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  • 根据需要,平移的对象可以是线段,直线,角,,整个图形等。平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小。平移前后的线段,角,弧长,面积保持不变,平移前后的线段平行,对应点连线平行且相等,对应角的两边...
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    提要

    平面内把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离得到另一个图形,这种变换称为平移变换。根据需要,平移的对象可以是线段,直线,角,圆,整个图形等。平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小。平移前后的线段,角,弧长,面积保持不变,平移前后的线段平行,对应点连线平行且相等,对应角的两边分别平行且方向一致,这种性质在解题中起着重要作用。平移的实质就是一种转化。通过平移,寻求已知条件与所求问题之间的关系,从而找到更为合理的解题之路。

    知识全解

    一.平移法的概念

    利用平移变换及其性质解题的方法叫做平移法。平移法是分析和解决几何问题,函数图像问题的重要方法之一。若题设中有平行条件或委托中关于线段或角的已知条件位置分散,常可用平移变换将一部分条件转移到同一个三角形或平行四边形中。

    理解平移应注意以下3点:1.平移是运动的一种形式,是图形变换的一种,这里所说的平移是指在同一平面内的图形变换;2.平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小;3.平移是由平移的方向和距离决定的,平移的方向是图形上某一点到它对应点的方向,平移的距离是图形上某一点与它的对应点所连线段的长度;4.图形的平移实质上是将图形上所有点按同一方向移动同样的距离。

    二.平面直角坐标系中的平移

    (1)平面直角坐标系中直线的平移:直线y=kx+b(k≠0)平移前后系数k的值不变。直线向上,下平移m(m>0)个单位分别得y=kx+b+m,y=kx+b-m;向左,右平移m个单位分别得y=k(x+m)+b,y=k(x-m)+b。

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    坐标系中图形的平移,实质上是点的平移。

    学法指导

    类型1 平面几何中的平移

    例1 如图所示,梯形ABCD中,AD‖BC,∠B+∠C=90度,M,N分别是AD,BC的中点,求证:MN=(BC-AD)/2

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    【解析】平移两腰,作ME‖AB交BC于E,MF‖CD交BC于F,则得到平行四边形ABEM,CDMF,直角三角形MEF,根据平行四边形的性质易得EF=BC-AD,又因为MN是Rt△MEF斜边上的中线,所有MN=1/2EF,即MN=(BC-AD)/2

    【点评】本题经过平移使线段,角的位置发生变化,从而条件和结论互相靠拢,为解题创造了条件。

    类型2 平面直角坐标系中的平移

    例2 如图所示,在边长为1的小正方形网格中,△AOB的顶点均在格点上

    (1)B点关于y轴的对称点坐标为__

    (2)将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1,请画出△A1O1B1

    (3)在(2)的条件下,点A1的坐标为__

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    【解析】(1)由图1知,点B的坐标为(3,2),根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标相等,所有B点关于y轴对称的点的坐标应是(-3,2)

    (2)可以由图1得出O,A,B三点的坐标为O(0,0),A(1,3),B(3,2),向左平移3个单位长度后得到对应三点的坐标分别为O1(-3,0),A1(-2,3),B1(0,2),在坐标系中描出这三点后再顺次连接即可;也可以根据平移的性质作出三角形△A1O1B1,如图2所示。

    (3)点A1的坐标为(-2,3)

    【点评】由平移方式求出三角形3个顶点的对应点的坐标,在坐标系中标出对应点,顺次连接即得平移后的图形。

    链接中考

    考点1 平移方法

    例1 如图所示,在方格纸中,线段a,b,c,d的端点在格点上,通过平移其中两条线段,使得和第三条线段首尾相接组成三角形,则能组成三角形的不同平移方法有()

    A.3种 B.6种 C.8种 D.12种

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    【解析】由图,根据勾股定理可得:a=√2,b=√5,c=2√5,d=√5。因为a+b

    如下图所示,通过平移a,b,d其中两条线段,使得和第三条线段首尾相接组成三角形,能组成三角形的不同平移法有6种。

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    【点评】本题利用平移的知识解决问题,有利于创新能力的培养。

    考点2 平移性质

    例2 如图所示,四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,且AC=BD,E,F分别是AB,CD的中点,连接EF分别交AC,BD于P,Q两点。求证:∠OPQ=∠OQP

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    【解析】出现中点,故能想到添加中位线,达到平移角的目的。取AD的中点G,连接EF,FG,则∠OPQ=∠GFP,∠OQP=∠GEP

    ∵EG=1/2BD,GF=1/2AC,BD=AC

    ∴EG=GF

    ∴∠GFP=∠GEP

    ∴∠OPQ=∠OQP

    【点评】本题还可以取BC的中点,利用平行线的性质(内错角相等)达到转化角的目的。

    考点3 平移直线

    例3 (1)直线y=2x+1向下平移2个单位后的表达式是__

    (2)直线y=2x+1向右平移2个单位后的表达式是__

    【解析】易知该直线与y轴的交点坐标为A(0,1),且根据一次函数性质,直线平移后比例系数k不变,仍是2,于是可设平移后的函数表达式为y=2x+b

    (1)设平移后的函数表达式为y=2x+b。直线y=2x+1向下平移2个单位后,A点的坐标变为(0,-1),代入y=2x+b中,解得b=-1,此时函数表达式为y=2x-1。

    (2)直线y=2x+1向右平移2个单位后,A点坐标变为(2,1),代入y=2x+b,解得b=-3,此时函数表达式为y=2x-3

    【点评】直线的平移规律,可以借助直线上几个特殊点的坐标变化来找到。

    考点4 平移抛物线

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    【解析】(1)令x=0,则y=c,故C(0,c)

    ∵OC的距离为3

    ∴|c|=3,即c=±3

    ∴C(0,3)或(0,-3)

    (2)∵x1·x2<0,∴x1,x2异号

    1.若C(0,3),即c=3

    把C(0,3)代入y2=-3x+t,即0+t=3,即t=3

    ∴y2=-3x+3

    把A(x1,0)代入y2=-3x+3,即-3x1+3=0,即x1=1

    ∴A(1,0)

    ∵x1,x2异号,x1=1>0,∴x2<0

    ∵|x1|+|x2|=4

    ∴1-x2=4

    解得:x2=-3,则B(-3,0)

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    则当x≤1 时,y随x增大而增大

    2. 若C(0,-3),即c=-3,把C(0,-3)代入y2=-3x+t,则

    0+t=-3,即t=-3

    ∴y2=-3x-3

    把A(x1,0)代入y2=-3x-3,则

    -3x1-3=0,即x1=-1

    ∴A(-1,0)

    ∵x1,x2异号,x1=-1<0,∴x2>0

    ∵|x1|+|x2|=4

    ∴1+x2=4

    解得:x2=3,则B(3,0)

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    则当x≥1 时,y随x增大而增大

    综上所述,若c=3,当y随x增大而增大时,x≤-1

    若若c=-3,当y随x增大而增大时,x≥1

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    【点评】此题主要考查了二次函数综合,二次函数的平移以及二次函数增减性等知识,利用分类讨论得出n的取值范围是解题关键。

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  • 根据需要,平移的对象可以是线段,直线,角,,整个图形等。平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小。平移前后的线段,角,弧长,面积保持不变,平移前后的线段平行,对应点连线平行且相等,对应角的两边...
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    提要

    平面内把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离得到另一个图形,这种变换称为平移变换。根据需要,平移的对象可以是线段,直线,角,圆,整个图形等。平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小。平移前后的线段,角,弧长,面积保持不变,平移前后的线段平行,对应点连线平行且相等,对应角的两边分别平行且方向一致,这种性质在解题中起着重要作用。平移的实质就是一种转化。通过平移,寻求已知条件与所求问题之间的关系,从而找到更为合理的解题之路。

    知识全解

    一.平移法的概念

    利用平移变换及其性质解题的方法叫做平移法。平移法是分析和解决几何问题,函数图像问题的重要方法之一。若题设中有平行条件或委托中关于线段或角的已知条件位置分散,常可用平移变换将一部分条件转移到同一个三角形或平行四边形中。

    理解平移应注意以下3点:1.平移是运动的一种形式,是图形变换的一种,这里所说的平移是指在同一平面内的图形变换;2.平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小;3.平移是由平移的方向和距离决定的,平移的方向是图形上某一点到它对应点的方向,平移的距离是图形上某一点与它的对应点所连线段的长度;4.图形的平移实质上是将图形上所有点按同一方向移动同样的距离。

    二.平面直角坐标系中的平移

    (1)平面直角坐标系中直线的平移:直线y=kx+b(k≠0)平移前后系数k的值不变。直线向上,下平移m(m>0)个单位分别得y=kx+b+m,y=kx+b-m;向左,右平移m个单位分别得y=k(x+m)+b,y=k(x-m)+b。

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    坐标系中图形的平移,实质上是点的平移。

    学法指导

    类型1 平面几何中的平移

    例1 如图所示,梯形ABCD中,AD‖BC,∠B+∠C=90度,M,N分别是AD,BC的中点,求证:MN=(BC-AD)/2

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    【解析】平移两腰,作ME‖AB交BC于E,MF‖CD交BC于F,则得到平行四边形ABEM,CDMF,直角三角形MEF,根据平行四边形的性质易得EF=BC-AD,又因为MN是Rt△MEF斜边上的中线,所有MN=1/2EF,即MN=(BC-AD)/2

    【点评】本题经过平移使线段,角的位置发生变化,从而条件和结论互相靠拢,为解题创造了条件。

    类型2 平面直角坐标系中的平移

    例2 如图所示,在边长为1的小正方形网格中,△AOB的顶点均在格点上

    (1)B点关于y轴的对称点坐标为__

    (2)将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1,请画出△A1O1B1

    (3)在(2)的条件下,点A1的坐标为__

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    【解析】(1)由图1知,点B的坐标为(3,2),根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标相等,所有B点关于y轴对称的点的坐标应是(-3,2)

    (2)可以由图1得出O,A,B三点的坐标为O(0,0),A(1,3),B(3,2),向左平移3个单位长度后得到对应三点的坐标分别为O1(-3,0),A1(-2,3),B1(0,2),在坐标系中描出这三点后再顺次连接即可;也可以根据平移的性质作出三角形△A1O1B1,如图2所示。

    (3)点A1的坐标为(-2,3)

    【点评】由平移方式求出三角形3个顶点的对应点的坐标,在坐标系中标出对应点,顺次连接即得平移后的图形。

    链接中考

    考点1 平移方法

    例1 如图所示,在方格纸中,线段a,b,c,d的端点在格点上,通过平移其中两条线段,使得和第三条线段首尾相接组成三角形,则能组成三角形的不同平移方法有()

    A.3种 B.6种 C.8种 D.12种

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    【解析】由图,根据勾股定理可得:a=√2,b=√5,c=2√5,d=√5。因为a+b

    如下图所示,通过平移a,b,d其中两条线段,使得和第三条线段首尾相接组成三角形,能组成三角形的不同平移法有6种。

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    【点评】本题利用平移的知识解决问题,有利于创新能力的培养。

    考点2 平移性质

    例2 如图所示,四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,且AC=BD,E,F分别是AB,CD的中点,连接EF分别交AC,BD于P,Q两点。求证:∠OPQ=∠OQP

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    【解析】出现中点,故能想到添加中位线,达到平移角的目的。取AD的中点G,连接EF,FG,则∠OPQ=∠GFP,∠OQP=∠GEP

    ∵EG=1/2BD,GF=1/2AC,BD=AC

    ∴EG=GF

    ∴∠GFP=∠GEP

    ∴∠OPQ=∠OQP

    【点评】本题还可以取BC的中点,利用平行线的性质(内错角相等)达到转化角的目的。

    考点3 平移直线

    例3 (1)直线y=2x+1向下平移2个单位后的表达式是__

    (2)直线y=2x+1向右平移2个单位后的表达式是__

    【解析】易知该直线与y轴的交点坐标为A(0,1),且根据一次函数性质,直线平移后比例系数k不变,仍是2,于是可设平移后的函数表达式为y=2x+b

    (1)设平移后的函数表达式为y=2x+b。直线y=2x+1向下平移2个单位后,A点的坐标变为(0,-1),代入y=2x+b中,解得b=-1,此时函数表达式为y=2x-1。

    (2)直线y=2x+1向右平移2个单位后,A点坐标变为(2,1),代入y=2x+b,解得b=-3,此时函数表达式为y=2x-3

    【点评】直线的平移规律,可以借助直线上几个特殊点的坐标变化来找到。

    考点4 平移抛物线

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    【解析】(1)令x=0,则y=c,故C(0,c)

    ∵OC的距离为3

    ∴|c|=3,即c=±3

    ∴C(0,3)或(0,-3)

    (2)∵x1·x2<0,∴x1,x2异号

    1.若C(0,3),即c=3

    把C(0,3)代入y2=-3x+t,即0+t=3,即t=3

    ∴y2=-3x+3

    把A(x1,0)代入y2=-3x+3,即-3x1+3=0,即x1=1

    ∴A(1,0)

    ∵x1,x2异号,x1=1>0,∴x2<0

    ∵|x1|+|x2|=4

    ∴1-x2=4

    解得:x2=-3,则B(-3,0)

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    则当x≤1 时,y随x增大而增大

    2. 若C(0,-3),即c=-3,把C(0,-3)代入y2=-3x+t,则

    0+t=-3,即t=-3

    ∴y2=-3x-3

    把A(x1,0)代入y2=-3x-3,则

    -3x1-3=0,即x1=-1

    ∴A(-1,0)

    ∵x1,x2异号,x1=-1<0,∴x2>0

    ∵|x1|+|x2|=4

    ∴1+x2=4

    解得:x2=3,则B(3,0)

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    则当x≥1 时,y随x增大而增大

    综上所述,若c=3,当y随x增大而增大时,x≤-1

    若若c=-3,当y随x增大而增大时,x≥1

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    【点评】此题主要考查了二次函数综合,二次函数的平移以及二次函数增减性等知识,利用分类讨论得出n的取值范围是解题关键。

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  • 截痕:通过平移一个坐标平面,观察平面与曲面的交平面的变化而推测出图像2. 伸缩变形(常用):通过将方程在某一座标轴上的分量拉伸,从而使图形变成一个标准图形,然后再通过该标准图形逆变回去得到图像3. ...

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    我看网上教程太少,就发发,比较简单。

    球面的方程
    旋转曲面
    f(x,y)绕x轴旋转,得
    柱面
    在z轴方向上的柱面:

    二次曲面及其图像

    首先说一下根据方程推测二次曲线图像的方法:
    1. 截痕法:通过平移一个坐标平面,观察平面与曲面的交平面的变化而推测出图像
    2. 伸缩变形法(常用):通过将方程在某一座标轴上的分量拉伸,从而使图形变成一个标准图形,然后再通过该标准图形逆变回去得到图像
    3. 旋转法:通常与伸缩变形法相结合,在只使用伸缩变形无法的到规则图形时,先利用伸缩变形法,再在得到旋转过的图形旋转前的方程(原方程)。(不太好讲,请看高数课本)

    椭圆锥面

    判断图像的方法:截痕法或伸缩变形法

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    椭圆锥面

    椭球面

    判断图像的方法:伸缩变形法

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    椭球面

    单叶双曲面

    判断图像的方法:伸缩变形法+旋转法

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    单叶双曲面

    双叶双曲面

    判断图像的方法:伸缩变形法+旋转法

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    双叶双曲面

    椭圆抛物面

    判断图像的方法:伸缩变形法+旋转法

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    椭圆抛物面

    双曲抛物面

    判断图像的方法:截痕法

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    双曲抛物面

    望评论补充批评


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  • 第05讲 一阶自治微分方程First-order Autonomous ODEs优酷...实际上,方程可以通过分离变量求解,但本讲的内容是关于如何在不求解微分方程的情况下,得到自治方程的相关信息。有时候分离变量想得到解函数的显式...

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    第05讲 一阶自治微分方程

    First-order Autonomous ODEs

    优酷视频v.youku.com

    本讲介绍很常见的一类常微分方程

    ,在方程等式右侧没有自变量
    t,有些人喜欢称之为时间无关方程,我们称之为“自治”方程,方程右侧只是因变量y的函数。

    实际上,方程可以通过分离变量法求解,但本讲的内容是关于如何在不求解微分方程的情况下,得到自治方程的相关信息。有时候分离变量法想得到解函数的显式也很困难,而有些情况下,我们想要得到的只是解函数的某些信息。

    方向场是定性分析解函数性质的基本工具。

    因为自治方程的右侧没有自变量项,因此其等斜线就是与X轴平行的直线,而直线上的线素斜率都相等。求出一条积分曲线的话,将其做平移得到的也是积分曲线,即自治方程的积分曲线满足平移不变。

    自治方程具有临界点,临界点满足

    。临界点所在的等斜线
    上,其线素的斜率均为0,并且回代可知
    也是方程的解。

    因为

    也是一条积分曲线,而积分曲线是不相交的,因此其它积分曲线不能穿越临界点所在的直线。如果存在两个临界点,则在临界点的直线之间的积分曲线不能穿越这两条线,并且它们满足平移不变性,这极大程度地限制了解函数的行为。

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    对自治方程的处理步骤:

    1.求解

    ,得到临界点;

    2.作出

    的图像,已经求得0点了,需要了解在哪些区域
    f(y)>0或者f(y)<0,因为

    ,所以解函数在
    f(y)>0时递增,在f(y)<0时递减;

    :银行账户问题。y代表账户中的钱款,r代表利率。

    则账户钱款的变化等于本金乘以利率

    ,现有一出纳以恒定速率盗用账户中钱款,盗用率为
    w,则
    此利率模型的解为

    用临界点法来求解函数的信息:

    1.

    ,得到

    2.对y-t和y'-y分别作图,获取解函数信息。

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    从y'-y图中可以看出,y值大于w/r时,导数值大于零,则其解函数曲线为递增函数,且导函数值随着解函数值上升而变得更大,因此解函数递增速度将更快;y值小于w/r时,导数值小于零,则其解函数曲线为递减函数。在解函数图中可以看出,以临界点y=w/r为界,临界点以上为递增函数以下为递减函数,分别画出各一条解曲线,通过平移可以得到曲线族。

    Logistic方程

    这是一种人口模型,人口模型用来描述人口增长行为

    ,其中k为人口增长率,是出生率和死亡率的差值。而Logistic方程认为增长率不可能为常数,因资源有限增长率会随着y增长而降低,最简单的情况为
    。则新的人口模型为
    。这个模型还可以用于疾病传播、流言传播等等。
    Logistic方程的解为
    ,其中

    用临界点法来求解函数的信息:

    1.

    ,得到

    2.对y-t和y'-y分别作图,获取解函数信息。

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    如果人口正好从0开始,则永远保持在0。而对于另一个临界点,如果人口数从a/b开始,它也会保持在a/b

    观察y'-y的图像可知,在两根之间的部分,导函数大于零,因此解函数递增;若y大于a/b,导函数小于零,解函数y递减;同样地,y小于零时,导函数小于零,解函数递减。

    在y-t函数图上,在0和a/b之间,解函数y为递增函数,但是不能穿越临界值y=0和y=a/b,得到如图所示的曲线,平移可得到该曲线族。若初值大于a/b,则函数为递减,同样地,若小于0,则函数也为递减函数,尽管小于0这一族解曲线在实际中没有意义,但是在数学上存在。

    可以看到两个常数解0和a/b有所区别,对于y=a/b而言,随着时间的增长所有的解都趋近于它,而对于y=0,除非初值为0,否则随着时间,所有的解都会远离它。前者称之为稳定解或稳定临界点,而后者则是非稳定解或非稳定临界点。在y'-y图像上,箭头交汇的即为稳定临界点,而箭头发散开的为非稳定临界点。

    若y'-y图像如下图所示,则点a为半稳定临界点,从一个方向出发的解曲线会趋近于a,而另一个方向则会随着时间而背离a

    89c7a1f93b36c24a8a5f43796e0e5454.png

    带“收割”概念的Logistic方程

    养鱼模型,鱼群数量上升后会被“收割”,模型为

    。这里不是按照比例收割,而是以固定的产能进行收割,因此
    h为零次项。

    我们从y'-y图像进行讨论:

    ad171f0cb236e9ad1e2d88c3b060a6e8.png

    从图中可以看出,随着函数曲线f(y)的下降,两个临界点之间的距离变小,如h1的情况,反映在y-t图上就是,两条临界线之间的距离变窄。

    如果下降到曲线和X轴没有交点,如h2的情况,则没有临界点存在,导函数值始终低于0,解函数始终递减。

    值得一提的是

    的情况,按照这个收割率
    hm来收割,则不会对总量产生任何影响。
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空空如也

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平移圆法