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  • 输出层误差计算公式 III . 隐藏层层误差计算公式 IV . 使用误差更新 连接权值 V . 使用误差更新 单元偏置 VI . 反向传播 过程 VII . 损失函数 简介 VIII . 损失函数 IX . 损失函数 举例 X . 损失函数 优化过程



    I . 向后传播误差 简介



    1 . 后向传播误差 : 计算每层每个单元的误差 , 根据该误差更新 权值 和 偏置 设置 ;


    2 . 计算误差的目的 : 使用计算出来的误差 , 更新单元连接的 权值 , 和 单元 本身的偏置 参数 , 用于实时反映出前向传播输入的误差 ;




    II . 输出层误差计算公式



    输出层误差计算 :


    ① 输出层单元 jj , 误差计算公式 :

    Errj=Oj(1Oj)(TjOj)Err_j = O_j ( 1 - O_j ) ( T_j - O_j )


    OjO_j 是单元 jj 的输出 ;


    TjT_j 是样本分类的真实的属性值 , 取值 0 或 1 , 输出层每个单元的节点输出都是 0 或 1 , 如果分类有多个离散值 , 那么输出层使用多个节点表示这些分类 ;


    ② 公式来源 : 该公式来源于 损失函数 , 对损失函数进行求导 ;



    III . 隐藏层层误差计算公式



    隐藏层误差计算 :


    Errj=Oj(1Oj)(k=1nErrkwjk)Err_j = O_j ( 1 - O_j ) ( \sum_{k=1}^n Err_k w_{jk} )


    OjO_j 是本层单元 jj 的输出 ;


    ErrkErr_k 是下一层第 kk 个单元的误差 ;


    wjkw_{jk} 是本单元 与 下一层第 kk 个单元连接的 权值 ;


    k=1nErrkwjk\sum_{k=1}^n Err_k w_{jk} 是一个线性组合 , 本层的 jj 单元 , 连接下一层的 nn 个单元 , 计算下层每个节点的误差 ErrkErr_k , 乘以连接的权值 wjkw_{jk} , 再将多个下层节点的 ErrkwjkErr_k w_{jk} 计算值累加 ;



    IV . 使用误差更新 连接权值



    1 . 计算误差的目的 : 使用计算出来的误差 , 更新单元连接的 权值 , 和 单元 本身的偏置 参数 , 用于实时反映出前向传播输入的误差 ;


    2 . 权值更新公式 : 修改 单元 ii 和 单元 jj 连接的权值 , 注意连接方向是 单元 ii 连接到单元 jj , iijj 的前一层 ;


    Δwij=(l)ErrjOi\Delta w_{ij} = (l) Err_j O_i

    wij=wij+Δwijw_{ij}' = w_{ij} + \Delta w_{ij}


    Δwij\Delta w_{ij} 是 单元 ii 和 单元 jj 的连接的权值的改变值 ;

    ll 是学习率 , 一般是 0.80.8 , 0.90.9(0,1)(0,1) 区间内的数值 ;

    ErrjErr_j 是单元 jj 的误差 ;

    OiO_i 表示 单元 ii 的输出 ;

    ErrjOiErr_j O_i 是通过求导得出的梯度 ;

    wijw_{ij}' 表示新的权值 ;

    wijw_{ij} 表示老的权值 ;


    3 . 连接权值更新总结 : 该公式是梯度公式 , 后向传播算法是梯度下降算法 , 其权值更新是 旧的权值 , 加上权值的改变 , 计算出新的连接权值 ;



    V . 使用误差更新 单元偏置



    1 . 计算误差的目的 : 使用计算出来的误差 , 更新单元连接的 权值 , 和 单元 本身的偏置 参数 , 用于实时反映出前向传播输入的误差 ;


    2 . 偏置更新公式 : 修改 单元 jj 的偏置 ;

    Δθj=(l)Errj\Delta \theta_j = (l) Err_j

    θ=θj+Δθj\theta' = \theta_j + \Delta \theta_j


    Δθj\Delta \theta_j 是偏置的改变 ;

    ll 是学习率 , 一般是 0.80.8 , 0.90.9(0,1)(0,1) 区间内的数值 ;

    ErrjErr_j 是单元 jj 的误差 ;

    θ\theta' 是新的偏置 ;

    θ\theta 是老的偏置 ;


    3 . 偏置更新总结 : 当前节点的误差 , 乘以学习率 , 就是偏置的改变 ; 旧的偏置值 , 加上偏置改变 , 可计算出新的偏置值 ;



    VI . 反向传播 过程



    1 . 权值 偏置 更新操作 : 先计算误差 , 然后根据误差计算 权值 和 偏置的改变值 , 再将原来的 权值 和 偏置 值 加上对应的改变值 , 计算出新的权值和偏置值 ;


    2 . 反向传播的过程 : 将误差从后向前传播 , 根据误差 , 从后到前依次修改权值和偏置值 ;


    ① 向后传播误差本质 : 使用梯度下降方法 , 优化损失函数 , 使损失函数取最小值 , 在这个过程中 , 不停地迭代修改 单元连接权值 , 和 每个单元的偏置 ;

    33 种梯度下降方法 : 随机梯度下降 , 批量梯度下降 , 小批量梯度下降方法 ;

    ③ 损失函数 : 类似于评分函数 ; 如 误差平方和 ;

    ④ 两个核心 : 首先 , 采用什么样的损失函数 , 其次 , 如何进行迭代修改 权值和偏置 ;



    VII . 损失函数 简介



    1 . 损失函数 作用 :


    ① 训练输出 : 神经网络 学习训练样本有一个输出输出 ;

    ② 样本实际值对应输出 : 数据集样本的真正的属性值对应的输出 , 0011 ;

    ③ 引入损失函数 : 使用损失函数 计算 上述 训练输出 和 样本实际值对应输出 的差别 ;

    ④ 损失函数最小值 : 训练输出 和 样本实际值对应输出 的差别越小越好 , 因此损失函数进行优化时 , 损失函数的值越小越好 ;


    2 . 损失函数优化 :


    ① 损失函数 优化过程 : 在优化使损失函数取最小值的过程 , 就是使对应的 单元连接权值 , 和 单元的偏置 , 等参数不断优化的过程 ;

    ② 损失函数最小值 与 最佳参数 : 最终损失函数最小值的状态的 权值 和 偏置就是 学习出的最佳参数值 ;


    3 . 损失函数本质 : 损失函数 最小值 计算过程 , 就是通过 梯度下降方法 , 逐步迭代获取 最佳 权值 与 偏置过程 ;



    VIII . 损失函数



    1 . 损失函数作用 : 度量 预测结果实际结果 差异 ;

    ① 神经网络学习训练目的 : 使 损失函数 取值最小 ;

    ② 损失函数要求 : 预测结果越好 , 损失越小 ;


    2 . 损失函数选择 :


    ① 分布比较 : 比较的两个属性是 分布 , 那么使用 交叉熵 损失函数 ;

    ② 数值比较 : 如果是两个 数值属性 之间比较 , 使用 误差平方和 损失函数 ;



    IX . 损失函数 举例



    1 . 样本示例 :


    ① 样本个数 : nn 个 ;

    ② 样本属性 : 取值有两种 , 0011 , 即样本的属性值只能从 {0,1}\{0, 1\} 集合中取值 ;

    ③ 实际属性值 : yiy_i 为实际属性值 , 并且有 yi{0,1}y_i \in \{0, 1\} ;

    ④ 预测属性值 : xix_i 为预测属性值 , 并且有 xi[0,1]x_i \in [0, 1] , 在 误差平方和 ( Mean squared error ) 损失函数中 , xix_i 取值范围可以是全体实数 ;


    2 . 误差平方和 ( 均方误差 Mean Squared Error ) 损失函数


    误差平方和公式 : 误差平方和 , 又叫均方误差 , 英文全称 Mean squared error , 简称 MSE ;


    =1ni=1n(xiyi)2误差平方和 = \dfrac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_i - y_i)^2


    预测属性 减去 实际属性 得到差值 , 将该差值平方 , 目的是去掉差值的符号 ( 正负号 ) , 得到误差平方 , 再将 nn 个误差平方加起来 , 得到平方和 , 然后除以 nn 取平均值 , 即得到 nn 个样本的 平均的 误差平方 , 因此叫做 均方误差 , 又叫误差平方和 ;


    3 . 交叉熵 ( Cross Entropy ) 损失函数


    交叉熵公式 :


    =1ni=1n[yi×log(xi)+(1yi)×log(1xi)]交叉熵 = - \dfrac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} [ y_i \times log(x_i) + (1 - y_i) \times log(1 - x_i) ]


    该 交叉熵公式 通常用于比较分布之间的差别 ;



    X . 损失函数 优化过程



    1 . 损失函数作用 : 损失函数的目的是为神经网络优化 每个连接的 权值 和 每个单元的 偏置 , 使数据集的损失函数最小 ;


    2 . 损失函数优化注意事项 :

    ① 参数个数 : 参数数量很多 , 搜索算法空间很大 , 可能有百万级 ;

    ② 参数取值 : 参数取值范围很广 , 取值范围从 负无穷 到 正无穷 ;

    ③ 损失函数复杂 : 损失函数 与 参数 的关系很复杂 ;

    ④ 计算能力 : 对于海量的大数据 , 训练时不能一次性训练所有的数据 , 计算能力也是有限制的 ;

    ⑤ 过拟合问题 : 训练集上损失函数达到最小值 , 在测试模型时 , 不一定能得到该结果 ;

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  • 一个潜在疑问是:如何判断应该使用均方误差还是总平方误差(或绝对误差)? 总平方误差是指每个点的误差之和,方程式为: M=∑i=1m12(y−y^)2M = \sum_{i=1}^m\frac{1}{2}(y-\hat{y})^2M=∑i=1m​21​(y−y^​)2 ...

    一个潜在疑问是:如何判断应该使用均方误差还是总平方误差(或绝对误差)?

    总平方误差是指每个点的误差之和,方程式为:
    M=i=1m12(yy^)2M = \sum_{i=1}^m\frac{1}{2}(y-\hat{y})^2

    均方误差是指这些误差的平均值,方程式为:
    T=i=1m12m(yy^)2T = \sum_{i=1}^m\frac{1}{2m}(y-\hat{y})^2

    其中 m是数据点的数量,

    好消息是,选择哪个并不重要。可以看出,总平方误差是多个均方误差相加的结果,因为

    M=mTM=mT

    因此,既然导数是线性方程, T的梯度也是 m乘以 M的梯度。

    但是,梯度下降步骤包括减去误差的梯度乘以学习速率α\alpha。因此,选择均方误差还是总平方误差只是选择不同的学习速率。

    在现实中,我们可以借助算法判断什么样的学习速率比较合适。因此,如果我们使用均方误差或总平方误差,算法将只是选择不同的学习速率。

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  • 平方误差之和SSE

    万次阅读 2018-07-26 00:05:42
    下面这张图是一个简单的线性回归模型,图中标注了每个样本点预测值与真实值的残差。...解析:SSE 是平方误差之和(Sum of Squared Error),SSE = (-0.2)^2 + (0.4)^2 + (-0.8)^2 + (1.3)^2 + (-0.7)^2 = 3.02...

    下面这张图是一个简单的线性回归模型,图中标注了每个样本点预测值与真实值的残差。计算 SSE 为多少?

    A. 3.02

    B. 0.75

    C. 1.01

    D. 0.604

    答案:A

    解析:SSE 是平方误差之和(Sum of Squared Error),SSE = (-0.2)^2 + (0.4)^2 + (-0.8)^2 + (1.3)^2 + (-0.7)^2 = 3.02

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  • 【模式识别】最小平方误差判别 MSE

    万次阅读 多人点赞 2013-06-02 15:36:44
    最小平方误差判别准则函数 对于上一节提出的不等式组: 在线性不可分的情况下,不等式组不可能同时满足。一种直观的想法就是,希望求一个a*使被错分的样本尽可能少。这种方法通过求解线性不等式组来最小化错分...

    最小平方误差判别准则函数

    对于上一节提出的不等式组:

    在线性不可分的情况下,不等式组不可能同时满足。一种直观的想法就是,希望求一个a*使被错分的样本尽可能少。这种方法通过求解线性不等式组来最小化错分样本数目,通常采用搜索算法求解。

    为了避免求解不等式组,通常转化为方程组:

    矩阵形式为:。方程组的误差为:,可以求解方程组的最小平方误差求解,即:

    Js(a) 即为最小平方误差(Minimum Squared-Error,MSE)的准则函数:

    准则函数最小化方法

    准则函数最小化通常有两种方法:违逆法,梯度下降法。

    伪逆法

    Js(a) 在极值出对a的梯度为零,即:

    于是,得到,其中是矩阵Y的伪逆。

    一个具体的求解示例如下:

    梯度下降法

    梯度下降法在每次迭代时按照梯度下降方向更新权向量:

    直到满足或者时停止迭代,ξ是事先确定的误差灵敏度。

    参照感知器算法中的单步修正法,对MSE也可以采用单样本修正法来调整权向量:

    这种算法即Widrow-Hoff算法,也称作最小均方根算法或LMS(Least-mean-square algorithm)算法。

     

     

    (转载请注明作者和出处:http://blog.csdn.net/xiaowei_cqu 未经允许请勿用于商业用途)

     

     

     

     

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空空如也

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