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  • 数学基础之平方和公式

    千次阅读 2019-08-05 11:19:14
    文章目录一、平方和公式1.介绍2.公式3.证明方法(1)证法一(归纳猜想法)证法三( ) : 令 一、平方和公式 1.介绍 \quad平方和公式是一个比较常用公式,用于求连续自然数的平方和(Sum of squares),其和又可称为...


    一、平方和公式

    1.介绍

    \quad 平方和公式是一个比较常用公式,用于求连续自然数的平方和(Sum of squares),其和又可称为四角锥数,或金字塔数(square pyramidal number)也就是正方形数的级数。

    \quad 此公式是冯哈伯公式(Faulhaber’s formula)的一个特例。

    2.公式

    核心: 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} 12+22+32++n2=6n(n+1)(2n+1)

    其他:

    ∑ k = 1 n k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + n 2 = n 3 3 + n 2 2 + n 6 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 \displaystyle \sum^{n}_{k=1}{k^2}=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} k=1nk2=12+22+32++n2=3n3+2n2+6n=6n(n+1)(2n+1)
    ∑ k = 1 n k 2 = C n + 2 3 + C n + 1 3 = 1 4 C 2 n + 2 3 = n C n + 1 2 − C n + 1 3 ∣ \displaystyle \sum^{n}_{k=1}{k^2}=C^3_{n+2}+C^3_{n+1}=\frac{1}{4}C^3_{2n+2}=nC^{2}_{n+1}-C^{3|}_{n+1} k=1nk2=Cn+23+Cn+13=41C2n+23=nCn+12Cn+13
      
    在这里插入图片描述

    3.证明方法

    (1)证法一(归纳猜想法)

    1、 n=1时, 1 = 1 ( 1 + 1 ) ( 2 × 1 + 1 ) 6 = 1 1= \dfrac{1(1+1)(2\times1+1)}{6}=1 1=61(1+1)(2×1+1)=1

    2、 n=2时, 1 + 2 2 = 2 ( 2 + 1 ) ( 2 × 2 + 1 ) 6 = 5 1+2^2= \dfrac{2(2+1)(2\times2+1)}{6}=5 1+22=62(2+1)(2×2+1)=5

    3、设 n = k ( k ∈ Z , k ≥ 2 ) n=k(k\in \mathbb{Z},k \geq 2) n=k(kZ,k2)时,公式成立,即 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + k 2 = k ( k + 1 ) ( 2 k + 1 ) 6 1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} 12+22+32++k2=6k(k+1)(2k+1),则当n=k+1时,

    1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + k 2 + ( k + 1 ) 2 1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2 12+22+32++k2+(k+1)2

    = k ( k + 1 ) ( 2 k + 1 ) 6 + ( k + 1 ) 2 =\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2 =6k(k+1)(2k+1)+(k+1)2

    = ( k + 1 ) [ k ( 2 k + 1 ) 6 ( k + 1 ) ] 6 =\dfrac{(k+1)[k(2k+1)6(k+1)]}{6} =6(k+1)[k(2k+1)6(k+1)]

    = ( k + 1 ) ( 2 k 2 + 7 k + 6 ) 6 =\dfrac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6} =6(k+1)(2k2+7k+6)

    = ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 ) 6 =\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} =6(k+1)(k+2)(2k+3)

    = ( k + 1 ) [ ( k + 1 ) + 1 ] [ 2 ( k + 1 ) + 1 ] 6 =\dfrac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6} =6(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

    也满足公式

    根据数学归纳法,对一切自然数n有 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} 12+22+32++n2=6n(n+1)(2n+1)成立。

    (2)证法二(利用恒等式)

    恒等式: ( n + 1 ) 3 = n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 (n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 (n+1)3=n3+3n2+3n+1

    所以 ( n + 1 ) 3 − n 3 = 3 n 2 + 3 n + 1 (n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 (n+1)3n3=3n2+3n+1 n 3 − ( n − 1 ) 3 = 3 ( n − 1 ) 2 + 3 ( n − 1 ) + 1 n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 n3(n1)3=3(n1)2+3(n1)+1

    ⋯ \cdots

    3 3 − 2 3 = 3 × 2 2 + 3 × 2 + 1 3^3-2^3=3\times 2^2+3\times 2+1 3323=3×22+3×2+1

    2 3 − 1 3 = 3 × 1 2 + 3 × 1 + 1 2^3-1^3=3\times 1^2+3\times 1+ 1 2313=3×12+3×1+1

    求和得: ( n + 1 ) 3 − 1 = 3 ( 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + n 2 ) + 3 ( 1 + 2 + 3 + ⋯ + n ) + n (n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+\cdots + n^2)+3(1+2+3+\cdots+n)+n (n+1)31=3(12+22+32++n2)+3(1+2+3++n)+n

    由于 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} 1+2+3++n=2n(n+1)

    代入上式得:

    ( n + 1 ) 3 − 1 = ( n + 1 ) 3 − 1 = 3 ( 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + n 2 ) + 3 n ( n + 1 ) 2 + n (n+1)^3-1=(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+\cdots + n^2)+3\dfrac{n(n+1)}{2}+n (n+1)31=(n+1)31=3(12+22+32++n2)+32n(n+1)+n

    整理后得:

    1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 1^2+2^2+3^2+\cdots + n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} 12+22+32++n2=6n(n+1)(2n+1)

    (3)证法三()

    =
    因为
    所以,

    证法四 (排列组合法):
    由于 ,
    因此我们有
      =
    由于 , ,
    于是我们有
    证法五 (拆分,直接推导法):
    1=1
    2²=1+3
    3²=1+3+5
    4²=1+3+5+7

    (n-1)²=1+3+5+7+…+[2(n-1)-1]
    n²=1+3+5+7+…+[2n-1]
    求和得:

    ……(*)
    因为前n项平方和与前n-1项平方和差为n²

    代入(*)式,得:

    此式即


    参考:
    https://baike.baidu.com/item/平方和公式/3264126?fr=aladdin

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  • 证明 总偏差平方和 = 回归平方和 + 残差平方和

    万次阅读 多人点赞 2019-08-06 08:13:02
    总偏差平方和(SST)=回归平方和(SSR)+残差平方和(SSE)总偏差平方和 (SST) = 回归平方和(SSR) + 残差平方和(SSE)总偏差平方和(SST)=回归平方和(SSR)+残差平方和(SSE) 即: ∑(yi−y‾)2=∑(y^i−y‾)2+∑...

    线性回归中有这样一条性质:
    总 偏 差 平 方 和 ( S S T ) = 回 归 平 方 和 ( S S R ) + 残 差 平 方 和 ( S S E ) 总偏差平方和 (SST) = 回归平方和(SSR) + 残差平方和(SSE) (SST)=SSR+SSE

    即:
    ∑ ( y i − y ‾ ) 2 = ∑ ( y ^ i − y ‾ ) 2 + ∑ ( y i − y ^ i ) 2 (1) \sum(y_i-\overline y)^2=\sum(\hat y_i-\overline y)^2+\sum(y_i-\hat y_i)^2\tag{1} (yiy)2=(y^iy)2+(yiy^i)2(1)

    证明:下面以一元回归为例证明。
    ∑ ( y i − y ‾ ) 2 = ∑ ( y i − y ^ i + y ^ i − y ‾ ) 2 = ∑ ( y i − y ^ i ) 2 + ∑ ( y ^ i − y ‾ ) 2 + 2 ∑ ( y i − y ^ i ) ( y ^ i − y ‾ ) \begin{aligned} \sum(y_i-\overline y)^2&=\sum(y_i-\hat y_i+\hat y_i-\overline y)^2\\ &=\sum(y_i-\hat y_i)^2+\sum(\hat y_i-\overline y)^2+2\sum(y_i-\hat y_i)(\hat y_i-\overline y)\\ \end{aligned} (yiy)2=(yiy^i+y^iy)2=(yiy^i)2+(y^iy)2+2(yiy^i)(y^iy)

    因此,我们需要证明 ∑ ( y i − y ^ i ) ( y ^ i − y ‾ ) = 0 \sum(y_i-\hat y_i)(\hat y_i-\overline y)=0 (yiy^i)(y^iy)=0.

    ∑ ( y i − y ^ i ) ( y ^ i − y ‾ ) = ∑ ( y i − y ^ i ) y ^ i − y ‾ ∑ ( y i − y ^ i ) (2) \begin{aligned} \sum(y_i-\hat y_i)(\hat y_i-\overline y)&=\sum(y_i-\hat y_i)\hat y_i-\overline y\sum (y_i-\hat y_i)\\ \end{aligned}\tag{2} (yiy^i)(y^iy)=(yiy^i)y^iy(yiy^i)(2)

    根据最小二乘法,若回归方程为: y = β 0 + β 1 x y=\beta_0+\beta_1x y=β0+β1x,优化目标是使得 f = ∑ ( y i − β 0 + β 1 x i ) 2 f=\sum (y_i-\beta_0+\beta_1x_i)^2 f=(yiβ0+β1xi)2最小,通过令一阶导数 f f f 为零计算 β 0 , β 1 \beta_0, \beta_1 β0,β1
    ∂ f ∂ β 0 = − 2 ∑ ( y i − β 0 + β 1 x i ) = 0 \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial \beta_0}=-2\sum(y_i-\beta_0+\beta_1x_i)=0 \end{aligned} β0f=2(yiβ0+β1xi)=0
    由于 y ^ i = β 0 + β 1 x i \hat y_i=\beta_0+\beta_1x_i y^i=β0+β1xi,所以
    ∑ ( y i − y ^ i ) = 0 (3) \sum (y_i-\hat y_i)=0\tag{3} (yiy^i)=0(3)

    又因为:
    ∂ f ∂ β 1 = 2 ∑ x i ( y i − β 0 + β 1 x i ) = 0 \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial \beta_1}=2\sum x_i(y_i-\beta_0+\beta_1x_i)=0 \end{aligned} β1f=2xi(yiβ0+β1xi)=0

    所以,
    ∑ ( β 0 + β 1 x i ) ( y i − β 0 + β 1 x i ) = ∑ y ^ i ( y ^ i − y i ) = 0 (4) \sum (\beta_0+\beta_1x_i)(y_i-\beta_0+\beta_1x_i)=\sum\hat y_i(\hat y_i-y_i)=0\tag{4} (β0+β1xi)(yiβ0+β1xi)=y^i(y^iyi)=0(4)

    综合表达式 (2),(3),(4),表达式(1)成立。因此:
    总 偏 差 平 方 和 ( S S T ) = 回 归 平 方 和 ( S S R ) + 残 差 平 方 和 ( S S E ) 总偏差平方和 (SST) = 回归平方和(SSR) + 残差平方和(SSE) (SST)=SSR+SSE
    □ \Box

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  • 平方和与和平方

    千次阅读 2015-05-09 20:19:55
    前十个自然数的平方和是 1^2+2^2+3^2+...+10^2 =385,前十个自然数和的平方是(1+2+3+...+10)^2=55^2=3025,所得平方之和和的平方的差值是3025-385=2640. 现给定一个n,叫你求出前n个自然数的平方和与和平方的差值.

    平方和与和平方

    问题描述:

    前十个自然数的平方和是12+22+32+...+102=385 ,前十个自然数和的平方是(1+2+3+...+10)2=552=3025;

    所得平方之和与和的平方的差值是3025-385=2640. 现给定一个n,叫你求出前n个自然数的平方和与和平方的差值.

    输入:

    一个整数n

    输出:

             一个整数(前n个自然数的平方和与和平方的差值 )

    例 如

    输入:

    10

    输出:

    2640

    解法一:

    首先也是最笨的解法,即直接对题目中的计算过程进行模拟求得,, ,最后直接输出result

    C语言代码如下:

    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    void main()
    {
        __int64 result,sum1=0,sum2=0;	
        int n,i;	
        scanf("%d",&n);	
        for(i=1;i<=n;i++)		
        {		
            sum1+=pow(i,2);		
            sum2+=i;		
        }	
        sum2=pow(sum2,2);	
        result=sum2-sum1;
        printf("%I64d\n",result);
    }


    解法二:

    首先我们先写下题目中的两个公式



    最后的解为:

    C语言代码如下:

    #include <stdio.h>
    void main()
    {
    	__int64 result=0;
    	int n,i,j;
    	scanf("%d",&n);
    	for(i=1;i<n;i++)
    	{
    		result+=2*i*(((n-i)*(i+1+n))/2);
    	}
    	printf("%I64d\n",result);
    }

    解法三:

      此公式由数学归纳法证明



    C语言代码如下:

    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    void main()
    {
    	__int64 result,n,sum1,sum2;
    	scanf("%I64d",&n);
    	sum1=(n*(n+1)*(2*n+1))/6;
    	sum2=pow((n*(n+1))/2,2);
    	result=sum2-sum1;
    	printf("%I64d\n",result);
    }



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  • 自然数平方和公式推导

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    立方和 :

     

     

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平方差与平方和的计算公式