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  • 参考文章:利用最小二乘法,用直线拟合5点时,为什么计算竖直距离而非垂直距离?

    我的理解是,直接求距离之和可能导致多个解存在的情况,而求距离平方和可以保证唯一解,参考:
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    当且仅当a=b时,不等式等号成立
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    参考文章:利用最小二乘法,用直线拟合5点时,为什么计算竖直距离而非垂直距离?

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  • 贪心算法求解划分最小平方和
    #include<iostream>
    #include<math.h>
    #define max 100
    using namespace std;
    
    bool tag[max];
    
    
    void InitTag() {
    	for(int i=0;i<max;i++) {
    		tag[i]=false;
    	}
    }
    
    
    int  Tag(int k,int low,int high,int *s) {
    	if(k==1) {
    		return -1;
    	} else {
    		int average=(s[high]-s[low])/k;
    		for(int i=low+1;i<=high;i++) {
    			if((s[i]-s[low])>average) {
    				if(abs(s[i]-s[low]-average)>abs(s[i-1]-s[low]-average)) {
    					tag[i-1]=true;
    					return i-1;
    				} else {
    					tag[i]=true;
    					return i;
    				}
    			}
    		}
    	}
    }
    
    void Delete(int *a,int *s) {
    	delete []a;
    	delete []s;
    }
    
    void Print(int *a,int n) {
    	for(int i=0;i<n;i++) {
    		cout<<a[i]<<" ";
    		if(tag[i+1]==true) {
    			cout<<"|";
    		}
    	}
    }
    
    void Print1(int *s,int n) {
    	for(int i=0;i<=n;i++) {
    		cout<<s[i]<<" ";
    	}
    }
    
    int main() {
    	int n,k;
    	int *s,*a;
    	cin>>n>>k;
    	InitTag();
    	a=new int[n];
    	s=new int[n+1];
    	s[0]=0;
    	int p=0;
    	int m;
    	for(int i=0;i<n;i++) {
    		cin>>a[i];
    		p+=a[i];
    		s[i+1]=p;
    	}
    	
    	
    	int q=Tag(k,0,n,s);
    	int count=k-1;
    	while(q!=-1) {
    		q=Tag(count,q,n,s);
    		count--;
    	}
    	Print(a,n);
    	Delete(a,s);
    	
    	return 0;
    }
    
    /*
    9 4
    1 2 3 4 5 6 7 8 9
    */

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  • 总偏差平方和(SST)=回归平方和(SSR)+残差平方和(SSE)总偏差平方和 (SST) = 回归平方和(SSR) + 残差平方和(SSE)总偏差平方和(SST)=回归平方和(SSR)+残差平方和(SSE) 即: ∑(yi−y‾)2=∑(y^i−y‾)2+∑...

    线性回归中有这样一条性质:
    (SST)=SSR+SSE总偏差平方和 (SST) = 回归平方和(SSR) + 残差平方和(SSE)

    即:
    (yiy)2=(y^iy)2+(yiy^i)2(1)\sum(y_i-\overline y)^2=\sum(\hat y_i-\overline y)^2+\sum(y_i-\hat y_i)^2\tag{1}

    证明:下面以一元回归为例证明。
    (yiy)2=(yiy^i+y^iy)2=(yiy^i)2+(y^iy)2+2(yiy^i)(y^iy) \begin{aligned} \sum(y_i-\overline y)^2&=\sum(y_i-\hat y_i+\hat y_i-\overline y)^2\\ &=\sum(y_i-\hat y_i)^2+\sum(\hat y_i-\overline y)^2+2\sum(y_i-\hat y_i)(\hat y_i-\overline y)\\ \end{aligned}

    因此,我们需要证明 (yiy^i)(y^iy)=0\sum(y_i-\hat y_i)(\hat y_i-\overline y)=0.

    (yiy^i)(y^iy)=(yiy^i)y^iy(yiy^i)(2) \begin{aligned} \sum(y_i-\hat y_i)(\hat y_i-\overline y)&=\sum(y_i-\hat y_i)\hat y_i-\overline y\sum (y_i-\hat y_i)\\ \end{aligned}\tag{2}

    根据最小二乘法,若回归方程为:y=β0+β1xy=\beta_0+\beta_1x,优化目标是使得 f=(yiβ0+β1xi)2f=\sum (y_i-\beta_0+\beta_1x_i)^2最小,通过令一阶导数 ff 为零计算 β0,β1\beta_0, \beta_1
    fβ0=2(yiβ0+β1xi)=0 \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial \beta_0}=-2\sum(y_i-\beta_0+\beta_1x_i)=0 \end{aligned}
    由于 y^i=β0+β1xi\hat y_i=\beta_0+\beta_1x_i,所以
    (yiy^i)=0(3)\sum (y_i-\hat y_i)=0\tag{3}

    又因为:
    fβ1=2xi(yiβ0+β1xi)=0 \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial \beta_1}=2\sum x_i(y_i-\beta_0+\beta_1x_i)=0 \end{aligned}

    所以,
    (β0+β1xi)(yiβ0+β1xi)=y^i(y^iyi)=0(4) \sum (\beta_0+\beta_1x_i)(y_i-\beta_0+\beta_1x_i)=\sum\hat y_i(\hat y_i-y_i)=0\tag{4}

    综合表达式 (2),(3),(4),表达式(1)成立。因此:
    (SST)=SSR+SSE总偏差平方和 (SST) = 回归平方和(SSR) + 残差平方和(SSE)
    \Box

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  • 最小二乘法为什么使用误差平方和

    千次阅读 2015-11-20 13:31:00
    个人理解,根据大数定理残差服从高斯分布,而高斯分布的密度函数里exp的指数是二次方,然后最大似然估计,所以就是求误差平方和

      个人理解,根据大数定理残差服从高斯分布,而高斯分布的密度函数里exp的指数是二次方,然后最大似然估计,所以就是求误差平方和。

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  • 最小平方反褶积

    千次阅读 2014-08-22 11:15:54
     最小平方反褶积即维纳滤波反褶积,下面用维纳滤波做脉冲反褶积预测反褶积做实验。  脉冲反褶积的基本思想在于设计一个滤波算子,用它把已知的输入信号转换为与给定的期望输出信号在最小平方误差的意义下是...
  • 课程作业练习 K均值聚类(最小误差平方和准则) 这是学习机器学习课程的一个作业,自己的学习记录,利用python实现,依据图中的算法思路完成,初学,还需要很多改进。 首先生成了5类正态分布的点,对这些点进行聚类...
  • 对于最小二乘估计,最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据,也就是估计值和观测值之差的平方和最小,其推导过程如下所示。其中Q表示误差,Yi表示估计值,Yi'表示观测值。对于最大似然法,最合理的参数...
  • 最小平方误差判别 MSE

    千次阅读 2016-01-11 19:04:04
    最小平方误差判别准则函数 对于上一节提出的不等式组: 在线性不可分的情况下,不等式组不可能同时满足。一种直观的想法就是,希望求一个a*使被错分的样本尽可能少。这种方法通过求解线性不等式组来最小...
  • 最小中值平方估计

    千次阅读 2014-09-11 20:39:18
    最小中值平方法是通过求解下面的非线性最小问题
  • 极大似然和最小平方误差等价关系

    千次阅读 2013-10-04 16:12:38
     我们设想一个问题如下:学习器工作在X的实例空间假设空间H,我们现在的任务就是根据实例空间X,然后在H空间中学习出h满足:y = h(x)。现在我们给出了训练样集D,但是D含有随机噪声,但是此噪声服从高斯分布。即...
  • 用这个方程来描述不同变量之间的关系, 而这个关系又无法做到想像函数关系那样准确, 因为即使你重复全部控制条件,结果也还有区别, 这时通过让回归方程计算值和试验点结果间差值的平方和最小来建立 ...
  • 最小二乘法

    2018-10-28 15:00:59
    最小二乘(最小平方法),是数学优化技术中的一种,其作用是:...1. 利用其可以得到和真实数据之间误差平方和最小的未知数据。 2. 用于曲线拟合 3. 一些优化问题中的最小化能量或最大化熵,可以用最小二乘法表达...
  • 统计知识5:总平方和、残差平方和、判定系数

    万次阅读 多人点赞 2017-11-19 00:00:00
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  • 那么接上面一节讲的,为什么要用最小平方和作为目标函数呢?对于这个问题,有关博客就数学相关的理论知识已经做了很详细的解释【转载】机器学习—–线性回归浅谈(Linear Regression)从概率层面解释-回归模型的目标...
  • 用这个方程来描述不同变量之间的关系, 而这个关系又无法做到想像函数关系那样准确, 因为即使你重复全部控制条件,结果也还有区别, 这时通过让回归方程计算值和试验点结果间差值的平方和最小来建立 回归方程的...
  • 给定似然函数:     其中:     定义对数似然函数:     ...结论:最大化对数似然函数等价于最小化残差平方和。 参考资料:Stanford cs229
  • 关于最大似然估计和最小二乘估计

    千次阅读 2017-02-16 01:27:38
    对于最小二乘估计,最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据,也就是估计值和观测值之差的平方和最小,其推导过程如下所示。其中Q表示误差,Yi表示估计值,Yi'表示观测值。 对于最大似然法,最...
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  • 最小二乘法原理理解

    万次阅读 多人点赞 2018-05-04 21:29:15
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  • 普通最小二乘法

    千次阅读 2018-08-02 23:59:57
    sklearn中的LinearRegression类拟合了一个带有系数w=(w1,w2,...,wp)w=(w1,w2,...,wp)w=(w_1,w_2,...,w_p)的线形模型,使得数据集实际观测数据和预测数据之间的残差平方和最小: minw||Xw−y||22minw||Xw−y||22min_...
  • 【模式识别】最小平方误差判别 MSE

    万次阅读 多人点赞 2013-06-02 15:36:44
    最小平方误差判别准则函数 对于上一节提出的不等式组: 在线性不可分的情况下,不等式组不可能同时满足。一种直观的想法就是,希望求一个a*使被错分的样本尽可能少。这种方法通过求解线性不等式组来最小化错分...

空空如也

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平方和最小