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  • 时间序列平稳性简介前面几篇文章中,我们分别讨论了pandas.date_range、pandas....但是建立时间序列模型的前提是序列是平稳的,这是因为我们用时间序列预测时,我们的随机变量的基本特性必须能在包括未来阶段...

    时间序列的平稳性简介

    前面几篇文章中,我们分别讨论了pandas.date_range、pandas.DataFrame.rasample及pandas.DataFrame.rolling函数,其实这些函数可以把它归类为时间序列建模过程中的预处理函数,最终的目的都是建立时间序列模型,但是建立时间序列模型的前提是序列是平稳的,这是因为我们用时间序列做预测时,我们的随机变量的基本特性必须能在包括未来阶段的一个长时期里维持不变,否则,基于历史和现状来预测未来的思路便是错误的。所以在时间序列建模时第一步就是要将不平稳的序列平稳化。所以,这里首先对时间序列的平稳性做简单介绍,如果一个时间序列均值没有系统的变化(无趋势)、方差没有变化,且严格消除了周期性变化,那么我们称这种的时间序列为平稳性时间序列。其中,平稳性分为严平稳和弱平稳,严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义,它认为只有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化时,该序列才能被认为平稳.而弱平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性.它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定,所以只要保证序列低阶矩平稳(二阶),就能保证序列的主要性质近似稳定.

    非平稳序列与差分法

    上面我们已经强调,进行时间序列建模的前提条件就是要求时间序列是平稳的,那么如果遇到非平稳的序列,我们首要的任务就是将非平稳的序列转化为平稳序列,一般来说非平稳时间序列可以分为四种:只包含长期趋势、季节变动和循环变动的时间序列和包含三种变动中两种或三种的时间序列,也就是复合型时间序列。如下图(图片来源:东山草堂君):

    8fece603ad312a6f4339cfd467d2d65e.png

    平稳序列及非平稳序列

    而非平稳序列的平稳化也有很多方法,主要有去除趋势、差分和变换。而本篇文章,我们主要讨论差分法,所谓的差分法就是将t时刻与t-1时刻的数据做差,得到新值的过程。下面我们通过具体的例子演示差分的过程。

    pandas.DataFrame.diff实现差分

    pandas中提供了差分的函数,函数原型为:DataFrame.diff(periods=1, axis=0),这个函数的参数只有2个,第一个表示差分阶数,第二个表示按行还是按列计算。下面直接上代码:

    import pandas as pd index=pd.date_range('20190116','20190130')data=[4,8,6,5,9,1,4,5,2,4,6,7,9,13,6]ser_data=pd.Series(data,index=index)ser_data.diff(2)
    4e94f3f586162fd9eaa77070080007a6.png

    差分过程

    这里默认是按行做差分,如果我们想按列做差分,只需要指定axis=1即可,如下:

    df = pd.DataFrame({'a': [1, 2, 3, 4, 5, 6],... 'b': [1, 1, 2, 3, 5, 8],... 'c': [1, 4, 9, 16, 25, 36]})df.diff(axis=0,periods=2)df.diff(axis=1,periods=2)
    86d95cc2a9d906f4888884d347d07da4.png

    按行和按列做差分

    将非平稳时间序列经过差分平稳化案例

    通过上面的介绍,我们已经清楚了时间序列平稳性的意义及pandas差分法函数的用法,下面我们通过演示一个例子来加深理解。

    st=pd.read_csv('sentiment.csv',index_col=0,parse_dates=[0])st.plot(figsize=(12,7))plt.legend(bbox_to_anchor=(1.25,0.5))plt.title('sentiment')sns.despine()
    5b3eeb88f82ba3c388363b988038def7.png

    原始数据

    上面的图表示的是原始数据的变化频率,现在我们通过一阶差分将原始数据进行处理,然后观察变化情况,如下:

    st_1=st.diff(1)st_1.plot(figsize=(12,7))plt.legend(bbox_to_anchor=(1.25,0.5))plt.title('sentiment')sns.despine()
    ff7981747379ba7da3aadc6153c764ac.png

    一阶差分图

    在一阶差分的基础上在进行差分,变为二阶差分,如下:

    st_2=st_1.diff(1)st_2.plot(figsize=(12,7))plt.legend(bbox_to_anchor=(1.25,0.5))plt.title('sentiment')sns.despine()
    45405c300ff4b48aa05607c3d612a582.png

    二阶差分

    可以看到,相比于原始数据,经过差分处理的数据已经变得相对平缓很多,这就是差分的作用。今天的内容到此为止,下篇开始讲ARIMA 差分自回归移动平均模型,喜欢的小伙伴请收藏并点击关注吧。

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  • 本文中,我们提出两种估计ARMA(自回归滑动平均)模型参数的新方法。第一种方法是对迭代逆滤波(ITIF)的改进,第二种方法基于谱转换技术。两种方法都是迭代算法,文中将两种新方法的计算结果与ITIF进行了比较。
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    时间序列的其它博文系列:

    时间序列模型 (一):模型概述

    时间序列模型 (二):移动平均法

    时间序列模型 (三):指数平滑法

    时间序列模型 (四):差分指数平滑法、 自适应滤波法v

    时间序列模型 (五): 趋势外推预测方法

    时间序列模型 (六):平稳时间序列模型 :自回归AR 、移动平均 MA 、ARMA 模型

    时间序列模型 (七): 时间序列建模的基本步骤


    这里的平稳是指宽平稳,其特性是序列的统计特性不随时间的平移而变化,即均值和协方差不随时间的平移而变化。 

    自回归模型(Auto Regressive Model)简称 AR 模型,移动平均模型(Moving Average Model)简称 MA 模型,

    自回归移动平均模型(Auto Regressive Moving Average Model)简称 ARMA 模型。

    下面的 \small X_{t} 为零均值(即中心化处理的)平稳序列。 


    目录

    一般自回归模型 AR(n) 

    白噪声序列

    移动平均模型 MA(m)

    自回归移动平均模型 

    ARMA 模型的特性 

    AR(1)系统的格林函数 

    ARMA (2,1)系统的格林函数 的隐式 

     逆函数和可逆性 


     

    一般自回归模型 AR(n) 

    白噪声序列

     

    移动平均模型 MA(m)

    自回归移动平均模型 

    ARMA 模型的特性 

    在时间序列的时域分析中,线性差分方程是极为有效的工具。事实上,任何一个 ARMA 模型都是一个线性差分方程。

    AR(1)系统的格林函数 

    格林函数就是描述系统记忆扰动程度的函数。 

     

    后移算子

    由于格林函数就是差分方程解的系数函数,格林函数的意义可概括如下: 

     

    ARMA (2,1)系统的格林函数 的隐式 

     

     逆函数和可逆性 


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    时间序列模型 (五): 趋势外推预测方法

    时间序列模型 (六):平稳时间序列模型 :自回归AR 、移动平均 MA 、ARMA 模型

    时间序列模型 (七): 时间序列建模的基本步骤

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  • 时间序列平稳性与差分

    千次阅读 2020-10-29 20:31:48
    比如说如果我们想去预测股价,这些数据要有规律可循我们才可以进行预测,如果数据是随机出来的,一点规律也没有,那我们就很难建立一个模型预测接下来的数据,所以,在我们在预测的时候要求时间序列数据必须有一定的...

    1、时间序列

    时间序列(或称动态数列)是指将同一统计指标的数值按其发生的时间先后顺序排列而成的数列。时间序列分析的主要目的是根据已有的历史数据对未来进行预测。

    2、为什么要平稳

    我们的拿到的数据可能是千奇百怪的,但是我们要做预测,比如说如果我们想去预测股价,这些数据要有规律可循我们才可以进行预测,如果数据是随机出来的,一点规律也没有,那我们就很难建立一个模型预测接下来的数据,所以,在我们在预测的时候要求时间序列数据必须有一定的趋势,即未来的一段时间内仍能顺着现有的形态延续下去。

    3、什么是平稳性

    平稳的基本思想是:时间序列的行为并不随时间改变。

    平稳性要求序列的均值和方差是与时间t无关的常数,协方差也只与时间间隔k有关,与时间t无关。

    4、严平稳与弱平稳

    严平稳:严平稳只有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化,也就是分布不随时间的改变而改变

    如:白噪声(正态),期望始终为0,方差始终为1

    弱平稳:期望值与相关系数不变,期望值是常数(通常我们让它为0),X1与X3,X2与X4的相关系数都是一样的,也就是说,相关系数取决于时间间隔而非时间起始点,也就是说,未来某时刻的t的值Xt要依赖于它过去的信息

    5、差分法

    当我们拿到数据时,这些数据可能浮动很大,那怎么才能让数据变得平稳呢,其中一种方法就是差分法。

    差分法:时间序列在t与t-1时刻的差值。

    比如我们有一组序列,如下图

     

                                                              图1:原始数据图像

    这组数据的分布还是很大的,不符合平稳性的要求,所以我们需要进行差分,将时刻值相减。

                                                               图2:一阶差分图像

    对一阶差分后的数据再进行一阶差分则为二阶差分,并不是在源数据差分两次。

                                                             图3:二阶差分图像

    有图像可知,二阶差分并没有比一阶差分好很多,所以选择一阶差分即可。

    做差分可以使数据的平稳性更好一些,但需要注意的是不必要的差分可扭曲时间序列模型及降低预测精度。

    6、Matlab中的diff函数

    Y = diff(X):计算沿大小不等于1的第一个数组维度的X相邻元素之间的差分。如果X是长度为m的向量,则返回长度为m-1的向量;如果X是p*m的矩阵,则返回(p-1)*m的矩阵;如果X是空矩阵,则返回空矩阵。

     

    Y = diff(X,n) 通过递归应用 diff(X) 运算符 n 来计算第 n 阶差分。在实际操作中,这表示 diff(X,2) 与diff(diff(X)) 相同。

    Y = diff(X,n,dim) 是沿 dim 指定的维计算的第 n 阶差分。dim 输入是一个正整数标量。

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    鄙人学习笔记




    时间序列分析和预测


    时间序列及其分解


    时间序列是同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的序列。

    • 平稳及非平稳

    时间序列可以分为平稳序列非平稳序列两大类。
    平稳序列是基本上不存在趋势的序列。这类序列中的各观察值基本上在某个固定的水平上波动,虽然在不同的时间段波动的程度不同,但并不存在某种规律,其波动可以看成是随机的。
    非平稳序列是包含趋势、季节性或周期性的序列,它可能只含有其中一种成分,也可能是几种成分的组合。

    趋势是时间序列在长时期内呈现出来的某种持续上升或持续下降的变动,也称长期趋势。时间序列中的趋势可以是线性的,也可以是非线性的。

    季节性也称季节变动,它是时间序列在一年内重复出现的周期性波动。

    当然,季节性中的“季节”一词是广义的,它不仅仅是指一年中的四季,其实是指任何一种周期性的变化。

    周期性也称循环波动。是时间序列中呈现出来的围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式变动。
    它不同于趋势变动,不是朝着单一方向的持续运动,而是涨落相间的交替波动。
    它也不同于季节变动,季节变动有比较固定的规律,且变动周期大多为一年,循环波动则无固定规律,变动周期多在一年以上,且周期长短不一。

    时间序列中除去趋势、周期性和季节性之后的偶然性波动,称为随机性,也称不规则波动。

    • 乘法模型和加法模型

    时间序列的成分可以分为4种,即趋势T、季节性或季节变动S、周期性或循环波动C、随机性或不规则波动I
    传统时间序列分析的一项主要内容就是把这些成分从时间序列中分离出来,并将它们之间的关系用一定的数学关系式予以表达,而后分别进行分析。按4种成分对一时间序列的影响方式不同,时间序列可分解为多种模型,如加法模型、乘法模型。

    加法模型:
    Yi=Ti+Si+Ci+Ii Y_i=T_i + S_i + C_i + I_i

    乘法模型:
    Yi=TiSiCiIi Y_i=T_i * S_i * C_i * I_i


    时间序列的描述性分析


    • 增长率

    增长率也称增长速度,它是时间序列中报告期观察值与基期观察值之比减1后的结果,用%表示。由于对比的基期不同,增长率可以分为环比增长率和定基增长率。

    环比增长率是报告期观察值与前一时期观察值之比减1,说明现象逐期增长变化的程度;

    定基增长率是报告期观察值与某一固定时期观察值之比减1,说明现象在整个观察期内总的增长变化程度。
    设增长率为G,则环比增长率和定基增长率可表示为:

    • 平均增长率

    平均增长率也称平均增长速度,它是时间序列中逐期环比值(也称环比发展速度)的几何平均数减1后的结果,计算公式为:

    • 增长率分析中应注意的问题

    ①当时间序列中的观察值出现0或负数时,不易计算增长率。
    ②在有些情况下。不能单纯就增长率论增长率。要注意将增长率与绝对水平结合起来分析。

    增长1%的绝对值表示增长率每增长一个百分点而增加的绝对数量,其计算公式为:


    时间序列预测的程序


    时间序列分析的一个主要目的就是根据已有的历史数据对未来进行预测。时间序列含有不同的成分,如趋势、季节性、周期性和随机性等。对于一个具体的时间序列,它可能只含有一种成分,也可能同时含有几种成分。含有不同成分的时间序列所用的预测方法是不同的。
    因此,在对时间序列进行预测时,通常包括以下几个步骤:


    确定时间序列成分


    • 确定趋势成分

    确定趋势成分是否存在。
    ①可以从绘制时间序列的线图入手,从图中可以判断时间序列中是否存在趋势,以及所存在的趋势是线性的还是非线性的。
    ②判断趋势成分是否存在的另一种方法是利用回归分析拟合一条趋势线,然后对回归系数进行显著性检验。如果回归系数显著,就可以得出线性趋势显著的结论。

    • 确定季节成分

    确定季节成分可以从绘制时间序列的线图入手,但这里需要一种特殊的时间序列图,即年度折叠时间序列图。绘制该图时,需要将每年的数据分开画在图上,也就是横轴只有一年的长度,每年的数据分别对应纵轴。

    举个例子

    数据:

    年度折叠时间序列图:

    如果时间序列只存在季节成分,年度折叠时间序列图中的折线将会有交叉;如果时间序列既含有季节成分又含有趋势,那么年度折叠时间序列图中的折线将不会有交叉,而且如果趋势是上升的,后面年度的折线将会高于前面年度的折线,如果趋势是下降的,则后面年度的折线将低于前面年度的折线。


    选择预测方法



    预测方法的评估


    评价的方法就是找出预测值与实际值的差距。这个差值就是预测误差。最优的预测方法也就是预测误差达到最小的方法。
    预测误差的计算方法有几种,包括平均误差、平均绝对误差、均方误差、平均百分比误差和平均绝对百分比误差等。

    • 平均误差

    设时间序列的第i个观测值为Yi,预测值为Fi,则平均误差可以用ME表示,计算公式为:

    式中,n为预测值的个数。

    由于预测误差的数值可能有正有负,求和的结果就会相互抵消,在这种情况下,平均误差可能会低估误差。

    • 平均绝对误差

    平均绝对误差用MAD表示,其计算公式为:

    平均绝对误差可以避免误差相互抵消的问题,因而可以准确反映实际预测误差的大小。

    • 均方误差

    均方误差用MSE表示,其计算公式为:

    ME,MAD和MSE的大小受时间序列数据的水平和计量单位的影响,有时并不能真正反映预测模型的好坏,它们只有在比较不同模型对同一数据的预测时才有意义。

    • 平均百分比误差和平均绝对百分比误差

    平均百分比误差(MPE)和平均绝对百分比误差(MAPE)则消除了时间序列数据的水平和计量单位的影响,是反映误差大小的相对值。

    平均百分比误差的计算公式为:

    平均绝对百分比误差的计算公式为:


    平稳序列的预测


    平稳时间序列通常只含有随机成分,其预测方法主要有简单平均法、移动平均法和指数平滑法等,这些方法主要是通过对时间序列进行平滑以消除其随机波动,因而也称为平滑法。
    平滑法既可用于对平稳时间序列进行短期预测,也可用于对时间序列进行平滑以描述序列的趋势(包括线性趋势和非线性趋势)。


    简单平均法



    简单平均法适合对较为平稳的时间序列进行预测.即当时间序列没有趋势时,用该方法比较好。但如果时间序列有趋势或季节成分,该方法的预测则不够准确。此外,简单平均法将远期的数值和近期的数值看作对未来同等重要。但从预测角度看,近期的数值比远期的数值对未来有更大的作用,因此简单平均法预测的结果不够准确。


    移动平均法



    移动平均法只使用最近k期的数据,在每次计算移动平均值时,移动的间隔都为k。该方法也适合对较为平稳的时间序列进行预测。应用时,关键是确定合理的移动间隔k。对于同一个时间序列,采用不同的移动间隔,预测的准确性是不同的。可通过试验的办法,选择一个使均方误差达到最小的移动间隔。


    指数平滑法


    指数平滑法是通过对过去的观察值加权平均进行预测的一种方法,该方法使t+1期的预测值等于t期的实际观察值与t期的预测值的加权平均值。指数平滑法是加权平均的一种特殊形式,观察值时间越远,其权数也跟着呈现指数下降,因而称为指数平滑。

    一次指数平滑法也称单一指数平滑法,它只有一个平滑系数.而且观察值离预测时期越久远,权数变得越小。

    一次指数平滑是将一段时期的预测值与观察值的线性组合作为t+1期的预测值,其预测模型为:

    式中,Yt,为t期的实际观察值,Ft为t期预测值,a为平滑系数(0<a<1)


    使用指数平滑法时,关键的问题是确定一个合适的平滑系数α,因为不同的α会对预测结果产生不同的影响。例如.当α=0时,预测值仅仅是重复上一期的预测结果;当α=1时,预测值就是上一期实际值。α越接近1,模型对时间序列变化的反应就越及时,因为它给当前的实际值赋予了比预测值更大的权数。同样,α越接近0.意味着给当前的预测值赋予了更大的权数,因此模型对时间序列变化的反应就越慢。
    一般而言,当时间序列有较大的随机波动时,宜选较大的α,以便能很快跟上近期的变化;当时间序列比较平稳时,宜选较小的α。

    在选择α\alpha时,还应考虑预测误差,确定α\alpha时,可以选择几个值进行预测,然后选择使预测误差最小的值。


    趋势型序列的预测


    时间序列的趋势可以分为线性趋势和非线性趋势两大类.


    线性趋势预测


    线性趋势是指现象随着时间的推移而呈现出稳定增长或下降的线性变化规律。


    根据最小二乘法得到的求解b0和b1的公式如下:


    非线性趋势预测


    序列中的趋势通常可以认为是由于某种固定的因素作用同一方向所形成的。若这些因素随着时间的推移按线性变化,则可以对时间序列拟合趋势直线;若呈现出某种非线性趋势,则需要拟合适当的趋势曲线。

    几种常用的趋势曲线:
    ①指数曲线

    采取线性化手段将其化为对数直线形式,即两端取对数得:

    然后根据最小二乘法原理,按直线形式的常数确定方法。得到求解lgb0和lgb1的标准方程如下:


    ②修正指数曲线

    修正指数曲线初期增长迅速,随后增长率逐渐降低,最终以K为增长极限。

    一般形式:
    Yt^=K+b0b1t \hat{Y_t}=K+b_0 b_1^t

    K,b0,b1K,b_0, b_1为待定系数,K>0,b00,0<b11K>0, b_0 \not= 0, 0< b_1 \neq 1


    ③Gompertz曲线

    Gompertz曲线初期增长缓慢,之后逐渐加快,当达到一定程度后,增长率又逐渐下降,最后接近一条水平线。

    一般形式:
    Yt^=Kb0b1t \hat{Y_t} = Kb_0^{b_1^t}
    K,b0,b1K,b_0, b_1为待定系数,K>0,0<b00,0<b11K>0,0 < b_0 \not= 0, 0< b_1 \not= 1

    将等式两边取对数:
    lgYt^=lgK+(lgb0)b1t lg \hat{Y_t} = lgK + (lgb_0)b_1^t

    等式取对数后,是不是看起来和修正指数曲线的形式很像。


    ④多阶曲线


    复合型序列的分解预测


    复合型序列是指含有趋势、季节、周期和随机成分的序列。对这类序列的预测方法通常是将时间序列的各个因素依次分解出来,然后进行预测。

    分解法预测通常按下面的步骤进行:

    确定并分离季节成分


    • 计算季节指数

    季节指数刻画了序列在一个年度内各月或各季度的典型季节特征。在乘法模型中,季节指数是以其平均数等于100%为条件而构成的,它反映了某
    一月份或季度的数值占全年平均数值的大小。

    • 平均趋势剔除法

    第1步:计算移动平均值(如果是季度数据,则采用4项移动平均,月份数据则采用12项移动平均),并对其结果进行中心化处理,也就是将移动平均的结果再进行一次二项移动平均,即得出中心化移动平均值(CMA)。

    第2步:计算移动平均的比值,也称为季节比率,即将序列的各观察值除以相应的中心化移动平均值,然后计算出各比值的季度(或月份)平均值。

    第3步:季节指数调整。由于各季节指数的平均数应等于1,若根据第2步计算的季节比率的平均值不等于1,则需要进行调整。具体方法是:将第2步算的每个季节比率的平均值除以它们的总平均值。
    将季节成分从时间序列中分离出去,即用每一个观测值除以相应的季节指数,以消除季节性。季节因素分离后的序列,反映了没有季节因素影响下时间序列的变化形态。

    建立预测模型并进行预测


    对消除季节成分的序列建立适当的预测模型,并根据这一模型进行预测。

    计算出最后的预测值


    用预测值乘以相应的季节指数,得到最终的预测值。

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  • 时间序列模型 (七): 时间序列建模的基本步骤

    万次阅读 多人点赞 2019-04-22 12:21:50
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  • 自从小波神 经网络被提出以后,它在非线性函数或信号逼近、信 号表示和分 类、系统辨识和动态建模、非平稳时间序列预测与分 析等许多领域 中被较为广泛地应用。尽管如此,将小波和人工神经 网络理论应 用到预测还有...
  • 将预测对象按照时间顺序排列起来,构成一个所谓的时间序列,从所构成的这一组时间序列过去的变化规律,推断今后的可能性和变化趋势,变化规律,就是时间序列预测法。 时间序列是一种回归模型。基于原理:承认事物
  • 最近看时间序列,由于统计学知识的薄弱,略感吃力。作为码农,自然有“纸上得来终觉浅,绝知此事要coding...定义单位根检验的函数拿到时间序列数据后,要进行平稳性检验,主要有两种方法:肉眼检验和单位根检验...
  • 时间序列-转

    2020-12-14 17:33:12
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  • 时间序列

    2018-12-04 16:55:35
    ARIMA模型 平稳性:均值和方差...差分时间序列在t 于t-1 时刻的差值 自回归模型(AR): 1.描述当前值和历史值之间的关系,用变量自身的历史时间的数据对自身进行预测 2.自回归模型必须满足稳定性要求 3...
  • 时间序列模型 (一):模型概述

    万次阅读 多人点赞 2019-04-21 21:47:12
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  • 移动平均 用公式 指数平滑 一次,二次,三次 预测模型 看书 加权系数选择 波动不大小一些,波动大大一些 平均值为初始值 ...具有季节性的时间序列预测 p179 平稳时间序列 ARMA序列自回归移动平均序列 ...
  • 时间序列分析

    2017-04-27 17:04:01
    ARIMA模型预测 指数平滑对时间序列上面连续的值之间相关性没有要求。但若要计算出预测区间, 预测误差必须是不相关的, 而且必须是服从零均值、 ...做时间序列差分直到你得到一个平稳时间序列。 对时间序列做 d 阶
  • 时间序列ARIMA模型

    万次阅读 2018-07-16 23:22:24
    时间序列ARIMA模型(预测模型) 1.数据平稳性与差分 A.平稳性  平稳性就是要求经样本时间序列所得到的拟合曲线在未来一段期间内仍能顺着现有的形态“惯性”地延续下去; 平稳性要求样本时间序列的均值和方差...
  • 文章目录时间序列预测算法总结前言一、基于统计的时序数据建模方法1.1传统时序数据建模方法1.1.1周期因子1.1.2移动平均1.1.3ARIMA模型1.1.3.1模型原理1.平稳性要求2.AR模型3.MA模型4.ARMA模型5.ARIMA模型1.1.3.2...
  • 时间序列ARIMA

    2018-10-18 04:00:55
    差分时间序列在t与t-1时刻的差值 一阶差分后的系数其实就是dy对d(dx)的变化,就是用后一变量值减去前一变量值,即x2-x1 x3-x2 x4-x3 等等。最简单的一阶差分即数列相邻两项之差。 对GDP来说,一阶差分后得到了...

空空如也

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平稳时间序列预测法