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  • 设 $A,B$ 都是 $n$ 阶复方阵, 且 $A^2+B^2=2AB$. 证明: (1) $AB-BA$ 不可逆; (2) 如果 $\rank(A-B)=1$, 那么 $AB=BA$. 转载于:https://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3712973.html...

    设 $A,B$ 都是 $n$ 阶复方阵, 且 $A^2+B^2=2AB$. 证明:  

    (1)  $AB-BA$ 不可逆;  

    (2)  如果 $\rank(A-B)=1$, 那么 $AB=BA$. 

    转载于:https://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3712973.html

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  • 对于要求精度较高的场合,我必须采用两法或者三法来测量三相功率。一、对称负载三相电有功功率、无功功率、视在功率计算公式 三种功率和功率因素cos j是一个直角功率三角形关系:两个直角边是 、无功功率,斜边...


    三相电功率计算公式包括三种功率,有功功率P、无功功率Q和视在功率S。对于对称负载来说,三种功率计算公式均比较简单,相对测量也比较简单,也只需测量一路电量信号即可。

    对于要求精度较高的场合,我必须采用两表法或者三表法来测量三相功率。

    一、对称负载三相电有功功率、无功功率、视在功率计算公式


    三种功率和功率因素cos j是一个直角功率三角形关系:两个直角边是 、无功功率,斜边是视在功率。


    有功功率平方+ 平方=视在功率平方。


    视在功率S=√3UpIp=3UI


    有功功率P=PA+PB+PC=3Pp=3UpIpcos=√3UIcos j


    无功功率Q=QA+QB+QC= 3Qp =√3UIsin j


    功率因数cos j=P/S


    sin=Q/S


    其中U为线电压,I为线电流,Up为平均电压,Ip为平均电流。

    二、三相电功率的测量


    在实际应用中,负载不是绝对平衡,一般采用两表法或者三表法来测量 。

    1、对三相四线制采用三表法测量:


    P=uANiA+uBNiB+uCNiC


    P=PA+PB+PC


    若负载对称,则需一块表,读数乘以 3 测量方法如下图所示:

    be5b3ab2dca0de006f5fe314201f1c1b.png

    三相四线制测量方法

    2、对三相三线制采用两表法测量:


    这种测量线路的接法是将两个功率表的电流线圈串到任意两相中,电压线圈的同名端接到其电流线圈所串的线上,电压线圈的非同名端接到另一相没有串功率表的线上。(有三种接线方式)


    若下图中W1的读数为P1, W2的读数为P2 ,则三相总功率为:P=P1+P2

    7013cb9cb2cf4c8e45c3977f6db21102.png

    三相三线制两表法测量方法


    证明如下:(假设负载是Y型联接)


    P=uANiA+uBN iB+uCNiC


    iA+ iB+iC=0 iC= –(iA + iB)

    p= (uAN – uCN)iA + (uBN – uCN) iB=uACiA +uBCiB


    j1: uAC与iA的相位差, j2: uBC与iB的相位差


    由上论证可以得出:两个功率表的读数的代数和就是三相总功率。△联接负载结论相同。

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  • 考研高等数学公式(数学一)

    千次阅读 多人点赞 2019-08-16 11:48:57
    文章目录初等数学因式分解经典不等式数列等差等比三角倍角和降阶平方面积、体积、弧长极限等价无穷小一元微分导数定义求导(7+10)高阶求导莱布尼茨公式泰勒公式麦克劳林公式中值定理介值定理零点定理费马定理罗尔...

    文章目录

    初等数学

    因式分解

    a3b3=(ab)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

    anbn=(ab)(an1+an2b++abn2+bn1)a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})

    经典不等式

    abc3a+b+c3a2+b2+c23\sqrt[3]{abc}\leq\frac{a+b+c}3\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}3}

    (ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)^2\leq(a^2+b^2)(c^2+d^2)

    数列

    等差

    an=a1+(n1)da_n=a_1+(n-1)d

    Sn=12(a1+an)S_n=\frac12(a_1+a_n)

    等比

    an=a1qn1a_n=a_1q^{n-1}

    Sn=a1(1qn)1q=a1anq1q{{S}_{{n}}}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}=\frac{a_1-a_nq}{1-q}

    其他

    12+22+32++n2=16n(n+1)(2n+1)1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 = \frac16n(n+1)(2n+1)

    三角

    倍角

    sin2α=2sinαcosα\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha

    cos2α=cos2αsin2α=2cos2α1=12sin2α\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha

    tan2α=2tanα1tan2α\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

    和差

    sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta

    cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta

    tan(α±β)=tanα±tanβ1tanαtanβ\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}

    降阶

    sin2α=12(1cos2α)\sin^2 \alpha = \frac12(1-\cos 2\alpha)

    cos2α=12(1+cos2α)\cos^2 \alpha = \frac12(1+\cos 2\alpha)

    平方

    sin2α+cos2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

    sec2α=tan2α+1\sec^2 \alpha = \tan^2 \alpha + 1

    csc2α=cot2α+1\csc^2 \alpha = \cot^2\alpha + 1

    和差化积

    sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(αβ)]\sin\alpha\cos\beta=\frac12[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]

    cosαsinβ=12[sin(α+β)sin(αβ)]\cos\alpha\sin\beta=\frac12[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]

    cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(αβ)]\cos\alpha\cos\beta=\frac12[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]

    sinαsinβ=12[cos(αβ)cos(α+β)]\sin\alpha\sin\beta=\frac12[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]

    积化和差

    sinα+sinβ=2sinα+β2cosαβ2\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

    sinαsinβ=2sinαβ2cosα+β2\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}

    cosα+cosβ=2cosα+β2cosαβ2\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

    cosαcosβ=2sinα+β2cosα+β2\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}

    几何

    扇形面积:S=r2θ2S=\frac{r^2\theta}{2}

    扇形弧长:l=rθl=r\theta

    球体体积:V=43πR3V=\frac43\pi R^3
    球体表面积:S=4πR2S=4\pi R^2

    幂指函数化简

    uv=evlnuu^v=e^{v\ln u}

    极限

    泰勒展开式(幂级数)(8+4)

    sinx=n=0(1)nx2n+1(2n+1)!=xx33!+x55!+o(x5),<x<+\sin x=\sum\limits^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5), -\infty<x<+\infty

    cosx=n=0(1)nx2n(2n)!=1x22!+x44!+o(x4),<x<+\cos x=\sum\limits^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4), -\infty<x<+\infty

    ln(1+x)=n=1(1)n1xnn=xx22+x33+o(x3),1<x1\ln(1+x)=\sum\limits^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+o(x^3), -1<x\leq1

    ln(1x)=n=1xnn=xx22x33+o(x3),1x<1\ln(1-x)=-\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{x^n}{n}=-x-\frac{x^2}2-\frac{x^3}3+o(x^3), -1\leq x<1

    ex=n=0xnn!=1+x+x22!+x33!+o(x3),<x<+e^x=\sum\limits^\infty_{n=0}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3), -\infty<x<+\infty

    11+x=n=0(1)nxn=1x+x2x3+o(x3),1<x<1\frac1{1+x}=\sum\limits^\infty_{n=0}(-1)^nx^n=1-x+x^2-x^3+o(x^3), -1<x<1

    11x=n=0xn=1+x+x2+x3+o(x3),1<x<1\frac1{1-x}=\sum\limits^\infty_{n=0}x^n=1+x+x^2+x^3+o(x^3), -1<x<1

    x(1x)2=n=1nxn,1<x<1\frac x{(1-x)^2}=\sum\limits^\infty_{n=1}nx^n,-1<x<1

    (1+x)α=1+αx+α(α1)2!x2+o(x2)(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+o(x^2)

    tanx=x+x33+o(x3)\tan x=x+\frac{x^3}3+o({x^3})

    arcsinx=x+x33!+o(x3)\arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)

    arctanx=xx33+o(x3)\arctan x=x-\frac{x^3}3+o(x^3)

    重要极限

    limx(1+1x)x=e\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac1x)^x=e

    一元微分

    导数定义

    f(x0)=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx=limxx0f(x)f(x0)xx0f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

    微分运算

    d[uv]=udv+vdud[uv]=udv+vdu

    d(uv)=vduudvv2d(\frac uv)=\frac{vdu-udv}{v^2}

    求导(7+10)

    (xa)=axa1,a>0,a1(x^a)'=ax^{a-1}, a>0, a\not=1

    (ax)=axlna(a^x)'=a^x\ln a

    (ex)=ex(e^x)'=e^x

    (logax)=1xlna(\log_ax)'=\frac1{x\ln a}

    (lnx)=1x(\ln |x|)'=\frac1x

    [ln(x+x2+1)]=1x2+1[\ln(x+\sqrt{x^2+1})]'=\frac1{\sqrt{x^2+1}}

    [ln(x+x21)]=1x21[\ln(x+\sqrt{x^2-1})]'=\frac1{\sqrt{x^2-1}}

    (sinx)=cosx(\sin x)'=\cos x

    (cosx)=sinx(\cos x)'=-\sin x

    (tanx)=sec2x(\tan x)'=\sec^2x

    (cotx)=csc2x(\cot x)'=-\csc^2x

    (secx)=secxtanx(\sec x)'=\sec x\tan x

    (cscx)=cscxcotx(\csc x)'=-\csc x\cot x

    (arcsinx)=11x2(\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}

    (arccosx)=11x2(\arccos x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}

    (arctanx)=11+x2(\arctan x)'=\frac1{1+x^2}

    (arccot x)=11+x2(\text{arccot }x)'=-\frac1{1+x^2}

    高阶求导

    莱布尼茨公式

    (uv)(n)=k=0nCnkukv(nk)(uv)^{(n)} = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k u^kv^{(n-k)}

    泰勒公式

    f(x)=n=0f(n)(x0)(xx0)nn!f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!}

    麦克劳林公式

    f(x)=n=0f(n)(0)(x)nn!f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)(x)^n}{n!}

    中值定理

    介值定理

    mμMf(ξ)=μm\leq\mu\leq M \Rightarrow f(\xi) = \mu

    零点定理

    f(a)f(b)<0f(ξ)=0f(a)\cdot f(b) < 0 \Rightarrow f'(\xi) = 0

    费马定理

    x=x0x=x_0处连续可导取极值f(x0)=0\Rightarrow f'(x_0)=0(充分不必要条件)

    罗尔定理

    f(a)=f(b)f(ξ)=0f(a)=f(b)\Rightarrow f'(\xi) = 0

    拉格朗日中值定理

    f(b)f(a)=f(ξ)(ba)f(b)-f(a) = f'(\xi)(b-a)

    柯西中值定理

    f(b)f(a)g(b)g(a)=f(ξ)g(ξ)\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

    泰勒公式(中值定理)

    f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)++f(n)(x0)(xx0)nn!+f(n+1)(ξ)(xx0)n+1(n+1)!f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + \frac{f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}

    积分中值定理(2)

    abf(x) dx=f(ξ)(ba)\int_a^b f(x)\ dx = f(\xi)(b-a)

    abf(x)g(x) dx=f(ξ)abg(x) dx, g(x)\int_a^b f(x)g(x)\ dx = f(\xi)\int_a^b g(x)\ dx,\ g(x)不变号

    辅助函数(6)

    1. 见到f(x)f(x)f'(x)f(x),令F(x)=f2(x)F(x)=f^2(x)
    2. 见到f(x)f(x)+[f(x)]2f''(x)f(x)+[f'(x)]^2,令F(x)=f(x)f(x)F(x)=f(x)f'(x)
    3. 见到f(x)+f(x)ϕ(x)f'(x)+f(x)\phi'(x),令F(x)=f(x)eϕ(x)F(x)=f(x)e^{\phi(x)}
    4. 见到f(x)xf(x)f'(x)\cdot x-f(x),令F(x)=f(x)xF(x)=\frac{f(x)}{x}
    5. 见到f(x)f(x)[f(x)]2f''(x)f(x)-[f'(x)]^2,令F(x)=f(x)f(x)F(x)=\frac{f'(x)}{f(x)},或令F(x)=lnf(x)F(x)=\ln f(x)
    6. 见到abf(x) dx=0\int_a^bf(x)\ dx=0,令F(x)=axf(t) dtF(x)=\int_a^xf(t)\ dt

    微分不等式(6)

    凹函数F(x1)+F(x2)2F(x1+x22)\frac{F(x_1)+F(x_2)}{2}\geq F(\frac{x_1+x_2}2)

    sinx<x<tanx(0<x<π2)\sin x<x<\tan x(0<x<\frac\pi2)

    arctanxxarcsinx(0x1)\arctan x\leq x \leq \arcsin x(0\leq x\leq 1)

    exx+1e^x\geq x+1

    lnxx1\ln x\leq x-1

    11+x<ln(1+1x)<1x(x>0)\frac1{1+x}<\ln(1+\frac1x)<\frac1x(x>0)

    曲率、曲率半径

    k=y[1+(y)2]32k=\frac{|y''|}{[1+(y')^2]^{\frac32}}

    R=1k=[1+(y)2]32yR=\frac1k=\frac{[1+(y')^2]^{\frac32}}{|y''|}

    一元积分

    不定积分

    基本积分表(10+10)

    xk dx=1k+1+C, k1\int x^k\ dx=\frac{1}{k+1}+C,\ k\not=-1

    1x dx=lnx+C\int \frac{1}{x}\ dx=\ln|x|+C

    ex dx=ex+C\int e^x\ dx = e^x+C

    ax dx=1lnaax+C\int a^x \ dx= \frac{1}{\ln a}\cdot a^x+C

    1a2+x2 dx=1aarctanxa+C\int \frac1{a^2+x^2}\ dx = \frac1a\arctan\frac xa+C

    1a2x2 dx=arcsinxa+C\int\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}\ dx = \arcsin\frac xa+C

    1x2a2 dx=12alnxax+a+C\int\frac1{x^2-a^2}\ dx = \frac1{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C

    1a2x2 dx=12alnx+axa+C\int\frac1{a^2-x^2}\ dx = \frac1{2a}\ln|\frac{x+a}{x-a}|+C

    1x2a2 dx=ln(x+x2a2)+C\int\frac1{\sqrt{x^2-a^2}}\ dx = \ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C

    1x2+a2 dx=ln(x+x2+a2)+C\int\frac1{\sqrt{x^2+a^2}}\ dx = \ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C

    sinx=cosx+C\int \sin x = -\cos x + C

    cosx=sinx+C\int \cos x = \sin x + C

    tanx=lncosx+C\int\tan x = -\ln|\cos x| + C

    cotx=lnsinx+C\int\cot x = \ln|\sin x| + C

    secx=lnsecx+tanx+C\int\sec x = \ln|\sec x +\tan x| + C

    cscx=lncscxcotx+C\int\csc x = \ln|\csc x -\cot x| + C

    sec2x=tanx+C\int \sec^2 x = \tan x + C

    csc2x=cotx+C\int \csc^2 x = -\cot x + C

    secxtanx=secx+C\int\sec x\tan x = \sec x + C

    cscxcotx=cscx+C\int\csc x\cot x = -\csc x + C

    分部积分

    u dv=uvv du\int u\ dv = uv - \int v\ du

    定积分

    定积分定义

    limni=1nf(1ni)1n=01f(x)dx\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^nf(\frac 1n\cdot i)\cdot\frac1n=\int_0^1f(x) dx

    定积分公式

    nn为大于等于2的偶数时,0π2sinnx dx=0π2cosnx dx=n1nn3n212π2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\mathrm{sin}}^nx\ dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\mathrm{cos}}^nx\ dx=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}

    nn为大于等于3的奇数时,0π2sinnx dx=0π2cosnx dx=n1nn3n223\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\mathrm{sin}}^nx\ dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\mathrm{cos}}^nx\ dx=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{2}{3}

    abf(x) dx=abf(a+bx) dx\int_a^b f(x)\ dx = \int_a^b f(a+b-x)\ dx

    abf(x) dx=12ab[f(x)+f(a+bx)] dx\int_a^b f(x)\ dx = \frac12\int_a^b [f(x) + f(a+b-x)]\ dx

    abf(x) dx=aa+b2[f(x)+f(a+bx)] dx\int_a^b f(x)\ dx = \int_a^{\frac{a+b}2} [f(x) + f(a+b-x)]\ dx

    0πxf(sinx) dx=π20πf(sinx) dx\int_0^\pi xf(\sin x)\ dx = \frac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)\ dx

    0πxf(sinx) dx=π0π2f(sinx) dx\int_0^\pi xf(\sin x)\ dx = \pi\int_0^{\frac\pi2} f(\sin x)\ dx

    平面图形面积

    极坐标系:S=αβ12r2(θ) dθS=\int_\alpha^\beta\frac12r^2(\theta)\ d\theta

    平面曲线弧长

    直角坐标方程:s=ab1+[y(x)]2 dxs=\int_a^b\sqrt{1+[y'(x)]^2}\ dx

    参数方程:s=αβ[x(t)]2+[y(t)]2 dts=\int_\alpha^\beta \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\ dt

    极坐标方程:s=αβ[r(θ)]2+[r(θ)]2 dθs=\int_\alpha^\beta \sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}\ d\theta

    旋转体体积

    Vx=πaby12(x)y22(x) dxV_x=\pi\int_a^b|y_1^2(x)-y_2^2(x)|\ dx

    Vy=2πabxy1(x)y2(x) dxV_y = 2\pi\int_a^b x|y_1(x)-y_2(x)|\ dx

    旋转体侧面积

    直角坐标方程绕xx轴:S=2πaby(x)1+[y(x)]2 dxS=2\pi\int_a^b|y(x)|\sqrt{1+[y'(x)]^2}\ dx

    极坐标方程绕xx轴:S=2παβy(t)[x(t)]2+[y(t)]2 dtS=2\pi\int_\alpha^\beta|y(t)|\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\ dt

    形心坐标

    xˉ=abxf(x) dxabf(x) dx\bar{x}=\frac{\int_a^bxf(x)\ dx}{\int_a^bf(x)\ dx}

    yˉ=12abf2(x) dxabf(x) dx\bar{y}=\frac{\frac12\int_a^b f^2(x)\ dx}{\int_a^b f(x)\ dx}

    截面面积已知的立体体积

    V=abA(x) dxV=\int_a^bA(x)\ dx

    物理应用

    压强p=ρghp=\rho gh

    静水压力P=abρgx[f(x)g(x)] dx\int_a^b \rho gx\cdot[f(x)-g(x)]\ dx

    细杆质心xˉ=abxρ(x) dxabρ(x) dx\bar{x}=\frac{\int_a^bx\rho(x)\ dx}{\int_a^b\rho(x)\ dx}

    反常积分判敛

    1+1xp dx\int_1^{+\infty}\frac1{x^p}\ dxp>1p>1时收敛,p<=1p<=1时发散(越大越收敛)

    011xp dx\int_0^1\frac1{x^p}\ dxp>=1p>=1时发散,0<p<10<p<1时收敛(越小越收敛)

    变限积分求导

    F(x)=ddx[ϕ1(x)ϕ2(x)f(t) dt]=f[ϕ2(x)]ϕ2(x)f[ϕ1(x)]ϕ1(x)F'(x)=\frac{d}{dx}[\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(t)\ dt]=f[\phi_2(x)]\phi_2'(x)-f[\phi_1(x)]\phi_1'(x)

    多元微分

    基本概念

    全增量

    Δz=limΔx0Δy0f(x+Δx,y+Δx)f(x,y)=AΔx+BΔy+o(ρ)\Delta z=\lim\limits_{\Delta x\to0 \atop \Delta y\to 0}f(x+\Delta x, y+\Delta x)-f(x, y) = A\Delta x+B\Delta y + o(\rho),其中,A=fx(x,y),B=fy(x,y),ρ=x2+y2A=f'_x(x, y), B=f'_y(x, y), \rho=\sqrt{x^2+y^2}

    全微分

    dz=fx(x,y) dx+fy(x,y) dydz = f'_x(x, y)\ dx + f'_y(x, y)\ dy

    偏增量

    Δzx=limΔx0f(x+Δx,y)f(x,y)=AΔx+o(ρ)\Delta z_x = \lim\limits_{\Delta x\to0}f(x+\Delta x, y) - f(x, y) = A\Delta x + o(\rho)

    偏导

    fx(x0,y0)=limxx0f(x,y0)f(x0,y0)xx0f'_x(x_0, y_0)=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x, y_0)-f(x_0, y_0)}{x-x_0}

    隐函数求导

    一个方程

    zx=FxFy\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F'_x}{F'_y}

    zy=FyFy\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F'_y}{F'_y}

    方程组

    dydx=(F,G)(x,z)(F,G)(y,z)\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, z)}}{\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}}

    dzdx=(F,G)(y,x)(F,G)(y,z)\frac{dz}{dx}=\frac{\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, x)}}{\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}}

    二阶泰勒公式

    f(x,y)=f(x0,y0)+(fx,fy)X0(ΔxΔy)+12(ΔxΔy)(fxxfxyfyxfyy)X0(ΔxΔy)+R2f(x, y) = f(x_0, y_0) + (f'_x, f'_y)_{X_0}\left(\begin{array}{cccc} \Delta x\\ \Delta y\end{array}\right) + \frac12\left(\begin{array}{cccc} \Delta x & \Delta y \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} f''_{xx} & f''_{xy} \\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{array}\right)_{X_0}\left(\begin{array}{cccc} \Delta x\\ \Delta y\end{array}\right) + R_2

    二重积分

    定义

    Df(x,y) dσ=limni=1nj=1nf(a+bani,c+dcnj)bandcn=ab dxcdf(x,y) dy\iint\limits_{D}f(x, y)\ d\sigma=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nf(a+\frac{b-a}{n}i, c+\frac{d-c}{n}j)\cdot\frac{b-a}{n}\cdot\frac{d-c}{n}=\int_a^b\ dx\int_c^d f(x, y)\ dy

    应用

    柱体体积

    V=Dxyz(x,y) dσV=\iint\limits_{Dxy}|z(x, y)|\ d\sigma

    总质量

    m=Dρ(x,y)σm=\iint\limits_D \rho(x, y)\sigma

    质心坐标

    xˉ=Dxρ(x,y) dσDρ(x,y) dσ\bar{x}=\frac{\iint\limits_D x\rho(x, y)\ d\sigma}{\iint\limits_D \rho(x, y)\ d\sigma}

    yˉ=Dyρ(x,y) dσDρ(x,y) dσ\bar{y}=\frac{\iint\limits_D y\rho(x, y)\ d\sigma}{\iint\limits_D \rho(x, y)\ d\sigma}

    转动惯量

    Ix=Dy2ρ(x,y) dσI_x=\iint\limits_D y^2\rho(x, y)\ d\sigma

    Iy=Dx2ρ(x,y) dσI_y=\iint\limits_D x^2\rho(x, y)\ d\sigma

    IO=D(x2+y2)ρ(x,y) dσI_O=\iint\limits_D (x^2+y^2)\rho(x, y)\ d\sigma

    微分方程

    一阶

    能写成y=f(x)g(y)y'=f(x)\cdot g(y),直接分离变量

    能写成y=f(ax+by+c)y'=f(ax+by+c),令u=ax+by+cu=ax+by+c

    能写成y=f(yx)y'=f(\frac yx)y=f(xy)y'=f(\frac xy),令u=yxu=\frac yxu=xyu=\frac xy

    能写成y+p(x)y=q(x)y'+p(x)y=q(x),用公式法:y=ep(x) dx[ep(x) dxq(x) dx+C]y=e^{-\int p(x)\ dx}[\int e^{\int p(x)\ dx}q(x)\ dx + C]

    伯努利方程

    能写成y+p(x)y=q(x)yn(n0,1)y'+p(x)y=q(x)y^n(n\not=0,1),令z=y1nz=y^{1-n},再用公式法

    二阶可降阶

    不显含yy,令y=py'=py=dpdxy''=\frac{dp}{dx}

    不显含xx,令y=py'=py=dpdypy''=\frac{dp}{dy}p

    二阶线性

    y+py+qy=f(x)y''+py'+qy=f(x)

    齐次方程的特征方程

    λ2+pλ+q=0\lambda^2+p\lambda+q=0

    齐次方程的通解

    p24q>0p^2-4q>0y=C1eλ1x+C2eλ2xy=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}

    p24q=0p^2-4q=0y=(C1+C2x)eλxy=(C_1+C_2x)e^{\lambda_x}

    p24q<0p^2-4q<0y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin \beta x)

    特解

    当自由项f(x)=Pn(x)eαxf(x)=P_n(x)e^{\alpha x}时,特解设为y=eαxQn(x)xky^*=e^{\alpha x}Q_n(x)x^kkk为与α\alpha相同的λ\lambda的个数.

    当自由项f(x)=eαx[Pm(x)cosβx+Pn(x)sinβx]f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin \beta x]时,特解设为y=eαx[Ql(1)(x)cosβx+Ql(2)(x)sinβx]xky^*=e^{\alpha x}[Q_l^{(1)}(x)\cos\beta x+Q_l^{(2)}(x)\sin\beta x]x^kl=max{m,n}l=\max\{m, n\}kk取决于α±βi\alpha\pm\beta i是否为特征根

    欧拉方程

    x2y+pxy+qy=f(x)x^2y''+pxy'+qy=f(x)

    x>0x>0,令x=etx=e^t

    x<0x<0,令x=etx=-e^t

    n阶线性齐次

    y+p1y+p2y+p3y=0y'''+p_1y''+p_2y'+p_3y=0

    特征方程

    λ3+p1λ2+p2λ+p3=0\lambda^3+p_1\lambda^2+p_2\lambda+p_3=0

    通解

    单实根:y=Ceλxy=Ce^{\lambda x}

    重实根:y=(C1+C2x+C3x2++Ckxk1eλx)y=(C_1+C_2x+C_3x^2+\cdots+C_kx^{k-1}e^{\lambda x})(有高阶必有低阶)

    单复根α±βi\alpha\pm\beta iy=eax(C1cosβx+C2sinβx)y=e^{ax}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)(成对出现)

    无穷级数

    判敛法

    重要结论

    先积后导

    f(x)=[f(x) dx]f(x)=[\int f(x)\ dx]'

    先导后积

    f(x)=f(x0)+x0xf(t) dtf(x)=f(x_0)+\int_{x_0}^x f'(t)\ dt

    傅里叶级数

    f(x)=12[f(x)+f(x+)]f(x)=\frac12[f(x^-)+f(x^+)]

    f(x)a02+n=1(ancosnπxl+bnsinnπxl)f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum\limits^\infty_{n=1}(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l})

    a0=1lllf(x) dxa_0=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\ dx

    an=1lllf(x)cosnπxl dxa_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\cos\frac{n\pi x}l\ dx

    bn=1lllf(x)sinnπxl dxb_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\sin\frac{n\pi x}l\ dx

    多元积分

    基础

    曲线的切线与法平面

    参数方程

    切向量:τ=(x(t0),y(t0),z(t0))\boldsymbol\tau=(x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))

    切线方程:xx0x(t0)=yy0y(t0)=zz0z(t0)\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)}

    法平面方程:x(t0)(xx0)+y(t0)(yy0)+z(t0)(zz0)=0x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0

    方程组

    切向量:τ=(1,y(x0),z(x0))\boldsymbol\tau=(1, y'(x_0), z'(x_0))

    切线方程:xx01=yy0y(x0)=zz0z(x0)\frac{x-x_0}{1}=\frac{y-y_0}{y'(x_0)}=\frac{z-z_0}{z'(x_0)}

    法平面方程:1(xx0)+y(x)(yy0)+z(x)(zz0)=01\cdot(x-x_0)+y'(x)(y-y_0)+z'(x)(z-z_0)=0

    曲面的切平面与法线

    显式/隐式方程

    法向量:n=(FxP0,FyP0,FzP0)\boldsymbol n=(F'_x|_{P_0}, F'_y|_{P_0}, F'_z|_{P_0})

    法平面方程:FxP0(xx0)+FyP0(yy0)+FzP0(zz0)F'_x|_{P_0}\cdot(x-x_0)+F'_y|_{P_0}\cdot(y-y_0)+F'_z|_{P_0}(z-z_0)

    法线方程:xx0FxP0=yy0FyP0=zz0FzP0\frac{x-x_0}{F'_x|_{P_0}}=\frac{y-y_0}{F'_y|_{P_0}}=\frac{z-z_0}{F'_z|_{P_0}}

    参数方程

    法向量:n=ijkxuyuzuxvyvzv\boldsymbol n = \left|\begin{array}{cccc}\boldsymbol i&\boldsymbol j&\boldsymbol k\\x'_u&y'_u&z'_u\\x'_v&y'_v&z'_v\end{array}\right|

    切平面方程:A(xx0)+B(yy0)C(zz0)=0A(x-x_0)+B(y-y_0)-C(z-z_0)=0

    法线方程:xx0A=yy0B=zz0C\frac{x-x_0}A=\frac{y-y_0}B=\frac{z-z_0}C

    柱面问题

    柱面的每一个切面的法向量都与某一个向量垂直(只需找一个τ\boldsymbol\tau向量即可)

    曲线在面上的投影

    xOyxOy面上的投影消除zzz=0z=0

    旋转曲面

    设出曲线某一点(x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0)和任意一点(x, y, z),由以下等量关系得出四个方程,消除x0,y0,z0x_0, y_0, z_0

    两点的连线与旋转轴垂直

    两点的连线到旋转轴上任一点距离相等

    (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0)满足确定该曲线的两个方程

    空间向量

    数量积

    ab=(axbx+ayby+azbz)\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)

    ab=abcosθ\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta

    cosθ=abab\cos\theta=\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol a||\boldsymbol b|}

    ab\boldsymbol a\bot\boldsymbol bab=0\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0

    a\boldsymbol ab\boldsymbol b上的投影为Prjba=abb\text{Prj}_\boldsymbol b\boldsymbol a=\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol b|}

    向量积

    a×b=ijkaxayazbxbybz\boldsymbol a\times\boldsymbol b = \left|\begin{array}{cccc} \boldsymbol i & \boldsymbol j & \boldsymbol k \\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \end{array}\right|

    a×b=absinθ|\boldsymbol a\times\boldsymbol b| = |\boldsymbol a||\boldsymbol b|\sin\theta,方向用右手规则

    ab\boldsymbol a\parallel\boldsymbol baxbx=ayby=azbz\frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}=\frac{a_z}{b_z}

    混合积

    [abc]=(a×b)c=axayazbxbybzcxcycz[\boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c]=(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c=\left|\begin{array}{cccc}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{array}\right|

    三向量共面axayazbxbybzcxcycz=0\Leftrightarrow \left|\begin{array}{cccc}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{array}\right|=0