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  • 向量叉积求平面平行四边形面积
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    2021-05-31 20:38:17

    向量OA(x1,y1),OB(x2,y2)double最多输出12位

    平面叉积坐标表达式:S=x1*y2-x2*y1;要取绝对值哦;

    若为平行四边形:y1=k1*x1+b1;y2=k1*x2+b2;y3=k2*x3+b3;y4=k2*x4+b4;

    则:S=(b4-b3)*(b2-b1)/(k1-k2);注意也要取绝对值;

    例题:

    #include<stdio.h>
    #include<math.h>
    int main(){
    	double k1,k2,b1,b2,b3,b4,price,s,ans;
    	int T;
    	scanf("%d",&T);
    	while(T--){
    		scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&k1,&k2,&b1,&b2,&b3,&b4,&price); 
    	s=(b4-b3)*(b2-b1)/(k1-k2);
    	ans=s*price;
    	ans=fabs(ans); 
    	printf("%.10lf\n",ans);
    	} 
    	return 0;
    } 

          

     

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    题目描述:给一些散点,找出可以构成平行四边形的数量

    输入

    第一行是测试样本个数n<=100

    接下来有n组数据,每组数据第一行是m<=400,表示接下来的点数,接下来有m行,每行有两个整数表示点坐标

    输出

    有n行,每行是每个样本的平行四边形个数

    样例输入

    2
    6
    0 0
    2 0
    4 0
    1 1
    3 1
    5 1
    7
    -2 -1
    8 9
    5 7
    1 1
    4 8
    2 0
    9 8

    样例输出

    5
    6

    提示

    注意四点共线不算平行四边形,使用哈希求解。

    点可能有重复。比如A和A'重复且ABCD是平行四边形,这样算2个。

    提示:平行四边形两对角线中点重合。(中点可转化为坐标和形式,避免因为/2需要引入小数运算)参考课上讲解的寻找正方形个数的代码。

    提供哈希样例:key = (((mid[k].x) * 1000 + (mid[k].y) * 1234) % MD + MD) % MD; (MD=119997)


    首先,讲一下寻找正方形个数的代码:

    简而言之,给出两个点,那么能和这两个点组成正方形的点的位置是一定的,一共有四组。只要在已有点的哈希表里面找有没有这四组点就可以了。由于散列的查找复杂度是O(1),所以复杂度只集中在对点的两两遍历。

    但是在平行四边形查找中,这个思想我一开始尝试了,但不太可行,因为两个点确定的平行四边形,要求另外两个点是平行且长度相等。其实可以类似地,通过三个点来确定平行四边形第四个点的坐标,但这样的时间复杂度就到O(n^3),在OJ里过不了,c

    考虑题目中的提示:平行四边形两对角线中点重合。

    其实差一些平行四边形的算法,用的也大多是这个方法,但是在本题中问题更加复杂:有点重合的情况,而且有平行的情况,这两个情况解决花了大力气。

    最后我的解决方案是:把两俩遍历的中点存入哈希表。平行的情况,通过在每个中点结构体加入成员:斜率k,如果两个中点斜率一样且坐标重合,那么他们是平行线而不是平行四边形。点重合的情况通过在点结构体加入成员int times解决,只要在最后统计累加时,把times乘进去即可。


    代码实现:

    首先是哈希表的实现:

    #define NL 1001
    #define MD 199997
    #define ADD 20010
    
    int hash1[MD];
    
    //输入k,根据p[k]点xy值,把k存入hash1表中对应的桶内
    void hashing(int k) {             // 线性试探法
        int key = (((p[k].x ) * 1000 + (p[k].y) *1234) % MD +MD) % MD;
        while (hash1[key] > 0) key = (key + 1) % MD;
        hash1[key] = k;
    }
    
    //输入po点,根据po找到存在hash1表中的点位置,如果找到且点一样则返回1
    int searching(POINT po) {         // 线性试探法
        int key = (((po.x ) * 1000 + (po.y) *1234) % MD +MD) % MD;
        while (hash1[key] > 0) {
             int t = hash1[key];
             if (p[t].x == po.x && p[t].y == po.y) return 1;
             key = (key + 1) % MD;
        }
        return 0;
    }

    使用哈希样例:key = (((mid[k].x) * 1000 + (mid[k].y) * 1234) % MD + MD) % MD; (MD=119997)

    这里两个函数,一共计算hash值,存入桶内,另一个是查找函数,看桶内是否有该坐标点。

    接下来是定义点结构体:

    struct POINT {
        int x, y;
        int times=1;
    }p[NL];
    
    struct midPOINT { //中点结构体,坐标和斜率
                      //如果坐标、斜率都相同,则是共线四点
        int x, y;
        int times=1;
        double k;
    };
    
    bool cmp(midPOINT a,midPOINT b)
    {
        if(a.x==b.x)
            if(a.y==b.y) 
                return a.k<b.k;
            else return a.y<b.y;
        return a.x<b.x;
    }
    
    vector<midPOINT> midp;//存储中点坐标的向量

    如上所述,中点结构体多了times变量和k变量。

    这里重载了cmp函数,是因为打算用<algorithm>里面的向量排序算法,懒得自己写快速排序了。把中点向量设置为全局变量,是因为方便一些主函数外的函数调用,参数表改得太麻烦了。

    times变量设置为1,每次有重复的点加进来,times++即可;

    void timesadd(POINT po){
        int key = (((po.x ) * 1000 + (po.y) *1234) % MD +MD) % MD;//找到
        while (hash1[key] > 0) {
            int t = hash1[key];
            if (p[t].x == po.x && p[t].y == po.y) {p[t].times++;   return;}
            key = (key + 1) % MD;
        }
    
    }

    这里图方便可以调用上面的searching函数,但考虑到时间复杂度还是重新实现了一遍searching过程。

    最后是主函数:

    int main(){
        int m;
        scanf("%d", &m);
        int *result = new int[m];
        int n;
        for(int ii=0;ii<m;ii++){
            scanf("%d", &n);
            if (!n) break; 
            memset(hash1, -1, sizeof(hash1));
            for (int i = 1; i<=n; i++) {
                scanf("%d%d", &p[i].x, &p[i].y); 
                if(searching(p[i]))   //如果在已有点找到相同点
                {                     //则该点times++
                    timesadd(p[i]);
                    i--;n--;
                }   
                else hashing(i);           //如果没有相同点,则建立散列表
            }
            int sum = 0; midPOINT dr1; //int ok1, ok2;
            for (int i = 1; i<=n; i++) {                               
                for (int j = i + 1; j<=n; j++) {          
                    dr1.y = p[i].y + p[j].y; dr1.x = p[j].x + p[i].x; // 中点坐标*2
                    dr1.k= p[i].x == p[j].x ?(double)MD :((double)p[i].y - (double)p[j].y)/((double)p[i].x - (double)p[j].x);
                    dr1.times=p[i].times*p[j].times;
                    midp.push_back(dr1);
                    //cout<<"point: "<<p[i].x<<","<<p[i].y<<","<<p[i].times<<" "<<p[j].x<<","<<p[j].y<<","<<p[j].times;cout<<endl;
                    //cout<<"midpoint: "<<dr1.x<<","<<dr1.y<<","<<dr1.k<<" ";cout<<endl;
                } 
            }
    
            sort(midp.begin(),midp.end(),cmp);
            // for (int i = 0; i<midp.size(); i++) 
            // {cout<<"point: "<<midp[i].x<<","<<midp[i].y<<","<<midp[i].k<<","<<midp[i].times;cout<<endl;}
            //向量排序、遍历、相同求和
            int num=1,eqnum=1;
            for(int i=0;i<midp.size()-1;i++)
            {
                if(midp[i].x==midp[i+1].x&&midp[i].y==midp[i+1].y) num++;
                else if(num==1) ;
                else
                {   
                   int low=i-num+1,high=i;
                   for(int kk=low;kk<high;kk++)
                        for(int jj=kk+1;jj<=high;jj++)
                            sum+=midp[jj].times*midp[kk].times; 
                   num=1;
    
                }
                if(midp[i].x==midp[i+1].x&&midp[i].y==midp[i+1].y&&midp[i].k==midp[i+1].k)eqnum++;
                else if(eqnum==1) ;
                else
                {
                   int low=i-eqnum+1,high=i;
                   for(int kk=low;kk<high;kk++)
                        for(int jj=kk+1;jj<=high;jj++)
                            sum-=midp[jj].times*midp[kk].times; 
                   eqnum=1;
                }
                //cout<<eqnum<<endl;
                //cout<<"point: "<<midp[i].x<<","<<midp[i].y<<","<<midp[i].k<<","<<midp[i].times<<endl;
                //cout<<"sum: "<<sum<<endl;
            }
            result[ii]=sum;
            midp.clear();
            for(int i = 1; i<=n; i++) p[i].times=1;
        }
        for (int j = 0; j<m; j++) cout<<result[j]<<endl;
        cin>>n;
        return 0;
    }

    第一步,初始化、建立哈希表,更新times值。

    第二部,遍历中点,存入向量;

    第三步,计算平行四边形个数。

    两个难点问题:点重合、平行线,都是在主函数里解决的。

    点重合是在建立哈希表的时候,如果以及存在该点,那么直接times++,不再插入点,而在之后中点和平行四边形下的计算中,times直接取乘积即可。这很容易理解:A点重合x1次,B点重合x2次,那么它们的中点(A+B)(省事儿,不除以二了,结果一样的)一共有x1*x2种组合,与另外的中点(C+D)如果能够组成平行四边形的话,两个中点的times乘积就是平行四边形的组合情况。

    平行线的情况在最后计算统计的for循环里面解决。之前考虑过建立m个重合中点,m1个平行重点情况下的平行四边形个数递推公式,也推出来了,但是后面引入times解决重合点问题后,递推公式就不适用了。所以这里直接用遍历的方式找到多个重合中点的情况下,可能的平行四边形组合个数,平行线的直接在总数里面减去即可。

    相较于不添加times变量,直接遍历计算的方法,使用times在点重合量大的情况下有时间和空间优势。例如n个点,m个重合,那么算法的复杂度是(n-m)^2,m越大优势越明显。当然,劣势是多了个变量,理解起来更困难,在m较小时也增加开销。

    ps:这个代码是jqs老师2021-2022秋季学期数据结构课程OJ作业,如果看到有一样的代码是我本人写的,不是抄袭,老师助教明察。同学们理性参考。

    展开全文
  • 平行四边形的周长公式平行四边形的周长等于(长边(a)+短边(b))乘以2。计算公式L=2*(a+b) ,其中a表示长边,b表示短边,L表示周长,如图所示:如图所示如果知道a,h,和角度α也可以计算出平行四边行的周长,图中b=h/sin...

    平行四边形的周长公式

    平行四边形的周长等于(长边(a)+短边(b))乘以2。计算公式L=2*(a+b) ,其中a表示长边,b表示短边,L表示周长,如图所示:

    1-140611120GR51.jpg

    如图所示如果知道a,h,和角度α也可以计算出平行四边行的周长,图中b=h/sinα,所以L=2*(h/sinα+a),这里计算b用到的时直角三角形的斜边公式。如已知一条直角边和一个锐角,可用直角三角函数计算斜边。sinA=∠A的对边/斜边。

    平行四边形的判定

    1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义判定法);

    2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;

    3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

    4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形;

    5、对角线互相平分的四边形是平行四边形;

    平行四边形的特性

    a.两组对边分别相等.

    b.两组对角分别相等

    c.邻角互补(角度之和为180度)

    d.平行边间的高距离处处相等

    e.平行四边形的对角线互相平分

    f.连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形

    g.平行四边形的面积等于底和高的积(可视为矩形)

    h.过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形

    i.平行四边形是中心对称图形,对称中心是两对角线的交点.

    j.平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份

    k.平行四边形不是轴对称图形,但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是轴对称图形。注:正方形,矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形,三者具有平行四边形的性质。

    l.平行四边形ABCD中(如图)E为AB的中点,则AC和DE互相三等分,一般地,若E为AB上靠近A的n等分点,则AC和DE互相(n+1)等分。

    m.平行四边形ABCD中,AC、BD是平行四边形ABCD的对角线,则各四边的平方和等于对角线的平方和。

    n.平行四边形中,两条在不同对边上的高所组成的夹角,较小的角等于平行四边形中较小的角,较大的角等于平行四边形中较大的角。

    平行四边形的周长计算器

    平行四边形周长计算器

    侧边 (b)

    面积(S)

    计算得出

    底边 (a)

    周长(P)

    计算得出

    高度 (h)

    短对角线

    计算得出

    角 (θ)

    弧度角度ππ/3

    长对角线

    计算得出

    展开全文
  • 运用合作学习进行平行四边形性质的教学尝试.doc
  • 输出平行四边形

    2020-07-25 06:36:21
    //输出平行四边形 public class CopyOfPringRectangle { public static void main(String[] args) { //输出一行空格+星星 for (int i = 1; i <= 5; i++) { //输出一行里的空格 /** * 行i 空格5-i ...
    //输出平行四边形
    public class CopyOfPringRectangle {
    	public static void main(String[] args) {
    		//输出一行空格+星星
    		for (int i = 1; i <= 5; i++) {
    			//输出一行里的空格
    			/**
    			 * 行i 空格5-i
    			 * 第1行4个空格
    			 * 第2行3个空格
    			 * 第3行2个空格
    			 * 第4行1个空格
    			 * 第5行0个空格
    			 */
    			for (int j = 1; j <= 5-i; j++) {
    				System.out.print(" ");
    			}
    			//输出每行里的5列星星
    			for (int j = 1; j <= 5; j++) {
    				System.out.print("*");
    			}
    			//换到下一行
    			System.out.println();
    			
    		}
    	}
    
    }
    
    
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平行四边形个数的数法