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  • 指数平滑(部分)
    2021-09-06 16:53:36

    指数平滑

    一、简单平滑

    1、简单平滑

    最简单的指数平滑方法自然被称为“简单指数平滑”(SES)12。这种方法适用于预测没有明显趋势或季节因素的数据。
    例如,图 中的数据没有显示出任何明确的趋势或季节性因素。
    在这里插入图片描述
    使用朴素预测法,对未来的所有预测都等于该序列的最后一个观测值,
    在这里插入图片描述
    其中 h = 1,2,…因此,朴素预测法假设最近的观测值是唯一重要的观测值,并且之前所有的观测值都不提供未来的信息。这可以看作是一个加权平均值,其中所有的权重都被赋给了最后一次观测值。
    使用平均预测法,所有未来预测值都等于观测数据的简单平均值,
    在这里插入图片描述
    平均预测法假设所有观测值具有同等重要性,并在预测时给予相同的权重。
    我们经常需要的是在这两个极端方法之间的方法。例如,将更大的权重赋到最近的观测值而不是过去的观测值可能是明智的。这正是简单指数平滑背后的原理。预测值使用加权平均值进行计算,其中权重随观测时间的久远程度呈指数型下降 — 最早的观察值被赋予最小的权值:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述是平滑参数。向前一步在这里插入图片描述时刻的预测值是时间系列在这里插入图片描述中所有观察值的加权平均值。权重下降的速度由参数在这里插入图片描述控制。

    2、加权平均形式

    T+ 1时刻的预测值等于最近的观测值Yt和之前的预测值Yt|t+1之间的加权平均值
    在这里插入图片描述

    3、分量形式

    指数平滑法的分量形式表示包括一个预测方程和该方法中包含的每个分量部分的平滑方程。 简单指数平滑的分量形式由下式给
    出:(趋势bt,季节性分量st)lt是时间序列t的级别(或者平滑值)
    在这里插入图片描述

    4、优化

    每个指数平滑方法在应用时都需要选择平滑参数和初始值。特别是对于简单的指数平滑,我们需要选择
    α 和 ℓ0的值。只要我们知道这些值,所有的预测值都可以从数据中计算出来。对于后文提到的方法,通常有多个平滑参数和多个初始分量要选择。在某些情况下,平滑参数可以进行主观选择—预测者根据以前的经验设定平滑参数的值。然而,一种更可靠和客观的获得未知参数值的方法是从观测数据中估计它们。通过最小化残差平方和(通常称为SSE或“误差平方和”)来估计回归模型的系数 。类似地,任何指数平滑方法的未知参数和初始值也可以通过最小化SSE来进行估计。对于t = 1,… T,设定残差为在这里插入图片描述与回归情况(通过公式来返回最小化SSE的回归系数值)不同,指数平滑法涉及到一个非线性的最小化问题,因此我们需要使用优化工具来解决。

    二、趋势法

    2.1霍尔特的线性趋势法

    Holt (1957) 将简单指数平滑法扩展到可以预测具有趋势的数据。该方法包含一个预测方程和两个平滑方程(一个用于水平,一个用于趋势):
    在这里插入图片描述
    其中
    ℓt表示在 t时刻该时间序列的水平的估计值, bt表示该时间序列在 t时刻的趋势(斜率)的估计, α是水平 0≤α≤1 的平滑参数, β∗是趋势 0≤β∗≤1 的平滑参数。

    2.2阻尼趋势方法

    Holt线性方法产生的预测值可以显示出未来的趋势(增加或减少)。经验表明,这些方法通常会产生过度预测,尤其是对于更长远的预测而言。受此启发,Gardner & McKenzie (1985) 引入了一个参数,可以在未来某些时刻“平缓”趋势。包含平缓趋势的方法已被证明是十分成功的,并且可以说是当许多时间系列需要自动预测时最受欢迎的方法。
    在这里插入图片描述
    如果 ϕ=1 ,则该方法与Holt线性方法相同。对于 0 和 1 之间的取值, ϕ 平缓了趋势,使其在将来某个时间接近一个常数。事实上,对于任意 0<ϕ<1 ,随着 h→∞ ,预测值收敛到 ℓT+ϕbT/(1−ϕ) 。这意味着短期预测值有一定的趋势,而长期预测值则保持不变。
    实际上, ϕ 很少小于0.8,因为阻尼对于较小的值具有非常强的影响。 ϕ 的值接近1意味着包含阻尼系数的模型无法与不包含阻尼系数的模型区分开来。由于这些原因,我们通常限定 ϕ 的最小值为0.8,最大值为0.98


    未完…

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    时间序列分解

    大量时间序列的观测样本表现出趋势性、季节性和随机性,或者三者中的其一或其二。于是,我们认为每个时间序列,都可以分为三个部分的叠加

    9813e9cafb2113bdf887c79d482761ca.gif

    其中,T是趋势项,S是季节项,R是随机项。

    上述公式表现了趋势项和季节项是累加的,实际应用场景中,趋势项和季节项可能是累乘的,时间序列可以分解为如下公式

    5fcbe8694e5cacf8bce20ee3e130934e.gif

    实际应用中,随机项R的期望为0,没有规律,并且绝对值不大。所以在应用场景中我们往往省略掉R,R称作噪声。预测公式如下

    4f9819512ff0d7c51c9a3bbef77a996b.gif

    c22fcbcd21e494dee0d38a3aad473495.gif

    一次指数平滑法

    线性回归算法中,每个经验点的权重是一致的,即很早以前的经验数据也可能对预测数据有较大的影响。很多实际场景中,未来一段时间的趋势可能和在最近一段时间的趋势关系更加紧密。比如小明去年数学考试成绩一直不及格,今年连续多次考试90多分,预测小明下一次数学考试的成绩,情理上90多分的可能性更高。采用传统的线性回归算法,预测结果可能是70多分。

    指数平滑法认为越老的经验数据对趋势的影响越小。我们假定时间t的观测值为y(t),时间t的预测值为S(t),则时间t+1的预测值S(t+1)为

    f6e660d63f6f5e5f4c9189c7ddea80e2.gif

    a的取值范围(0, 1),a越大,最近时间点的观测值对预测值的影响越大。

    假设我们有t个经验数据,根据上述一次指数平滑公式,预测值S(t + n) = S(t + 1),预测值不具备趋势。

    二次指数平滑

    我们对一次指数平滑值再进行指数平滑,可以获得趋势。二次指数平滑法的预测模型为:

    4b357eb16af6e90cecde223546eff582.png

    b7fd83390dd1f2d4a4bed95ea6eef0da.png

    268973d037ad85b07e48264e715c388b.png

    式中:

    5108756b403784aee42a81a8a43ff089.png分别为时间t和时间t - 1的二次指数平滑值。

    三次指数平滑

    二次指数模型是线性的,对于非线性趋势预测我们可以使用三次指数平滑法。公式如下

    81cbfafaf899ccb7ce9583ecc7916da8.gif

    b8acbd4e99707ff933ae3ae59cd2ec42.gif

    84fe96b8a9fd9755b9cd8fd1d99cab75.gif

    b6cfff5d2c3d52c292193f10a3f07b42.png

    eae9c00a13b9f7a92d932766d1f4d1c1.png

    Holt-Winters算法

    对于具有周期性的趋势预测,我们可以使用Holt-Winters算法。累乘性Holt-Winters公式如下

    69e61835e980fc07181bd7050125271a.png

    其中,alpha,beta,gamma取值范围为(0, 1),分别表示全局因子,趋势因子,周期性因子中最近时间点数据对预测数据的影响程度。y为经验数据,L为周期。

    37f6fd2c0c4896dceb12dfcc43ba4177.png表示使用t时间点的估计值预测t+m时间点的值。

    注:预测公式中I(t – L + m)应该为I(t – L + 1 +(m – 1) mod L)

    计算步骤

    alpha,beta,gamma,y,L,m已知。

    (1)初始化S0

    S0 = y0

    (2)初始化b0

    b5222c997156b9f15da4951148c41e18.png

    (3)初始化I1, I2, …, IL

    acf157a17baee29436710077a8b74436.png

    (3)计算所有S,b,I

    (4)根据公式预测未来值。其中,t取经验数据最后一个时间点,t+m为预测时间点。

    37f6fd2c0c4896dceb12dfcc43ba4177.png

    累加性Holt-Winters公式

    a200dfed7e5230f3ad0ff0d2d1c3fa6e.png

    f218e7470ea2dac4a847a93cdbfc50cd.png

    Holt-Winters理解

    指数平滑法与Holt-Winters不是建立在理论基础上的,而是一种经验法则。文章开发我们讨论了时间序列的分解,Holt-Winters公式正是把时间序列分解为趋势项和周期项。其中趋势项为线性函数s + mb,周期项为c。这里面趋势项与周期项考虑了指数平滑,即给不同时间点的趋势或者周期性赋予了不同的权重。不过,这里的趋势仅仅是线性趋势,在带有季节性的非线性趋势预测中,效果可能不那么好。

    Holt-Winters的Java实现

    下面的代码实在google上搜索的,预测公式逻辑有问题,没有对季节项进行mod运算,会导致数组越界,有空再修改代码。

    packagecoshaho.learn;public classHoltWinters

    {public static double[] forecast(int[] y, double alpha, doublebeta,double gamma, int period, int m, booleandebug) {if (y == null) {return null;

    }int seasons = y.length /period;double a0 =calculateInitialLevel(y, period);double b0 =calculateInitialTrend(y, period);double[] initialSeasonalIndices =calculateSeasonalIndices(y, period, seasons);if(debug) {

    System.out.println(String.format("Total observations: %d, Seasons %d, Periods %d", y.length,

    seasons, period));

    System.out.println("Initial level value a0: " +a0);

    System.out.println("Initial trend value b0: " +b0);

    printArray("Seasonal Indices: ", initialSeasonalIndices);

    }double[] forecast =calculateHoltWinters(y, a0, b0, alpha, beta, gamma,

    initialSeasonalIndices, period, m, debug);if(debug) {

    printArray("Forecast", forecast);

    }returnforecast;

    }private static double[] calculateHoltWinters(int[] y, double a0, double b0, doublealpha,double beta, double gamma, double[] initialSeasonalIndices, int period, int m, booleandebug) {double[] St = new double[y.length];double[] Bt = new double[y.length];double[] It = new double[y.length];double[] Ft = new double[y.length +m];//Initialize base values

    St[1] =a0;

    Bt[1] =b0;for (int i = 0; i < period; i++) {

    It[i]=initialSeasonalIndices[i];

    }

    Ft[m]= (St[0] + (m * Bt[0])) * It[0];//This is actually 0 since Bt[0] = 0

    Ft[m + 1] = (St[1] + (m * Bt[1])) * It[1];//Forecast starts from period + 2//Start calculations

    for (int i = 2; i < y.length; i++) {//Calculate overall smoothing

    if((i - period) >= 0) {

    St[i]= alpha * y[i] / It[i - period] + (1.0 - alpha) * (St[i - 1] + Bt[i - 1]);

    }else{

    St[i]= alpha * y[i] + (1.0 - alpha) * (St[i - 1] + Bt[i - 1]);

    }//Calculate trend smoothing

    Bt[i] = gamma * (St[i] - St[i - 1]) + (1 - gamma) * Bt[i - 1];//Calculate seasonal smoothing

    if((i - period) >= 0) {

    It[i]= beta * y[i] / St[i] + (1.0 - beta) * It[i -period];

    }//Calculate forecast

    if( ((i + m) >=period) ){

    Ft[i+ m] = (St[i] + (m * Bt[i])) * It[i - period +m];

    }if(debug){

    System.out.println(String.format("i = %d, y = %d, S = %f, Bt = %f, It = %f, F = %f", i,

    y[i], St[i], Bt[i], It[i], Ft[i]));

    }

    }returnFt;

    }/*** See:http://robjhyndman.com/researchtips/hw-initialization/* 1st period's average can be taken. But y[0] works better.

    *

    *@return- Initial Level value i.e. St[1]*/

    private static double calculateInitialLevel(int[] y, intperiod) {/**double sum = 0;

    for (int i = 0; i < period; i++) {

    sum += y[i];

    }

    return sum / period;

    **/

    return y[0];

    }/*** See:http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section4/pmc435.htm*

    *@return- Initial trend - Bt[1]*/

    private static double calculateInitialTrend(int[] y, intperiod){double sum = 0;for (int i = 0; i < period; i++) {

    sum+= (y[period + i] -y[i]);

    }return sum / (period *period);

    }/*** See:http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section4/pmc435.htm*

    *@return- Seasonal Indices.*/

    private static double[] calculateSeasonalIndices(int[] y, int period, intseasons){double[] seasonalAverage = new double[seasons];double[] seasonalIndices = new double[period];double[] averagedObservations = new double[y.length];for (int i = 0; i < seasons; i++) {for (int j = 0; j < period; j++) {

    seasonalAverage[i]+= y[(i * period) +j];

    }

    seasonalAverage[i]/=period;

    }for (int i = 0; i < seasons; i++) {for (int j = 0; j < period; j++) {

    averagedObservations[(i* period) + j] = y[(i * period) + j] /seasonalAverage[i];

    }

    }for (int i = 0; i < period; i++) {for (int j = 0; j < seasons; j++) {

    seasonalIndices[i]+= averagedObservations[(j * period) +i];

    }

    seasonalIndices[i]/=seasons;

    }returnseasonalIndices;

    }private static void printArray(String description, double[] data){

    System.out.println(String.format("******************* %s *********************", description));for (int i = 0; i < data.length; i++) {

    System.out.println(data[i]);

    }

    System.out.println(String.format("*****************************************************************", description));

    }

    }

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