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  • 对于***平稳随机信号***相关函数的性质: Rxx(m)=E[Xn∗Xn+m]=E[XnXn−m∗]R_{xx}(m) = E[X_n^*X_{n + m}] = E[{X_n}X_{n - m}^*]Rxx​(m)=E[Xn∗​Xn+m​]=E[Xn​Xn−m∗​] Rxx(m)=Rxx(−m)R_{xx}(m) = R_{xx}( - ...

    相关函数贯穿整个随机信号处理,下面就着重讨论相关函数。

    自相关函数的定义

    集合平均下自相关函数计算公式:
    R x x ( m , n ) = E [ X ∗ ( m ) X ( n ) ] = lim ⁡ N → ∞ 1 N ∑ i = 1 N x i ∗ ( m ) x i ( n ) R_{x x}(m, n)=E\left[X^{*}(m) X(n)\right]=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_{i}^{*}(m) x_{i}(n) Rxx(m,n)=E[X(m)X(n)]=NlimN1i=1Nxi(m)xi(n)
    时间平均下自相关函数的计算公式:
    < x ∗ ( i ) x ( i + j ) > = lim ⁡ N → ∞ 1 2 N + 1 ∑ i = − N N x ∗ ( i ) x ( i + j ) < {x^*}(i)x(i + j) > = \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {1 \over {2N + 1}}\sum\limits_{i = - N}^N {{x^*}(i)x(i + j)} <x(i)x(i+j)>=Nlim2N+11i=NNx(i)x(i+j)
    平稳随机序列的三种定义不同写法:
    (1) r x x ( m ) = E [ x ( n ) x ∗ ( n + m ) ] , r x y ( m ) = E [ x ( n ) y ∗ ( n + m ) ] r_{xx}(m) = E[x(n)x^*(n+m)], r_{xy}(m) = E[x(n)y^*(n+m)] rxx(m)=E[x(n)x(n+m)],rxy(m)=E[x(n)y(n+m)]
    (2) r x x ( m ) = E [ x ( n ) x ∗ ( n − m ) ] , r x y ( m ) = E [ x ( n ) y ∗ ( n − m ) ] r_{xx}(m) = E[x(n)x^*(n-m)], r_{xy}(m) = E[x(n)y^*(n-m)] rxx(m)=E[x(n)x(nm)],rxy(m)=E[x(n)y(nm)]
    (3) r x x ( m ) = E [ x ∗ ( n ) x ( n + m ) ] , r x y ( m ) = E [ x ∗ ( n ) y ( n + m ) ] r_{xx}(m) = E[x^*(n)x(n+m)], r_{xy}(m) = E[x^*(n)y(n+m)] rxx(m)=E[x(n)x(n+m)],rxy(m)=E[x(n)y(n+m)]

    三种不同写法的区别:
    对于实信号,三者一致;
    对于虚信号,为方便比较,令(2)中的 r x x ( m ) r_{xx}(m) rxx(m)表示为 r x x ′ ( m ) {r}'_{xx}(m) rxx(m), 令(3)中的 r x x ( m ) r_{xx}(m) rxx(m)表示为 r x x ′ ′ ( m ) {r}''_{xx}(m) rxx(m)
    r x x ( m ) = r x x ′ ( − m ) = r x x ′ ′ ( − m ) r_{xx}(m) = {r}'_{xx}(-m)={r}''_{xx}(-m) rxx(m)=rxx(m)=rxx(m)

    平稳随机信号相关函数的性质

    (1) R x x ( m ) = E [ X n ∗ X n + m ] = E [ X n X n − m ∗ ] R_{xx}(m) = E[X_n^*X_{n + m}] = E[{X_n}X_{n - m}^*] Rxx(m)=E[XnXn+m]=E[XnXnm]
    (2) 自相关函数是偶函数
    R x x ( m ) = R x x ( − m ) , R x y ∗ ( m ) = R y x ( − m ) R_{xx}(m) = R_{xx}( - m), R_{xy}^*(m) = {R_{yx}}( - m) Rxx(m)=Rxx(m),Rxy(m)=Ryx(m)
    (4) R x y ( m ) = R x y ( n , n − m ) = E [ X n ∗ Y n + m ] {R_{xy}}(m) = {R_{xy}}(n,n - m) = E[X_n^*Y_{_{n + m}}^{}] Rxy(m)=Rxy(n,nm)=E[XnYn+m]
    (5) R x y ( m ) = 0 R_{xy}(m) =0 Rxy(m)=0,两个序列正交
    (6) R x x ( 0 ) Rxx(0) Rxx(0)数值上等于随机序列的平均功率;(由定义可以直接求得)
    (7) 相关性随时间差的增大越来越弱:
    lim ⁡ m → ∞ R x x ( m ) = μ x 2 lim ⁡ m → ∞ R x y ( m ) = μ x μ y \lim _{m \rightarrow \infty} R_{x x}(m)=\mu_{x}^{2} \quad \lim _{m \rightarrow \infty} R_{x y}(m)=\mu_{x} \mu_{y} mlimRxx(m)=μx2mlimRxy(m)=μxμy

    相关函数的傅里叶变换和 Z Z Z变换

    对于非周期信号,能量时无穷的,无法使用傅里叶变化,但是信号的自相关函数可能存在傅里叶变换。由上述性质(7) 可知,当相关函数随着时间差趋于无穷时,自相关函数取值趋于均值的平方。当均值为0时,自相关函数就能收敛,傅里叶变换存在。
    可以通过预处理,去均值,使自相关函数的均值为0。

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  • 随机信号自相关函数和互相关函数Matlab
  • 首先,概念解释: 自相关函数R(t1,t2):为了衡量随机过程x(t)在任意两个时刻(t1,t2)上获得的随机变量之间的关联程度。 R(t1,t2) = E[ x(t1) x(t2) ] ...互相关函数:是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t...

    首先,概念解释:

    自相关函数R(t1,t2):为了衡量随机过程x(t)在任意两个时刻(t1,t2)上获得的随机变量之间的关联程度。

                                        R(t1,t2) = E[ x(t1) x(t2) ]    或者写成 R(τ) = E[ x(t) x(t+τ) ] 
    互相关函数:是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1,t2的取值之间的相关程度。:是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1,t2的取值之间的相关程度。
    R(t1,t2) = E[ x(t1) y(t2) ]   

    平稳随机过程:是一类应用非常广泛的随机过程,统计特性和时间起点无关。均值与t无关,为常数a;自相关函数只和时间间隔

    τ有关, R(t1,t1+τ) =R(τ) 。平稳过程的功率谱密度与其自相关函数是一对傅里叶变化(Winner-Khintchine定理)

     

    信号处理领域,自相关和互相关函数的定义如下:

    设原函数是f(t),则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t),其中*表示卷积;

    设两个函数分别是f(t)和g(t),则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t),它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。

     

    从数学的角度来讲,相关是一个与卷积类似的运算.相关是指将一个函数滑过另一个函数并求出两者乘积下的面积.在卷积的运算中,其中一个函数要针对纵轴做翻转,然后再求两函数滑动相乘的面积和.而相关运算中,两个函数不做任何翻转直接进行相对滑动的乘积面积和.

    进而,两个相同函数的相关运算称为自相关.而两个不相同的函数的相关运算称为互相关.

    那么,其实从定义中我们很好理解.一般来讲,自相关函数得到的自相关运算是比较大的.因为两个相同的信号相互滑过,相乘的面积肯定是很大的.但当两个函数的相关性为0的时候,两个函数就不会有重合的情况,在时域上来讲就不可能存在相似的情况

    通过这个解释,让我更好的理解了“相关”的概念。

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  • 随机信号及其自相关函数和功率谱密度的MATLAB实现
  • 随机信号及其自相关函数和功率谱密度的MATLAB实现引言:现代信号分析中,对于常见的具有各态历经的平稳随机信号,不可能用清楚的数学关系式来描述,但可以利用给定的N个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度...

    随机信号及其自相关函数和功率谱密度的MATLAB实现

    引言:

    现代信号分析中,对于常见的具有各态历经的平稳随机信号,不可能用清楚的数学关系式来描述,但可以利用给定的N个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做功率谱估计(PSD)。它是数字信号处理的重要研究内容之一。功率谱估计可以分为经典功率谱估计(非参数估计)和现代功率谱估计(参数估计)。通过实验仿真可以直观地看出以下特性:(1)功率谱估计中的相关函数法和周期图法所得到的结果是一致的,其特点是离散性大,曲线粗糙,方差较大,但是分辨率较高。(2)平均周期图法和平滑平均周期图法的收敛性较好,曲线平滑,估计的结果方差较小,但是功率谱主瓣较宽,分辨率低。这是由于对随机序列的分段处理引起了长度有限所带来的Gibbs现象而造成的。(3)平滑平均周期图法与平均周期图法相比,谱估值比较平滑,但是分辨率较差。其原因是给每一段序列用适当的窗口函数加权后,在得到平滑的估计结果的同时,使功率谱的主瓣变宽,因此分辨率有所下降。

    摘要:

    功率谱估计(PSD)的功率谱,来讲都是重要的,是数字信号处理的重要研究内容之一。功率谱估计可以分为经典谱估计(非参数估计)和现代谱估计(参数估计)。前者的主要方法有BTPSD估计法和周期图法;后者的主要方法有最大熵谱分析法(AR模型法)、Pisarenko谐波分解法、Prony提取极点法、其Prony谱线分解法以及Capon最大似然法。中周期图法和AR模型法是用得较多且最具代表性的方法。

    Matlab是目前极为流行的工程数学分析软件,在它的SignalProcessingToolbox中也对这两个方法提供了相应的工具函数,这为我们进行工程设计分析、理论学习提供了相当便捷的途径。

    关键词:

    随机信号 自相关系数 功率谱密度

    实验原理:

    随机信号X(t)是一个随时间变化的随机变量,将X(t)离散化,即以Ts对X(t)进行等间隔抽样,得到随机序列X(nTs),简化为X(n)。在实际工作中,对随机信号的描述主要是使用一、二阶的数字特征。如果X(n)的均值与时间n无关,其自相关函数Rx(n1,n2)与n1,n2的选取无关,而是依赖于n1,n2之差,即:

    即称X(n)为宽平稳随机序列。宽平稳随机信号是一类重要的随机信号,实际中的大部分随机信号都可以认为是宽平稳的。

    对一平稳序列X(n),如果它的所有样本函数在某一固定时刻的一、二阶特性和单一样本函数在长时间内的统计特性一致,则称X(n)为各态历经序列。对于各态历经序列,可像确定性的功率信号那样定义一、二数字特征。

    设X(n)是各台历经序列X(n)的一个函数,对X(n)数字特征可重新定义如下:

    均值:

    自相关函数:

    自协方差函数:

    具有各态历经的随机信号,由于能够使用单一的样本函数做时间平均,以求得均值和自相关函数,所以在分析和处理信号时比较方便。在实际工作中,往往先假定信号是平稳的,假定它是各态历经的。在此,我们不加说明地认为所讨论的信号都是平稳的和各态历经的,并将随机序列X(n)改为x(n)。

    随机序列的功率谱密度定义为:

    功率谱密度反映了信号的功率随频率的分布,在信号处理中占有重要的地位。然而,实际中由该定义式几乎不可能得到信号的真是功率谱密度,因此只能用所得到的有限长数据予以估计。

    实验任务

    编制MATLAB通用程序,估计一任意指定截止频率的高斯带通白噪声的自相关函数、自协方差函数以及功率谱密度。要求将图形窗口分割成4块,分别显示带通白噪声的时域信号以及自相关函数、协方差函数和功率谱密度函数曲线,并将所有图像添加栅格线和标题。

    任务程序:

    a=randn(2000,1);

    wc=[0.45,0.65];N=79;window=blackman(N+1);

    h=fir1(N,wc,window);

    x=filter(h,1,a);

    subplot(2,2,1),plot(x),title('时域信号'),grid on

    [c,n]=xcorr(x,10,'coeff');

    subplot(2,2,2),stem(n,c,'filled'),title('自相关函数'),grid on

    [b,m]=xcov(x,10,'coeff');

    subplot(2,2,3),stem(m,b,'filled'),title('协方差函数'),grid on

    subplot(2,2,4),pwelch(x,33,32,[],500),title('概率密度函数'),grid on

    波形如图:

    实验总结:

    通过这次学习,我知道了功率谱估计的实现有许多方法,也有很多具体的算法可以参阅。比如用rand和randn函数产生白噪声序列,还有用MATLAB语言产生随机信号和估计随机信号的自相关函数和功率谱密度,还

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  • 对于一个线性非时变系统,如果输入是平稳随机序列,则输出也是平稳随机序列。现证明如下。 令l=r-k, 得到    式中 输出响应的功率谱密度对自相关函数求Z变换即可得到    将z=ejω代入上式,得到输出...

    输出函数的自相关函数(相关卷积定理证明可以参考自相关函数的推导) 

    对于一个线性非时变系统,如果输入是平稳随机序列,则输出也是平稳随机序列。现证明如下。

    l=r-k, 得到

     

     式中

    输出响应的功率谱密度对自相关函数求Z变换即可得到

     

     z=e代入上式,得到输出功率谱

    Pyy (ejω)=Pxx(ejω)H(ejω)H*(ejω)=Pxx( ejω)|H(ejω)|2

    明白了输出随机序列自相关函数的推导过程,系统的输出输入输出互相关函数的推导过程就水到渠成了

     

     

     

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  • 第三:自相关函数RXR_XRX​也应该为等值序列 其中上面三个,哪个是首要的,第一个需要求出的? 是均方值!为什么? 因为均方值是包括直流分量、交流分量,它是总功率等于方差加上均值的平方。 如果均方值相等,是否...
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  • 现对平稳随机过程(其中为在上均匀分布的随机变量,和为常数)的样本经过线性系统进行仿真。 线性系统如下: function [ y ] = Linearsystem(x1,a,b) %Linearsystem 线性时不变系统 %x-随机过程,a,b-线性系统...
  • 平稳随机信号处理.ppt

    2021-04-23 22:48:16
    平稳随机信号处理图c是用STFT求出的x(n)的联合时频分布后,再求幅平方得到的谱图。该图是三维图形的二维投影,一个轴是时间,一个轴是频率。由该图可以清楚地看到x(n)的时间与频率的关系。 (c) 例2、令 该信号称作...
  • matlab实现的平稳随机信号分析与处理
  • 根据信号通过线性系统可产生新信号的理论,对非平稳确定性信号与非平稳随机信号的统一分类方法进行了深入研究,分别给出格林函数描述的线性时变系统法、调制函数作用于边界稳定线性系统的激振荡正弦波法、随机输入...
  • 最近在做stft的相关算法,发现stft的前提条件是在窗函数内信号必须被认为是平稳随机信号,随机信号的平稳和非平稳有什么区别么?总结如下: 1、首先理解随机信号概念,随机信号理论上讲是不能利用公式复现的,每次...
  • 第6章 平稳随机信号处理与分析 6.1 随机信号及其处理6.1.1 随机信号处理的发展历程 随机信号处理的发展可分为两个阶段: 经典随机信号处理阶段和现代随机信号处理阶段。 第一阶段为经典随机信号理论和技术的生长、...
  • 随机信号分析与处理 相关

    千次阅读 2020-11-01 19:31:08
    参考书 随机变量基础 概率论的基本术语 随机变量的定义 离散随机变量分布 连续随机变量分布
  • 深入研究了信号特征谱表示与平稳随机信号谱分解统一的关系。利用微分算子、积分算子与特征微分方程格林函数的关系,分析了厄尔密特微分算子与厄尔密特积分算子的互逆关系,指出了特征微分方程存在与其对应的特征积分...
  • 2.假设平稳白噪声X(t)通过如图所示的线性系统,试求互相关函数,并画出其图形。 3.利用 matlab 程序设计一正弦型信号加高斯白噪声的复合信号。 (1)分析复合信号的功率谱密度、幅度分布特性; (2)分析复合信号通过...
  • 随机信号分析实验

    2019-01-27 14:16:21
    编写一个产生协方差函数为的平稳高斯过程的程序,产生若干样本函数。估计所产生样本的时间自相关函数和功率谱密度,并求统计自相关函数和功率谱密度,最后将结果与理论值比较。
  • 讨论了一种低信噪比条件下,从平稳随机信号中检测确定性信号的方法。其基本思想是利用信号与噪声在时间相关性上的不同,构造时间相关函数作为一个统计量,进行目标检测。通过计算机仿真,证明了其有效性。
  • 本文的主要内容是随机过程的概念介绍以及均值、方差、协方差和相关函数的计算。
  • 补充资料:平稳随机过程平稳随机过程stationary stochastic process程理论的最重要的一般定理是Birkhoff~X五H可朋遍历定理(Birkhoff一K上inchin ergedic thoo~),按照这个定理,对于任何有数学期望(即E}X(t)}0)的...
  • kkphoon文章中非高斯非平稳随机过程模拟,程序选取的是beta分布,协方差函数为abs(x1-x2),根据该协方差已有的特征函数与特征值给出数值模拟,使用者可以根据自己目标协方差函数,和累计分布函数来更改该程序。...
  • 自相关(autocorrelation),也称为串行相关(serial correlation),是信号与自身的延迟副本之间的相关关系,它是延迟的函数。 非正式地,这是观察之间的相似性,是它们之间时间滞后的函数自相关分析是一种...
  • (2)短时自相关函数 语音信号是非平稳信号,所以对信号的处理都使用短时自相关函数。短时自相关函数是在信号的第N个样本点附近用短时窗截取一段信号,做自相关计算所得的结果 Rm(k)=Σx(n)x(n-k) 式中,n表示窗...
  • 而对于平稳随机信号,我们有三种常用的线性模型。分别是 AR 模型(回归模型 Auto-regression model),MA 模型(滑动平均模型 Moving average model)和 ARMA 模型(回归滑移平均模型 Auto-regression-Moving a
  • 相关函数在数字信号处理中的应用

    千次阅读 2016-10-06 23:22:41
    根据相关函数的几条基本性质,简要分析了相关函数在数字信号处理当中的一些应用。由分析可知,相关函数方法简洁,在数字信号处理中,可以方便地对信号的周期性进行检测,确定未知参数的线性系统的频域响应,检测噪声...
  • 随机信号也称为随机过程、随机函数或随机序列。 确定性信号:如果序列{s(t)}在每个时刻的取值不是随机的,而是服从某种固定函数的关系,则称之为确定性信号。如阶跃信号、符号信号或矩形脉冲等。 随机信号:若序列{...
  • 大三上学期的一门实验课,主要用到matlab软件。文件中包括所有的实验,包括matlab仿真和硬件实施。

空空如也

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平稳随机信号的自相关函数