提要
平面内把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离得到另一个图形，这种变换称为平移变换。根据需要，平移的对象可以是线段，直线，角，圆，整个图形等。平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。平移前后的线段，角，弧长，面积保持不变，平移前后的线段平行，对应点连线平行且相等，对应角的两边分别平行且方向一致，这种性质在解题中起着重要作用。平移的实质就是一种转化。通过平移，寻求已知条件与所求问题之间的关系，从而找到更为合理的解题之路。
知识全解
一．平移法的概念
利用平移变换及其性质解题的方法叫做平移法。平移法是分析和解决几何问题，函数图像问题的重要方法之一。若题设中有平行条件或委托中关于线段或角的已知条件位置分散，常可用平移变换将一部分条件转移到同一个三角形或平行四边形中。
理解平移应注意以下3点：1.平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，这里所说的平移是指在同一平面内的图形变换；2.平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；3.平移是由平移的方向和距离决定的，平移的方向是图形上某一点到它对应点的方向，平移的距离是图形上某一点与它的对应点所连线段的长度；4.图形的平移实质上是将图形上所有点按同一方向移动同样的距离。
二．平面直角坐标系中的平移
(1)平面直角坐标系中直线的平移：直线y=kx+b(k≠0)平移前后系数k的值不变。直线向上，下平移m(m>0)个单位分别得y=kx+b+m,y=kx+b-m；向左，右平移m个单位分别得y=k(x+m)+b,y=k(x-m)+b。
坐标系中图形的平移，实质上是点的平移。
学法指导
类型1 平面几何中的平移
例1 如图所示，梯形ABCD中，AD‖BC，∠B+∠C=90度，M,N分别是AD,BC的中点，求证：MN=(BC-AD)/2
【解析】平移两腰，作ME‖AB交BC于E，MF‖CD交BC于F，则得到平行四边形ABEM，CDMF，直角三角形MEF，根据平行四边形的性质易得EF=BC-AD，又因为MN是Rt△MEF斜边上的中线，所有MN=1/2EF，即MN=(BC-AD)/2
【点评】本题经过平移使线段，角的位置发生变化，从而条件和结论互相靠拢，为解题创造了条件。
类型2 平面直角坐标系中的平移
例2 如图所示，在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上
(1)B点关于y轴的对称点坐标为__
(2)将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1
 (3)在(2)的条件下，点A1的坐标为__
【解析】(1)由图1知，点B的坐标为(3，2)，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所有B点关于y轴对称的点的坐标应是(-3，2)
(2)可以由图1得出O,A,B三点的坐标为O(0，0)，A(1，3)，B(3，2)，向左平移3个单位长度后得到对应三点的坐标分别为O1(-3，0)，A1(-2，3)，B1(0，2)，在坐标系中描出这三点后再顺次连接即可；也可以根据平移的性质作出三角形△A1O1B1，如图2所示。
(3)点A1的坐标为(-2，3)
【点评】由平移方式求出三角形3个顶点的对应点的坐标，在坐标系中标出对应点，顺次连接即得平移后的图形。
链接中考
考点1 平移方法
例1 如图所示，在方格纸中，线段a,b,c,d的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有()
A.3种 B.6种 C.8种 D.12种
【解析】由图，根据勾股定理可得：a=√2,b=√5,c=2√5,d=√5。因为a+b
如下图所示，通过平移a,b,d其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，能组成三角形的不同平移法有6种。
【点评】本题利用平移的知识解决问题，有利于创新能力的培养。
考点2 平移性质
例2 如图所示，四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，且AC=BD,E,F分别是AB,CD的中点，连接EF分别交AC,BD于P,Q两点。求证：∠OPQ=∠OQP
【解析】出现中点，故能想到添加中位线，达到平移角的目的。取AD的中点G，连接EF,FG，则∠OPQ=∠GFP,∠OQP=∠GEP
∵EG=1/2BD,GF=1/2AC,BD=AC
∴EG=GF
∴∠GFP=∠GEP
∴∠OPQ=∠OQP
【点评】本题还可以取BC的中点，利用平行线的性质(内错角相等)达到转化角的目的。
考点3 平移直线
例3 (1)直线y=2x+1向下平移2个单位后的表达式是__
(2)直线y=2x+1向右平移2个单位后的表达式是__
【解析】易知该直线与y轴的交点坐标为A(0,1)，且根据一次函数性质，直线平移后比例系数k不变，仍是2，于是可设平移后的函数表达式为y=2x+b
(1)设平移后的函数表达式为y=2x+b。直线y=2x+1向下平移2个单位后，A点的坐标变为(0，-1)，代入y=2x+b中，解得b=-1，此时函数表达式为y=2x-1。
(2)直线y=2x+1向右平移2个单位后，A点坐标变为(2，1)，代入y=2x+b，解得b=-3，此时函数表达式为y=2x-3
【点评】直线的平移规律，可以借助直线上几个特殊点的坐标变化来找到。
考点4 平移抛物线
【解析】(1)令x=0，则y=c，故C(0,c)
∵OC的距离为3
∴|c|=3，即c=±3
∴C(0,3)或(0，-3)
(2)∵x1·x2<0，∴x1,x2异号
1.若C(0,3)，即c=3
把C(0,3)代入y2=-3x+t，即0+t=3，即t=3
∴y2=-3x+3
把A(x1,0)代入y2=-3x+3，即-3x1+3=0，即x1=1
∴A(1,0)
∵x1,x2异号,x1=1>0,∴x2<0
∵|x1|+|x2|=4
∴1-x2=4
解得：x2=-3,则B(-3，0)
则当x≤1 时，y随x增大而增大
2. 若C(0,-3)，即c=-3，把C(0,-3)代入y2=-3x+t,则
0+t=-3，即t=-3
∴y2=-3x-3
把A(x1,0)代入y2=-3x-3，则
-3x1-3=0，即x1=-1
∴A(-1,0)
∵x1,x2异号,x1=-1<0,∴x2>0
∵|x1|+|x2|=4
∴1+x2=4
解得：x2=3,则B(3，0)
则当x≥1 时，y随x增大而增大
综上所述，若c=3，当y随x增大而增大时，x≤-1
若若c=-3，当y随x增大而增大时，x≥1
【点评】此题主要考查了二次函数综合，二次函数的平移以及二次函数增减性等知识，利用分类讨论得出n的取值范围是解题关键。

提要
平面内把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离得到另一个图形，这种变换称为平移变换。根据需要，平移的对象可以是线段，直线，角，圆，整个图形等。平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。平移前后的线段，角，弧长，面积保持不变，平移前后的线段平行，对应点连线平行且相等，对应角的两边分别平行且方向一致，这种性质在解题中起着重要作用。平移的实质就是一种转化。通过平移，寻求已知条件与所求问题之间的关系，从而找到更为合理的解题之路。
知识全解
一．平移法的概念
利用平移变换及其性质解题的方法叫做平移法。平移法是分析和解决几何问题，函数图像问题的重要方法之一。若题设中有平行条件或委托中关于线段或角的已知条件位置分散，常可用平移变换将一部分条件转移到同一个三角形或平行四边形中。
理解平移应注意以下3点：1.平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，这里所说的平移是指在同一平面内的图形变换；2.平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；3.平移是由平移的方向和距离决定的，平移的方向是图形上某一点到它对应点的方向，平移的距离是图形上某一点与它的对应点所连线段的长度；4.图形的平移实质上是将图形上所有点按同一方向移动同样的距离。
二．平面直角坐标系中的平移
(1)平面直角坐标系中直线的平移：直线y=kx+b(k≠0)平移前后系数k的值不变。直线向上，下平移m(m>0)个单位分别得y=kx+b+m,y=kx+b-m；向左，右平移m个单位分别得y=k(x+m)+b,y=k(x-m)+b。
坐标系中图形的平移，实质上是点的平移。
学法指导
类型1 平面几何中的平移
例1 如图所示，梯形ABCD中，AD‖BC，∠B+∠C=90度，M,N分别是AD,BC的中点，求证：MN=(BC-AD)/2
【解析】平移两腰，作ME‖AB交BC于E，MF‖CD交BC于F，则得到平行四边形ABEM，CDMF，直角三角形MEF，根据平行四边形的性质易得EF=BC-AD，又因为MN是Rt△MEF斜边上的中线，所有MN=1/2EF，即MN=(BC-AD)/2
【点评】本题经过平移使线段，角的位置发生变化，从而条件和结论互相靠拢，为解题创造了条件。
类型2 平面直角坐标系中的平移
例2 如图所示，在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上
(1)B点关于y轴的对称点坐标为__
(2)将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1
 (3)在(2)的条件下，点A1的坐标为__
【解析】(1)由图1知，点B的坐标为(3，2)，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所有B点关于y轴对称的点的坐标应是(-3，2)
(2)可以由图1得出O,A,B三点的坐标为O(0，0)，A(1，3)，B(3，2)，向左平移3个单位长度后得到对应三点的坐标分别为O1(-3，0)，A1(-2，3)，B1(0，2)，在坐标系中描出这三点后再顺次连接即可；也可以根据平移的性质作出三角形△A1O1B1，如图2所示。
(3)点A1的坐标为(-2，3)
【点评】由平移方式求出三角形3个顶点的对应点的坐标，在坐标系中标出对应点，顺次连接即得平移后的图形。
链接中考
考点1 平移方法
例1 如图所示，在方格纸中，线段a,b,c,d的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有()
A.3种 B.6种 C.8种 D.12种
【解析】由图，根据勾股定理可得：a=√2,b=√5,c=2√5,d=√5。因为a+b
如下图所示，通过平移a,b,d其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，能组成三角形的不同平移法有6种。
【点评】本题利用平移的知识解决问题，有利于创新能力的培养。
考点2 平移性质
例2 如图所示，四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，且AC=BD,E,F分别是AB,CD的中点，连接EF分别交AC,BD于P,Q两点。求证：∠OPQ=∠OQP
【解析】出现中点，故能想到添加中位线，达到平移角的目的。取AD的中点G，连接EF,FG，则∠OPQ=∠GFP,∠OQP=∠GEP
∵EG=1/2BD,GF=1/2AC,BD=AC
∴EG=GF
∴∠GFP=∠GEP
∴∠OPQ=∠OQP
【点评】本题还可以取BC的中点，利用平行线的性质(内错角相等)达到转化角的目的。
考点3 平移直线
例3 (1)直线y=2x+1向下平移2个单位后的表达式是__
(2)直线y=2x+1向右平移2个单位后的表达式是__
【解析】易知该直线与y轴的交点坐标为A(0,1)，且根据一次函数性质，直线平移后比例系数k不变，仍是2，于是可设平移后的函数表达式为y=2x+b
(1)设平移后的函数表达式为y=2x+b。直线y=2x+1向下平移2个单位后，A点的坐标变为(0，-1)，代入y=2x+b中，解得b=-1，此时函数表达式为y=2x-1。
(2)直线y=2x+1向右平移2个单位后，A点坐标变为(2，1)，代入y=2x+b，解得b=-3，此时函数表达式为y=2x-3
【点评】直线的平移规律，可以借助直线上几个特殊点的坐标变化来找到。
考点4 平移抛物线
【解析】(1)令x=0，则y=c，故C(0,c)
∵OC的距离为3
∴|c|=3，即c=±3
∴C(0,3)或(0，-3)
(2)∵x1·x2<0，∴x1,x2异号
1.若C(0,3)，即c=3
把C(0,3)代入y2=-3x+t，即0+t=3，即t=3
∴y2=-3x+3
把A(x1,0)代入y2=-3x+3，即-3x1+3=0，即x1=1
∴A(1,0)
∵x1,x2异号,x1=1>0,∴x2<0
∵|x1|+|x2|=4
∴1-x2=4
解得：x2=-3,则B(-3，0)
则当x≤1 时，y随x增大而增大
2. 若C(0,-3)，即c=-3，把C(0,-3)代入y2=-3x+t,则
0+t=-3，即t=-3
∴y2=-3x-3
把A(x1,0)代入y2=-3x-3，则
-3x1-3=0，即x1=-1
∴A(-1,0)
∵x1,x2异号,x1=-1<0,∴x2>0
∵|x1|+|x2|=4
∴1+x2=4
解得：x2=3,则B(3，0)
则当x≥1 时，y随x增大而增大
综上所述，若c=3，当y随x增大而增大时，x≤-1
若若c=-3，当y随x增大而增大时，x≥1
【点评】此题主要考查了二次函数综合，二次函数的平移以及二次函数增减性等知识，利用分类讨论得出n的取值范围是解题关键。

我看网上教程太少，就发发，比较简单。
球面的方程
旋转曲面
f(x,y)绕x轴旋转，得 
柱面
在z轴方向上的柱面： 
二次曲面及其图像
首先说一下根据方程推测二次曲线图像的方法:
1. 截痕法：通过平移一个坐标平面，观察平面与曲面的交平面的变化而推测出图像
2. 伸缩变形法（常用）：通过将方程在某一座标轴上的分量拉伸，从而使图形变成一个标准图形，然后再通过该标准图形逆变回去得到图像
3. 旋转法：通常与伸缩变形法相结合，在只使用伸缩变形无法的到规则图形时，先利用伸缩变形法，再在得到旋转过的图形旋转前的方程（原方程）。（不太好讲，请看高数课本）
椭圆锥面
判断图像的方法：截痕法或伸缩变形法
椭球面
判断图像的方法：伸缩变形法
单叶双曲面
判断图像的方法：伸缩变形法+旋转法
双叶双曲面
判断图像的方法：伸缩变形法+旋转法
椭圆抛物面
判断图像的方法：伸缩变形法+旋转法
双曲抛物面
判断图像的方法：截痕法
希望评论补充批评

第05讲 一阶自治微分方程
First-order Autonomous ODEs
优酷视频​v.youku.com
本讲介绍很常见的一类常微分方程 
 ，在方程等式右侧没有自变量
t，有些人喜欢称之为时间无关方程，我们称之为“自治”方程，方程右侧只是因变量y的函数。
实际上，方程可以通过分离变量法求解，但本讲的内容是关于如何在不求解微分方程的情况下，得到自治方程的相关信息。有时候分离变量法想得到解函数的显式也很困难，而有些情况下，我们想要得到的只是解函数的某些信息。
方向场是定性分析解函数性质的基本工具。
因为自治方程的右侧没有自变量项，因此其等斜线就是与X轴平行的直线，而直线上的线素斜率都相等。求出一条积分曲线的话，将其做平移得到的也是积分曲线，即自治方程的积分曲线满足平移不变。
自治方程具有临界点，临界点满足 
 。临界点所在的等斜线 
 上，其线素的斜率均为0，并且回代可知 
 也是方程的解。
因为 
 也是一条积分曲线，而积分曲线是不相交的，因此其它积分曲线不能穿越临界点所在的直线。如果存在两个临界点，则在临界点的直线之间的积分曲线不能穿越这两条线，并且它们满足平移不变性，这极大程度地限制了解函数的行为。
对自治方程的处理步骤：
1.求解 
 ，得到临界点；
2.作出 
 的图像，已经求得0点了，需要了解在哪些区域
f(y)>0或者f(y)<0，因为
 ，所以解函数在
f(y)>0时递增，在f(y)<0时递减；
例：银行账户问题。y代表账户中的钱款，r代表利率。
则账户钱款的变化等于本金乘以利率 
 ，现有一出纳以恒定速率盗用账户中钱款，盗用率为
w，则 
 。
此利率模型的解为 
 。
用临界点法来求解函数的信息：
1. 
 ，得到 
 。
2.对y-t和y'-y分别作图，获取解函数信息。
从y'-y图中可以看出，y值大于w/r时，导数值大于零，则其解函数曲线为递增函数，且导函数值随着解函数值上升而变得更大，因此解函数递增速度将更快；y值小于w/r时，导数值小于零，则其解函数曲线为递减函数。在解函数图中可以看出，以临界点y=w/r为界，临界点以上为递增函数以下为递减函数，分别画出各一条解曲线，通过平移可以得到曲线族。
Logistic方程
这是一种人口模型，人口模型用来描述人口增长行为 
 ，其中k为人口增长率，是出生率和死亡率的差值。而Logistic方程认为增长率不可能为常数，因资源有限增长率会随着y增长而降低，最简单的情况为 
 。则新的人口模型为 
 。这个模型还可以用于疾病传播、流言传播等等。
Logistic方程的解为 
 ，其中 
 。
用临界点法来求解函数的信息：
1. 
 ，得到 
 。
2.对y-t和y'-y分别作图，获取解函数信息。
如果人口正好从0开始，则永远保持在0。而对于另一个临界点，如果人口数从a/b开始，它也会保持在a/b。
观察y'-y的图像可知，在两根之间的部分，导函数大于零，因此解函数递增；若y大于a/b，导函数小于零，解函数y递减；同样地，y小于零时，导函数小于零，解函数递减。
在y-t函数图上，在0和a/b之间，解函数y为递增函数，但是不能穿越临界值y=0和y=a/b，得到如图所示的曲线，平移可得到该曲线族。若初值大于a/b，则函数为递减，同样地，若小于0，则函数也为递减函数，尽管小于0这一族解曲线在实际中没有意义，但是在数学上存在。
可以看到两个常数解0和a/b有所区别，对于y=a/b而言，随着时间的增长所有的解都趋近于它，而对于y=0，除非初值为0，否则随着时间，所有的解都会远离它。前者称之为稳定解或稳定临界点，而后者则是非稳定解或非稳定临界点。在y'-y图像上，箭头交汇的即为稳定临界点，而箭头发散开的为非稳定临界点。
若y'-y图像如下图所示，则点a为半稳定临界点，从一个方向出发的解曲线会趋近于a，而另一个方向则会随着时间而背离a。
带“收割”概念的Logistic方程
养鱼模型，鱼群数量上升后会被“收割”，模型为 
 。这里不是按照比例收割，而是以固定的产能进行收割，因此
h为零次项。
我们从y'-y图像进行讨论:
从图中可以看出，随着函数曲线f(y)的下降，两个临界点之间的距离变小，如h1的情况，反映在y-t图上就是，两条临界线之间的距离变窄。
如果下降到曲线和X轴没有交点，如h2的情况，则没有临界点存在，导函数值始终低于0，解函数始终递减。
值得一提的是 
 的情况，按照这个收割率
hm来收割，则不会对总量产生任何影响。