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  • 平曲线曲线计算公式.doc
  • 显式曲线 隐式曲线 曲率公式推导

    千次阅读 2020-06-05 23:01:44
    显示曲线曲率、隐式曲线曲率推导过程曲率公式显示曲线曲率推导过程隐式曲线曲率推导过程 曲率公式 曲线的曲率(curvature)就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率示,曲线曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大...

    显示曲线曲率、隐式曲线曲率推导过程

    曲线曲率

    曲线的曲率(curvature)就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率示,曲线曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大。在这里插入图片描述

    显示曲线曲率推导过程

    设定曲线方程f=y(x),用s、α\alpha 分别表示弧长和角度,微分定义曲线曲率 k=limα0ΔαΔs {\rm{k}} = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} \left| {\frac{{\Delta \alpha }}{{\Delta s}}} \right| 因为tanα\alpha=y’,所以α\alpha=arctany’, 则
    dα=(arctany)dx=y1+y2dxd\alpha = {\left( {\arctan y'} \right)^\prime }dx = \frac{{y''}}{{1 + {{y'}^2}}}dx ds=1+y2dxds=\sqrt{1+{{y'}^2}}dx 所以可得曲率
    k=y(1+y2)32(1)k = \frac{y''}{({1+{y'}^2}) ^{\frac{3}{2}}} \tag{1}

    隐式曲线曲率推导过程

    结合显示曲线曲率的推导公式,对于隐式曲线u(x,y(x))=0,只需要确定y’和y’’,然后讲y’和y’'带入上述曲率公式即可获得曲率公式。
    对隐函数两边同时对x求导可得:
    ux+uydydx=0u_x+u_y\frac{dy}{dx}=0dydx=uxuy(2)\frac{dy}{dx}=-\frac{u_x}{u_y} \tag{2},对上式两边进一步同时对x求导可得

    ddx(dydx)=((ddxux)uy(ddyuy)uxuy2)=((uxx+uxydydxux)uy(uxy+uyydydxuy)uxuy2)(3)\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=-(\frac{ (\frac{d}{dx}u_x) u_y- (\frac{d}{dy}u_y) u_x}{u_y^2})= -(\frac{ (u_{xx} +u_{xy}\frac{dy}{dx}u_x) u_y- (u_{xy}+u_{yy}\frac{dy}{dx}u_y) u_x}{u_y^2}) \tag{3}

    将公式(2)以及公式(3)进一步带入显示曲线曲率公式即公式(1)可求得:k=uy2uxx+ux2uyy2uxuyuxy(ux2+uy2)32(4)k=\frac {u_y^2u_{xx}+u_x^2u_{yy}-2u_xu_yu_xy} {(u_x^2+u_y^2)^\frac{3}{2}} \tag{4}

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  • 平面曲线的曲率【】

    2020-08-21 07:38:03
    平面曲线的曲率曲率曲率计算公式【】例题注扩展 【】 曲率 曲率计算公式【】 例题 注 扩展 【】

    曲率

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    曲率计算公式【】

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    例题

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    扩展 【】

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  • 1-1 基于matlab的平面曲线曲率的数值计算 工具 向量函数:设曲线r(s)=(x(s),y(s))r(s)=(x(s),y(s))r(s)=(x(s),y(s))是一条正则曲线,其中sss是弧长参数。,r(s)r(s)r(s)是以向量形式表示的,所以称为向量函数。 ...

    1-1 基于matlab的平面曲线曲率的数值计算

    1. 工具

      向量函数:设曲线r(s)=(x(s),y(s))r(s)=(x(s),y(s))是一条正则曲线,其中ss是弧长参数。r(s)r(s)是以向量形式表示的,所以称为向量函数。
    2. 曲率公式

      • 给定函数为向量函数r(s)=(x(s),y(s))r(s)=(x(s),y(s))形式:
        曲率的计算公式为:k=r(s)(1)k=|r''(s)| \tag {1} 注意 : 当 给定函数r(t)=(x(t),y(t))r(t)=(x(t),y(t))参数不是弧长参数时我们需要计算函数的弧长参数,才能进行下一步计算。其中弧长参数计算方法为计算弧微分s=0tr(u)dus=\displaystyle \int^{t}_{0}{|r''(u)|du}.
      • 给定函数为y=f(x)y=f(x)形式:
        曲率k=f(x)(1+f2)(32)(2)k=\frac{|f''(x)|}{\sqrt{(1+f'^2)}^{(\frac{3}{2})}}\tag {2}
    3. matlab程序实现

      1.计算圆r(t)=(2cost,2sint)t(0,2π)r(t)=(2cost,2sint),t\in (0,2\pi)的曲率
      解: 由公式(1)(1)计算曲率时发现参数不是弧长参数,所以我们要计算弧微分
      s=0tr(u)dus=\displaystyle \int^{t}_{0}{|r''(u)|du}

      于是
      s=0t2du=2ts=\displaystyle \int^{t}_{0}{2du}=2t

      从而转换成计算r(t)=(2coss2,2sins2)s(0,4π)r(t)=(2cos\frac{s}{2},2sin\frac{s}{2}),s\in (0,4\pi)的曲率
      MATLAB程序:
    clc,clear
    h=0.01;                        %步长
    s=0:h:4*pi;
    x=2*cos(s./2);y=2*sin(s./2);   %定义x,y
    r=[x,y];                       %定义向量函数
    r1=diff(r)./h;                 %一阶导
    r2=diff(r1)./h;                %二阶导
    k=r2;
    for i=1:length(r2)
        k(i)=norm(r2(i));
    end
    
    1. 计算y=sinx,x(0,π)y=sinx,x\in(0,\pi)的曲率
      由公式(2)(2)k=sinx(1+cosx2)(32)k=\frac{|sinx|}{\sqrt{(1+cosx^2)}^{(\frac{3}{2})}}
      MATLAB程序:
    clc,clear
    h=0.01;                        %步长
    x=0:h:pi;
    y=sin(x);                      %定义x,y
    y1=diff(y)./h;                 %一阶导
    y2=diff(y1)./h;                %二阶导
    y2(length(y1))=y2(end);        %二阶导右端点用向后差商代替,否则会有维度不一致情况
    k=abs(y2)./(sqrt(1+y1.^2).^(3/2));
    
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  • 4参数逻辑曲线公式及其含义

    千次阅读 2018-07-26 11:09:25
    曲线回归中的4参数逻辑曲线为例 其回归公示为 y=d+a−d1+(xc)by=d+a−d1+(xc)b y = d +\dfrac{a-d}{1+{(\dfrac{x}{c})^b}} 其中: d为浓度最大时的吸光度值 a为浓度为0时的吸光度值 ...

    ELISA数据分析

    ELISA是医学检验中常用技术手段,其数据分析也非常关键,常见的分析方法有:

    • 直线回归
    • 曲线回归

    以曲线回归中的4参数逻辑曲线为例

    其回归公示为

    y=d+ad1+(xc)b

    • 其中:
      d为浓度最大时的吸光度值
      a为浓度为0时的吸光度值
      c对应的是IC50,即50%抑制浓度
      d对应的是斜率
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  • 设函数在区间上具有一阶连续的导数,计算曲线的长度。 取为积分变量,则,在上任取一小区间,那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度可以用它的弧微分来近似。 于是,弧长元素为 弧长为 【例1】计算曲线的...
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    千次阅读 多人点赞 2020-05-12 23:12:49
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    2014-07-17 11:06:00
    转载于:https://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3850523.html
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    千次阅读 2019-07-30 13:52:46
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    千次阅读 2016-11-07 15:01:26
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    万次阅读 多人点赞 2013-10-16 22:17:15
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  • 曲线积分

    万次阅读 多人点赞 2018-06-17 23:34:15
    曲线积分可以分为两类: 对弧长的曲线积分 ...计算曲型物体质量:弧长 × 线密度 = 曲型物体质量 对弧长曲线积分的定义式:∫Lf(x,y)ds∫Lf(x,y)ds\int_L f(x,y)ds其中f(x,y)f(x,y)f(x,y)叫做被...
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空空如也

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平曲线计算公式