after last non-zero digit
            index = 0           #the index for the numbers
            first_zero = true   #don't need to insert 零 for numbers like /[1-9]+0+/
            str_wan_yi = nil    #insert 万 & 亿 when needed
            while index < str.size do #3 0423 4829
                d = str[index]
                #puts "index = #{index} (#{d.chr})"
                if (d - '0'[0] > 0)
                    if zero_count > 0
                        zero_count = 0
                        result << digit2cn('0'[0]) if !first_zero
                        if str_wan_yi != nil
                            result << str_wan_yi
                            str_wan_yi = nil
                        end
                    end
                    result << $cn_decs[(index - 1) % ($cn_decs.size)] if index > 0
                    result << digit2cn(d)
                    first_zero = false
                else
                    if (index > 0 && (index % 4) == 0 && !is_all_zero(str[index, 4]) )
                        str_wan_yi = $cn_decs[(index - 1) % ($cn_decs.size)]
                    end
                    zero_count += 1
                end
                index += 1
            end
            if zero_count > 0
                zero_count = 0
                result << digit2cn('0'[0])
            end
            result = result.reverse
    
            res = result.join
            if res =~ /^一十/
                res = res['一'.size, res.size - '一'.size]
            end
    #        uputs res
            return res
        end
    
        def cn2num(str)
            #remove 零
            num_str = ''
            last = nil
            str.scan(/./u) do |c|
                if (!$cn_nums_map[c] && !$cn_decs_map[c])
                    uputs "#{str}  是个错误的数字串"
                    return nil
                end
                num_str += c if c != '零'
                last = c
            end
            if num_str =~ /^十/
                num_str = '一' + num_str
            end
    
            sums = []
            temp_sum = 0
            last_num = 0
            num_str.scan(/./u) do |ch|
                if num = $cn_nums_map[ch]
                    last_num = num
                else
                    dec = $cn_decs_map[ch]
                    if dec < 10000
                        temp_sum += last_num * dec
                    else
                        #find back for the one that exceeds current dec
                        sums.each_with_index do |x, i|
                            if x < dec * 10 #10 is here for situation like 两亿亿
                                sums[i] = x * dec
                            else
                                break
                            end
                        end
                        temp_sum += last_num
                        sums << temp_sum * dec
                        temp_sum = 0
                    end
                    last_num = 0
                end
            end
            sums << temp_sum + last_num
    
            sum = 0
            sums.each do |x|
                sum += x
            end
            return sum
        end
    end
    
    #$cn_nums_map.each do |key, value|
        #uputs key + "=>" + value.to_s
    #end
    
    #myconv = NumCnConv.new
    #puts myconv.cn2num('两亿亿')
    
    #-------------------------------------------
    #测试程序
    require 'test\unit'
    
    $td_map = {
        #1 digit 个
        '零' => 0,
        '一' => 1,
        '二' => 2,
        '三' => 3,
        '四' => 4,
        '五' => 5,
        '六' => 6,
        '七' => 7,
        '八' => 8,
        '九' => 9,
    
        #2 digits 十
        '十' => 10,
        '十一' => 11,
        '二十' => 20,
        '二十一' => 21,
    
        #3 digits 百
        '一百' => 100,
        '一百零一' => 101,
        '一百一十' => 110,
        '一百二十三' => 123,
    
        #4 digits 千
        '一千' => 1000,
        '一千零一' => 1001,
        '一千零一十' => 1010,
        '一千一百' => 1100,
        '一千零二十三' => 1023,
        '一千二百零三' => 1203,
        '一千二百三十' => 1230,
    
        #5 digits 万
        #@@@@
        '一万' => 10000,
        '一万零一' => 10001,
        '一万零一十' => 10010,
        '一万零一百' => 10100,
        '一万一千' => 11000,
        '一万零一十一' => 10011,
        '一万零一百零一' => 10101,
        '一万一千零一' => 11001,
        '一万零一百一十' => 10110,
        '一万一千零一十' => 11010,
        '一万一千一百' => 11100,
        '一万一千一百一十' => 11110,
        '一万一千一百零一' => 11101,
        '一万一千零一十一' => 11011,
        '一万零一百一十一' => 10111,
        '一万一千一百一十一' => 11111,
    
        #6 digits 十万
        '十万零二千三百四十五' => 102345,
        '十二万三千四百五十六' => 123456,
        '十万零三百五十六' => 100356,
        '十万零三千六百零九' => 103609,
    
        #7 digits 百万
        '一百二十三万四千五百六十七' => 1234567,
        '一百零一万零一百零一' => 1010101,
        '一百万零一' => 1000001,
    
        #8 digits 千万
        '一千一百二十三万四千五百六十七' => 11234567,
        '一千零一十一万零一百零一' => 10110101,
        '一千万零一' => 10000001,
    
        #9 digits 亿
        '一亿一千一百二十三万四千五百六十七' => 111234567,
        '一亿零一百零一万零一百零一' => 101010101,
        '一亿零一' => 100000001,
    
        #10 digits 十亿
        '十一亿一千一百二十三万四千五百六十七' => 1111234567,
    
        #11 digits 百亿
        '一百一十一亿一千一百二十三万四千五百六十七' => 11111234567,
    
        #12 digits 千亿
        '一千一百一十一亿一千一百二十三万四千五百六十七' => 111111234567,
    
        #13 digits 万亿
        '一万一千一百一十一亿一千一百二十三万四千五百六十七' => 1111111234567,
    
        #14 digits 十万亿
        '十一万一千一百一十一亿一千一百二十三万四千五百六十七' => 11111111234567,
    
        #17 digits 亿亿
        '一亿一千一百一十一万一千一百一十一亿一千一百二十三万四千五百六十七' => 11111111111234567,
    }
    
    class Num2CnTest < Test::Unit::TestCase
        def test_n2c
            conv = NumCnConv.new
            $td_map.each do |key, val|
                uputs val.to_s + " => " + key
                assert_equal key, conv.num2cn(val)
            end
        end
    
        def test_c2n
            conv = NumCnConv.new
            $td_map.each do |key, val|
                uputs key + " => " + val.to_s
                assert_equal val, conv.cn2num(key)
            end
        end
    end

     

    展开全文
  • 目录 一、算法简介 二、选择排序 三、递归 四、快速排序 五、散列表 ...、贪婪算法 、动态规划 十、K最近邻算法 十一、接下来如何   一、算法简介 uyiu 二、选择排序 effw...

     

     

    一、算法简介

    • 二分查找的速度比简单查找快得多。
    • O(logn)比O(n)快。需要搜索的元素越多,前者比后者就快得越多。
    • 算法运行时间并不以秒为单位。
    • 算法运行时间是从其增速地角度度量的。
    • 算法运行时间用大O表示法表示。

    二、选择排序

    2.1 内存的工作原理

    如同寄存柜,每个柜子有很多抽屉,你有几样东西寄存就需要几个抽屉,这大致就是计算机内存的工作原理计算机就像每个抽屉的集合体,每个抽屉都有地址。

    需要将数据存储到内存时,你请求计算机提供存储空间,计算机给你一个存储地址,需要存储多项数据时,有两种基本方式——数组和链表。但它们并非都适用于所有的情形,因此知道它们的差别很重要。

    2.2 数组和链表

    2.2.1 链表

    链表中的元素可存储在内存的任何地方。

    链表的每个元素都存储了下一个元素的地址,从而使一系列随机的内存地址串在一起。

    在链表中添加元素很容易,只需将其存入内存,并将其地址存储到前一个元素中。

    使用链表时,根本就不需要移动元素,只要有足够的内存空间,就能为链表分配内存。

    链表的优势在插入元素方面

    2.2.2 数组

    在需要读取链表的最后一个元素时,你不能直接读取,因为你不知道他所处的地址,必须先访问元素#1,从中获取元素#2的地址,再访问#2并从中获取#3的地址,以此类推,直到访问最后一个元素。需要同时读取所有元素时,链表的效率很高:读取第一个元素,根据其中的地址再读取第二个元素,以此类推。如果需要跳跃,链表的效率真的很低。

    数组与此不同:你知道其中每个元素的地址。例如一个数组包含5个元素,起始地址是00,那么元素#5的地址就是04。需要随机地读取元素时,数组的效率很高,因为可迅速找到数组的任何元素。而在链表中,元素并非靠在一起,所以无法迅速算出第5个元素的内存地址,必须从第一个开始访问。

    2.2.3 术语

    几乎所有的编程语言都从0开始对数组元素进行编号。

    元素的位置称为索引。

    2.2.4 在中间插入

    需要在中间插入元素时,使用链表时,插入元素很简单,只需修改它前面的那个元素指向的地址。而使用数组时,则必须将后面的元素都向后移。如果没有足够的空间,可能还得将整个数组复制到其他地方!因此,当需要在中间插入元素时,链表是更好的选择。

    2.2.5 删除

    如果需要删除元素,链表也是更好的选择,因为只需修改前一个元素指向的地址即可。而使用数组时,删除元素后,必须将后面的元素都向前移。

    不同于插入,删除元素总能成功。如果内存中没有足够的空间,插入操作可能失败,但在任何情况下都能将元素删除。

    常见数组和链表操作的运行时间:

    运行时间对比

    有两种访问方式:随机访问和顺序访问。顺序访问意味着从第一个元素开始逐个地读取元素。链表只能顺序访问:要读取链表的第10个元素,得先读取前9个元素,并沿链接找到第10个元素,随机访问意味着可直接跳到第10个元素。数组的读取速度更快是因为它们支持随机访问。很多情况都要求能够支持随机访问,因此数组用得比较多。

    2.3选择排序

    假如你的计算机存储了很多乐曲,对于每个乐队,你都记录了其作品被播放的次数。

    你要将这个列表按播放次数从多到少的顺序排列,从而将你喜欢的乐队排序。该如何做?

    一种办法是遍历这个列表,找出作品播放次数最多的乐队,并将该乐队添加到一个新列表中。

    再次这样做,找出播放次数第二多的乐队。

    继续这样做,你将得到一个有序列表

    对列表进行简单查找时,意味着每个乐队都要查看一次。要找出播放次数最多的乐队,必须检查列表中的每个元素。这需要的时间为O(n)。对于这种时间为 O(n)的操作,你需要执行n次。需要的总时间为O(n * n),即O(n^2)。

    选择排序是一种灵巧的算法,但其速度不是很快。

    示例代码

    下述代码提供了类似的功能:将数组元素按从小到大的顺序排列。

    # 先编写一个用于找出数组中最小元素的函数
    def findSmallest(arr):
        smallest = arr[0] # 存储最小的值
        smallest_index = 0 # 存储最小元素的索引
        for i in range(1,len(arr)):
            if arr[i] < smallest:
                smallest = arr[i]
                smallest_index = i
        return smallest_index
    
    # 使用这个函数来编写排序算法
    def selectionSort(arr):
        newArr = []
        for i in range(len(arr)):
            smallest = findSmallest(arr) # 找出数组中最小的元素并将其加入到新数组中
            newArr.append(arr.pop(smallest))
        return newArr
    
    
    print selectionSort([5,3,6,2,10]) 

    2.4 小结

    • 计算机内存犹如一大堆抽屉。

    • 需要存储多个元素时,可以使用数组或链表。

    • 数组的元素都在一起。

    • 链表的元素是分开的,其中每个元素都存储了下一个元素的地址。

    • 数组的读取速度很快。

    • 链表的插入和删除速度很快。

    • 在同一个数组中,所有元素的类型都必须相同。

    三、递归

    3.1 递归

    钥匙放在一个盒子里,这个盒子里有盒子,而盒子里的盒子又有盒子,钥匙就在某个盒子中,为找到钥匙,

    下面是一种方法:

    (1)创建一个要查找的盒子堆。

    (2)从盒子堆里取出一个盒子在里面找。

    (3)如果找到的是盒子,就将其放入盒子堆中,以便以后再查找。

    (4)如果找到钥匙,则大功告成!

    (5)回到第2步

    使用的是while循环,只要盒子堆不空,就从中取盒子,并在其中仔细查找。

    下面是另一种方法:

    (1)检查盒子中的每样东西。

    (2)如果是盒子,回到第一步。

    (3)如果是钥匙,就大功告成!

    使用递归——函数调用自己

    这两种方法作用相同,第二种更清晰,递归只是让解决方案更清晰,并没有性能上的优势。

    3.2 基线条件和递归条件

    由于递归函数调用自己,因此编写这样的函数时很容易出错,进而导致无限循环。

    编写递归函数时,必须告诉它何时停止递归。正因如此,每个递归函数都有两部分:基线条件和递归条件。递归条件指的是函数调用自己,而基线条件则指函数不再调用自己,从而避免形成无限循环。

    3.3 栈

    假设你去野外烧烤,并为此创建了一个待办事项清单——一叠便条。

    插入的待办事项放在清单的最前面;读取待办事项时,你只读取最上面的那个,并将其删除。因此这个待办事项清单只有两种操作:压入(插入)和弹出(删除并读取)。

    这种数据结构称为栈。

    3.3.1 调用栈

    计算机在内部使用被称为调用栈的栈。计算机是如何使用调用栈的?下面是一个简单的函数。

    def greet(name):
        print "hello, " + name + "!"
        greet2(name)
        print "getting ready to say bye..."
        bye()
    # 这个函数问候用户,再调用另外两个函数.另外两个函数的代码如下:
    
    def greet2(name):
        print "how are you, " + name + "?"
        def bye():
        print "ok bye!"

    下面详细介绍调用函数时发生的情况。

    假设你调用greet(“maggie”),计算机将首先为该函数调用分配一块内存。

    我们来使用这些内存。变量name被设置为maggie,这需要存储到内存中。

    每当你调用函数时,计算机都像这样将函数调用涉及的所有变量的值存储到内存中。接下来,你打印hello,maggie!,再调用greet2(“maggie”)。同样,计算机也为这个函数调用分配一块内存。

    计算机使用一个栈来表示这些内存块,其中第二个内存块位于第一个内存块上面。你打印how are you,maggie?,然后从函数调用返回。此时,栈顶的内存块被弹出。

    现在,栈顶的内存块是greet的,这意味着你返回了函数greet。当你调用函数greet2时,函数greet只执行了一部分:调用另一个函数时,当前函数暂停并处于未完成状态。该函数所有变量的值都还在内存中。执行完函数greet2后,回到函数greet,并从离开的地方开始接着往下执行:首先打印getting ready to say bye...,再调用函数bye。

    在栈顶添加了bye的内存块。然后,打印ok bye!,并从这个函数返回。

    现在又回到了函数greet。由于没有别的事情要做,就从函数greet返回,这个栈用于存储多个函数的变量,被称为调用栈。

    3.3.2 递归调用栈

    递归函数也适用调用栈!下面是计算阶乘的递归函数。

    def fact(x):
        if x == 1:
            return 1
        else:
            return x * fact(x-1)

    •  

    每个fact调用斗鱼自己的x变量,在一个函数调用中不能访问另一个的x变量。

    栈在递归中扮演着重要角色。回到寻找钥匙的两种方法。使用第一种方法时,创建了一个待查找的盒子堆,因此你始终知道还有多少盒子待查找。

    但使用递归方法时,没有盒子堆。“盒子堆”存储在了栈中!这个栈包含未完成的函数调用,每个函数调用都包含还未检查完的盒子。使用栈很方便,因为无需自己跟踪盒子堆——栈代替你这样做了。

    使用栈虽然方便,但是也要付出代价:存储详尽的信息可能占用大量的内存。每个函数调用都要占用一定的内存,如果栈很高,就意味着计算机存储了大量函数调用的信息。你只能:

    • 重新编写代码,转而使用循环。
    • 使用尾递归(一个高级递归主题,但并非所有的语言都支持)

    3.4 小结

    • 递归指的是调用自己的函数。
    • 每个递归函数都有两个条件:基线条件和递归条件。
    • 栈有两种操作:压入和弹出。
    • 所有函数调用都进入调用栈。
    • 调用栈可能很长,这将占用大量的内存。

    四、快速排序

    4.1 分而治之

    分而治之(divide and conquer,D&C) —— 一种著名的递归式问题解决方法。

    假设你是农场主,有一小块土地。你要将这块地均匀地分成方块,且分出的方块要尽可能大。如何来实现呢?使用D&C策略!D&C算法是递归的。使用D&C解决问题的过程包括两个步骤。

    (2)不断将问题分解(或者说缩小规模),直到符合基线条件。

    首先,找出基线条件。最容易处理的情况是,一条边的长度是另一条边的整数倍。

     

    如果一边长25m,另一边长50m,那么可使用的最大方块为25m * 25m。换言之,可以将地分成两个这样的方块。

    然后需要找出递归条件,这正是D&C的用武之地。根据D&C的定义,每次递归调用都必须缩小问题的规模。如何缩小前述问题的规模呢?首先找出这块地可容纳的最大方块。

    划分完余下一小块土地,何不对余下的一小块地使用相同的算法呢?

    最初要划分的土地尺寸为1680m * 640m,而现在需要划分的土地更小,为640m*400m。适用于这小块地的最大方块,也是适用于整块地的最大方块(不好理解,参阅欧几里得算法)。换言之,你将均匀划分1680m * 640m土地的问题,简化成了均匀划分640m*400m土地的问题!

    下面再次使用同样的算法。对于640 m × 400 m的土地,可从中划出的最 10 大方块为400 m × 400 m。

    这将余下一块更小的土地,其尺寸为400 m × 240 m。

    你可从这块土地中划出最大的方块,余下一块更小的土地,其尺寸为240 m × 160 m。

    接下来,从这块土地中划出最大的方块,余下一块更小的土地。

    余下的这块土地满足基线条件,因为160是80的整数倍。将这块土地分成两个方块后,将不 会余下任何土地!

    因此,对于最初的那片土地,适用的最大方块为80 m× 80 m。

    重申一下D&C的工作原理:

    (1)找出简单的基线条件;

    (2)确定如何缩小问题的规模,使其符合基线条件。

    D&C并非可用于解决问题的算法,而是一种解决问题的思路。

    另一个例子:给定一个数字数组,你需要将这些数字相加,并返回结果,循环很容易完成这种任务。

    def sum(arr):
        total = 0
        for x in arr:
            total += x
        return total
    
    print sum([1,2,3,4])

    如何使用递归函数来完成这种任务呢?

    提示:编写涉及数组的递归函数时,基线条件通常是数组为空或只包含一个元素。

    4.2 快速排序

    使用快速排序对数组进行排序。

    基线条件为数组为空或只包含一个元素。在这种情况下,只需原样返回数组——根本不用排序。

    要使用D&C,需要将数组分解,直到满足基线条件。下面介绍快速排序的工作原理。首先从数组中选择一个元素,这个元素被称为基准值。

    暂时将数组的第一个元素用作基准值。

    接下来,找出比基准值小的元素以及比基准值大的元素。

    这被称为分区。现在有:

    • 一个由所有小于基准值的数字组成的子数组;
    • 基准值;
    • 一个由所有大于基准值的数字组成的子数组;

    只是进行了分区,得到的子数组是无序的。

    如果是有序的对整个数组进行排序将非常容易,可以合并得到一个有序的数组。

    如何对子数组进行排序呢?

    (1)选择基准值。

    (2)将数组分成两个子数组:小于基准值的元素和大于基准值的元素。

    (3)对这两个子数组进行快速排序

    不管如何选择基准值,都可以对划分得到的两个数组递归地进行快速排序。

    快速排序的代码:

    def quicksort(array):
        if len(array) < 2:
            return array # 基线条件:为空或只包含一个元素地数组是"有序"的
        else:
            pivot = array[0] # 递归条件
            less = [i for i in array[1:] if i <= pivot] # 由所有小于基准值的元素组成的子数组
            greater = [i for in in array[1:] if i > pivot] # 由所有大于基准值的元素组成的子数组
            return quicksort(less) + [pivot] + quicksort(greater)
    
    print quicksort([10,5,2,3])

    4.3 再谈大O表示法

    最常见的大O运行时间:

    4.3.1 比较合并排序和快速排序

    假设有下面这样打印列表中每个元素的简单函数。

    
    def print_items(list): 
        for item in list:
            print item
    from time import sleep 
    def print_items2(list):
        for item in list: 
            sleep(1)
            print item

    这两个函数都迭代整个列表一次,因此它们的运行时间都为O(n)。

    虽然使用大O表示法表示时,这两 个函数的速度相同,但实际上print_items的速度更快。在大O表示法O(n) 8 中,n实际上指的是这样的。

    c是算法所需的固定时间量,被称为常量。例如,print_ items所需的时间可能是10毫秒 * n,而print_items2所需的时间为1秒 * n。

    通常不考虑这个常量,因为如果两种算法的大O运行时间不同,这种常量将无关紧要。就拿 二分查找和简单查找来举例说明。假设这两种算法的运行时间包含如下常量。

    简单查找:10毫秒 * n

    二分查找:1秒 * logn

    看似简单查找要快得多,现在假设你要在包含40亿个元素的列表中查找,所需时间将如下。

    简单查找:10毫秒 * 40亿  =  463天

    二分查找:1秒 * 32  =  32秒

    可见,二分查找的速度还是快很多,常量根本没什么影响。

    但有时候,常量的影响可能很大,对快速查找和合并查找来说就是如此。快速查找的常量比 合并查找小,因此如果它们的运行时间都为O(n log n),快速查找的速度将更快。实际上,快速查 找的速度确实更快,因为相对于遇上最糟情况,它遇上平均情况的可能性要大得多。

    4.3.2 平均情况和最糟情况

    快速排序的性能高度依赖于你选择的基准值,假设你总是将第一个元素用作基准值,且要处理的数组是有序的。由于快速排序算法不检查输入数组是否有序,因此它依然尝试对其进行排序。

      

    注意,数组并没有被分成两半,相反,其中一个子数组始终为空,这导致调用栈非常长。现 在假设你总是将中间的元素用作基准值,在这种情况下,调用栈如下。

    调用栈短得多!因为你每次都将数组分成两半,所以不需要那么多递归调用。你很快就到达 了基线条件,因此调用栈短得多。

    第一个示例展示的是最糟情况,而第二个示例展示的是最佳情况。在最糟情况下,栈长为 O(n),而在最佳情况下,栈长为O(log n)。

    在这个示例中,层数为O(log n)(用技术术语说,调用栈的高度为O(log n)),而每层需要的 时间为O(n)。因此整个算法需要的时间为O(n) * O(log n) = O(n log n)。这就是最佳情况。

    在最糟情况下,有O(n)层,因此该算法的运行时间为O(n) * O(n) = O(n2)。

    知道吗?这里要告诉你的是,最佳情况也是平均情况。只要你每次都随机地选择一个数组元 素作为基准值,快速排序的平均运行时间就将为O(n log n)。快速排序是最快的排序算法之一,也 是D&C典范。

     4.4  小结

    • D&C将问题逐步分解。使用D&C处理列表时,基线条件很可能是空数组或只包含一个元素的数组。

    • 实现快速排序时,请随机地选择用作基准值的元素,快速排序的平均时间为O(n logn)。

    • 大O表示法中的常量有时候事关重大,这就是快速排序比合并排序块的原因所在。

    • 比较简单查找和二分查找时,常量几乎无关紧要,因为列表很长时,O(logn)的速度比O(n)快得多。

     

    五、散列表

    5.1 散列函数

    散列函数是这样的函数,即无论你给它什么数据,它都还你一个数字。

    用专业术语来表达的话,我们会说,散列函数“将输入映射到数字”。散列函数必须满足一些要求。

    • 它必须是一致的。例如,假设你输入apple时得到的是4,那么每次输入apple时,得到的都 必须为4。如果不是这样,散列表将毫无用处。
    • 它应将不同的输入映射到不同的数字。例如,如果一个散列函数不管输入是什么都返回1, 它就不是好的散列函数。最理想的情况是,将不同的输入映射到不同的数字。

    创建一个空数组,你将在这个数组中存储商品的价格。散列函数能准确地指出价格的存储位置,根本不用查找!之所以能够这样,具体原因如下。

    • 散列函数总是将相同的输入映射到相同的索引。
    • 散列函数总是将不同的输入映射到不同的索引。
    • 散列函数知道数组有多大,只返回有效的索引。

    你结合使用散列函数和数组创建了一种被称为散列表(hash table)的数据结构。散列表是你学习的第一种包含额外逻辑的数据结构。数组和链表都被直接映 射到内存,但散列表更复杂,它使用散列函数来确定元素的存储位置。

    在学习复杂数据结构中,散列表可能是最有用的,也被称为散列映射、映射、字典和 关联数组。散列表的速度很快!

    散列表由键和值组成。在前面的散列表book中,键为商品名,值为商品价格。散列表将键 映射到值。

    5.2 应用案例

    5.2.1 将散列表用于查找

    创建一个电话簿,实现添加联系人及其电话号码,通过输入联系人来获悉其电话号码。

    这非常适合使用散列表来实现!

    散列表被用于大海捞针式的查找。例如,你在访问像http://adit.io这样的网站时,计算机必须将adit.io转换为IP地址。

    无论你访问哪个网站,其网址都必须转换为IP地址。

    这不是将网址映射到IP地址吗?好像非常适合使用散列表啰!这个过程被称为DNS解析 (DNS resolution),散列表是提供这种功能的方式之一。

    5.2.2 防止重复

    假设你负责管理一个投票站。显然,每人只能投一票,但如何避免重复投票呢?有人来投票时,你询问他的全名,并将其与已投票者名单进行比对。如果名字在名单中,就说明这个人投过票了,因此将他拒之门外!否则,就将他的姓名加入 到名单中,并让他投票。现在假设有很多人来投过了票,因此名单非常长。

    为此,首先创建一个散列表,用于记录已投票的人。

    有人来投票时,检查他是否在散列表中。在散列表中,函数get将返回它;否则返回None。

    5.2.3 将散列表用作缓存

    最后一个应用案例:缓存。如果你在网站工作,可能听说过进 行缓存是一种不错的做法。下面简要地介绍其中的原理。假设你访问网 站facebook.com。

    (1) 你向Facebook的服务器发出请求。

    (2) 服务器做些处理,生成一个网页并将其发送给你。

    (3) 你获得一个网页。

    你每次访问facebook.com,其 服务器都需考虑你感兴趣的是什么内容。但如果你没有登录,看到的将是登录页面。每个人看到的登录页面都相同。Facebook被反复要求做同样的事情:“当我注销时,请向我显示主页。”有鉴 于此,它不让服务器去生成主页,而是将主页存储起来,并在需要时将其直接发送给用户。

    这就是缓存,具有如下两个优点。

    • 用户能够更快地看到网页

    • Facebook需要做的工作更少。

    缓存是一种常用的加速方式,所有大型网站都使用缓存,而缓存的数据则存储在散列表中!

    Facebook不仅缓存主页,还缓存About页面、Contact页面、Terms and Conditions页面等众多 其他的页面。因此,它需要将页面URL映射到页面数据。

    facebook.com/about  ——>  About页面的数据

    facebook.com  ——>  主页的数据

    当你访问Facebook的页面时,它首先检查散列表中是否存储了该页面。

    cache = {}
    
    def get_page(url):
        if cache.get(url):
            return cache[url] # 返回缓存的数据
        else:
            data = get_data_form_server(url)
            cache[url] = data # 先将数据保存到缓存中
            return data

    仅当URL不在缓存中时,你才让服务器做些处理,并将处理生成的数据存储到缓存中,再返 回它。这样,当下次有人请求该URL时,你就可以直接发送缓存中的数据,而不用再让服务器进 行处理了。

    5.2.4 小结

    散列表适合用于:

    • 模拟映射关系;
    • 防止重复;
    • 缓存/记住数据,以免服务器再通过处理来完成它们。

    5.3 冲突

    处理冲突的方式 很多,最简单的办法如下:如果两个键映射到了同一个位置,就在这个位置存储一个链表。

    散列函数很重要。前面的散列函数将所有的键都映射到一个位置,而最理想的情况是, 散列函数将键均匀地映射到散列表的不同位置。

    如果散列表存储的链表很长,散列表的速度将急剧下降。然而,如果使用的散列函数很好,这些链表就不会很长!

    5.4 性能

    简单查找的运行时间为线性时间,二分查找为对数时间,散列表中查找为常量时间O(1)。

    在平均情况下,散列表的查找(获取给定索引处的值)速度与数组一样快,而插入和删除速 度与链表一样快,因此它兼具两者的优点!但在最糟情况下,散列表的各种操作的速度都很慢。 因此,在使用散列表时,避开最糟情况至关重要。为此,需要避免冲突。而要避免冲突,需要有:

    • 较低的填装因子;
    • 良好的散列函数。

    5.5 小结

    • 可以结合散列函数和数组来创建散列表。

    • 冲突很糟糕,应使用可以最大限度减少冲突的散列函数。

    • 散列表的查找、插入和删除速度都非常快。

    • 散列表适用于模拟映射关系。

    • 一旦填装因子超过0.7,就该调整散列表的长度。

    • 散列表可用于缓存数据(例如在Web服务器上)。

    • 散列表非常适用于防止重复。

     

    六、广度优先搜索

    6.1 图简介

    你经常要找出最短 路径,这可能是前往朋友家的最短路径,也可能是国际象棋中把对方将死的最少步数。解决最短 路径问题的算法被称为广度优先搜索。

    6.2 图是什么

    图模拟一组连接。例如,假设你与朋友玩牌,并要模拟谁欠谁钱,可像下面这样指出Alex欠Rama钱。

     

    完整的欠钱图可能类似于下面这样。

    Alex欠Rama钱,Tom欠Adit钱,等等。图由节点(node)和边(edge)组成。

    就这么简单!图由节点和边组成。一个节点可能与众多节点直接相连,这些节点被称为邻居。 在前面的欠钱图中,Rama是Alex的邻居。Adit不是Alex的邻居,因为他们不直接相连。但Adit既 是Rama的邻居,又是Tom的邻居。

    图用于模拟不同的东西是如何相连的。

    6.3 广度优先搜索

    广度优先搜索是一种用于图的查找算法,可帮助 回答两类问题。

    •  第一类问题:从节点A出发,有前往节点B的路径吗?

    •  第二类问题:从节点A出发,前往节点B的哪条路径最短?

    假设你经营着一个芒果农场,需要寻找芒果销售商,以便将芒果卖给他。在Facebook,你与 芒果销售商有联系吗?为此,你可在朋友中查找。

    这种查找很简单。首先,创建一个朋友名单。

    然后,依次检查名单中的每个人,看看他是否是芒果销售商。

    假设你没有朋友是芒果销售商,那么你就必须在朋友的朋友中查找。

    检查名单中的每个人时,你都将其朋友加入名单。

    因此,如果Alice不是芒果销售商,就将其朋友也加入到名单中。 这意味着你将在她的朋友、朋友的朋友等中查找。使用这种算法将搜遍你的整个人际关系网,直 到找到芒果销售商。这就是广度优先搜索算法。

    6.3.1 查找最短路径

    刚才你看到了如何回答第一类问题,下面来尝试回答第二类问题——谁是关系最近的芒果销 售商。例如,朋友是一度关系,朋友的朋友是二度关系。

    在你看来,一度关系胜过二度关系,二度关系胜过三度关系,以此类推。因此,你应先在一 度关系中搜索,确定其中没有芒果销售商后,才在二度关系中搜索。广度优先搜索就是这样做的! 在广度优先搜索的执行过程中,搜索范围从起点开始逐渐向外延伸,即先检查一度关系,再检查 二度关系。

    注意,只有按添加顺序查找时,才能实现这样的目的。有一个可实现这种目的的数据 结构,那就是队列(queue)。

    6.3.2 队列

    队列的工作原理与现实生活中的队列完全相同。队列类 似于栈,你不能随机地访问队列中的元素。队列只支 持两种操作:入队和出队。

    如果你将两个元素加入队列,先加入的元素将在后加入的元素之前出队。因此,你可使用队 列来表示查找名单!这样,先加入的人将先出队并先被检查。

    队列是一种先进先出(First In First Out,FIFO)的数据结构,而栈是一种后进先出(Last In First Out,LIFO)的数据结构。

    6.4 实现图

    首先,需要使用代码来实现图。图由多个节点组成。每个节点都与邻近节点相连,散列表能够将键映射到值。在这里,你将要将节点映射到所有邻居。

    表示这种映射的代码如下。

    graph = {}
    graph["you"] = ["alice","bob","claire"]

    注意,“you” 被映射到了一个数组,因此graph["you"]是一个数组,其中包含了"you"的所有邻居。

    6.5 实现算法

    概述一下这种算法的工作原理

    首先,创建一个队列。在Python中,可使用函数deque来创建一个双端队列。

    from collections import deque
    search_queue = deque() # 创建一个队列
    search_queue += graph["you"] # 将你的邻居都加入到这个搜索队列中
    

    别忘了,graph["you"]是一个数组,其中包含你的所有邻居,如["alice", "bob","claire"]。这些邻居都将加入到搜索队列中。

    while search_queue: # 只要队列不为空
        person = search_queue.popleft() # 就取出其中地第一个人
        if person_is_seller(person): # 检查这个人是否是芒果经销商
            print person + "is a mango seller!" # 是芒果经销商
        else:
            search_queue += graph[person] # 不是芒果经销商.将这个人的朋友都加入搜索队列
    return False # 如果达到了这里,就说明队列中没有人是芒果经销商

    最后你还需编写函数person_is_seller,判断一个人是不是芒果经销商.

    def person_is_seller(name):
        return name[-1] == 'm'

    这个函数检查人的姓名是否以m结尾:如果是,他就是芒果销售商。这种判断方法有点搞笑, 但就这个示例而言是可行的。下面来看看广度优先搜索的执行过程。

    这个算法将不断执行,直到满足以下条件之一:

    • 找到一位芒果经销商;

    • 队列变成空的,这意味着你的人际关系中没有芒果经销商。

    检查完一个人后,应将其标记为已检查,且不再检查他。如果不这样做,就可能会导致无限循环。

    检查一个人之前,要确认之前没检查过他,这很重要。为此,你可使用一个 列表来记录检查过的人。

    考虑到这一点后,广度优先搜索的最终代码如下。

    def search(name):
        search_queue = deque()
        search_queue += graph[name]
        searched = [] # 这个数组用于记录检查过的人
        while search_queue:
            person = search_queue.popleft()
            if person not in searched: # 仅当这个人没检查过时才检查
                if person_is_seller(person):
                    print person + " is a mango seller!"
                    return True
                else:
                    search_queue += graph[person]
                    searched.apppend(person) # 将这个人标记为检查过
        return False
    
    
    search("you") 
              

    运行时间

    如果你在你的整个人际关系网中搜索芒果销售商,就意味着你将沿每条边前行(记住,边是 从一个人到另一个人的箭头或连接),因此运行时间至少为O(边数)。

    你还使用了一个队列,其中包含要检查的每个人。将一个人添加到队列需要的时间是固定的, 即为O(1),因此对每个人都这样做需要的总时间为O(人数)。所以,广度优先搜索的运行时间为 O(人数 + 边数),这通常写作O(V + E),其中V为顶点(vertice)数,E为边数。

     

    七、狄克斯特拉算法

    广度优先算法,它找出的是段数最少的路径。如果要找出最快的路径可使用另一种算法——狄克斯特拉算法。

    7.1 使用狄克斯特拉算法

    下面来看看如何对下面的图使用这种算法。

    其中每个数字表示的都是时间,单位分钟。为找出从起点到终点耗时最短的路径,你将使用 狄克斯特拉算法。

    如果你使用广度优先搜索,将得到下面这条段数最少的路径。

    这条路径耗时7分钟。下面来看看能否找到耗时更短的路径!狄克斯特拉算法包含4个步骤。

    (1) 找出“最便宜”的节点,即可在最短时间内到达的节点。

    (2) 对于该节点的邻居,检查是否有前往它们的更短路径,如果有,就更新其开销。

    (3) 重复这个过程,直到对图中的每个节点都这样做了。

    (4) 计算最终路径。

    7.2 术语

    狄克斯特拉算法用于每条边都有关联数字的图,这些数字称为权重。

    带权重的图称为加权图(weighted graph),不带权重的图称为非加权图(unweighted graph)。

    要计算非加权图中的最短路径,可使用广度优先搜索。要计算 加权图中的最短路径,可使用狄克斯特拉算法。

    无向图意味着两个节点彼此指向对方,其实是一个环!

    在无向图中,每条边都是一个环。狄克斯特拉算法只适用于有向无环图(directed acyclic graph,DAG)。

    7.3 换钢琴

    Rama,想拿一本乐谱换架钢琴。现在他需要确定的是,如何花最少的钱实现这个目标。我们来绘制一个图,列出大家的交换意愿。

    这个图中的节点是大家愿意拿出来交换的东西,边的权重是交换时需要额外加多少钱。拿海 报换吉他需要额外加30美元,拿黑胶唱片换吉他需要额外加15美元。Rama需要确定采用哪种路 径将乐谱换成钢琴时需要支付的额外费用最少。为此,可以使用狄克斯特拉算法!

    准备工作:创建一个表格,在其列出每个节点的开销。这里的开销 指的是达到节点需要额外支付多少钱。

    在执行狄克斯特拉算法的过程中,你将不断更新这个表。为计算最终路径,还需在这个表中 添加表示父节点的列。

    第一步:找出最便宜的节点。在这里,换海报最便宜,不需要支付额外的费用。

    第二步:计算前往该节点的各个邻居的开销。

    现在的表中包含低音吉他和架子鼓的开销。这些开销是用海报交换它们时需要支付的额外 费用,因此父节点为海报。这意味着,要到达低音吉他,需要沿从海报出发的边前行,对架子 鼓来说亦如此。

    再次执行第一步:下一个最便宜的节点是黑胶唱片——需要额外支付5美元。

    再次执行第二步:更新黑胶唱片的各个邻居的开销。

    你更新了架子鼓和吉他的开销!因为“黑胶唱片”前往“架子鼓”和吉他的开销更低,因此你将这些乐器的父节点改为黑胶唱片。

    下一个最便宜的是吉他,因此更新其邻居的开销。

    你终于计算出了用吉他换钢琴的开销,于是你将其父节点设置为吉他。最后,对最后一个节 点——架子鼓,做同样的处理。

    如果用架子鼓换钢琴,Rama需要额外支付的费用更少。因此,采用最便宜的交换路径时, Rama需要额外支付35美元。

    知道了最短路径的开销,通过沿父节点回溯来确定最终路径。

    7.4 负权边

    狄克斯特拉算法这样假设:对于处理过的海报节点,没有前往该节点的更短路径。 这种假设仅在没有负权边时才成立。因此,不能将狄克斯特拉算法用于包含负权边的图。在包含 负权边的图中,要找出最短路径,可使用另一种算法——贝尔曼福德算法。

    7.5 实现

    使用代码来实现狄克斯特拉算法,以下面的图为例。

    解决这个问题的代码,需要三个散列表。

    随着算法的进行,你将不断更新散列表costs和parents。

    
    graph["start"] = {}
    graph["start"]["a"] = 6
    graph["start"]["b"] = 2
    graph["a"] = {}
    graph["a"]["fin"] = 1
    graph["b"] = {}
    graph["b"]["a"] = 3
    graph["b"]["fin"] = 5
    graph["fin"] = {} # 终点没有任何邻居
    
    infinity = float("inf")
    costs = {}
    costs["a"] = 6
    costs["b"] = 2
    costs["fin"] = infinity
    
    parents = {}
    parents["a"] = "start"
    parents["b"] = "start"
    parents["fin"] = None
    
    processed = []
    
    node = find_lowest_cost_node(costs) # 在未处理的节点中找出开销最小的节点
    while node is not None: # 这个while循环在所有节点都被处理过后结束
        cost = costs[node] 
        neighbors = graph[node] 
        for n in neighbors.keys(): # 遍历当前节点的所有邻居
            new_cost = cost + neighbors[n] 
            if costs[n] > new_cost: # 如果经当前节点前往该邻居更近,
                costs[n] = new_cost # 就更新该邻居的开销
                parents[n] = node   # 同时将该邻居的父节点设置为当前节点
        processed.append(node) # 将当前节点标记为处理过
        node = find_lowest_cost_node(costs) # 
    
        

    7.6 小结

    • 广度优先搜索用于在非加权图中查找最短路径。

    • 狄克斯特拉算法用于在加权图中查找最短路径。

    • 仅当权重为正时狄克斯特拉算法才管用。

    • 如果图中包含负权边,请使用贝尔曼-福德算法。

    八、贪婪算法

    8.1 教室调度问题

    你希望在这间教室上尽可能多的课。如何选出尽可能多且时间不冲突的课程呢?

    具体做法如下。

    (1) 选出结束最早的课,它就是要在这间教室上的第一堂课。

    (2) 接下来,必须选择第一堂课结束后才开始的课。同样,你选择结束最早的课,这将是要 在这间教室上的第二堂课。

               重复这样做就能找出答案!

    贪婪算法很简单:每步都采取最优的做法。在这个示例中,你每次都选择结束最早的 课。用专业术语说,就是你每步都选择局部最优解,最终得到的就是全局最优解。

    8.2 背包问题

    假设你是个贪婪的小偷,背着可装35磅(1磅≈0.45千克)重东西的背包,在商场伺机盗窃各种可装入背包的商品。 你力图往背包中装入价值最高的商品,你会使 用哪种算法呢?

    同样,你采取贪婪策略,这非常简单。

    (1) 盗窃可装入背包的最贵商品。  

    (2) 再盗窃还可装入背包的最贵商品,以此类推。

    假设你的背包可装35磅的东西。音响最贵,你把它给偷了,但背包没有空间装其他东西了。你偷到了价值3000美元的东西。且慢!如果不是偷音响,而是偷笔记本电脑和吉他,总价将 为3500美元!

    从这个示例你得到了如下启示:在有些情况下,完美是优秀的敌人。有时候,你只需找到一 个能够大致解决问题的算法,此时贪婪算法正好可派上用场,因为它们实现起来很容易,得到的 结果又与正确结果相当接近。

    8.3 集合覆盖问题

    假设你办了个广播节目,要让全美50个州的听众都收听得到。为 此,你需要决定在哪些广播台播出。在每个广播台播出都需要支付费 用,因此你力图在尽可能少的广播台播出。每个广播台都覆盖特定的区域,不同广播台的覆盖区域可能重叠。如何找出覆盖全美50个州的最小广播台集合呢?具体方法如下:

    (1) 列出每个可能的广播台集合,这被称为幂集(power set)。可能的子集有2^n个。

               (2) 在这些集合中,选出覆盖全美50个州的最小集合。

    随着 广播台的增多,需要的时间将激增。没有任何算法可以足够快地解决这个问题!怎么办呢?

    近似算法

    (1) 选出这样一个广播台,即它覆盖了最多的未覆盖州。即便这个广播台覆盖了一些已覆盖 的州,也没有关系。

    (2) 重复第一步,直到覆盖了所有的州。

    这是一种近似算法(approximation algorithm)。在获得精确解需要的时间太长时,可使用近似算法。判断近似算法优劣的标准如下:

    • 速度有多快;

    • 得到的近似解与最优解的接近程度。

    # 首先,创建一个列表,其中包含要覆盖的州。
    states_needed = set(["mt", "wa", "or", "id", "nv", "ut","ca", "az"])
    # 还需要有可供选择的广播台清单,我选择使用散列表来表示它。
    stations = {}
    stations["kone"] = set(["id", "nv", "ut"])
    stations["ktwo"] = set(["wa", "id", "mt"])
    stations["kthree"] = set(["or", "nv", "ca"])
    stations["kfour"] = set(["nv", "ut"])
    stations["kfive"] = set(["ca", "az"])
    # 使用一个集合来存储最终选择地广播台
    final_stations = set()
    
    # 计算答案
    best_station = None
    states_covered = set()
    for station, states_for_station in stations.items():
    covered = states_needed & states_for_station 
    while states_needed:
    best_station = None
    states_covered = set()
    for station, states in stations.items():
    covered = states_needed & states
    if len(covered) > len(states_covered):
              best_station = station
              states_covered = covered
    states_needed -= states_covered
    final_stations.add(best_station)

    8.4 NP完全问题

    旅行商问题

    • 元素较少时算法的运行速度非常快,但随着元素数量的增加,速度会变得非常慢。

    • 涉及“所有组合”的问题通常是NP完全问题。

    • 不能将问题分成小问题,必须考虑各种可能的情况。这可能是NP完全问题。

    • 如果问题涉及序列(如旅行商问题中的城市序列)且难以解决,它可能就是NP完全问题。

    • 如果问题涉及集合(如广播台集合)且难以解决,它可能就是NP完全问题。

    •  如果问题可转换为集合覆盖问题或旅行商问题,那它肯定是NP完全问题。

    8.5 小结

    • 贪婪算法寻找局部最优解,企图以这种方式获得全局最优解。
    • 对于NP完全问题,还没有找到快速解决方案。
    • 面临NP完全问题时,最佳的做法是使用近似算法。
    • 贪婪算法易于实现、运行速度快,是不错的近似算法。

    九、动态规划

    如何找到最优解,答案就是动态规划!动态规划先解决子问题,再逐 步解决大问题。

    • 动态规划可帮助你在给定约束条件下找到最优解。在背包问题中,你必 须在背包容量给定的情况下,偷到价值最高的商品。
    • 在问题可分解为彼此独立且离散的子问题时,就可使用动态规划来解决。 
    • 每种动态规划解决方案都涉及网格。

    • 单元格中的值通常就是你要优化的值。在前面的背包问题中,单元格的值为商品的价值。

    • 每个单元格都是一个子问题,因此你应考虑如何将问题分成子问题,这有助于你找出网格的坐标轴。

    十、K最近邻算法

    • KNN用于分类和回归,需要考虑最近的邻居。

    • 分类就是编组。

    • 回归就是预测结果(如数字)。

    • 特征抽取意味着将物品(如水果或用户)转换为一系列可比较的数字。

    • 能否挑选合适的特征事关KNN算法的成败。

    十一、接下来如何做

    11.1 树

    二叉查找树

    对于其中的每个节点,左子节点的值都比它小,而右子节点的值都比它大。

    假设你要查找Maggie。为此,你首先检查根节点。

    Maggie排在David的后面,因此你往右边找。

    Maggie排在Manning前面,因此你往左边找。

    终于找到了Maggie!这几乎与二分查找一样!在二叉查找树中查找节点时,平均运行时间为 O(log n),但在最糟的情况下所需时间为O(n);而在有序数组中查找时,即便是在最糟情况下所 需的时间也只有O(log n),因此你可能认为有序数组比二叉查找树更佳。然而,二叉查找树的插 入和删除操作的速度要快得多。

    那在什么情况下使用二叉查找树呢?B树是一种特殊的二叉树,数据库常用它来存储数据。

    如果对数据库或高级数据结构感兴趣,请研究如下数据结构:B树,红黑树,堆, 伸展树。

    11.2 反向索引

    搜索引擎的工作原理。假设你有三个网页,内容如下。

    我们根据网页的内容创建一个散列表。

    这个散列表的键为单词,值为包含指定单词的页面。现在假设有用户搜索hi,在这种情况下,搜索引擎需要检查哪些页面包含hi。搜索引擎发现页面A和B包含hi,因此将这些页面作为搜索结果呈现给用户。

    这是一种很有用的数据结构:一个散 列表,将单词映射到包含它的页面。这种数据结构被称为反向索引(inverted index),常用于创 建搜索引擎。如果你对搜索感兴趣,从反向索引着手研究是不错的选择。

    11.3 傅里叶变换

    给定一首歌曲,傅里叶变换能够将其中的各种频率分离出来。

    如果能够将歌曲分解为不同的频率,就可强化 你关心的部分,如强化低音并隐藏高音。傅里叶变换非常适合用于处理信号,可使用它来压缩音 乐。为此,首先需要将音频文件分解为音符。傅里叶变换能够准确地指出各个音符对整个歌曲的 贡献,让你能够将不重要的音符删除。这就是MP3格式的工作原理!

    数字信号并非只有音乐一种类型。JPG也是一种压缩格式,也采用了刚才说的工作原理。傅 里叶变换还被用来地震预测和DNA分析。

    11.4 并行算法

    来看一个简单的例子。在最佳情况下,排序算法的速度大致为O(n log n)。众所周知,对数组 进行排序时,除非使用并行算法,否则运行时间不可能为O(n)!对数组进行排序时,快速排序的 并行版本所需的时间为O(n)。

    并行算法设计起来很难,要确保它们能够正确地工作并实现期望的速度提升也很难。有一点 是确定的,那就是速度的提升并非线性的,因此即便你的笔记本电脑装备了两个而不是一个内核, 算法的速度也不可能提高一倍,其中的原因有两个。

    • 并行性管理开销。假设你要对一个包含1000个元素的数组进行排序,如何在两个内核之 间分配这项任务呢?如果让每个内核对其中500个元素进行排序,再将两个排好序的数组 合并成一个有序数组,那么合并也是需要时间的。

    • 负载均衡。假设你需要完成10个任务,因此你给每个内核都分配5个任务。但分配给内核 A的任务都很容易,10秒钟就完成了,而分配给内核B的任务都很难,1分钟才完成。这意 味着有那么50秒,内核B在忙死忙活,而内核A却闲得很!你如何均匀地分配工作,让两 个内核都一样忙呢?

    要改善性能和可扩展性,并行算法可能是不错的选择!

    11.5 MapReduce

    有一种特殊的并行算法正越来越流行,它就是分布式算法。在并行算法只需两到四个内核时, 完全可以在笔记本电脑上运行它,但如果需要数百个内核呢?在这种情况下,可让算法在多台计 算机上运行。MapReduce是一种流行的分布式算法,你可通过流行的开源工具Apache Hadoop来使用它。

    11.5.1 分布式算法为何很有用

    假设你有一个数据库表,包含数十亿乃至数万亿行,需要对其执行复杂的SQL查询。在这种 情况下,你不能使用MySQL,因为数据表的行数超过数十亿后,它处理起来将很吃力。相反, 你需要通过Hadoop来使用MapReduce!

    又假设你需要处理一个很长的清单,其中包含100万个职位,而每个职位处理起来需要10秒。 如果使用一台计算机来处理,将耗时数月!如果使用100台计算机来处理,可能几天就能完工。

    分布式算法非常适合用于在短时间内完成海量工作,其中的MapReduce基于两个简单的理 念:映射(map)函数和归并(reduce)函数。

    11.5.2 映射函数

    你有一个URL清单,需要下载每个URL指向的页面并将这些内容存储在数组 arr2中。对于每个URL,处理起来都可能需要几秒钟。如果总共有1000个URL,可能耗时几小时!

    如果有100台计算机,而map能够自动将工作分配给这些计算机去完成就好了。这样就可同时下载100个页面,下载速度将快得多!这就是MapReduce中“映射”部分基于的理念。

    11.5.3 归并函数

    归并函数可能令人迷惑,其理念是将很多项归并为一项。映射是将一个数组转换为另一个数组。而归并是将一个数组转换为一个元素。

    MapReduce使用这两个简单概念在多台计算机上执行数据查询。数据集很大,包含数十亿行 时,使用MapReduce只需几分钟就可获得查询结果,而传统数据库可能要耗费数小时。

    11.6 布隆过滤器和HyperLogLog

    假设你管理着网站Reddit。每当有人发布链接时,你都要检查它以前是否发布过,因为之前未发布过的故事更有价值。

    又假设你在Google负责搜集网页,但只想搜集新出现的网页,因此需要判断网页是否搜集过。

    再假设你管理着提供网址缩短服务的bit.ly,要避免将用户重定向到恶意网站。你有一个清单,其中记录了恶意网站的URL。你需要确定要将用户重定向到的URL是否在这个清单中。

    这些都是同一种类型的问题,涉及庞大的集合。

    给定一个元素,你需要判断它是否包含在这个集合中。为快速做出这种判断,可使用散列表。 例如,Google可能有一个庞大的散列表,其中的键是已搜集的网页。

    要判断是否已搜集adit.io,可在这个散列表中查找它。

    adit.io是这个散列表中的一个键,这说明已搜集它。散列表的平均查找时间为O(1),即查 8 找时间是固定的,非常好!

    只是Google需要建立数万亿个网页的索引,因此这个散列表非常大,需要占用大量的存储空 间。Reddit和bit.ly也面临着这样的问题。面临海量数据,你需要创造性的解决方案!

    11.6.1 布隆过滤器

    布隆过滤器提供了解决之道。布隆过滤器是一种概率型数据结构,它提供的答案有可能不对, 但很可能是正确的。为判断网页以前是否已搜集,可不使用散列表,而使用布隆过滤器。使用散 列表时,答案绝对可靠,而使用布隆过滤器时,答案却是很可能是正确的。

    • 可能出现错报的情况,即Google可能指出“这个网站已搜集”,但实际上并没有搜集。
    • 不可能出现漏报的情况,即如果布隆过滤器说“这个网站未搜集”,就肯定未搜集。

    布隆过滤器的优点在于占用的存储空间很少。使用散列表时,必须存储Google搜集过的所有 URL,但使用布隆过滤器时不用这样做。布隆过滤器非常适合用于不要求答案绝对准确的情况, 前面所有的示例都是这样的。对bit.ly而言,这样说完全可行:“我们认为这个网站可能是恶意的, 请倍加小心。”

    11.6.2 HyperLogLog

    HyperLogLog是一种类似于布隆过滤器的算法。如果Google要计算用户执行的不同搜索的数 量,或者Amazon要计算当天用户浏览的不同商品的数量,要回答这些问题,需要耗用大量的空 间!对Google来说,必须有一个日志,其中包含用户执行的不同搜索。有用户执行搜索时,Google 必须判断该搜索是否包含在日志中:如果答案是否定的,就必须将其加入到日志中。即便只记录 一天的搜索,这种日志也大得不得了!

    HyperLogLog近似地计算集合中不同的元素数,与布隆过滤器一样,它不能给出准确的答案, 但也八九不离十,而占用的内存空间却少得多。

      面临海量数据且只要求答案八九不离十时,可考虑使用概率型算法!

    11.7 SHA 算法

    假设你有一个键,需要将其相关联的值放到数组中。你使用散列函数来确定应将这个值放在数组的什么地方。

    这样查找时间是固定的。当你想要知道指定键对应的值时,可再次执行散列函数,它将告诉

    你这个值存储在什么地方,需要的时间为O(1)。 在这个示例中,你希望散列函数的结果是均匀分布的。散列函数接受一个字符串,并返回一个索引号。

    11.7.1 比较文件
    另一种散列函数是安全散列算法(secure hash algorithm,SHA)函数。给定一个字符串,SHA返回其散列值。

    SHA是一个散列函数,它生成一个散列值——一个较短的字符串。 用于创建散列表的散列函数根据字符串生成数组索引,而SHA根据字符串生成另一个字符串。

    对于每个不同的字符串,SHA生成的散列值都不同。

    你可使用SHA来判断两个文件是否相同,这在比较超大型文件时很有用。假设你有一个4 GB 的文件,并要检查朋友是否也有这个大型文件。为此,你不用通过电子邮件将这个大型文件发送 给朋友,而可计算它们的SHA散列值,再对结果进行比较。 8

    11.7.2 检查密码

    SHA还让你能在不知道原始字符串的情况下对其进行比较。例如,假设Gmail遭到攻击,攻 击者窃取了所有的密码!你的密码暴露了吗?没有,因为Google存储的并非密码,而是密码的 SHA散列值!你输入密码时,Google计算其散列值,并将结果同其数据库中的散列值进行比较。

    Google只是比较散列值,因此不必存储你的密码!SHA被广泛用于计算密码的散列值。这种 散列算法是单向的。你可根据字符串计算出散列值。 但你无法根据散列值推断出原始字符串。

    这意味着计算攻击者窃取了Gmail的SHA散列值,也无法据此推断出原始密码!你可将密码 转换为散列值,但反过来不行。

    SHA实际上是一系列算法:SHA-0、SHA-1、SHA-2和SHA-3。SHA-0和SHA-1 已被发现存在一些缺陷。如果你要使用SHA算法来计算密码的散列值,请使用SHA-2或SHA-3。 当前,最安全的密码散列函数是bcrypt,但没有任何东西是万无一失的。

    11.8 局部敏感的散列算法

    SHA还有一个重要特征,那就是局部不敏感的。假设你有一个字符串,并计算了其散列值。如果你修改其中的一个字符,再计算其散列值,结果将截然不同!这很好,让攻击者无法通过比较散列值是否类似来破解密码。

    有时候,你希望结果相反,即希望散列函数是局部敏感的。在这种情况下,可使用Simhash。 如果你对字符串做细微的修改,Simhash生成的散列值也只存在细微的差别。这让你能够通过比 较散列值来判断两个字符串的相似程度,这很有用!

    • Google使用Simhash来判断网页是否已搜集。
    • 老师可以使用Simhash来判断学生的论文是否是从网上抄的。
    • Scribd允许用户上传文档或图书,以便与人分享,但不希望用户上传有版权的内容!这个网站可使用Simhash来检查上传的内容是否与小说《哈利·波特》类似,如果类似,就自 动拒绝。

    需要检查两项内容的相似程度时,Simhash很有用。

    11.9 Diffie-Hellman 密钥交换

    它以优雅的方式解决了一个古老的问题:如何对消息 进行加密,以便只有收件人才能看懂呢?

    最简单的方式是设计一种加密算法,如将a转换为1,b转换为2,以此类推。这样,如果我给 你发送消息“4,15,7”,你就可将其转换为“d,o,g”。但我们必须就加密算法达成一致,这种方式 才可行。我们不能通过电子邮件来协商,因为可能有人拦截电子邮件,获悉加密算法,进而破译 消息。即便通过会面来协商,这种加密算法也可能被猜出来——它并不复杂。因此,我们每天都 得修改加密算法,但这样我们每天都得会面!

    即便我们能够每天修改,像这样简单的加密算法也很容易使用蛮力攻击破解。假设我看到消 息“9,6,13,13,16 24,16,19,13,5”,如果使用加密算法a = 1、b = 2等,转换结果将如下。

    结果是一堆乱码。我们来尝试加密算法a = 2、b = 3等。

    结果对了!像这样的简单加密算法很容易破解。在二战期间,德国人使用的加密算法比这复 杂得多,但还是被破解了。Diffie-Hellman算法解决了如下两个问题。

    • 双方无需知道加密算法。他们不必会面协商要使用的加密算法。
    • 要破解加密的消息比登天还难。

    Diffie-Hellman使用两个密钥:公钥和私钥。顾名思义,公钥就是公开的,可将其发布到网站 上,通过电子邮件发送给朋友,或使用其他任何方式来发布。你不必将它藏着掖着。有人要向你 发送消息时,他使用公钥对其进行加密。加密后的消息只有使用私钥才能解密。只要只有你知道 私钥,就只有你才能解密消息!

    Diffie-Hellman算法及其替代者RSA依然被广泛使用。如果你对加密感兴趣,先着手研究 Diffie-Hellman算法是不错的选择:它既优雅又不难理解。

    11.10 线性规划

    最好的东西留到最后介绍。线性规划是我知道的最酷的算法之一。

    线性规划用于在给定约束条件下最大限度地改善指定的指标。例如,假设你所在的公司生产 两种产品:衬衫和手提袋。衬衫每件利润2美元,需要消耗1米布料和5粒扣子;手提袋每个利润3 美元,需要消耗2米布料和2粒扣子。你有11米布料和20粒扣子,为最大限度地提高利润,该生产 多少件衬衫、多少个手提袋呢?

    在这个例子中,目标是利润最大化,而约束条件是拥有的原材料数量。

    再举一个例子。你是个政客,要尽可能多地获得支持票。你经过研究发现,平均而言,对于 每张支持票,在旧金山需要付出1小时的劳动(宣传、研究等)和2美元的开销,而在芝加哥需要 付出1.5小时的劳动和1美元的开销。在旧金山和芝加哥,你至少需要分别获得500和300张支持票。 你有50天的时间,总预算为1500美元。请问你最多可从这两个地方获得多少支持票?

      这里的目标是支持票数最大化,而约束条件是时间和预算。

    你可能在想,本书花了很大的篇幅讨论最优化,这与线性规划有何关系?所有的图算法都可 使用线性规划来实现。线性规划是一个宽泛得多的框架,图问题只是其中的一个子集。但愿你听 到这一点后心潮澎湃!

    线性规划使用Simplex算法,这个算法很复杂,

    目录

     

    一、算法简介

    二、选择排序

    2.1 内存的工作原理

    2.2 数组和链表

    2.3选择排序

    2.4 小结

    三、递归

    3.1 递归

    3.2 基线条件和递归条件

    3.3 栈

    3.4 小结

    四、快速排序

    4.1 分而治之

    4.2 快速排序

    4.3 再谈大O表示法

     4.4  小结

    五、散列表

    5.1 散列函数

    5.2 应用案例

    5.3 冲突

    5.4 性能

    5.5 小结

     

    六、广度优先搜索

    6.1 图简介

    6.2 图是什么

    6.3 广度优先搜索

    6.4 实现图

    6.5 实现算法

    七、狄克斯特拉算法

    7.1 使用狄克斯特拉算法

    7.2 术语

    7.3 换钢琴

    7.4 负权边

    7.5 实现

    7.6 小结

    八、贪婪算法

    8.1 教室调度问题

    8.2 背包问题

    8.3 集合覆盖问题

    8.4 NP完全问题

    8.5 小结

    九、动态规划

    十、K最近邻算法

    十一、接下来如何做

    11.2 反向索引

    11.3 傅里叶变换

    11.4 并行算法

    11.5 MapReduce

    11.6 布隆过滤器和HyperLogLog

    11.7 SHA 算法

    11.8 局部敏感的散列算法

    11.9 Diffie-Hellman 密钥交换

    11.10 线性规划

     

     


    如果你对最优化感兴趣, 就研究研究线性规划吧!

     

     

     

    展开全文
  • 第一章 算法简介 第二章 选择排序 ...第章 贪婪算法 第章 动态规划 第十章 K最近邻算法 第十一章 接下来如何 转载于:https://www.cnblogs.com/everfight/p/grokking_algorithms_note_summary.html...
    展开全文
  • 章如何看K线和实战 第一节K线研究的重点/200 第二节常见K线形态/202 第三节背离/215 第章如何长线交易 第一节价值投资/223 第二节长线交易/227 第三节杠杆和择时/244 第四节信息的...
  • 案例五:给定一个单链表的头结点head,实现一个调整单链表的函数,使得每K个节点之间逆序,如果最后不够K个节点一组,则不调整。 案例六:删除链表中值为val的节点 案例七:判断一个链表是否为回文结构。 案例...

    目录

    基础知识

    案例一:有序环形链表的插入

    案例二:删除给定节点值

    案例三:给定num,将链表分为小于num、等于num、大于num三部分

    案例四:两个有序链表的公共部分

    案例五:给定一个单链表的头结点head,实现一个调整单链表的函数,使得每K个节点之间逆序,如果最后不够K个节点一组,则不做调整。

    案例六:删除链表中值为val的节点

    案例七:判断一个链表是否为回文结构。

    案例八:复杂链表的复制

    案例九:判断一个单链表是否有环,及环的入口点

    案例十:判断两个无环单链表是否相交

    案例十一:判断两个有环单链表是否相交

    案例十二:判断两个单链表是否相交


    基础知识

    链表:

    单链表、双链表
    循环单链表、循环双链表
    有环单链表、无环单链表(按有环无环分类)
     

    案例一:有序环形链表的插入

    给定整数num,如何在节点值有序的环形链表中插入一个节点值为num的节点,并保证这个环形单链表依然有序。
    答案:
    思想很简单,直接过。
    寻找插入位置,
    1.prev.val<num,next.val>=num,插入prev后面
    2.head.val>num,插入第一个,更新head返回
    3.遍历到最后,next.val<num,插入到最后
     

    案例二:删除给定节点值

    给定链表中的一个节点node,但不给定整个链表的头结点,如何在链表中删除node?请实现这个函数,要求时间复杂度为O(1)
    答案:
    将后一个节点的值复制到node,删除后一个节点
     

    案例三:给定num,将链表分为小于num、等于num、大于num三部分

    给定一个链表的头结点head,再给定一个数num,请把链表调整成节点值小于num的节点都放在链表的左边,值等于num的节点都放在链表的中间,值大于num的节点,都放在链表的右边。
    答案:
    1.将链表分成3个小链表,小于num的组成一个链表,等于num的组成一个链表,大于num的组成一个链表,
    2.最后将三个链表连接起来。
    时间复杂度O(N),空间复杂度O(1)。
     

    案例四:两个有序链表的公共部分

    给定两个链表的头结点head1和head2,打印两个有序链表的公共部分。
    举例:
    list1: 1->3->4->7->null
    list2: 1->3->5->7->9->null
    打印3,7
    答案:
    简单,就是比较而已,直接过。
     

    案例五:给定一个单链表的头结点head,实现一个调整单链表的函数,使得每K个节点之间逆序,如果最后不够K个节点一组,则不做调整。

    举例:
    1->2->3->4->5->6->7->8->null  K=3
    调整为3->2->1->6->5->4->7->8->null
    答案:
    方法1:
    利用栈,每K个节点入栈,出栈后再连起来,最后不够K个则不入栈。
    时间复杂度O(N),空间复杂度O(K)。
    方法2:最优解:每K个节点做反转操作,不够则不逆序。考察反转链表。
    时间复杂度O(N),空间复杂度O(1)。
     

    案例六:删除链表中值为val的节点

    给定一个单链表的头结点head和一个值val,删除链表中值等于val的节点。
    答案:
    思想很简单,比较删除。
     

    案例七:判断一个链表是否为回文结构。

    举例:
    链表1->2->3->2->1,是回文结构,返回true。
    链表1->2->3->1,不是回文结构,返回false。
    答案:
    方法1:利用栈先进先出的特性
    时间复杂度为O(N),使用了N个额外空间
    1.遍历链表,依次进栈
    2.再次遍历链表,依次与出栈元素做对比
    方法2:栈+快慢指针找中间
    时间复杂度O(N),使用了N/2个额外空间
    1.slow,fast双指针遍历链表,slow每次走一步,fast每次走两步,slow所指元素进栈,直到fast为空(此时,slow所指元素为中间元素)
    2.继续用slow遍历链表,依次与出栈元素做对比
    方法3:最优解,快慢指针找中间+反转链表,不借助任何辅助空间
    时间复杂度O(N),空间复杂度O(1)
    1.slow,fast双指针遍历链表,当slow到达中间时(即fast为null时),将链表后半部分反转。
    1->2->3->2->1变为1->2->3<-2<-1
    2.两个指针从两头向中间遍历,并比较判断
    3.将反转的部分再调整回来
     

    案例八:复杂链表的复制

    链表结构中不仅含有next指针,还含有random指针。请复制链表。
    答案:
    以1->2->3->null为例(未显示出random指针的指向)
    1.生成新节点,连到对应原节点后,此步骤复制了next指针的指向
    变为1->1'->2->2'->3->3'->null
    2.复制random指针的指向
    1的random指针原来指向X,1‘的random指针就指向X’
    3.经步骤2后复制前和复制后的链表构成长的链表,将长的链表拆分即可
    1->1'->2->2'->3->3'->null拆为1->2->3->null(原链表)和1‘->2’->3‘->null(复制后的链表)
     

    案例九:判断一个单链表是否有环,及环的入口点

    如何判断一个单链表是否有环?有环的话返回进入环的第一个节点,无环的话返回空。
    答案:
    最优解时间复杂度为O(N),空间复杂度为O(1)
    1.判断有环
    定义快慢指针slow,fast,(slow=head,fast=head)
    注意:slow和fast都是从head开始的,slow经过1个节点时fast经过了1个,slow经过了2个时fast经过了3个,并不是严格的2倍的关系
    slow每次走一步,fast每次走两步。
    若链表无环,fast将很快为null,返回空即可。
    若链表有环,slow,fast将在环中的某个位置相遇
    (注:此时fast和slow走过的距离相差并不是nr(r为环的长度,n>=1),因为走过的距离并不是严格)。
    2.有环时,
    fast再次从头出发,每次走一步,
    slow从相遇点出发,每次走一步,
    再次相遇即为环入口点。
    (头节点到环入口点的距离=相遇点到环入口点的距离)
    拓展:求环中节点的个数
    答案:
    slow和fast相遇时,num从0开始计数,
    slow每次走一步,fast每次走两步,每次num+1,
    再次相遇时,num即为环中节点的个数。
    因为fast的速度是slow的2倍,slow走了1个环的长度,fast走了2个环的长度,差值即为环的长度
     

    案例十:判断两个无环单链表是否相交

    如何判断两个无环单链表是否相交?
    相交的话,返回第一个相交的节点(即第一个公共节点)。
    不相交的话,返回空。
    答案:
    如果两个链表的长度分别为N和M,
    最优解为时间复杂度为O(N+M),空间复杂度为O(1)
    1.遍历list1和list2,得到链表长度分别为len1和len2
    2.假设len1>len2,list1先遍历len1-len2个节点,然后两个链表同时往后遍历
    3.如果两个单链表不相交,最终都会变为null
    如果两个单链表相交,相遇时即为第一个相交的节点
     

    案例十一:判断两个有环单链表是否相交

    如何判断两个有环单链表是否相交?
    相交的话,返回第一个相交的节点;不相交的话,返回空。
    答案:
    如果两个链表的长度分别为N和M,
    时间复杂度为O(N+M),空间复杂度为O(1)
    根据之前介绍的找到环形单链表第一个入环的题目,找到两个链表各自的入环节点node1和node2。
     
    情况1:(node1==node2)两个链表的入环节点是同一个节点的情况
    和判断两个无环单链表类似,只是判断终止的条件不同。
    第一个链表到其入环节点的长度为len1,第二个链表到其入环节点的长度为len2。
    假设len1>len2,list1先遍历len1-len2个节点,然后两个链表同时往后遍历
     
     情况2:(node1 != node2)两个链表的入环节点不是同一个节点的情况
    又分为以下两种情况
    从第一个链表的入环节点node1开始,往下走,
    如果能够回到出发位置node1,说明是情况1,应当返回空
    如果在回到出发位置之前,遇到了第二个链表的入环节点node2,说明是情况2,返回node1或node2都正确
     

    案例十二:判断两个单链表是否相交

    判断两个单链表是否相交?
    相交的话,返回第一个相交的节点;不相交的话,返回空。
    答案:
    按有环和无环两种情况进行分析,因此首先判断链表是否有环
    1.利用案例九的方法找到两个链表各自的入环节点
    假设:
    head1的链表入环节点为node1
    head2的链表入环节点为node2
    2.如果node1和node2,一个为空,另一个不为空,则两个链表不可能相交
    3.如果node1和node2都等于空,说明两个链表都无环,则用案例十(无环单链表)进行判断。
    4.如果node1和node2都不为空,说明两个链表都有环,则用案例十一(有环单链表)进行判断。
           
     
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