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  • 算术平方根的定义平方根与算术平方根...算术平方根等于它本身的数算术平方根等于它本身数是0和1。平方根与算术平方根的区别和联系平方根与算术平方根存在从属关系,是初中数学中的两个重要概念,因为它们定义相近...

    算术平方根的定义

    平方根与算术平方根存在从属关系,是初中数学中的两个重要概念,算术平方根具有双重非负性,是指若一个正数x的平方等于a,即x^2=a,则这个正数x为a的算术平方根,a的算术平方根记作√ ̄a,读作“根号a”,a叫做 被开方数。

    算术平方根等于它本身的数

    算术平方根等于它本身的数是0和1。

    平方根与算术平方根的区别和联系

    平方根与算术平方根存在从属关系,是初中数学中的两个重要概念,因为它们定义相近,联系紧密,所以初学的同学很容易混淆。为帮助同学们正确理解和区分这两个概念,现将它们的区别与联系总结如下:

    (1)平方根与算术平方根的区别

    1、定义不同。

    平方根:一般地,如果一个数x的平方等于a,那么这个数x叫做a的平方根。

    算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,那么这个正数x叫做a的算术平方根(特别规定:0的算术平方根是0)。

    2、表示方法不同。

    3、个数不同。

    平方根:一个正数有两个平方根,它们互为相反数。

    算术平方根:一个正数的算术平方根只有一个,且这个数是正数。

    (2)平方根与算术平方根的联系

    1、二者之间存在着从属关系。

    一个正数的平方根包含了这个正数的算术平方根,算术平方根是平方根中的一个。

    2、二者被开方数的取值范围相同。

    只有非负数才有平方根,负数没有平方根,只有非负数才有算术平方根,负数没有算术平方根。一个数没有平方根,它一定也没有算术平方根。

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  • 如果整个整数 X 本身是完全平方数,同时的每一位数字也都是完全平方 数,我们就称 X 是完美平方数。 前几个完美平方数是 0、1、4、9、49、100、144…… 即第 1 个完美平方数是 0,第 2 个是 1,第 3 个是 4,…… ...

    试题 E: 完美平方数
    本题总分:15 分
    【问题描述】
    如果整个整数 X 本身是完全平方数,同时它的每一位数字也都是完全平方
    数,我们就称 X 是完美平方数。
    前几个完美平方数是 0、1、4、9、49、100、144……
    即第 1 个完美平方数是 0,第 2 个是 1,第 3 个是 4,……
    请你计算第 2020 个完美平方数是多少?
    【答案提交】
    这是一道结果填空题,你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个
    整数,在提交答案时只填写这个整数,填写多余的内容将无法得分。

    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    #include<cmath>
    #include<string>
    using namespace std;
    bool hs[11] = { false };
    
    int main() {
    	int cnt = 0;
    	hs[0] = 1, hs[1] = 1,hs[4] = 1, hs[9] = 1;
    	for (int i = 0;i <= 100000000;i++) {
    		int temp = i * i;
    		int flag = 1;
    		string str = to_string(temp);
    		for (int j = 0;j < str.length();j++) {
    			if (!hs[str[j] - '0']) {
    				flag = 0;break;
    			}
    		}
    		if (flag) {
    			cnt++;
    			cout << cnt<<endl;
    		}
    		if (cnt == 2020) {
    			cout << temp << endl;
    			 return 0;
    		}
    	}
    }//i=13786156     ans=1499441040
    
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  • 题目:一个整数,加上100后是一个完全平方数,加上168又是一个完全平方数,请问该数是多少?程序分析:在10万以内判断,先将该数加上100后再开方,再将该数加上268后再开方,如果开方后的结果满足如下条件,即是...

    题目:一个整数,它加上100后是一个完全平方数,加上168又是一个完全平方数,请问该数是多少?

    程序分析:在10万以内判断,先将该数加上100后再开方,再将该数加上268后再开方,如果开方后的结果满足如下条件,即是结果。请看具体分析:

    程序设计:

    public class test {

    public static void main (String[]args){

    long k=0;

    for(k=1;k<=100000l;k++)

    if(Math.floor(Math.sqrt(k+100))==Math.sqrt(k+100) && Math.floor(Math.sqrt(k+168))==Math.sqrt(k+168))

    System.out.println(k);

    }

    }

    性质1:完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

    性质2:奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数。

    证明 奇数必为下列五种形式之一:

    10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9

    分别平方后,得

    (10a+1)^2=100+20a+1=20a(5a+1)+1

    (10a+3)^2=100+60a+9=20a(5a+3)+9

    (10a+5)^2=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5

    (10a+7)^2=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9

    (10a+9)^2=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1

    综上各种情形可知:奇数的平方,个位数字为奇数1,5,9;十位数字为偶数。

    性质3:如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数。

    证明 已知=10k+6,证明k为奇数。因为的个位数为6,所以m的个位数为4或6,于是可设m=10n+4或10n+6。则

    10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6

    或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6

    即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1

    或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3

    ∴ k为奇数。

    推论1:如果一个数的十位数字是奇数,而个位数字不是6,那么这个数一定不是完全平方数。

    推论2:如果一个完全平方数的个位数字不是6,则它的十位数字是偶数。

    性质4:偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。

    这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1

    (2k)=4

    性质5:奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。

    在性质4的证明中,由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数;由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。

    性质6:平方数的形式必为下列两种之一:3k,3k+1。

    因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类:3m,3m+1, 3m+2。平方后,分别得

    (3m)=9=3k

    (3m+1)=9+6m+1=3k+1

    (3m+2)=9+12m+4=3k+1

    同理可以得到:

    性质7:不能被5整除的数的平方为5k±1型,能被5整除的数的平方为5k型。

    性质8:平方数的形式具有下列形式之一:16m,16m+1, 16m+4,16m+9。

    除了上面关于个位数,十位数和余数的性质之外,还可研究完全平方数各位数字之和。例如,256它的各位数字相加为2+5+6=13,13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加:1+3=4,4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加,如果得到的数字之和不是一位数,就把所得的数字再相加,直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题:

    一个数的数字和等于这个数被9除的余数。

    下面以四位数为例来说明这个命题。

    设四位数为,则

    = 1000a+100b+10c+d

    = 999a+99b+9c+(a+b+c+d)

    = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)

    显然,a+b+c+d是四位数被9除的余数。

    对於n位数,也可以仿此法予以证明。

    关於完全平方数的数字和有下面的性质:

    性质9:完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。

    证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式,而

    (9k)=9(9)+0

    (9k±1)=9(9±2k)+1

    (9k±2)=9(9±4k)+4

    (9k±3)=9(9±6k)+9

    (9k±4)=9(9±8k+1)+7

    除了以上几条性质以外,还有下列重要性质:

    性质10:为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。

    证明 充分性:设b为平方数,则

    ==(ac)

    必要性:若为完全平方数,=,则

    性质11:如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数。

    证明 由题设可知,a有质因数p,但无因数,可知a分解成标准式时,p的次方为1,而完全平方数分解成标准式时,各质因数的次方均为偶数,可见a不是完全平方数。

    性质12:在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数,即若

    n^2 < k^2 < (n+1)^2

    则k一定不是完全平方数。

    性质13:一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。

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  • 该楼层疑似违规已被系统折叠隐藏此楼查看此楼能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数,简称平方数。例如: 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529,576,625…(这些...

    该楼层疑似违规已被系统折叠 隐藏此楼查看此楼

    能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数,简称平方数。

    例如: 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,

    324,361,400,441,484,529,576,625…(这些依次是0到25的平方数,记住这些常用的平方数对计算速度有一定帮助)

    观察这些完全平方数,可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。

    一、平方数有以下性质:

    【性质1】 完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

    【性质2】(1)凡个位数字是5,但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数;

    (2)末尾只有奇数个“0”的自然数(不包括0本身)不是完全平方数;

    100,10000,1000000是完全平方数,

    10,1000,100000等则不是完全平方数。

    (3)个位数字为1,4,9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

    需要说明的是:个位数字为1,4,9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数,如:11,31,51,74,99,211,454,879等一

    定不是完全平方数一定不是完全平方数。

    但个位数字为1,4,9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。如:21,44,89不是完全平方数,但49,64,81是完全平方数。

    【性质3】偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。

    这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2

    【性质4】奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。

    【性质5】a^2b为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。

    【性质6】如果质数p能整除a,但p^2不能整除a,则a不是完全平方数。

    证明:由题设可知,a有质因子p,但无因子p^2,可知a分解成标准式时,p的次方为1,而完全平方数分解成标准式时,各质因子的次方均

    为偶数,可见a不是完全平方数。

    【性质7】在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数

    【性质8】一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。

    【性质9】完全平方数的约数个数是奇数个。约数的个数为奇数个的自然数是完全平方数。

    【性质10】若质数p整除完全平方数a,则p^2|a。

    【性质11】任何四个连续整数的乘积加1,必定是一个平方数。二、不是完全平方数的特点

    1、个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数;

    2、个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数;

    3、个位数是6,十位数是偶数的整数一定不是完全平方数;

    4、形如3n+2型的整数一定不是完全平方数;

    5、形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数;

    6、形如5n±2型的整数一定不是完全平方数;

    7、形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数;

    8、数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数

    三、两个公式

    1、平方差公式:a[sup]2[/sup]-b[sup]2[/sup]=(a+b)×(a-b)

    2、完全平方公式:(a±b)[sup]2[/sup]=a[sup]2[/sup]±2ab+b[sup]2[/sup]

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空空如也

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平方数等于它本身的数是