• 对于***平稳随机信号***相关函数的性质： Rxx(m)=E[Xn∗Xn+m]=E[XnXn−m∗]R_{xx}(m) = E[X_n^*X_{n + m}] = E[{X_n}X_{n - m}^*]Rxx​(m)=E[Xn∗​Xn+m​]=E[Xn​Xn−m∗​] Rxx(m)=Rxx(−m)R_{xx}(m) = R_{xx}( - ...
相关函数贯穿整个随机信号处理，下面就着重讨论相关函数。
自相关函数的定义
集合平均下自相关函数计算公式：

R

x

x

(

m

,

n

)

=

E

[

X

∗

(

m

)

X

(

n

)

]

=

lim

⁡

N

→

∞

1

N

∑

i

=

1

N

x

i

∗

(

m

)

x

i

(

n

)

R_{x x}(m, n)=E\left[X^{*}(m) X(n)\right]=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_{i}^{*}(m) x_{i}(n)

时间平均下自相关函数的计算公式：

<

x

∗

(

i

)

x

(

i

+

j

)

>

=

lim

⁡

N

→

∞

1

2

N

+

1

∑

i

=

−

N

N

x

∗

(

i

)

x

(

i

+

j

)

< {x^*}(i)x(i + j) > = \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {1 \over {2N + 1}}\sum\limits_{i = - N}^N {{x^*}(i)x(i + j)}

平稳随机序列的三种定义不同写法： (1)

r

x

x

(

m

)

=

E

[

x

(

n

)

x

∗

(

n

+

m

)

]

,

r

x

y

(

m

)

=

E

[

x

(

n

)

y

∗

(

n

+

m

)

]

r_{xx}(m) = E[x(n)x^*(n+m)], r_{xy}(m) = E[x(n)y^*(n+m)]

(2)

r

x

x

(

m

)

=

E

[

x

(

n

)

x

∗

(

n

−

m

)

]

,

r

x

y

(

m

)

=

E

[

x

(

n

)

y

∗

(

n

−

m

)

]

r_{xx}(m) = E[x(n)x^*(n-m)], r_{xy}(m) = E[x(n)y^*(n-m)]

(3)

r

x

x

(

m

)

=

E

[

x

∗

(

n

)

x

(

n

+

m

)

]

,

r

x

y

(

m

)

=

E

[

x

∗

(

n

)

y

(

n

+

m

)

]

r_{xx}(m) = E[x^*(n)x(n+m)], r_{xy}(m) = E[x^*(n)y(n+m)]

三种不同写法的区别： 对于实信号，三者一致； 对于虚信号，为方便比较，令(2)中的

r

x

x

(

m

)

r_{xx}(m)

表示为

r

x

x

′

(

m

)

{r}'_{xx}(m)

, 令(3)中的

r

x

x

(

m

)

r_{xx}(m)

表示为

r

x

x

′

′

(

m

)

{r}''_{xx}(m)

r

x

x

(

m

)

=

r

x

x

′

(

−

m

)

=

r

x

x

′

′

(

−

m

)

r_{xx}(m) = {r}'_{xx}(-m)={r}''_{xx}(-m)

平稳随机信号相关函数的性质
(1)

R

x

x

(

m

)

=

E

[

X

n

∗

X

n

+

m

]

=

E

[

X

n

X

n

−

m

∗

]

R_{xx}(m) = E[X_n^*X_{n + m}] = E[{X_n}X_{n - m}^*]

(2) 自相关函数是偶函数

R

x

x

(

m

)

=

R

x

x

(

−

m

)

,

R

x

y

∗

(

m

)

=

R

y

x

(

−

m

)

R_{xx}(m) = R_{xx}( - m), R_{xy}^*(m) = {R_{yx}}( - m)

(4)

R

x

y

(

m

)

=

R

x

y

(

n

,

n

−

m

)

=

E

[

X

n

∗

Y

n

+

m

]

{R_{xy}}(m) = {R_{xy}}(n,n - m) = E[X_n^*Y_{_{n + m}}^{}]

(5)

R

x

y

(

m

)

=

0

R_{xy}(m) =0

，两个序列正交 (6)

R

x

x

(

0

)

Rxx(0)

数值上等于随机序列的平均功率;（由定义可以直接求得） (7) 相关性随时间差的增大越来越弱：

lim

⁡

m

→

∞

R

x

x

(

m

)

=

μ

x

2

lim

⁡

m

→

∞

R

x

y

(

m

)

=

μ

x

μ

y

\lim _{m \rightarrow \infty} R_{x x}(m)=\mu_{x}^{2} \quad \lim _{m \rightarrow \infty} R_{x y}(m)=\mu_{x} \mu_{y}

相关函数的傅里叶变换和

Z

Z

变换
对于非周期信号，能量时无穷的，无法使用傅里叶变化，但是信号的自相关函数可能存在傅里叶变换。由上述性质(7) 可知，当相关函数随着时间差趋于无穷时，自相关函数取值趋于均值的平方。当均值为0时，自相关函数就能收敛，傅里叶变换存在。 可以通过预处理，去均值，使自相关函数的均值为0。
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• 随机信号自相关函数和互相关函数Matlab
• 首先，概念解释: 自相关函数R(t1,t2)：为了衡量随机过程x(t)在任意两个时刻(t1,t2)上获得的随机变量之间的关联程度。 R(t1,t2) = E[ x(t1) x(t2) ] ...互相关函数：是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t...
首先，概念解释:
自相关函数R(t1,t2)：为了衡量随机过程x(t)在任意两个时刻(t1,t2)上获得的随机变量之间的关联程度。
                                    R(t1,t2) = E[ x(t1) x(t2) ]    或者写成 R(τ) = E[ x(t) x(t+τ) ] 
互相关函数：是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。：是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。
R(t1,t2) = E[ x(t1) y(t2) ]   
平稳随机过程：是一类应用非常广泛的随机过程，统计特性和时间起点无关。均值与t无关，为常数a；自相关函数只和时间间隔
τ有关， R(t1,t1+τ) =R(τ) 。平稳过程的功率谱密度与其自相关函数是一对傅里叶变化（Winner-Khintchine定理）

 
在信号处理领域，自相关和互相关函数的定义如下：
设原函数是f(t)，则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷积；
设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。
 
从数学的角度来讲,相关是一个与卷积类似的运算.相关是指将一个函数滑过另一个函数并求出两者乘积下的面积.在卷积的运算中,其中一个函数要针对纵轴做翻转,然后再求两函数滑动相乘的面积和.而相关运算中,两个函数不做任何翻转直接进行相对滑动的乘积面积和.
进而,两个相同函数的相关运算称为自相关.而两个不相同的函数的相关运算称为互相关.
那么,其实从定义中我们很好理解.一般来讲,自相关函数得到的自相关运算是比较大的.因为两个相同的信号相互滑过,相乘的面积肯定是很大的.但当两个函数的相关性为0的时候,两个函数就不会有重合的情况,在时域上来讲就不可能存在相似的情况
通过这个解释，让我更好的理解了“相关”的概念。
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• 随机信号及其自相关函数和功率谱密度的MATLAB实现
• 随机信号及其自相关函数和功率谱密度的MATLAB实现引言：现代信号分析中，对于常见的具有各态历经的平稳随机信号，不可能用清楚的数学关系式来描述，但可以利用给定的N个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度...

随机信号及其自相关函数和功率谱密度的MATLAB实现
引言：
现代信号分析中，对于常见的具有各态历经的平稳随机信号，不可能用清楚的数学关系式来描述，但可以利用给定的N个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做功率谱估计(PSD)。它是数字信号处理的重要研究内容之一。功率谱估计可以分为经典功率谱估计(非参数估计)和现代功率谱估计(参数估计)。通过实验仿真可以直观地看出以下特性:(1)功率谱估计中的相关函数法和周期图法所得到的结果是一致的，其特点是离散性大，曲线粗糙，方差较大，但是分辨率较高。(2)平均周期图法和平滑平均周期图法的收敛性较好，曲线平滑，估计的结果方差较小，但是功率谱主瓣较宽，分辨率低。这是由于对随机序列的分段处理引起了长度有限所带来的Gibbs现象而造成的。(3)平滑平均周期图法与平均周期图法相比，谱估值比较平滑，但是分辨率较差。其原因是给每一段序列用适当的窗口函数加权后，在得到平滑的估计结果的同时，使功率谱的主瓣变宽，因此分辨率有所下降。
摘要：
功率谱估计(PSD)的功率谱,来讲都是重要的,是数字信号处理的重要研究内容之一。功率谱估计可以分为经典谱估计(非参数估计)和现代谱估计(参数估计)。前者的主要方法有BTPSD估计法和周期图法;后者的主要方法有最大熵谱分析法(AR模型法)、Pisarenko谐波分解法、Prony提取极点法、其Prony谱线分解法以及Capon最大似然法。中周期图法和AR模型法是用得较多且最具代表性的方法。
Matlab是目前极为流行的工程数学分析软件,在它的SignalProcessingToolbox中也对这两个方法提供了相应的工具函数,这为我们进行工程设计分析、理论学习提供了相当便捷的途径。
关键词：
随机信号 自相关系数 功率谱密度
实验原理:
随机信号X(t)是一个随时间变化的随机变量，将X(t)离散化，即以Ts对X(t)进行等间隔抽样，得到随机序列X(nTs),简化为X(n)。在实际工作中，对随机信号的描述主要是使用一、二阶的数字特征。如果X(n)的均值与时间n无关，其自相关函数Rx(n1,n2)与n1,n2的选取无关，而是依赖于n1,n2之差，即：
即称X(n)为宽平稳随机序列。宽平稳随机信号是一类重要的随机信号，实际中的大部分随机信号都可以认为是宽平稳的。
对一平稳序列X(n),如果它的所有样本函数在某一固定时刻的一、二阶特性和单一样本函数在长时间内的统计特性一致，则称X(n)为各态历经序列。对于各态历经序列，可像确定性的功率信号那样定义一、二数字特征。
设X(n)是各台历经序列X(n)的一个函数，对X(n)数字特征可重新定义如下：
均值：
自相关函数：
自协方差函数：
具有各态历经的随机信号，由于能够使用单一的样本函数做时间平均，以求得均值和自相关函数，所以在分析和处理信号时比较方便。在实际工作中，往往先假定信号是平稳的，假定它是各态历经的。在此，我们不加说明地认为所讨论的信号都是平稳的和各态历经的，并将随机序列X(n)改为x(n)。
随机序列的功率谱密度定义为：
功率谱密度反映了信号的功率随频率的分布，在信号处理中占有重要的地位。然而，实际中由该定义式几乎不可能得到信号的真是功率谱密度，因此只能用所得到的有限长数据予以估计。
实验任务
编制MATLAB通用程序，估计一任意指定截止频率的高斯带通白噪声的自相关函数、自协方差函数以及功率谱密度。要求将图形窗口分割成4块，分别显示带通白噪声的时域信号以及自相关函数、协方差函数和功率谱密度函数曲线，并将所有图像添加栅格线和标题。
任务程序：
a=randn(2000,1);
wc=[0.45,0.65];N=79;window=blackman(N+1);
h=fir1(N,wc,window);
x=filter(h,1,a);
subplot(2,2,1),plot(x),title('时域信号'),grid on
[c,n]=xcorr(x,10,'coeff');
subplot(2,2,2),stem(n,c,'filled'),title('自相关函数'),grid on
[b,m]=xcov(x,10,'coeff');
subplot(2,2,3),stem(m,b,'filled'),title('协方差函数'),grid on
subplot(2,2,4),pwelch(x,33,32,[],500),title('概率密度函数'),grid on
波形如图：
实验总结：
通过这次学习，我知道了功率谱估计的实现有许多方法,也有很多具体的算法可以参阅。比如用rand和randn函数产生白噪声序列，还有用MATLAB语言产生随机信号和估计随机信号的自相关函数和功率谱密度，还

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• 对于一个线性非时变系统，如果输入是平稳随机序列，则输出也是平稳随机序列。现证明如下。 令l=r-k, 得到    式中 输出响应的功率谱密度对自相关函数求Z变换即可得到    将z=ejω代入上式，得到输出...
输出函数的自相关函数（相关卷积定理证明可以参考自相关函数的推导）
对于一个线性非时变系统，如果输入是平稳随机序列，则输出也是平稳随机序列。现证明如下。
令l=r-k, 得到

式中

输出响应的功率谱密度对自相关函数求Z变换即可得到

将z=ejω代入上式，得到输出功率谱
Pyy (ejω)=Pxx(ejω)H(ejω)H*(ejω)=Pxx( ejω)|H(ejω)|2
明白了输出随机序列自相关函数的推导过程，系统的输出输入输出互相关函数的推导过程就水到渠成了


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• 大三上学期的一门实验课，主要用到matlab软件。文件中包括所有的实验，包括matlab仿真和硬件实施。

...