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  • excel公式怎么用:用EXCEL求离差平方和 和 相关系数
    千次阅读
    2021-01-17 18:14:41

    用EXCEL求离差平方和 和 相关系数

    选中浓度和吸两行数据,插入表,XY散点图,下,下一步,完成。

    选中散列,图表→添加趋势线,类型:线性,选项:显示公式、显示R平方值,确定。

    得到回归方程

    y = 0.3824x - 0.0014

    和R平方值

    R^2 = 0.9958

    由于我们实际需要的R值,可以用公式进行计算相关系数。

    R=sqrt(0.9958)=0.997898

    这个问题,也可以直接用函数计算

    假如数据区域为

    浓度:B1:G1

    吸光度:B2:G2

    回归方程的斜率

    =SLOPE(B2:G2,B1:G1)

    回归方程的截距

    =INTERCEPT(B2:G2,B1:G1)

    相关系数

    =CORREL(B1:G1,B2:G2)

    怎样在excel中算方差,怎么算离差

    excel主要有两差:

    VAR.P

    计算基于样本总体的方差

    VAR.S

    函数

    基于样本估算方差

    用法是函数后为参数列表,不超过254参数。

    标准差也有两个:

    STDEV.P 函数

    基于整个样本总体计算标准偏差

    STDEV.S

    函数

    基于样本估算标准偏差

    Excel是办公自动化中非常重要的一款软件,很多巨型国际企业和国内行政、企事业单位都用Excel进行数据管理。它不仅能够方便地进行图形分析和表格处理,其更强大的功能还体现在数据的统计分析研究方面。然而很多缺少数理统计基础知识而对Excel强大统计分析功能不够了解的人却难以更加深入、更高层次地运用Excel。

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    平方米是面积单位,边长为1米的正方形的面积为1平方米。在生活中平方米经常被简称为平方或者平米,而港台地区则是用平方公尺作为面积单位。那么计算平方的公式是什么呢?各类计算公式有哪些呢?接下来,小编给大家介绍一下相关内容,一起来看看吧。

    计算平方的公式

    计算平方的公式根据物体的形状有不同的公式,具体如下:

    1、长方形:{长方形面积=长×宽}

    2、正方形:{正方形面积=边长×边长}

    3、平行四边形:{平行四边形面积=底×高}

    4、三角形:{三角形面积=底×高÷2}

    5、梯形:{梯形面积=(上底+下底)×高÷2}

    2554a1b20ac44efb9cef569b8cbdc6f1.png

    6、圆形:{圆形(正圆)面积=圆周率×半径×半径}

    7、圆环:{圆形(外环)面积={圆周率×(外环半径^2-内环半径^2)}

    8、扇形:{圆形(扇形)面积=圆周率×半径×半径×扇形角度/360}

    9、长方体表面积:{长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2}

    10、正方体表面积:{正方体表面积=棱长×棱长×6}

    962cafc791b820939e32c340464b390a.png

    各类计算公式

    1、长方形的周长=(长+宽)×2 C=(a+b)×2

    2、正方形的周长=边长×4 C=4a

    3、长方形的面积=长×宽 S=ab

    4、正方形的面积=边长×边长 S=a.a= a

    5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2

    6、平行四边形的面积=底×高 S=ah

    7、梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 S=(a+b)h÷2

    8、直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2

    44731926ce7cd7caabd291e832fb5013.png

    9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr

    10、圆的面积=圆周率×半径×半径 ?=πr ^2

    11、长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2

    12、长方体的体积 =长×宽×高 V =abh

    13、正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a

    14、正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a.a.a= a

    15、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 S=ch

    16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积

    S=2πr +2πrh=2π(d÷2) +2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π) +Ch

    17、圆柱的体积=底面积×高 V=Sh

    V=πr h=π(d÷2) h=π(C÷2÷π) h

    18、圆锥的体积=底面积×高÷3

    V=Sh÷3=πr h÷3=π(d÷2) h÷3=π(C÷2÷π) h÷3

    a9141ea5f7f48a29ec849931701d7e93.png

    文章总结:以上就是小编给大家介绍的关于计算平方的公式以及各类计算公式的内容,希望可以帮助一些有需要的朋友们。

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  • 更新说明:为满足部分考研学子的需求,本次新增内容主要有反三角函数图像、性质、基本公式(不含推理,若感兴趣可以去了解)。(更新于:Oct 9,2020)首先,本人做一下简要的自我介绍。本科已毕业,经历过考研复习(没上...

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    更新说明:为满足部分考研学子的需求,本次新增内容主要有反三角函数图像、性质、基本公式(不含推理,若感兴趣可以去了解)。(更新于:Oct 9,2020)

    首先,本人做一下简要的自我介绍。

    本科已毕业,经历过考研复习(没上战场,至于什么原因以后再论)。说到三角函数公式,不管是高考也好还是考研也好,都逃不脱高中必修四“三角函数”部分,作为复习过来人,我将通过口诀以及图解的方式来帮助更多的同学来理解公式(以下只是我的学习方法),达到精准高效的目的de。进入正文之前先show一波俺之前的考研数学笔记。

    0dec829f9b0e37852c4fd800b8ee5830.png
    曾经的回忆

    f94e0d00a1578f3f3bd83b77fab13a00.png
    留下的遗憾

    1457df56ead5747e01d8e321b2547f24.png
    分割线
    内容概要
    1. 基本三角函数定义&关系式
    2. 三角函数图像性质
    3. 诱导公式
    4. 二角和差公式
    5. 倍角&半角公式
    6. 和差化积&积化和差公式
    7. 万能公式
    8. 三倍角公式(高中不要求!)
    9. 辅助角公式
    10. 反三角函数(高中不要求!)
    11. 结束语

    以下内容我会通过图解+公式+口诀or记忆技巧用斜体的方式为大家呈现,部分重要的公式会用黑体(包括部分公式推理)加以区别。

    一、基本三角函数定义&关系式

    1. 基本三角函数定义

    首先,搞一个直角三角形(如下图所示),其中以

    ACB为直角,对于
    BAC,对边BC、斜边AB、邻边AC而言,则存在以下关系:

    ffaa258d05af93719b2f5272da10ff96.png
    图1 直角三角形

    f2b8fade217cb07972a6ed71f2b01524.png
    表2 三角函数定义(已更正)

    以上是常用的三角函数定义,高中的话不要求掌握正割和余割函数(由表可以看出正割函数等于余弦函数的倒数,同理,余割函数等于正弦函数的倒数,说实话高中有时候余切函数都很少用)。

    2. 基本三角函数关系式

    基本三角函数关系有以下三种

    ① 倒数关系:tanA·cotA=1; sinA·cscA=1; cosA·secA=1

    ② 商数关系:tanA=

    ; cotA=

    ③ 平方(和)关系: sin²A+cos²A=1; 1+tan²A=sec²A; 1+cot²A=csc²A

    How to Understand? ↓↓↓

    下面给出正六边形帮助大家去理解三角函数之间的关系:

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    图3 三角关系六边形(来源:百度)

    其图形特征为——上弦中切下为割,左正右余1中间。

    对角相乘乘积为1(如图4)

    451bb1f8aaa810c93fa707435583f30c.png
    图4 三角函数倒数关系

    六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数,处于中间位置函数等于它相邻两个函数的乘积。(如图5)

    306c25b683d4657e6f826d4b7a4db920.png
    图5 三角函数乘数关系

    由左图可知tanA·cosA=sinA,当我们把cosA移到等式右边时等式就变为商数关系(右图同理)。

    上面商数关系只写了两个,当然还可以得到tanA·cscA=secA; secA·cotA=cscA; cscA·cosA=cotA; secA·sinA=tanA.

    阴影部分的三角形,位于上方两个顶点函数的平方和等于下顶点函数的平方值(如图6)

    4a444df4a12c8929fb292a89d8c15406.png
    图6 三角函数平方关系

    由图分别可以得到sin²A+cos²A=1; 1+tan²A=sec²A; 1+cot²A=csc²A

    (PS:很多人可能会像我之前理解这些公式那样会将中间或者右边那个图误认为是tan²A+sec²A=1;cot²A+csc²A=1,当然可能是受到了sin²A+cos²A=1的影响。在上面三角形中其实是以倒三角的底边作平方和,下顶点为其结果的平方,这样就不会搞错了。)

    二、三角函数图像性质

    1.正弦函数

    1.1 函数图像

    e3d173cc3428906260aa2524b97c5b02.png
    图7 正弦函数

    1.2 图像性质

    ①定义域(D):R

    ②值域(

    ): [-1,1]

    ③周期(T):

    ④奇偶性:奇函数

    ⑤单调性:

    上单调递增;

    上单调递减。

    ⑥最值:

    时,
    ;当
    时,
    ;

    ⑦有界性:

    2. 余弦函数

    2.1 函数图像

    30bef1bbc10df0ee0d141d31882e293e.png
    图8 余弦函数

    2.2 图像性质

    ①定义域(D):R

    ②值域(

    ): [-1,1]

    ③周期(T):

    ④奇偶性:偶函数

    ⑤单调性:

    上单调递减;

    上单调递增。

    ⑥最值:

    时,
    ;当
    时,
    ;

    ⑦有界性:

    3. 正切函数

    3.1 函数图像

    b7b59693eb344c0f7d97e0083adfe6f2.png
    图9 正切函数

    2.2 图像性质

    ①定义域(D):

    ②值域(

    ): R

    ③周期(T): π

    ④奇偶性:奇函数

    ⑤单调性:

    上单调递增。

    ⑥最值:无最大、最小值。

    三、诱导公式

    为什么会有诱导公式?是因为在实际生活当中角度的旋转量有时候不在[0.2π](rad:弧度)这个区间的情况,假如让我们计算不是0-360°的三角函数时,我们有必要引入诱导公式来将一个角度控制在0-360°范围之内,有利于计算方便。为了引出诱导公式,首先从角度的扩充说起。

    1. 角度的扩充与象限角

    按照高中之前的教学,角度的范围只能限制在[0.2π]之间。于是用另一种方式表示角:一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角,这条射线叫做角的始边,旋转到的位置所对应的边叫做角的终边,而这个公共端点叫做角的顶点。通常把逆时针旋转的角称为正角,顺时针旋转的角称为负角(如下图7所示),如果没有进行旋转,也视为形成了一个角,这个角叫做零角。

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    图10 三角函数任意角

    当角的终边落在第几象限,就说这个角是象限角或说这个角属于第几象限。

    第一象限:2kπ<α< 2kπ+

    , k∈Z

    第二象限:2kπ+

    <α< 2kπ+ π, k∈Z

    第三象限:2kπ+π<α< 2kπ+

    , k∈Z

    第四象限:2kπ+

    <α< 2kπ+ 2π, k∈Z

    2. 三角函数在各个象限的符号

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    表11 三角函数各个象限角符号

    如果不考虑余切函数的话,将得出如下结论:第一个象限正余弦、正切全为正,第二三四象限分别只有正弦、正切、余弦为正,除此之外全是负。

    即:一全正,二正弦。三正切,四余弦。

    3. 诱导公式理解

    记住一个通用的口诀就行——奇变偶不变,符号看象限。

    How to Understand? ↓↓↓

    奇变偶不变:其中奇偶是指

    的奇偶数倍(倍数为K),变与不变看k是奇还是偶。变的话就是正余弦函数名互变、正余切函数名互变。

    符号看象限:首先我们把角当作一个锐角处理,当这个锐角加或减上

    后(若加则把角的终边逆时针旋转,若减则把角的终边顺时针旋转),然后看这个角是第几象限,其中函数符号要根据原函数(
    不是变化后的函数)来判断,最后由上表就可以判断出符号的正负了。

    举个例子:计算 sin(

    -A)

    Step①:我们可以将等式看做sin( -A+

    ),其中k=3为奇数,函数名发生变化(正弦→余弦),然后把A(-A<0)看做一个锐角,由于A前面有个负号,所以画草图的时候把角A的终边画在第四象限(不要纠结角度的大小,画图的时候只要是锐角就行)。

    53193c7029d022995d6b8236d432d883.png
    图12 Step①

    Step②:画完草图后,然后将角A终边逆时针旋转270°(

    )。

    298b7bff28e581bcecf27105fba1dfeb.png
    图13 Step②

    Step③:最后判断旋转后的终边在第三象限,看正弦函数(不是变化后的余弦函数)在第三象限的符号,根据上述表8可知符号是负的。于是结果为-cosA。

    4. 诱导公式表格

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    表14 三角诱导公式

    这部分内容要多加练习,熟练后可心算得出答案。

    四、二角和差公式

    谐音记忆公式法

    把sin第一个音读作"散(san)",把cos第一个音读作"扩kuo"。

    1-①:sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ(散扩加扩散)

    1-②:sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ(散扩减扩散)

    1-③:cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ(扩扩减散散)

    1-④:cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ(扩扩加散散)

    1-⑤:tan(α+β)=

    (
    分子同号,分母异号)

    1-⑥:tan(α-β)=

    (
    分子同号,分母异号)

    1-⑦:cot(α+β)=

    1-⑧:cot(α-β)=

    五、倍角&半角公式

    该部分内容可由公式直接推出。

    1. 倍角公式

    2-①:sin2α=2sinα·cosα(推理:将公式1-①中的β换成α)

    2-②:cos2α=cos²α-sin²α(推理:将公式1-③中的β换成α)=1-2sin²α=2cos²α-1

    ("1"的妙用:sin²α+cos²α=1)

    2-③:tan2α=

    (推理:将公式1-⑤中的β换成α)

    2-④:cot2α=

    (1=tanα·cotα)=
    (推理:分子分母同乘cot²α)

    2. 半角公式

    2-⑤:sin

    =

    (推理:将公式2-②中的cos2α=1-2sin²α,然后将α换成α/2,移项开方即可)

    2-⑥:cos

    =

    (推理:将公式2-②中的cos2α=2cos²α-1,然后将α换成α/2,移项开方即可)

    2-⑦:tan

    =
    (推理:将公式2-⑤与公式2-⑥之比即可)

    PS:其中正负由

    的终边所在象限确定。

    当然我们还可以得到tan

    的其它形式,推理如下:

    tan

    =
    =
    (分子分母同乘以
    )=
    (2倍角公式)

    tan

    =
    =
    (分子分母同乘以
    )=
    (2倍角公式)

    tan

    =
    =
    同理还可以得出cot
    的半角公式

    2-⑧:cot

    =
    =
    =
    (1=tanα·cotα)
    六、和差化积&积化和差公式

    1. 和差化积公式

    1.1 公式及其特点

    3-①: sinα+sinβ=2sin

    ·cos

    3-②: cosα+cosβ=2cos

    ·cos

    3-③: sinα-sinβ=2cos

    ·sin

    3-④: cosα-cosβ=-2sin

    ·sin

    3-⑤: tanα+tanβ=

    3-⑥: tanα-tanβ=

    3-⑦: cotα+cotβ=

    3-⑧: cotα-cotβ=

    公式特点:前四个等式左边是和的形式,右边为乘积的形式,且倍数为2,第一个函数名后是

    ,第二个函数名后是

    1.2 公式记忆法则(只讨论前四个)

    四个公式分别对应了一个口诀(通用版本)

    ⑴ 正加正,正在前

    35bfbc4373777cbcd8c49b558623f827.png
    图15 公式3-①

    ⑵ 余加余,余并肩。

    c0eaeba65caed3cc92b271d612c1b19f.png
    图16 公式3-②

    ⑶ 正减正,余在前。

    d8b5d249c0adac844164c5d27598cb29.png
    图17 公式3-③

    ⑷ 余减余,负正弦。(注意有负号!)

    e258f10db411c768ce05c4e62e480430.png
    图18 公式3-④

    1.3 公式推理

    下面只给出公式3-①、3-②推导.

    ⑴ 公式3-①推导

    根据前面的公式1-①、1-②。

    sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ······1-①

    sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ······1-②

    二式相加,得

    sin(α+β)+sin(α-β)=2sinα·cosβ, 记α+β=θ;α-β=φ。解得α=

    ;β=

    代入式中即得sinθ+sinφ=2sin

    ·cos

    ⑵ 公式3-②推导

    根据前面的公式1-③、1-④。

    cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ······1-③

    cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ······1-④

    二式相加,得

    cos(α+β)+cos(α-β)=2cosα·cosβ, 记α+β=θ;α-β=φ。解得α=

    ;β=
    ,

    代入式中即得cosθ+cosφ=2cos

    ·cos

    ◆将公式1-①、1-②相减按照同样的方法可以得出公式3-③,

    ◆将公式1-③、1-④相减按照同样的方法可以得出公式3-④.

    2.积化和差公式

    2.1 公式及其特点

    3-⑨: sinα·cosβ=

    [sin(α+β)+sin(α-β)]

    3-⑩: cosα·cosβ=

    [cos(α+β)+cos(α-β)]

    3-⑪: cosα·sinβ=

    [sin(α+β)-sin(α-β)]

    3-⑫: sinα·sinβ=

    [cos(α+β)-cos(α-β)]

    公式特点:等式左边是乘积的形式,等式的右边为和的形式且倍数为

    ,第一个函数名里面是
    α+β;第二个函数名里面是 α-β

    2.2 公式记忆法则

    之前看了很多个版本,我决定用一首诗去理解它(非本人原创),形象又直观。

    ⑴积化和差得和差

    c837f28721a984539f2708043a9d76ea.png
    图19

    ⑵余弦在后要相加(正弦在后就相减)

    557b4ff211659b0eb3b810bbbd6a5392.png
    图20

    ⑶异名函数取正弦(同名函数取余弦)

    d3f2b995597157d0521b3653ed4a7a5a.png
    图21

    ⑷正弦相乘取负号(注意有负号!)

    4822b559ebd5ee5c4dedcb89765c0080.png
    图22

    2.3 公式推理

    下面只给出3-⑨的证明,其余的公式证明过程相似。

    根据公式1-①、1-②。

    sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ······1-①

    sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ······1-②

    二式相加,得

    sin(α+β)+sin(α-β)=2sinα·cosβ,等式两边同时除以2即可。

    七、万能公式

    1.公式内容

    4-①: sinα=

    4-②: cosα=

    4-③: tanα=

    (其中u=tan

    )

    2.公式推理

    ⑴公式4-①推导

    sinα=2sin

    ·cos
    (二倍角)=
    ("1"的妙用:sin²
    +cos²
    =1)

    =

    (分子分母同除以cos²
    )

    ⑵公式4-②推导

    cosα=cos²

    -sin²
    (二倍角)=
    ("1"的妙用:sin²
    +cos²
    =1)

    =

    (分子分母同除以cos²
    )

    ⑶公式4-③(推导)

    tanα=tan(2·

    )=
    (二倍角)
    八、三倍角公式(更新于2020.2.23)

    这部分内容是为了部分考研的同学。话不多说,直接开冲!

    1.公式内容&记忆法则

    5-①:sin3α=-4sin³α+3sinα[负4三方加3(倍)角]

    5-②:cos3α=4cos³α-3cosα[4倍三方减3(倍)角]

    2.公式推理

    ⑴公式5-①推导

    sin3α=sin(α+2α)=sinα·cos2α+cosα·sin2α(公式1-①)

    =sinα·(1-2sin²α)+2cos²α·sinα(二倍角公式)

    =sinα-2sin³α+2(1-sin²α)·sinα("1"的妙用:sin²α+cos²α=1)

    =-4sin³α+3sinα

    ⑵公式5-②推导

    cos3α=cos(α+2α)=cosα·cos2α-sinα·sin2α(公式1-③)

    =cosα·(2cos²α-1)-2sin²α·cosα(二倍角公式)

    =2cos³α-cosα-2(1-cos²α)·cosα("1"的妙用:sin²α+cos²α=1)

    =4cos³α-3cosα

    九、辅助角公式

    a·sinα+b·cosα=

    sin(α+φ),其中tanφ=
    (φ=arctan
    ),推导过程略。
    十、反三角函数(更新于:2020.10.9)

    1.概念(个人理解)

    顾名思义,反三角函数就是三角函数的反函数,就好比指数函数和对数函数一样互为反函数。打个比方:sina=b,则b=arcsina。

    2.反三角函数图像&性质

    (1)反正弦函数图像、性质

    cc8e233736bb3eaf39b368b948a0af22.png
    图23 y=arcsinx

    图像性质:

    ①定义域(D):

    (说明:y=arcsinx是y=sinx在(
    )的反函数)

    ②值域(

    ):

    ③周期(T):

    ④奇偶性:奇函数

    ⑤单调性:在定义域内单增

    ⑥有界性:函数在定义域内有界,

    (2)反余弦函数图像、性质

    e7a4bdfc5e006c7208910500c75da3f5.png
    图24 y=arccosx

    图像性质:(图像与x轴交点是(1,0),与y轴交点是(0,π/2)。)

    ①定义域(D):

    (说明:y=arccosx是y=cosx在(
    )的反函数)

    ②值域(

    ):

    ③周期(T):

    ④奇偶性:

    ⑤单调性:在定义域内单减

    ⑥有界性:函数在定义域内有界,

    (3)反正切函数图像、性质

    59ea6bacb20d9acbd24fd81e6a82cc6d.png
    图25 y=arctanx

    图像性质:

    ①定义域(D):R (说明:y=arctanx是y=tanx在(

    )的反函数)

    ②值域(

    ):

    ③周期(T):

    ④奇偶性:奇函数

    ⑤单调性:在定义域内单增

    ⑥有界性:函数在定义域内有界,

    3.几个常用公式

    3.1

    3.2

    3.3

    十一、结束语

    到最后,我想给大家说的是。

    1、建议不要死记公式,最有效记住公式的办法是"做题(我当时的学习方法,后来觉得公式太多,然后就通过口诀辅助记忆)"。归根到底,以上任何公式记忆没有"直觉"来得快。

    2、口诀旨在帮助你有效记住公式,起到辅助的作用。当然,不排除有更好的方法。毕竟,每个人的学习方法不同。很多人说公式没用,不管有没有用,但你的最终目的就是在考试时候能根据题目回想起所学的某个定理、性质、公式去解决数学问题。

    3、关于公式的推理有很多种,大家可以在闲暇时间拿出你的笔和纸上自行推理一下(paper自己准备,笔我已经给你备好,不够?上一盒)。

    f9c30f9e42fc7464590bc34019033bf1.png
    图26 精万年

    4、文中若有错误的地方,恳请广大"乎友、带佬"们指正;若对你的学习有帮助,请不忘点个赞或转发给你身边正在备考的同学,在下表示万分感谢。

    4bb5678ee4ff0a7604ce357e2f49fed7.png
    图27 带佬鞠躬图

    In The End.

    Thanks for your reading!

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  • 积分法推导正整数平方公式

    千次阅读 2020-01-04 17:00:50
    积分法推导正整数平方公式积分法推导正整数平方公式思路证明过程 积分法推导正整数平方公式 正整数平方公式: 12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6 \Large 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{...

    积分法推导正整数平方和公式

    正整数平方和公式:
    1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 \Large 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} 12+22+32++n2=6n(n+1)(2n+1)

    思路

    我们并不知道如何求 ∑ i = 1 n i 2 \large \sum_{i=1}^{n} i^2 i=1ni2
    但是我们知道如何求 ∑ i = 1 n i \large \sum_{i=1}^{n} i i=1ni
    受求导法求等差数列乘等比数列前n项和的启发产生了个有意思的思路
    可以试图借助 ∫ 2 x d x = x 2 + C \large \int 2x dx = x^2 + C 2xdx=x2+C 来搭建桥梁,求解。

    推导过程(2020.1.4)

    f ( n ) = 2 n f(n) = 2n f(n)=2n,则
    ∫ f ( n ) d n = n 2 + C \int f(n) dn = n^2 + C f(n)dn=n2+C
    我们现在要求
    ∑ i = 1 n ∫ f ( i ) d n \sum_{i=1}^{n} \int f(i)dn i=1nf(i)dn
    那么可以得出
    ∑ i = 1 n i 2 = ∑ i = 1 n ( ∫ f ( i ) d n − C ) + n C = ( ∫ ∑ i = 1 n f ( i ) d n ) − n C + n C = ( ∫ 2 ∑ i = 1 n i d n ) − n C + n C = ( ∫ 2 ⋅ ( 1 + n ) n 2 d n ) − n C + n C = ( ∫ ( n 2 + n ) d n ) − n C + n C = n 3 3 + n 2 2 + n C \begin{alignedat}{2} \sum_{i=1}^{n} i^2& = \sum_{i=1}^{n} (\int f(i) dn - C) + nC\\ & = (\int \sum_{i=1}^{n} f(i) dn) - nC + nC\\ & = (\int 2\sum_{i=1}^{n} i dn) - nC + nC\\ & = (\int 2\cdot \frac{(1+n)n}{2} dn) - nC + nC\\ & = (\int (n^2+n) dn) - nC + nC\\ & = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + nC \end{alignedat} i=1ni2=i=1n(f(i)dnC)+nC=(i=1nf(i)dn)nC+nC=(2i=1nidn)nC+nC=(22(1+n)ndn)nC+nC=((n2+n)dn)nC+nC=3n3+2n2+nC
    通分得:
    原 式 = 2 n 3 + 3 n 2 + 6 n C 6 = n ( 2 n 2 + 3 n + 6 C ) 6 \begin{alignedat}{2} 原式& = \frac{2n^3 + 3n^2 + 6nC}{6}\\ & = \frac{n(2n^2 + 3n + 6C)}{6}\\ \end{alignedat} =62n3+3n2+6nC=6n(2n2+3n+6C)
    我们将 n = 1 n=1 n=1代入,得:
    2 + 3 + 6 C 6 = ∑ i = 1 1 i 2 = 1 2 = 1 \frac{2 + 3 + 6C}{6} = \sum_{i=1}^{1} i^2 = 1^2 = 1 62+3+6C=i=11i2=12=1
    5 + 6 C = 6 5 + 6C = 6 5+6C=6 ,解得 C = 1 6 C=\frac{1}{6} C=61
    所以:
    原 式 = n ( 2 n 2 + 3 n + 1 ) 6 \begin{alignedat}{2} 原式& = \frac{n(2n^2 + 3n + 1)}{6}\\ \end{alignedat} =6n(2n2+3n+1)
    因式分解得:
    原 式 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 \begin{alignedat}{2} 原式& = \frac{n(n+1)(2n + 1)}{6} \end{alignedat} =6n(n+1)(2n+1)

    1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 \Large 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} 12+22+32++n2=6n(n+1)(2n+1)
    得解。

    推导过程(2020.1.6)

    我们首先来证明一个结论,由本人独立发现(要是有专业的结论的话也请大佬告诉我结论的名字)

    设有一函数 f ( x ) f(x) f(x) f ( x ) = F ( x ) + C f(x) = F(x) + C f(x)=F(x)+C ,其中 F ( x ) F(x) F(x) 不含常数项,即 ∫ F ′ ( x ) d x = F ( x ) \int F'(x) dx = F(x) F(x)dx=F(x)
    ∑ i = 1 n [ ∫ F ′ ( x ) d x ∣ x = i + C ] = ∫ ∑ i = 1 n F ′ ( i ) d n + n C \Large \sum_{i=1}^{n} \Bigg[ \int F'(x)dx \Bigg|_{x=i} +C \Bigg] = \int \sum_{i=1}^{n} F'(i) dn + nC i=1n[F(x)dxx=i+C]=i=1nF(i)dn+nC
    由于积分是求导的逆运算,我们可以证明对应的求导结论:
    ∑ i = 1 n d d x f ( x ) ∣ x = i = d d n ∑ i = 1 n f ( i ) \Large \sum_{i=1}^{n} \frac{d}{dx} f(x) \Bigg|_{x=i} = \frac{d}{dn} \sum_{i=1}^{n} f(i) i=1ndxdf(x)x=i=dndi=1nf(i)
    证明过程如下:
    我 们 可 以 设 : S ( n ) = ∑ i = 1 n f ( x ) \small 我们可以设 : \quad \large S(n) = \sum_{i=1}^{n}f(x) \quad :S(n)=i=1nf(x)
    则 待 证 等 式 等 价 于 : ∑ i = 1 n d d x f ( x ) ∣ x = i = d d n S ( n ) \small 则待证等式等价于: \large \sum_{i=1}^{n} \frac{d}{dx} f(x) \Bigg|_{x=i} = \frac{d}{dn} S(n) :i=1ndxdf(x)x=i=dndS(n)
    由函数 S ( n ) S(n) S(n)得定义可得:
    f ( i ) = { S ( i ) i = 1 S ( i ) − S ( i − 1 ) i > 1 \large f(i) = \begin{cases} S(i) & i = 1\\ S(i) - S(i-1) & i>1 \end{cases} f(i)=S(i)S(i)S(i1)i=1i>1
    所以我们根据导数定义将左边展开可以得到:
    原 式 = ∑ i = 1 n [ lim ⁡ Δ x → 0 f ( i + Δ x ) − f ( i ) Δ x ] = lim ⁡ Δ x → 0 f ( 1 + Δ x ) − f ( 1 ) Δ x + ∑ i = 2 n { lim ⁡ Δ x → 0 [ S ( i + Δ x ) − S ( i − 1 + Δ x ) ] − [ S ( i ) − S ( i − 1 ) ] Δ x } = lim ⁡ Δ x → 0 f ( 1 + Δ x ) − f ( 1 ) Δ x + ∑ i = 2 n { lim ⁡ Δ x → 0 [ S ( i + Δ x ) − S ( i ) ] − [ S ( i − 1 + Δ x ) − S ( i − 1 ) ] Δ x } = lim ⁡ Δ x → 0 { [ S ( 1 + Δ x ) + f ( 1 ) ] } + { [ S ( 2 + Δ x ) + f ( 2 ) ] − [ S ( 1 + Δ x ) + f ( 1 ) ] } + ⋯ + { [ S ( n + Δ x ) + f ( n ) ] − [ S ( n − 1 + Δ x ) + f ( n − 1 ) ] } Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 S ( n + Δ x ) − S ( n ) Δ x = d d n S ( n ) \begin{alignedat}{2} \small 原式= & \sum_{i=1}^{n} \Bigg[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(i+\Delta x)-f(i)}{\Delta x} \Bigg]\\ = & \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x} +\\ &\sum_{i=2}^{n} \Bigg\{ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \Big[ S(i + \Delta x) - S(i-1 + \Delta x) \Big] - \Big[ S(i) - S(i-1) \Big] }{\Delta x} \Bigg\}\\ = & \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x} + \sum_{i=2}^{n} \Bigg\{ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \Big[ S(i + \Delta x) - S(i) \Big] - \Big[ S(i-1 + \Delta x) - S(i-1) \Big] }{\Delta x} \Bigg\}\\ = & \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \Bigg\{\Big[ S(1+ \Delta x) + f(1) \Big]\Bigg\} +\Bigg\{\Big[ S(2+ \Delta x) + f(2) \Big] - \Big[ S(1+ \Delta x) + f(1) \Big]\Bigg\} + \cdots + \Bigg\{\Big[ S(n+ \Delta x) + f(n) \Big] - \Big[ S(n-1+ \Delta x) + f(n-1) \Big]\Bigg\} }{\Delta x}\\ = & \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ S(n + \Delta x) - S(n) }{\Delta x}\\ = & \frac{d}{dn}S(n) \end{alignedat} ======i=1n[Δx0limΔxf(i+Δx)f(i)]Δx0limΔxf(1+Δx)f(1)+i=2n{Δx0limΔx[S(i+Δx)S(i1+Δx)][S(i)S(i1)]}Δx0limΔxf(1+Δx)f(1)+i=2n{Δx0limΔx[S(i+Δx)S(i)][S(i1+Δx)S(i1)]}Δx0limΔx{[S(1+Δx)+f(1)]}+{[S(2+Δx)+f(2)][S(1+Δx)+f(1)]}++{[S(n+Δx)+f(n)][S(n1+Δx)+f(n1)]}Δx0limΔxS(n+Δx)S(n)dndS(n)
    由此,我们证明了结论。


    F ( x ) = x 2 F(x) = x^2 F(x)=x2 F ′ ( x ) = 2 x F'(x) = 2x F(x)=2x
    ∑ i = 1 n i 2 = ∑ i = 1 n ( ∫ F ′ ( x ) d x ∣ x = i + C ) = ∫ ∑ i = 1 n F ′ ( i ) d n + n C = ∫ 2 ∑ i = 1 n i d n + n C = ∫ 2 ⋅ ( 1 + n ) n 2 d n + n C = ∫ ( n 2 + n ) d n + n C = n 3 3 + n 2 2 + n C = 2 n 3 + 3 n 2 + 6 n C 6 = n ( 2 n 2 + 3 n + 6 C ) 6 \begin{alignedat}{2} \sum_{i=1}^{n} i^2 & = \sum_{i=1}^{n} (\int F'(x) dx\Bigg|_{x=i} + C)\\ & = \int \sum_{i=1}^{n} F'(i) dn + nC\\ & = \int 2\sum_{i=1}^{n} i dn + nC\\ & = \int 2\cdot \frac{(1+n)n}{2} dn + nC\\ & = \int (n^2+n) dn + nC\\ & = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + nC\\ & = \frac{2n^3 + 3n^2 + 6nC}{6}\\ & = \frac{n(2n^2 + 3n + 6C)}{6}\\ \end{alignedat} i=1ni2=i=1n(F(x)dxx=i+C)=i=1nF(i)dn+nC=2i=1nidn+nC=22(1+n)ndn+nC=(n2+n)dn+nC=3n3+2n2+nC=62n3+3n2+6nC=6n(2n2+3n+6C)
    n = 1 n=1 n=1 代入
    ∑ i = 1 n i 2 = n ( 2 n 2 + 3 n + 6 C ) 6    1 = n ( 2 + 3 + 6 C ) 6 \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(2n^2 + 3n + 6C)}{6}\\ \ \ 1 = \frac{n(2 + 3 + 6C)}{6} i=1ni2=6n(2n2+3n+6C)  1=6n(2+3+6C)
    解得 C = 1 6 C = \frac{1}{6} C=61 , 可检验 n n n 取其他值时亦有 C = 1 6 C = \frac{1}{6} C=61
    故:
    ∑ i = 1 n i 2 = n ( 2 n 2 + 3 n + 6 C ) 6 = n ( 2 n 2 + 3 n + 1 ) 6 \large \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(2n^2 + 3n + 6C)}{6}= \frac{n(2n^2 + 3n + 1)}{6} i=1ni2=6n(2n2+3n+6C)=6n(2n2+3n+1)
    因式分解得:
    ∑ i = 1 n i 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 \Large \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} i=1ni2=6n(n+1)(2n+1)
    得解。

    2020.1.4 16:53
    一些表达和数学符号的运用可能不准确,过程也许也不够严谨,但是受求导法求等差数列乘等比数列的前n项和的方法的启发,产生了这么个思路,在这里分享一下。
    (敷衍地码完字滚回去继续复习明天的政治会考)
    欢迎大佬指正问题,找时间完善内容。

    2020.1.6 23:40
    花了两天的时间来完善思路,闲暇时间里就在思考,终于得到一个比较严谨的证明过程。
    之后有什么想法继续补充

    展开全文
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空空如也

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平方差公式表