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  • 平稳时间序列模型

    2012-03-07 00:26:31
    关于时间序列的建模的基本知识,与大家共同学习进步
  • 时间序列的其它博文系列: 时间序列模型 (一):模型...时间序列模型 (六):平稳时间序列模型 :自回归AR 、移动平均 MA 、ARMA 模型 时间序列模型 (七): 时间序列建模的基本步骤 这里的平稳是指宽平稳,...

    时间序列的其它博文系列:

    时间序列模型 (一):模型概述

    时间序列模型 (二):移动平均法

    时间序列模型 (三):指数平滑法

    时间序列模型 (四):差分指数平滑法、 自适应滤波法v

    时间序列模型 (五): 趋势外推预测方法

    时间序列模型 (六):平稳时间序列模型 :自回归AR 、移动平均 MA 、ARMA 模型

    时间序列模型 (七): 时间序列建模的基本步骤


    这里的平稳是指宽平稳,其特性是序列的统计特性不随时间的平移而变化,即均值和协方差不随时间的平移而变化。 

    自回归模型(Auto Regressive Model)简称 AR 模型,移动平均模型(Moving Average Model)简称 MA 模型,

    自回归移动平均模型(Auto Regressive Moving Average Model)简称 ARMA 模型。

    下面的 \small X_{t} 为零均值(即中心化处理的)平稳序列。 


    目录

    一般自回归模型 AR(n) 

    白噪声序列

    移动平均模型 MA(m)

    自回归移动平均模型 

    ARMA 模型的特性 

    AR(1)系统的格林函数 

    ARMA (2,1)系统的格林函数 的隐式 

     逆函数和可逆性 


     

    一般自回归模型 AR(n) 

    白噪声序列

     

    移动平均模型 MA(m)

    自回归移动平均模型 

    ARMA 模型的特性 

    在时间序列的时域分析中,线性差分方程是极为有效的工具。事实上,任何一个 ARMA 模型都是一个线性差分方程。

    AR(1)系统的格林函数 

    格林函数就是描述系统记忆扰动程度的函数。 

     

    后移算子

    由于格林函数就是差分方程解的系数函数,格林函数的意义可概括如下: 

     

    ARMA (2,1)系统的格林函数 的隐式 

     

     逆函数和可逆性 


    时间序列的其它博文系列:

    时间序列模型 (一):模型概述

    时间序列模型 (二):移动平均法

    时间序列模型 (三):指数平滑法

    时间序列模型 (四):差分指数平滑法、 自适应滤波法v

    时间序列模型 (五): 趋势外推预测方法

    时间序列模型 (六):平稳时间序列模型 :自回归AR 、移动平均 MA 、ARMA 模型

    时间序列模型 (七): 时间序列建模的基本步骤

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  • 时间序列算法一、时间序列的预处理二、平稳时间序列模型(一)、自回归模型AR( p )(二)、移动平均模型MA(q)(三)、自回归移动平均模型ARMA(p,q)三、非平稳时间序列模型四、确定参数p,q的取值 在做很多与时间序列...

    在做很多与时间序列有关的预测时,比如股票预测,餐厅菜品销量预测时常常会用到时间序列算法,之前在学习这方面的知识时发现这方面的知识讲解不多,所以自己对时间序列算法中的常用概念和模型进行梳理总结(但是为了内容的正确性有些内容我通过截图来记录吧),希望能有所帮助
    在这里插入图片描述

    一、时间序列的预处理

    在拿到基于时间的观测值序列后,需要首先进行两步预处理,一个是纯随机性检验,另一个是平稳性检验,然后根据这两步的检验结果再采取相应的时间序列模型进行分析。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    简单来讲平稳序列就是指均值和方差不发生明显变化
    注:时序图检验和自相关检验实际是通过绘制相应的图进行观察,在下面的内容会结合具体的图进行分析
    在这里插入图片描述

    二、平稳时间序列模型

    在学习具体模型之前,我们需要了解两种相关系数
    1.自相关系数
    在这里插入图片描述
    2.偏相关系数
    在这里插入图片描述
    不要小看这两个系数,它们对于模型的选择起着至关重要的作用,如果现在对这两个系数还不是很理解,请继续往下看吧

    (一)、自回归模型AR( p )

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    (二)、移动平均模型MA(q)

    在这里插入图片描述

    (三)、自回归移动平均模型ARMA(p,q)

    在这里插入图片描述

    三、非平稳时间序列模型

    在实际环境中大多数序列都是非平稳的,这里主要学习ARIMA模型在这里插入图片描述
    从它的名字我们就可以看到在使用它时需要首先对数据进行差分运算将非平稳时间序列变为平稳时间序列,然后再运用ARIMA模型。

    四、确定参数p,q的取值

    现在还剩最后一个问题要解决了,我们已经知道时间序列都有哪些模型了,那么我们怎么确定使用哪个模型呢,确定了使用哪个模型后,就要特别注意我用绿色圈圈画出的p,q,怎么确定相应模型的参数取值呢?
    让我们看一下下面的这张图吧,它就是上面两个问题的key,现在直接看肯定是看不明白的,让我们先看列ACF,PACF,它们其实就是自相关系数和偏自相关系数(在上面已经提到了)的图,先知道一下什么是截尾的概念,截尾就是指ACF图,PACF图何时落入置信区间(这个是我自己理解的,大家可以自行查阅)
    在这里插入图片描述
    确定参数p,q的取值主要有两种方法:
    1.肉眼观察ACF图和PACF图法
    现在我们结合上面的原则观察下面的自相关图和偏自相关图,发现自相关图1阶截尾,偏自相关图具有拖尾性,所以可以确定为MA模型,并且取q为1,但是有时观察图并不是很准确,我们就可以使用下面的方法啦
    在这里插入图片描述
    2.计算AIC,BIC,原则是使AIC和BIC越小越好(大家可以自己查阅具体详细的知识.)
    在这里插入图片描述
    终于写完这篇梳理笔记了,开心。

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  • 对于平稳时间序列模型的统计性质的理论知识

    平稳时间序列模型的统计性质

    1、AR模型的统计性质;2、MA模型的统计性质;3、ARMA模型的统计性质
    统计性质包括5个:(1)均值;(2)方差;(3)协方差;(4)自相关系数;(5)偏自相关系数。
    在这里插入图片描述
    ARMA模型的相关性特征:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    1、AR模型的统计性质

    (1)均值
    如果AR§模型满足平稳,均值为常数。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    (2)方差
    求解思路:首先把序列转化为传递形式,再求解方差;不能直接求解,把序列变成白噪声的线性组合,因为白噪声的很多统计性质是已知的。
    传递形式的目的:把AR模型对应的时间序列表示成关于白噪声的线性相关组合形式;传递形式里面包括Green函数,Green函数的原理包括原始模式以及期待形式,用待定系数法进行求解,其中白噪声互不相关,并且需要满足同方差假定。
    (3)协方差
    两种求解协方差(方差)的方式:

    • 利用AR§模式的传递形式来求;
    • 利用自协方差函数之间的递推函数来求。
      (4)自相关系数
      自相关系数的定义:
      在这里插入图片描述
      求解方法:
      1.用自相关系数的定义结合自协方差函数可以求解;
      2.基于传递形式直接求解自相关系数;
      3.基于自相关系数的递推公式求解。
      自相关系数有拖尾性,原因是该序列值所对应过去时刻的序列值都会影响它。
      自相关图里拖尾的原因有两个:
    • 用样本估计总体参数时有误差;
    • 本身自相关系数具有拖尾性,不恒等于0。

    (5)偏自相关系数
    定理:零均值平稳序列为AR§序列的充要条件是平稳序列的偏自相关系数P步截尾。
    求解方法:
    基于Yule-Walker方程组以及行列式来求解;
    利用偏自相关系数递推公式来求解。

    2、MA模型的统计性质

    (1)均值
    常数均值。
    (2)方差
    常数方差,利用白噪声项互不相关的假定。
    (3)协方差
    基于自协方差函数的定义,直接利用模型表达式来求。
    (4)自相关系数
    自相关系数以及自协方差的计算相同,都是基于白噪声的序列以及假定来计算的。
    自协方差函数、自相关系数q阶截尾,自协方差函数只与时间间隔有关。
    不同的MA(1)模型,相同的自相关系数,也就是说自相关系数具有非唯一性,自相关系数和模型之间不是一一对应的关系,为了解决这个问题,增加一个约束条件,而这个约束条件是模型的可逆条件,这就形成了一一对应关系,一个自相关系数与可逆MA模型一一对应。
    (5)偏自相关系数

    • 基于Yule-Walker方程和克莱姆法则求解;
    • 首先求出自相关系数,然后基于偏自相关系数递推公式求解。
      偏自相关系数具有拖尾性

    3、ARMA模型的统计性质

    ARMA模型生成的序列的统计性质:均值、自协方差、自相关系数以及偏自相关系数的计算均可参考AR和MA模型的情形。
    ARMA(p,q)传递形式(平稳条件)与逆转形式(可逆条件),即无穷阶MA模型与无穷阶AR模型。
    ARMA模型相关性特征:
    在这里插入图片描述

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  • c第三章平稳时间序列模型的特性;在ARMA模型的动态形式下影响系统的扰动 ;例3.1 ;例3 ;二AR(1)系统的格林函数;依次推下去并代入(3.1.4)式可得到 ;2.AR(1)模型的后移算子表达式及格林函数 ;3.格林函数的意义 ;三根据...
  • 详细介绍平稳时间序列的概念以及如何判断平稳时间序列
  • 平稳时间序列模型平稳时间序列模型 通过差分平稳化 差分是什么 是否要做差分单位根检验 做多少次差分 一个例子 ARIMA模型 随机游动 疏系数模型中间有项可以是0 什么是疏系数模型 如何判断是疏系数模型 推广 通过...

    非平稳时间序列模型

    通过差分平稳化

    差分是什么

    1. 由 Cramer 分解定理 : 时间序列 = 确定性影响 + 随机性影响 , 而确定性影响又可以由多项式决定 , 而对多项式求 n 次差分 , 既能变成常数
    2. 差分在连续情况下可以理解为导数
      下面我们来看一个例子
    f[x_] := x^2 + 3*x + 3;
    data = Table[f[i], {i, 0, 10, .1}];
    (*原始图像*)
    ListPlot[data, AxesOrigin -> {0, 0}, PlotLabel -> "原始图像"]
    (*进行第一次差分*)
    temp = Differences[data];
    (*第一次差分后的图像*)
    ListPlot[temp, PlotLabel -> "第一次差分"]
    (*进行第二次差分*)
    ListPlot[Differences[temp], PlotLabel -> "第二次差分"]

    可以得到如下的图形

    我们可以看到做两次差分后的图形是一条直线,即可以将非平稳的时间序列变成平稳的。我们后面会举一个更好的例子,这个例子先让大家看一下差分是什么,差分和求导的联系。

    是否要做差分–单位根检验

    单位根检验原理 : 对时间序列 data 执行假设检验,其中零假设 Subscript[H, 0] 为满足 AR 模型的时间序列在相应的传递函数的分母中有一个单位根,而置换假设 Subscript[H, a] 则相反.

    在 mathematica 的函数为 UnitRootTest

    该函数返回的是 p-value , 若 p-value 越小,则越拒绝原假设,即 p-value 越小,越不需要进行差分

    做多少次差分

    1. v 足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息
    2. v 但过度的差分会造成有用信息的浪费

    一个例子

    我们看一个实际的例子
    - 首先通过累加生成一组随机数

    sample = RandomFunction[ARIMAProcess[{-.1}, 2, {.2}, .1], {1, 20^2}];
    temp = sample[[2]][[1, 1]];
    ListPlot[sample]

    • 单位根检验– 判断是否要做差分
    UnitRootTest[temp, Automatic, "HypothesisTestData"]["TestDataTable"]


    可以看到 p 值很大,即我们需要做差分。

    • 第一次差分
    ListPlot@Differences[temp]

    做完一次差分后数据还是非平稳的
    - 第二次差分

    ListPlot@Differences[temp, 2]

    可以看到再做了两次差分之后,数据就已经把趋势去掉了,就可以用做完差分后的数据去做分析了

    • 再次做单位根检验
    UnitRootTest[Differences[temp, 2], Automatic, "HypothesisTestData"]["TestDataTable"]

    可以看到做完两次差分后再做单位根检验 p 值就很小了,即不需要再做单位根检验了。

    ARIMA 模型

    现在我们有了差分这个工具,于是我们继续优化我们之前的 ARMA 模型,改进后的模型称为 ARIMA 模型。

    ARIMA(p,d,q)–p 表示自回归 (AR) 的系数,d 表示差分的阶数,q 表示滑动平均 (MA) 的系数

    在 mathematica 中,我们可以直接调用ARIMA来拟合数据。

    随机游动

    讲一个和这个有点关系的,又挺有意思的一个问题。

    模型产生典故
    §Karl Pearson(1905) 在《自然》杂志上提问:假如有个醉汉醉得非常严重,完全丧失方向感,把他放在荒郊野外,一段时间之后再去找他,在什么地方找到他的概率最大呢?

    • 首先生成一组随机游走的数据
    data = Accumulate[RandomReal[{-1, 1}, 100]];
    ListLinePlot[data]

    • 对数据进行一阶差分
    ListLinePlot[Differences[data]]

    可以看到做完一阶差分之后数据就已经平稳了。于是我们想到了对差分后的数据检验一下是否是白噪声。我们知道,这些数据是随机生成的,那么检验出来的结果应该就是白噪声。我们下面看一下是不是白噪声。

    • 白噪声检验
    ListPlot[Table[AutocorrelationTest[Differences[data], i], {i, 1, 10}], Filling -> Axis]

    从图中,我们可以看到 p 值较大,则数据是白噪声。(p 值已经大于. 5 了)

    • 最后我们解决一下上面的问题,在哪里找到醉汉的概率最大。我们采取模拟的办法,模拟 1000 次,统计醉汉第 100 步的位置。
    Histogram@Table[Total[RandomReal[{-1, 1}, {100}]], {1000}]

    得到下面的图像

    我们可以看到还是在零点附近找到醉汉的概率最大。大家可以推导一下具体的概率的表达式。

    疏系数模型–中间有项可以是 0

    什么是疏系数模型

    1. ARIMA(p,d,q) 模型是指 d 阶差分后自相关最高阶数为 p,移动平均最高阶数为 q 的模型,通常它包含 p+q 个独立的未知系数
    2. 如果该模型中有部分自相关系数部分移动平滑系数,即原模型中有部分系数省缺了,那么该模型称为疏系数模型。

    如何判断是疏系数模型

    我们可以通过自相关图和偏自相关图来判别是否是稀疏模型
    我们来看下面的一个例子,下面是数据–1917 年-1975 年美国 23 岁妇女每万人生育率序列

    • 数据
    {{1917., 183.1}, {1918., 183.9}, {1919., 163.1}, {1920., 
      179.5}, {1921., 181.4}, {1922., 173.4}, {1923., 167.6}, {1924., 
      177.4}, {1925., 171.7}, {1926., 170.1}, {1927., 163.7}, {1928., 
      151.9}, {1929., 145.4}, {1930., 145.}, {1931., 138.9}, {1932., 
      131.5}, {1933., 125.7}, {1934., 129.5}, {1935., 129.6}, {1936., 
      129.5}, {1937., 132.2}, {1938., 134.1}, {1939., 132.1}, {1940., 
      137.4}, {1941., 148.1}, {1942., 174.1}, {1943., 174.7}, {1944., 
      156.7}, {1945., 143.3}, {1946., 189.7}, {1947., 212.}, {1948., 
      200.4}, {1949., 201.8}, {1950., 200.7}, {1951., 215.6}, {1952., 
      222.5}, {1953., 231.5}, {1954., 237.9}, {1955., 244.}, {1956., 
      259.4}, {1957., 268.8}, {1958., 264.3}, {1959., 264.5}, {1960., 
      268.1}, {1961., 264.}, {1962., 252.8}, {1963., 240.}, {1964., 
      229.1}, {1965., 204.8}, {1966., 193.3}, {1967., 179.}, {1968., 
      178.1}, {1969., 181.1}, {1970., 165.6}, {1971., 159.8}, {1972., 
      136.1}, {1973., 126.3}, {1974., 123.3}, {1975., 118.5}}

    我们看一下时序图


    可以看到数据不是平稳的,我们做一下单位根检验
    - 单位根检验

    可以看到 p 值 > 0.5,而且从图上看也不平稳,故做一阶差分。

    • 做一阶差分
    ListLinePlot[Differences[data[[All, 2]]], PlotMarkers -> {"\[FilledDiamond]", 7}]

    对做了差分后的数据做单位根检验

    可以看到 p 值为 10^-6 次方,故不需要再做差分

    • 求自相关图和偏自相关图


    我们可以从自相关图和偏自相关图中看出疏系数模型。如在这里,模型为ARIMA ((1, 4, 5), 1, 0),从自相关图中可以看出滞后 1,4,5 比较大,则第一第二个自相关系数为 0。其余同理。

    2017/4/22

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