平差重要公式

重要常数：

$1ppm=10^{-6}mm$
1弧度=206265秒

​

符号习惯：

真值：$\widetilde{L_i}$
观测值：$L_i$
每个测站的中误差${\sigma }_{站}$
AB测量中误差${\sigma }_{AB}$

重要公式：

1. 真误差：
${\Delta }_i=\widetilde{L_i}-L_i$（真值减去观测值）
若以被观测量的期望E(L)来代替真值，则：

2. 方差：
${\sigma }^2=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\sum }_{i=1}^n{\Delta }_i^2}{n}$
3. 中误差：
$\sigma =\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{\Delta }_i^2}{n}}$
4. 估值：
${\hat{\sigma }}^2=\frac{{\sum }_{i=1}^n{\Delta }_i^2}{n}$
$\hat{\sigma }=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{\Delta }_i^2}{n}}$
5. 平均误差：
$\theta =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\sum }_{i=1}^n|{\Delta }_i|}{n}=\frac{4}{5}\sigma$（估值去掉极限即可）
**6. 或然误差：**几何意义为正态分布的1/2分位点，计算时取中位数即可
$\rho =\frac{2}{3}\sigma$
7. 极限误差：
${\Delta }_{限}=3\sigma$（有时为2倍，用于排除粗差）
8. 相对误差：
$K=\frac{|m|}{D}$（其中m为中误差，D为观测值）
9. 精度匹配问题：
（1）已知长度观测值为$L+m$（L为观测值，m为中误差），则角度匹配精度为$\sigma =\frac{|m|}{L}\rho$
（2）已知角度观测误差为$\theta$，观测长度为L，则长度匹配精度为$|m|=\frac{\sigma L}{\rho }$
10. 精度：（针对偶然误差，表征偶然误差大小的统计量）
(1)观测向量的精度指标——协方差阵：
随机变量$X=[X_1{X}_2...X_n{]}^T$的数学期望为$E(X)=\left[\begin{array}{c}E(X_1)\\ E(X_2)\\ ...\\ E(X_n)\end{array}\right]$
那么有方差-协方差阵：$\genfrac{}{}{0ex}{}{D_{xx}}{nn}=\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{X_1}^2{\sigma }_{X_1{X}_2}...{\sigma }_{X_1{X}_n}\\ {\sigma }_{X_2{X}_1}{\sigma }_{X_2}^2...{\sigma }_{X_2{X}_n}\\ .........\\ {\sigma }_{X_n{X}_1}{\sigma }_{X_n{X}_2}...{\sigma }_{X_n}^2\end{array}\right]$（可以看作是偶然误差的标准差，是统计概念，只用来评定整体的精度，内部之间不做比较）
协方差的计算与性质：${\sigma }_{X_i{X}_j}={\sigma }_{X_j{X}_i}$${\sigma }_{X_i{X}_j}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\sum }_{k=1}^n({\Delta }_{ik}\Delta jk)}{n}$（估值去掉极限即可）
(2)互协方差阵:
两组观测向量$\genfrac{}{}{0ex}{}{X}{n1}，\genfrac{}{}{0ex}{}{Y}{r1}$，期望分别为$\genfrac{}{}{0ex}{}{E(X)}{n1},\genfrac{}{}{0ex}{}{E(Y)}{r1}$，记

则

其中$D_{XX}$和$D_{YY}$分别为X和Y的协方差阵，而：$D_{XY}=\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{x_1{y}_1}{\sigma }_{x_1{y}_2}...{\sigma }_{x_1{y}_r}\\ {\sigma }_{x_2{y}_1}{\sigma }_{x_2{y}_2}...{\sigma }_{x_2{y}_r}\\ .........\\ {\sigma }_{x_n{y}_1}{\sigma }_{x_n{y}_2}...{\sigma }_{x_n{y}_r}\end{array}\right]$
且$D_{XY}=D_{YX}^T$
11. 准确度：
$\epsilon =\tilde{X}-E(X)$（随机变量X的真值与其数学期望之差）（表征了观测结果系统误差大小）
12. 精确度
均方误差：$MSE(X)=E(X-\tilde{X}{)}^2$（观测结果与其真值的的接近程度，当不存在系统误差时，精确度=精度）
$MSE(X)={{\sigma }_X}^2+(E(X)-\tilde{X}{)}^2$
13. 测量不确定度：
（1）标准不确定度：中误差
（2）偶然误差限：2倍中误差
14. 协方差传播率：
（1）单线性函数（$Z=KX+K_0$）的方差：$\genfrac{}{}{0ex}{}{D_{ZZ}}{11}={\sigma }_Z^2=K{D}_{XX}{K}^T$
（2）多线性函数（$\genfrac{}{}{0ex}{}{Z}{t1}=KX+K_0$）的方差：$\genfrac{}{}{0ex}{}{D_{ZZ}}{tt}={\sigma }_Z^2=K{D}_{XX}{K}^T$
$\quad \quad $若还有$Y=FX+F_0$，则有互协方差阵$D_{YZ}=FD_{XX}K^T$$D_{ZY}=K{D}_{XX}{F}^T$
（3）非线性函数（$Z=f(x)$）的方差：线性化的方法：方法1：泰勒展开；方法2：求取函数的全微分，之后利用1，2求方差即可
（4）注意事项：

• 统一单位
• 某些函数可以先取对数，再求比较方便
• 在许多题目中近似值用观测值来代替
  （5）应用：
• 水准测量的精度：前提是独立等精度观测，则有${\sigma }_{AB}^2=N{\sigma }_{站}^2$
• 同精度独立观测值的算术平均值的精度：${\sigma }_x=\frac{1}{\sqrt{N}}\sigma$(若只给出观测值计算的两个公式$若已知真值\sigma =\pm \sqrt{\frac{[\Delta \Delta ]}{n}}，$$若不知道真值，就要计算改正数\sigma =\pm \sqrt{\frac{[vv]}{n-1}}$)
• 若干独立误差的联合影响：平方和
• 交会定点的精度：
• GIS线元要素的方差：详见书P41页
  15.权与定权的方法：
  （1）权：$p_i=\frac{{\sigma }_0^2}{{\sigma }_i^2}$表示各观测值方差之间比例关系的数字特征
  （2）意义：方差越小，精度越高，权越大
  （3）${\sigma }_0$：任意选择，称为单位权中误差；${\sigma }_0^2$：单位权方差因子
  （4）几个重要结论：
• 水准测量的权：路线的权与测站数或距离成反比
• 同精度观测值算术平均值的的权：与观测次数成正比
  16.协因数方差阵：
  （1）协因数即为权的倒数，而互协因数为协方差除以方差
  （2）协因数阵：协因数阵即为协方差阵除以相应的单位权中误差，也因此，协因数阵中对应位置为对应元素的权倒数
  （3）权阵：$P_{XX}=Q_{XX}^{-1}$权阵中并没有权值，权阵唯一的作用仅仅只是取逆后得到协因数阵求权
  （4）逆矩阵求法：（由于协方差阵是对称阵，因而其逆矩阵也为对称阵）$A^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|}$（不要算错！！！）
  17.协因数传播律：
  （1）形式上同协方差传播律
  （2）几个结论：
• 独立等精度观测，算术平均值的权等于观测值之权的n倍
• 独立观测，带权平均值的权等于各观测值权之和
• 书P54页例题
  18.带权的中误差计算：
  （1）对于真误差已知，将相应的误差平方乘上权就好
  （2）对于真误差未知，将相应的改正数平方乘上权，再将n换为n-1
  （3）三角形闭合差求测角中误差：费列罗公式：$\widehat{{\sigma }_{\beta }}=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{\omega }_i^2}{3n}}，其中\omega 为闭合差，n为次数$

19.条件平差的函数模型：实际观测值个数n，必要观测个数t，多余观测r=n-t，即可建立r个条件方程。$\tilde{L}=L+\Delta$
非线性情况：$F_i(\tilde{L})=0(i=1,2,...,r)$
线性情况：$A\tilde{L}+A_0=0orA\Delta +W=0W=(AL+A_0)$
(要注意的是这几个方程一定是无关的)
条件平差的缺点：有时待求量并非观测量，因而应用不便
附有参数的条件平差函数模型：设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，则可列出r=n–t个条件方程；若再增加u个独立参数，0<u <t，则每增设一个参数应增加一个条件方程，构成附有参数的条件平差法。
非线性形式：$F(\tilde{L}\tilde{X})=0c=r+u$
线性形式：$A\tilde{L}+B\tilde{L}+A_0=0A\Delta +B\tilde{X}+W=0W=AL+A_0$
附有参数的条件平差，其特点是观测量和参数同时作为模型中的未知量参与平差，是间接平差和条件平差的混合模型。此平差问题，由于增选了u个参数，条件方程总数由r个增加到c=r+u个，平差自由度即多余观测数不变，仍为r(r=c-u)。

20.间接平差的函数模型：选择几何模型中t个独立变量为平差参数，每一个观测量都能够表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式。
非线性形式：$\tilde{L}=F(\tilde{X})$
线性形式：$\tilde{L}=B\tilde{X}+dorl+\Delta =B\tilde{X}l=L-d$
(基本思路就是利用选定的参数表达观测值)
在测量控制网中，常采用待定点的坐标为平差参数建立观测方程，这是间接平差的特点

附有限制条件的间接平差函数模型：如选u>t个参数，包含t个独立参数，则多选的s=u–t个参数必是t个独立参数的函数，亦即在u个参数之间存在着s个函数关系，它们是用来约束参数之间应满足的关系。
非线性形式：$$\begin{gathered} \tilde{L}=F(\tilde{X}) \\ \Phi (\tilde{X})=0 \end{gathered}$$
线性形式：$$\begin{gathered} \tilde{L}=B\tilde{X}+d \\ C\tilde{X}+W_s=0 \end{gathered}$$
or
$$\begin{gathered} \Delta =B\tilde{X}-l \\ l=L-d \end{gathered}$$
(对以上函数模型，还可以利用泰勒级数进行线性化处理)

基础知识：

1. 测量或观测：用一定的仪器、工具、传感器或其他手段采集、获取反映地球或其他实体空间分布有关信息的过程和结果。（获取地球的形状、大小以及地表(包括地面上各种物体）的几何形状及其空间位置的过程）
2. 在测角时，盘左盘右相差180度且一测回测两次，误差需要扩大根号2倍
3. 误差来源：测量仪器、观测者、外界条件。（三者统称观测条件）
4. 确保观测成果质量的有效措施：多同一个量做多次观测，例如 n 次 (n>1)，形成多余观测。
   必要观测数是能够得到测量结果的最小观测数目，用t表示
   多余观测数多于未知量的观测数目，用r表示，$r=n-t$
5. 不管观测条件如何，观测的结果总会产生这样或那样的误差，即测量中不可避免产生误差。但是在客观条件允许的限度内，测量工作者可以而且必须确保观测成果具有较高的质量。
6. 误差分类：偶然误差、系统误差、粗差
   偶然误差:在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，其大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。
   系统误差:在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差就称为系统误差。
   粗差:粗差即粗大误差，是指比在正常观测条件下所可能出现的最大误差还要大的误差，通俗地说，粗差要比偶然误差大好几倍。例如观测时大数读错，计算机输入数据错误，控制网起始数据错误等。
7. 误差的表现形式 ：多次观测时重复观测值之间存在差异；实际观测值不满足应有的理论关系：如三角形内角和、测距(往返测)、角度(盘左、盘右)、水准(环闭合差)
8. 观测的分类：
   直接观测:直接用测量仪器或传感器测取所需要的观测量，称为直接观测；被观测的量可直接与其单位长度进行比较。（角度、距离、空气湿度、温度、身高、体重、计时）
   间接观测:被观测量由直接观测量通过某种确定的函数关系（公理、定理），计算得到的观测过程称为间接观测。（运动速度、物体体积、耕地面积、水准高程、卫星定位）
   静态观测:在测量过程中被观测的物理量稳定不变。（角度、距离、矢量地图、大型工程、建筑三维结构）
   动态观测:在测量过程中被观测的物理量是变化的。（视频监控、交通监测、运动计步、无人驾驶、目标实时定位）
9. 研究对象:如何处理带有误差的观测值，找出待求量（未知量）的最佳估值。
   测量平差的含义:依据某种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。
   基本任务:如何处理由于多余观测引起的观测值之间的不符值或闭合差，求出未知量的最佳估值并评定结果的精度。
10. 测量平差的基本问题
    估值计算:根据观测量求某些量在一定统计意义下的估值。
    衡量观测数据(估值)的精度:观测数据相对于真值或统计估值的中误差。
    优化估值计算的模型
11. 必要元素的概念:能够唯一确定一个几何模型所必要的元素
    确定某个模型所必需的最少的元素个数，称为必要元素数，记必要元素数的符号为t
    （基本模型：三角形在确定不同元素时的不同的必要元素，水准测量在不同情况下不同的必要观测数）
    性质：（1）必要元素的个数t只取决于模型本身
    （2）所有的必要元素都是彼此函数独立的量
    （3）模型中所有的量都是必要元素的函数
    （4）一个模型中函数独立的量有且只有t个
    （5）模型中作为必要元素的“量”不是唯一的
12. 必要观测量通过观测得到的必要元素
    必要观测数确定某个模型所必需的最少的观测值的个数，必要观测数用符号t表示
    要点:在有已知点的水准网中，必要观测个数等于未知点的个数
    没有已知点的水准网中，必要观测个数等于未知点个数减1
13. 多余观测数:确定几何模型所需的最大独立观测个数为t，再多进行任何观测，则观测值之间就相关，形成函数关系，称为多余观测数，也称自由度。观测值个数n与必要观测数t之差，一般用r表示：$r=n-t$
14. 什么是测量平差？
    观测值中包含有“误差”，对某“元素”进行多次观测，多次观测结果并不相等。
    对该“元素”只作一次观测，该观测值是否不含误差？
    此时无法发现观测值所含误差，结果不可靠。为了保证观测结果的正确性，必须对该“量”进行两次或两次以上的观测，使得误差通过观测值之间的差异表现出来，平差的主要任务就是“消除差异”，求出被观测量的最可靠结果。
15. 平差存在的原因:必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。有多余观测必然可用这t个元素表示，即形成r个条件，通过r个条件，便可以对观测值进行平差。
16. n < t，则无法确定模型
    n = t，唯一确定模型，但不能发现粗差。
    n > t，可以确定模型，还可以发现粗差。
    观测值个数用n 表示，必要观测数用t 表示。
17. 函数模型是描述观测量与未知量间的数学函数关系的模型，是确定客观实际的本质或特征的模型。
    函数模型分为：线性和非线性两类。
    测量平差目的:最优估计函数模型的未知量，并评价其精度

$${\hat{y}}_{t+h|t}={\iota }_t+h{b}_t$$

$${\iota }_t=\alpha y_t+(1-\alpha )({\iota }_{t-1}+b_{t-1})$$

$$b_t=\beta \ast ({\iota }_t-{\iota }_{t-1})+(1-\beta )b_{t-1}$$