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  • - 标准差SD,有**样本**标准差和**总体**标准差,二者不同,可以通过公式换算,总的来说标准差SD是反映个体间的变异程度的指标,是反映个体距离平均数的离散程度的指标;...- 标准误差SE是一种关于可靠性的估计指标;

    概念名词

    信度理论

    Observed Score = True Score + Error Score
    观测分数 = 真分数 + 误差分数

    举例说明

    如果你去参加一场考试,你实际最后得到的分数就叫做 Observed Score,这个分数其实是由两部分组成的,如下所示:

    变量 物理意义
    Observed Score 实际得到的分数(观测分数)
    Error Score 各种因素影响造成的随机误差(误差分数)
    True Score 你真正的真实水平(真分数)

    注 : 所谓真实水平,是指你无数次参加同一个测试,所得到的平均数,代表的是一种平均表现;

    误差

    • 误差分数表示了你实际得分真实水平之间的差距;
    • 误差的存在不可避免,会随机地拔高、拉低你的得分;

    信度

    • 这种随机的波动情况就用信度来衡量;
    • 信度的范围分布在0.0~1.0 , 越接近1.0代表波动程度越小;

    信度和误差

    信度1.0时,表示一组完全没有误差的分数,也就是不波动,换言之一致性程度高,什么的一致性呢?同一个人多次重复测试得到相同分数的一致性;

    计算实例

    问题提出

    • 假设,你参加了一次英语考试:
      • 这个测试的分数范围一般是200~800,标准差SD是100
      • 你的得分是500
      • 这门考试的信度通常在0.90左右 ;

    但是你的分数很容易受到随机误差的影响,想知道这500分距离你的真实水平有多近吗?

    标准误差 SE、 标准差SD

    • 首先我们需要一个变量来表示影响到你发挥的随机误差,这个变量叫做标准误差,它能够反映每个人的观测分数真分数之间的平均距离;

    • 标准误差SE,可以利用该测试的信度以及群组观测分数的变异量(用标准差SD来反映)来估计;

      • 该测试的信度是指,同一个人多次测试得到相同分数的一致性程度;
      • 群组观测分数的变异量是指,A得分540分,B得分450分,C得分660 等等,这些观测分数(大家的实际得分)的标准差SD = ni=0(xavg)2n1

    计算标准误差SE

    • 测试的信度群组观测分数的标准差SD已知时,可以利用公式计算出标准误差SE

    SE = SD * 1Reliability
    标准误差 = 标准差 * 1

    变量 物理意义 数值
    Observed Score 你的实际得分 500
    Standard Deviation(SD) 该测试的大家的实际得分标准差 100
    Reliability 测试的信度 0.90
    Standard Error(SE) SE = SD * 1Reliability 30 ≈ 100 * 10.90

    可知,本次所得成绩500很可能处在多次测试所得平均分(True Score)上下30分的区间内;

    置信区间

    • 使用标准误差构建置信区间的方法基于以下假设 :
      误差是随机的,并且这些随机误差呈正态分布。(非常重要!)

    • 正态分布 :
      正态分布概率

    • 再看标准误差SE,摘自MBA智库百科 :

    需要注意的是,标准误差SE不是测量值的实际误差,也不是误差范围,它只是对一组测量数据可靠性的估计。标准误差小,测量的可靠性大一些,反之,测量就不大可靠。

    进一步的分析表明,根据偶然误差的高斯理论,当一组测量值的标准误差为σ时,则其中的任何一个测量值 Observed Score误差Error Score68.3%的可能性是在(-σ,+σ)区间内。

    • 根据正态分布图可知 :

      观测分数(你的实际得分500)可能落在真分数 1个 标准误差SE范围内;

    • 换句话说就是 :

    68%的几率观测分数落在真分数 1个 标准误差SE范围内;

    • 同理可知,也就是说:

    95%的把握,分数区间包含了个体的真分数,
    这个分数区间是真分数的 2个 标准误差SE范围内(准确说是1.96个)

    • 用上述得到的SE = 30 计算,根据最顶部的信度理论 :

      Observed Score = True Score + Error Score
      当代入 500 = True Score + 或者 - 30 ,

      才可以计算得出 530 或者 470,并且把这个范围同68%联系到一起。

    • 置信区间如下所示 :

         470 ----- 68 % ----- 530
    440 ---------- 95 % ---------- 560

    95%的意义

    如果这次测试你得到了500分,那么马上让你再考一回,你有95%的把握,新分数可能会高达560分,或者可能低到440分。

    再看标准差SD对比标准误差SE

    • 标准差SD,有样本标准差和总体标准差,二者不同,可以通过公式换算,总的来说标准差SD是反映个体间的变异程度的指标,是反映个体距离平均数的离散程度的指标;

    • 标准误差SE是一种关于可靠性的估计指标;

    引用

    《Statistics Hacks (Tips & Tools for Measuring the World and Beating the Odds)》
    http://shop.oreilly.com/product/9780596101640.do
    Hack 6. Measure Precisely

    名词译名及相关公式参考

    MBA智库百科

    Standard Error 标准误差
    http://wiki.mbalib.com/wiki/%E6%A0%87%E5%87%86%E8%AF%AF%E5%B7%AE

    Standard Deviation 标准差
    http://wiki.mbalib.com/wiki/%E6%A0%87%E5%87%86%E5%B7%AE

    Reliability 信度
    http://wiki.mbalib.com/wiki/%E4%BF%A1%E5%BA%A6

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  • 理解三者之间的区别与联系,要从定义入手,一步步来计算,同时也要互相比较理解,这样才够深刻。方差方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。在概率论和数理统计中,方差(英文Variance)用来度量随机变量和其数学...

    理解三者之间的区别与联系,要从定义入手,一步步来计算,同时也要互相比较理解,这样才够深刻。

    方差

    方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。在概率论和数理统计中,方差(英文Variance)用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。在许多实际问题中,研究随机变量和均值之间的偏离程度有着很重要的意义。

    标准差

    方差开根号。

    协方差

    在概率论和统计学中,协方差用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况,即当两个变量是相同的情况。

    可以通俗的理解为:两个变量在变化过程中是否同向变化?还是反方向变化?同向或反向程度如何?

    你变大,同时我也变大,说明两个变量是同向变化的,这是协方差就是正的。

    你变大,同时我变小,说明两个变量是反向变化的,这时协方差就是负的。

    如果我是自然人,而你是太阳,那么两者没有相关关系,这时协方差是0。

    从数值来看,协方差的数值越大,两个变量同向程度也就越大,反之亦然。

    可以看出来,协方差代表了两个变量之间的是否同时偏离均值,和偏离的方向是相同还是相反。

    公式:如果有X,Y两个变量,每个时刻的“X值与其均值之差”乘以“Y值与其均值之差”得到一个乘积,再对这每时刻的乘积求和并求出均值,即为协方差。

    方差,标准差与协方差之间的联系与区别:

    1. 方差和标准差都是对一组(一维)数据进行统计的,反映的是一维数组的离散程度;而协方差是对2组数据进行统计的,反映的是2组数据之间的相关性。

    2. 标准差和均值的量纲(单位)是一致的,在描述一个波动范围时标准差比方差更方便。比如一个班男生的平均身高是170cm,标准差是10cm,那么方差就是10cm^2。可以进行的比较简便的描述是本班男生身高分布是170±10cm,方差就无法做到这点。

    3. 方差可以看成是协方差的一种特殊情况,即2组数据完全相同。

    4. 协方差只表示线性相关的方向,取值正无穷到负无穷。

    利用实例来计算方差、标准差和协方差

    样本数据1:沪深300指数2017年3月份的涨跌额(%), [0.16,-0.67,-0.21,0.54,0.22,-0.15,-0.63,0.03,0.88,-0.04,0.20,0.52,-1.03,0.11,0.49,-0.47,0.35,0.80,-0.33,-0.24,-0.13,-0.82,0.56]

    1.计算沪深300指数2017年3月份的涨跌额(%)的方差

    #Sample Date - SH000300 Earning in 2017-03

    datas= [0.16, -0.67, -0.21, 0.54, 0.22, -0.15, -0.63, 0.03, 0.88, -0.04, 0.20, 0.52, -1.03, 0.11, 0.49, -0.47, 0.35, 0.80, -0.33, -0.24, -0.13, -0.82, 0.56]

    mean1= sum(datas)/len(datas) #result = 0.0060869565217391355

    square_datas=[]for i indatas:

    square_datas.append((i-mean1)*(i-mean1))

    variance= sum(square_datas)/len(square_datas)

    print(str(variance))#result = 0.25349338374291114

    # 当然如果你使用了numpy,那么求方差将会十分的简单:

    import numpy as np

    datas= [0.16, -0.67, -0.21, 0.54, 0.22, -0.15, -0.63, 0.03, 0.88, -0.04, 0.20, 0.52, -1.03, 0.11, 0.49, -0.47, 0.35, 0.80, -0.33, -0.24, -0.13, -0.82, 0.56]

    variance=np.var(datas)

    print(str(variance))#result = 0.253493383743

    2.计算沪深300指数2017年3月份的涨跌额(%)的标准差

    importmath#Sample Date - SH000300 Earning in 2017-03

    datas= [0.16, -0.67, -0.21, 0.54, 0.22, -0.15, -0.63, 0.03, 0.88, -0.04, 0.20, 0.52, -1.03, 0.11, 0.49, -0.47, 0.35, 0.80, -0.33, -0.24, -0.13, -0.82, 0.56]

    mean1= sum(datas)/len(datas)

    square_datas=[]for i indatas:

    square_datas.append((i-mean1)*(i-mean1))

    variance= sum(square_datas)/len(square_datas)

    standard_deviation=math.sqrt(variance)print(str(standard_deviation))#result = 0.5034812645401129

    #当然如果你使用了numpy,那么求标准差将会十分的简单:

    importnumpy as np#Sample Date - SH000300 Earning in 2017-03

    datas= [0.16, -0.67, -0.21, 0.54, 0.22, -0.15, -0.63, 0.03, 0.88, -0.04, 0.20, 0.52, -1.03, 0.11, 0.49, -0.47, 0.35, 0.80, -0.33, -0.24, -0.13, -0.82, 0.56]

    standard_deviation2= np.std(datas, ddof =0)print(str(standard_deviation2))#result =0.50348126454

    请注意 ddof = 0这个参数,这个是很重要的,只是稍后放在文末说明,因为虽然重要,但是却十分好理解。

    3.计算沪深300指数2017年3月份的涨跌额(%)与 格力电器(SZ:000651) 2017年3月份的涨跌额(%)之间的协方差

    协方差是计算两组数据之间的关系,所以要引入第二个样本,即格力电器(SZ:000651) 2017年3月份的涨跌额(%)

    importmath#Sample Date - SH000300 Earning in 2017-03

    datas_sh000300= [0.16, -0.67, -0.21, 0.54, 0.22, -0.15, -0.63, 0.03, 0.88, -0.04, 0.20, 0.52, -1.03, 0.11, 0.49, -0.47, 0.35, 0.80, -0.33, -0.24, -0.13, -0.82, 0.56]

    datas_sz000651= [0.07, -0.55, -0.04, 3.11, 0.28, -0.50, 1.10, 1.97, -0.31, -0.55, 2.06, -0.24, -1.44, 1.56, 3.69, 0.53, 2.30, 1.09, -2.63, 0.29, 1.30, -1.54, 3.19]

    mean_sh000300= sum(datas_sh000300) /len(datas_sh000300)

    mean_sz000651= sum(datas_sz000651) /len(datas_sz000651)

    temp_datas=[]for i inrange(0, len(datas_sh000300)):

    temp_datas.append((datas_sh000300[i]- mean_sh000300) * (datas_sz000651[i] -mean_sz000651))

    cov= sum(temp_datas)/len(temp_datas)print(str(cov))#result = 0.4385294896030246

    当然如果你使用了numpy,那么求协方差将会十分的简单:importnumpy as np#Sample Date - SH000300 Earning in 2017-03

    datas_sh000300= [0.16, -0.67, -0.21, 0.54, 0.22, -0.15, -0.63, 0.03, 0.88, -0.04, 0.20, 0.52, -1.03, 0.11, 0.49, -0.47, 0.35, 0.80, -0.33, -0.24, -0.13, -0.82, 0.56]

    datas_sz000651= [0.07, -0.55, -0.04, 3.11, 0.28, -0.50, 1.10, 1.97, -0.31, -0.55, 2.06, -0.24, -1.44, 1.56, 3.69, 0.53, 2.30, 1.09, -2.63, 0.29, 1.30, -1.54, 3.19]

    cov2= np.cov(datas_sh000300, datas_sz000651, ddof=0)[1][0]print(str(cov2))#result = 0.438529489603

    请注意 ddof = 0这个参数,这个是很重要的,只是稍后放在文末说明,因为虽然重要,但是却十分好理解。

    从这个例子可以看出来,格力个股在2017年3月份是和沪深300指数正相关的,即指数涨,格力也大多是上涨的,只是 值偏小,两者之间偏离各自均值的幅度也不同,即,我们知道了2者正相关,但是不知道正相关的幅度是大是小,这个需要引入下一个名词,文章下面会介绍:相关系数。

    ddof = 0参数的说明

    如果你从网上查找方差的公式,你会发现有2个公式!

     和 

    那么哪个是正确的呢?又有什么区别呢?这里就要说下贝赛尔修正:

    在上面的方差公式和标准差公式中,存在一个值为N的分母,其作用为将计算得到的累积偏差进行平均,从而消除数据集大小对计算数据离散程度所产生的影响。不过,使用N所计算得到的方差及标准差只能用来表示该数据集本身(population)的离散程度;如果数据集是某个更大的研究对象的样本(sample),那么在计算该研究对象的离散程度时,就需要对上述方差公式和标准差公式进行贝塞尔修正,将N替换为N-1:

    简单的说,是除以 N 还是 除以 N-1,则要看样本是否全,比如,我要统计全国20岁男性的平均身高,这时间你肯定拿不到全部20岁男性的身高,所以只能随机抽样 500名,这时间要除以 N-1,因为只是部分数据;但是我们算沪深300在2017年3月份的涨跌幅,我们是可以全部拿到3月份的数据的,所以我们拿到的是全部数据,这时间就要除以 N。

    相关系数

    在我们的例子中,求的沪深300在2017年3月份的方差为0.253493383743,标准差为0.5034812645401129。

    那么我们该如何理解呢?

    方差:如果 股票 B 的方差是 0.1,那么我们可以说 沪深300的离散度更大,因为沪深300 的方差>股票B的方差。

    标准差:沪深300的均值是:mean1 = sum(datas)/len(datas) = 0.0060869565217391355,即平均每天上涨 0.006%,那么我们描述,沪深300指数在2017年3月份平均日波动区间为[ 0.006%-0.50%,  0.006%+0.50% ]

    而协方差呢,如果我只有格力和沪深300的数据,我拿到的协方差值是0.438529489603,这个值只能表明是正相关的,但是正相关的程度呢,是沪深300上涨1%,格力也上涨1%,还是沪深300上涨1%,格力涨2%呢?我们从协方差的值中无从得知。

    这时间就需要另外一个变量来描述相关度的大小了:相关系数

    协方差的相关系数,不仅表示线性相关的方向,还表示线性相关的程度,取值[-1,1]。也就是说,相关系数为正值,说明一个变量变大另一个变量也变大;取负值说明一个变量变大另一个变量变小,取0说明两个变量没有相关关系。同时,相关系数的绝对值越接近1,线性关系越显著。

    计算公式为:就是用X、Y的协方差除以X的标准差乘以Y的标准差。

    用 Python + Numpy 来实现代码如下:

    importnumpy as npimportmath#Sample Date - SH000300 Earning in 2017-03

    datas_sh000300= [0.16, -0.67, -0.21, 0.54, 0.22, -0.15, -0.63, 0.03, 0.88, -0.04, 0.20, 0.52, -1.03, 0.11, 0.49, -0.47, 0.35, 0.80, -0.33, -0.24, -0.13, -0.82, 0.56]

    datas_sz000651= [0.07, -0.55, -0.04, 3.11, 0.28, -0.50, 1.10, 1.97, -0.31, -0.55, 2.06, -0.24, -1.44, 1.56, 3.69, 0.53, 2.30, 1.09, -2.63, 0.29, 1.30, -1.54, 3.19]

    cov= np.cov(datas_sh000300, datas_sz000651, ddof=0)[1][0]

    standard_deviation_sh000300= np.std(datas_sh000300, ddof=0)

    standard_deviation_sz000651= np.std(datas_sz000651, ddof=0)

    ppcc= cov/(standard_deviation_sh000300*standard_deviation_sz000651)print(str(ppcc))#result = 0.554372485367

    相关系数是  0.554372485367,可以看出来两者是正相关的,但是相关度很一般,至于一般的标准,就要看工作中的应用尺度了,如系数超过0.8,才存在配对交易的机会,否则,没有。

    本文完,下面的文章计划介绍下协同效应的实际应用。

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    展开全文
  • 性质:又称均方根误差,当对某一量进行甚多次的测量时,取这一测量列真误差的均方根差(真误差平方的算术平均值再开方),称为标准偏差,以σ表示。σ反映了测量数据偏离真实值的程度,σ越小,表示测量精度越高,因此...

    计算公式:

    欢迎指正!

    ------------------------------

    其余参照一下说明:

    论文写作中经常需要比较几个算法的优略,下面列举的是一些常用的评估方法。

    性质:

    又称均方根误差,

    当对某一量进行甚多次的测量时,

    取这一测量列真误差的均方根差

    (

    误差平方的算术平均值再开方

    )

    ,称为标准偏差,以

    σ

    表示。

    σ

    反映了测量数据偏离真实值的

    程度,

    σ

    越小,表示测量精度越高,因此可用

    σ

    作为评定这一测量过程精度的标准。

    均方根值也称作为效值

    ,它的计算方法是先平方、再平均、然后开方。比如幅度为

    100V

    而占

    空比为

    0.5

    的方波信号,

    如果按平均值计算,

    它的电压只有

    50V

    而按均方根值计算则有

    70.71V

    这是为什么呢?举一个例子,

    有一组

    100

    伏的电池组,

    每次供电

    10

    分钟之后停

    10

    分钟,

    也就是

    说占空比为一半。如果这组电池带动的是

    10Ω

    电阻,供电的

    10

    分钟产生

    10A

    的电流和

    1000W

    的功率,停电时电流和功率为零。

    那么在

    20

    分钟的一个周期内其平均功率为

    500W

    ,这相当于

    70.71V

    的直流电向

    10Ω

    电阻供电

    所产生的功率。而

    50V

    直流电压向

    10Ω

    电阻供电只能产生的

    250W

    的功率。对于电机与变压

    器而言,只要均方根电流不超过额定电流,即使在一定时间内过载,也不会烧坏。

    PMTS1.0

    抽油机电能图测试仪对电流、电压与功率的测试计算都是按有效值进行的,不会因为电流电

    压波形畸变而测不准。这一点对于测试变频器拖动的电机特别有用。

    均方根误差

    为了说明样本的离散程度。

    展开全文
  • 方差、协方差、标准差(标准偏差/均方差)、均方误差、均方根误差(标准误差)、均方根值 本文由博主经过查阅网上资料整理总结后编写,如存在错误或不恰当之处请留言以便更正,内容仅供大家参考学习。 方差...

    方差、协方差、标准差(标准偏差/均方差)、均方误差、均方根误差(标准误差)、均方根值

    本文由博主经过查阅网上资料整理总结后编写,如存在错误或不恰当之处请留言以便更正,内容仅供大家参考学习。


    • 方差(Variance)

           方差用于衡量随机变量或一组数据的离散程度,方差在在统计描述和概率分布中有不同的定义和计算公式。①概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度;②统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本均值之差的平方值的平均数,代表每个变量与总体均值间的离散程度。

    概率论中计算公式

    离散型随机变量的数学期望: 

                                                                                                                 ---------求取期望值

    连续型随机变量的数学期望:

                                                                                                          ----------求取期望值

    其中,pi是变量,xi发生的概率,f(x)是概率密度。

                                                          ---------求取方差值

     

    统计学中计算公式

     总体方差,也叫做有偏估计,其实就是我们从初高中就学到的那个标准定义的方差:

                                                                                    

                                                                                                                   -----------求取总体均值

    其中,n表示这组数据个数,x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值。

                                                        

                                                          ------------求取总体方差

    其中,\bar{X}为数据的平均数,n为数据的个数,s^{2}为方差。

    样本方差,无偏方差,在实际情况中,总体均值\bar{X}是很难得到的,往往通过抽样来计算,于是有样本方差,计算公式如下

                                                        --------------求取样本方差           

    此处,为什么要将分母由n变成n-1,主要是为了实现无偏估计减小误差,请阅读《为什么样本方差的分母是 n-1》。    

    • 协方差(Covariance)

          协方差概率论统计学用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况,即当两个变量是相同的情况。协方差表示的是两个变量的总体的误差,这与只表示一个变量误差的方差不同。 如果两个变量的变化趋势一致,也就是说如果其中一个大于自身的期望值,另外一个也大于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变量的变化趋势相反,即其中一个大于自身的期望值,另外一个却小于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是负值。

    formula

    formula

    其中,E[X]与E[Y]分别为两个实数随机变量X与Y的数学期望,Cov(X,Y)为X,Y的协方差。

    •  标准差(Standard Deviation)

           标准差也被称为标准偏差,在中文环境中又常称均方差,是数据偏离均值的平方和平均后的方根,用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度,只是由于方差出现了平方项造成量纲的倍数变化,无法直观反映出偏离程度,于是出现了标准差,标准偏差越小,这些值偏离平均值就越少,反之亦然。

     

                                                                                                   ------------求取样本标准差

    其中,  代表所采用的样本X1,X2,...,Xn的均值。

                                                                                                     -------------求取总体标准差

     其中, 代表总体X的均值。

    :有一组数字分别是200、50、100、200,求它们的样本标准偏差。

    = (200+50+100+200)/4 = 550/4 = 137.5

    = [(200-137.5)^2+(50-137.5)^2+(100-137.5)^2+(200-137.5)^2]/(4-1)

    样本标准偏差 S = Sqrt(S^2)=75

    • 均方误差(mean-square error, MSE

           均方误差是反映估计量与被估计量之间差异程度的一种度量,换句话说,参数估计值与参数真值之差的平方的期望值。MSE可以评价数据的变化程度,MSE的值越小,说明预测模型描述实验数据具有更好的精确度。

    • 均方根误差(root mean squared error,RMSE

          均方根误差亦称标准误差,是均方误差的算术平方根。换句话说,是观测值与真值(或模拟值)偏差(而不是观测值与其平均值之间的偏差)的平方与观测次数n比值的平方根,在实际测量中,观测次数n总是有限的,真值只能用最可信赖(最佳)值来代替。标准误差对一组测量中的特大或特小误差反映非常敏感,所以,标准误差能够很好地反映出测量的精密度。这正是标准误差在工程测量中广泛被采用的原因。因此,标准差是用来衡量一组数自身的离散程度,而均方根误差是用来衡量观测值同真值之间的偏差。

    • 均方根值(root-mean-square,RMES

           均方根值也称作为方均根值或有效值在数据统计分析中,将所有值平方求和,求其均值,再开平方,就得到均方根值。在物理学中,我们常用均方根值来分析噪声。

            比如幅度为100V而占空比为0.5的方波信号,如果按平均值计算,它的电压只有50V,而按均方根值计算则有70.71V。这是为什么呢?举一个例子,有一组100伏的电池组,每次供电10分钟之后停10分钟,也就是说占空比为一半。如果这组电池带动的是10Ω电阻,供电的10分钟产生10A 的电流和1000W的功率,停电时电流和功率为零。

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