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  • 初一数学(北京版)-运用完全平方公式因式分解-教案.pdf
  • 解题报告 分解因式

    2011-10-15 14:36:00
    分解因式 factorize.pas/c/cpp 【问题描述】 众所周知,整系数范围内分解因式是一个非常难的问题。为了解决这个问题,人们想出了各种公式和方法,例如平方差公式、立方差公式、立方和公式、提取公因式、十字相...

    1.        题目

    分解因式

    factorize.pas/c/cpp

     

    【问题描述】

    众所周知,整系数范围内分解因式是一个非常难的问题。为了解决这个问题,人们想出了各种公式和方法,例如平方差公式、立方差公式、立方和公式、提取公因式、十字相乘法等等。现在“伟大”的只会空想的不切实际的伪数学爱好者小k同学希望能借助计算机解决这个问题。

    为了让自己的题目显得不那么丧心病狂一点,小k同学决定只要你解决一类特殊的因式分解问题,那就是分解在整系数范围内分解到不能继续分解为止。换句话说,最后的答案中每个因式不含更低次数的因式。

    不过小k后来意识到这个问题还是很丧心病狂,为了降低题目难度,小k给出一个提示:一个多项式是另一个多项式的因式当且仅当ab的一个约数。

     

    【输入格式】

    输入一行一个数n,待分解的多项式就是

     

    【输出格式】

    输出一行一个字符串,表示因式分解的结果。最后的输出中每个因式应该不含空格,系数为1-1时应省略1,系数为0的项应该省略,每个因式应该降幂排列,并且保证首项系数为正。除此以外,我们要求按如下顺序排列因式:优先输出次数低的因式,对于次数相同的因式,依次比较每个因式的系数,从高指数项到低指数项,且包括被省略即系数为0的项。系数首先比较绝对值,其次比较符号。绝对值小的系数字典序序小,绝对值相同时比较符号,负号字典序比正号小。字典序越小的因式应该排在越前面输出。

     

    【样例输入】

    factorize.in

    20

     

    【样例输出】

    factorize.out

    (x - 1) (x + 1) (x^2 + 1) (x^4 – x^3 + x^2 - x + 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) (x^8 – x^6 + x^4 – x^2 + 1)

     

    【数据规模和约定】

    对于40%的数据,;2<=n<=50

    对于100%的数据,.2<=n<=1200

     

    2.        题目实质

    我们是不是该提醒一下出题人,我们是学 OI 的,不是学 MO 的。

    3.        算法

    x^n-1  =  (x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+x^(n-3)...+x+1)

    ------本公式转载自“考研论坛”

    首先,将给出的式子,先按照 2 次的拆分方法拆到不能拆,再按照 3 次的拆分方法拆到不能拆,然后再套上面那个公式。

    4.        注意事项

    能分出 2 次, 3 次的,要先分出来。

    转载于:https://www.cnblogs.com/SueMiller/archive/2011/10/15/2213019.html

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  • 因式分解习题

    2015-07-06 16:02:05
    专题训练一:利用平方差公式分解因式 题型(一):把下列各式分解因式
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  • 数学三次方分解因式重要公式

    千次阅读 2020-04-21 21:43:52
    a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) a³±3a²b+3ab²±b²=(a±b)³ (+ 号的时候对应 (a+b)的三次 ) a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc) ......
    1. a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

    2. a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) 

    3. a³±3a²b+3ab²± b³=(a±b)³ (+ 号的时候对应 (a+b)的三次 )

    4. a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

     

     

      

     

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  • 因式分解

    千次阅读 2018-05-19 11:57:29
    dreamoon初中时最喜欢在上数学课时睡觉了,每次睡觉时,都会被老师罚解很多道整系数一元二次多项式因式分解成两个整系数一元一次多项式相乘的题目,但dreamoon很狡猾,写了一个能解因式分解的程序,故这个惩罚对...

    https://www.nowcoder.com/acm/contest/110/G

    dreamoon初中时最喜欢在上数学课时睡觉了,每次睡觉时,都会被老师罚解很多道整系数一元二次多项式因式分解成两个整系数一元一次多项式相乘的题目,但dreamoon很狡猾,写了一个能解因式分解的程序,故这个惩罚对dreamoon没什么大不了的。

    身为dreamoon粉丝的你,也想效法dreamoon(能够写出解因式分解的程序的部份),现在就来测试看看你写的程序是否正确吧〜
    至于你应该要输出什么,详情请参考标准输出。

    输入描述:

    输入的第一行有一个正整数 T,代表该笔测试资料含有多少组因式分解问题。
    接下来有 T 行,每个询问各占 1 行,包含 3 个整数 a, b, c,代表这个询问要你对 a·x2+ b·x +c 做因式分解。

    输出描述:

    对于每个因式分解问题,若有多种把a·x2 + b·x +c 分解成两个整系数一元一次多项式相乘,也就是形如(s·x + t) x (u·x + v) 的方式,请找到使得s·101000+ t·10100 + u·1010 + v 最大的一组解,并输出四个整数s, t, u, v 于一行。
    若无法因式分解,则输仍然输出三个整数 a, b, c 于一行。

    示例1

    输入

    3
    5 1 -4
    5 1 4
    5 0 0

    输出

    5 -4 1 1
    5 1 4
    5 0 1 0

    备注:

    * 1 ≤ T ≤ 50000
    * -109 ≤ a,b,c ≤ 109
    * a ≠ 0
    * 数据里所有的数都是整数

    思路

    一元二次整系数多项式因式整分解

    根是不能决定方程具体的参数的,但是和参数是有关系的,也就是求根公式 b±b24ac2a − b ± b 2 − 4 a c 2 a

    所以有

    bb24ac2a=tsb+b24ac2a=vu − b − b 2 − 4 a c 2 a = − t s − b + b 2 − 4 a c 2 a = − v u

    这里 t,s t , s u,v u , v 可以调换(地位平等) 不妨先这样设

    由于 a,b,c,t,s,u,v a , b , c , t , s , u , v 全为整数

    所以 δ δ 必须为有理数 又 a,b,c a , b , c 全为整数 所以 b24ac b 2 − 4 a c 应为完全平方数 否则无solution

    现在相当于我们确定了 t,s t , s 的比例关系和 v,u v , u 的比例关系

    比较系数还可得

    su=a s u = a

    既然确定了比例,我们可以设基本参数表示两个数,

    但有一种比较方便的方法就是直接消去t,s (v,u)的gcd ,然后成比例扩大即可

    所以只有当 a%su==0 a % s u == 0 时才有解 令a=a/su 则a为最后s t要扩大的倍数 因为在前面的越大越好

    最后要确定题意中的最大的s,t,u,v

    首先,我们让s,u为正数(显然,如果他们中的某个做了题目中最后的’s’位置,其为正是结果最大的情况) 对于s,若取相反数,则t,a也取相反数 (u同理)

    然后,比较 s+t 很 大 的 数 s ∗ 很 大 的 数 + t u+v 很 大 的 数 u ∗ 很 大 的 数 + v 的大小

    以确定哪一对是真正的“s,t”

    最后要注意,扩大a(a/su)倍的时候,若a是负数,把-1分给u,v

    代码示例

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    int debug_num=0;
    #define debug cout<<"debug "<<++debug_num<<" :"
    #define lson l,m,rt<<1
    #define rson m+1,r,rt<<1|1
    #define bit(a,b) ((a>>b)&1)
    const int inf = 0x3f3f3f3f;
    const ll inff = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
    const double pi=acos(-1.0);
    
    ll a,b,c,s,t,u,v;
    
    ll is_sqrt(ll x)
    {
        ll t=sqrt(1.0*x)+0.5;
        return t*t==x ? t :-1 ;
    }
    
    ll gcd(ll a,ll b)
    {
        if(b==0) return a;
        return gcd(b,a%b);
    }
    
    
    int main()
    {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
        ios::sync_with_stdio(false);
        int Case;
        cin>>Case;
        while(Case--)
        {
            cin>>a>>b>>c;
            ll del;
            if((del=is_sqrt(b*b-4*a*c))>=0){
                //debug<<del<<endl;
                s=u=2*a;   t=b-del;  v=b+del;
                ll g1=gcd(abs(t),abs(s));  ll g2=gcd(abs(v),abs(u));
                t/=g1; s/=g1;  v/=g2;  u/=g2;
                //debug<<s<<" "<<t<<" "<<u<<" "<<v<<endl;
                if(a%(s*u)==0){
                    a/=(s*u);
                    if(s<0) s=-s,t=-t,a=-a;
                    if(u<0) u=-u,v=-v,a=-a;
                    if(s*inf+t<u*inf+v){
                        swap(t,v);
                        swap(s,u);
                    }
                    if(a<0){a=-a;  u=-u;  v=-v;}
                    t*=a;  s*=a;
                    cout<<s<<" "<<t<<" "<<u<<" "<<v<<endl;
                    continue;
                }
            }
            cout<<a<<" "<<b<<" "<<c<<endl;
        }
        return 0;
    }
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  • 沪科版(2012)初中数学七年级下册 8.4.2 运用平方差公式因式分解 教案 .doc
  • 人教版初二数学上册《因式分解平方差公式PPT课件》
  • 人教版初二数学上册《因式分解完全平方公式PPT课件》
  • 也就是说我们可以直接用线段树维护两个元素——平方和,(纯粹的)和。 不过我旁边也有大佬用分块AC了这道题%%。 可以领取双倍经验—— [洛谷1471] 方差 {线段树} 代码 # include # define rr ...

    题目

    Description
     淬炼完神体,王仙女被传送到了遥远处一座没有神雷的浮岛上,发现浮岛上除了一扇门以外什么都没有。他来到门前,发现上面写着这样一段话:
    一个神出了拥有强大的神体外,还需要一枚神格。然而,想要获得神格没那么简单,除了有实力外还需要有运气。曾经有一个人叫金(jin)字(zi)塔(da),他的神体很强,很壮,可是他根本没有运气,所以最后神格拒绝了他。打开这扇门,你将会进入一个神格创造的空间,在那里,神格将会问你一些问题来测试你解决问题的能力,当然,它的问题将会很难,在你答不出来的时候你可以选择随便猜一个答案,以此来展现你的运气。
    王仙女二话不说打开了那扇门,一阵眩晕过后,他来到了一个灰蒙蒙的空间。一个苍老的声音在四周响起:小娃娃,我是一枚存在亿万年的神格,我的上一任主人已经死去百万余年了,我也已经在这里等待了百万年了。能否成为我的主人,让我重现百万年前的风采,就看你的能力和运气了。再问问题之前,我要先跟你讲一件事。成为一个神后,最大的责任便是保护神界的人民,他们都出生在神界,但并不都具有神的实力。当然,神界人族的内部也有战争,他们一共分为N个部落,每两个部落之间都有可能发生战争。为了不然神界人族因为战争而损失惨重,神界的诸神将这些部落编号为1N,当这些部落的人数差距太大时,诸神便会降临,将一些部落的人带走,并放一些在别的部落中。而衡量所有部落人数差距的数值便是方差。接下来,我会告诉你一些部落的人数增加或减少的信息,并会不时的询问你编号为LR的部落的总人数或是他们部落人数的方差。

    Input
    第一行包含两个正整数N,Q,表示部落数和神格的信息数与询问数总和。
    第二行包含N个数,第i个数a_i表示编号为i的部落最初的人数。
    接下来Q行,第一个数为t。
    当t=0时,这一行还有两个数a,b,表示编号为a的部落增加了b个人(如果b<0则表示减少了|b|个人)。
    当t=1时,这一行还有三个数a,b,c,表示编号为a~b的部落增加了c个人(如果c<0则表示减少了|c|个人)。
    当t=2时,这一行还有两个数a,b,表示神格询问了编号为a~b的部落现在的总人数。
    当t=3时,这一行还有两个数a,b,表示神格询问了编号为a~b的部落人数的方差。

    Output
    对于每个t=2,输出一行,包含一个整数,表示总人数。
    对于每个t=3,输出一行,包含一个实数,表示方差,结果保留三位小数。


    解题思路

    讲方差公式分解一下:
    1 / n [ ( x 1 − a v e ) 2 + ( x 2 − a v e ) 2 + ⋯ + ( x ( n − 1 ) − a v e ) 2 + ( x n − a v e ) 2 ] 1/n[(x_1-ave)^2+(x_2-ave)^2+⋯+(x_(n-1)-ave)^2+(x_n-ave)^2] 1/n[(x1ave)2+(x2ave)2++(x(n1)ave)2+(xnave)2]
    1 / n [ x 1 2 − 2 ∗ x 1 ∗ a v e + a v e 2 + ⋯ + x n 2 − 2 ∗ x n ∗ a v e + a v e 2 1/n[{x_{1}}^2-2*{x_{1}}*ave+ave^2+⋯+{x_{n}}^2-2*x_{n}*ave+ave^2 1/n[x122x1ave+ave2++xn22xnave+ave2
    也就是说我们可以直接用线段树维护两个元素——平方和,(纯粹的)和。

    不过我旁边也有大佬用分块AC了这道题%%。

    可以领取双倍经验——[洛谷1471] 方差 {线段树}


    代码

    #include<cstdio>
    #define rr register 
    #define db double 
    #define ll long long 
    using namespace std;
    const ll N=100010;
    ll sum[N*4],num[N*4],add[N*4],t,n,m,q,w,e; 
    db x,y,z,ans;
    void good(ll l,ll r,ll mid,ll p){
    	if (add[p]){
        	sum[p*2]=sum[p*2]+add[p]*add[p]*(mid-l+1)+2*num[p*2]*add[p];
            num[p*2]=num[p*2]+add[p]*(mid-l+1);
            add[p*2]=add[p*2]+add[p];
            sum[p*2+1]=sum[p*2+1]+add[p]*add[p]*(r-mid)+2*num[p*2+1]*add[p];
            num[p*2+1]=num[p*2+1]+add[p]*(r-mid);
            add[p*2+1]=add[p*2+1]+add[p];
            add[p]=0;
        }
    }
    void know(ll p,ll l,ll r,ll a,ll b,ll x){
        if (l==a&&r==b){
            sum[p]=sum[p]+x*x*(r-l+1)+2*num[p]*x;
            num[p]=num[p]+x*(r-l+1);
            add[p]=add[p]+x;
            return;
        }
        ll mid=(l+r)>>1; good(l,r,mid,p); 
        if (b<=mid) know(p*2,l,mid,a,b,x); 
    	else if (a>mid) know(p*2+1,mid+1,r,a,b,x);
    	else know(p*2,l,mid,a,mid,x),know(p*2+1,mid+1,r,mid+1,b,x);
        sum[p]=sum[p*2]+sum[p*2+1];
        num[p]=num[p*2]+num[p*2+1];
    }
    ll ask1(ll p,ll l,ll r,ll a,ll b){
        if (l==a&&r==b) return sum[p];
        ll mid=(l+r)>>1; good(l,r,mid,p); 
        if (b<=mid) return ask1(p*2,l,mid,a,b);
        else if (a>mid) return ask1(p*2+1,mid+1,r,a,b);
        else return ask1(p*2,l,mid,a,mid)+ask1(p*2+1,mid+1,r,mid+1,b);
    }
    ll ask2(ll p,ll l,ll r,ll a,ll b){
        if (l==a&&r==b) return num[p];
        ll mid=(l+r)>>1; good(l,r,mid,p); 
        if (b<=mid) return ask2(p*2,l,mid,a,b);
        else if (a>mid) return ask2(p*2+1,mid+1,r,a,b);
        else return ask2(p*2,l,mid,a,mid)+ask2(p*2+1,mid+1,r,mid+1,b);
    }
    int main(){
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        for(rr int i=1;i<=n;++i)
            scanf("%lld",&w),know(1,1,n,i,i,w);
        for(rr int i=1;i<=m;i++){
            scanf("%lld",&t);
            if (!t){
                scanf("%lld%lld",&q,&e);
                know(1,1,n,q,q,e);
            } else if (t==1){
                scanf("%lld%lld%lld",&q,&w,&e);
                know(1,1,n,q,w,e);
            } else if (t==2){
                scanf("%lld%lld",&q,&w);
                printf("%lld\n",ask2(1,1,n,q,w));
            } else{
                scanf("%lld%lld",&q,&w);
                x=ask2(1,1,n,q,w);y=ask1(1,1,n,q,w);z=(w-q+1);
                ans=y*z; ans-=x*x; ans/=(z*z);
                printf("%.4lf\n",ans);
            }
        }
    }
    
    展开全文
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平方分解因式