时间序列分解

大量时间序列的观测样本表现出趋势性、季节性和随机性，或者三者中的其一或其二。于是，我们认为每个时间序列，都可以分为三个部分的叠加

其中，T是趋势项，S是季节项，R是随机项。

上述公式表现了趋势项和季节项是累加的，实际应用场景中，趋势项和季节项可能是累乘的，时间序列可以分解为如下公式

实际应用中，随机项R的期望为0，没有规律，并且绝对值不大。所以在应用场景中我们往往省略掉R，R称作噪声。预测公式如下

或

一次指数平滑法

线性回归算法中，每个经验点的权重是一致的，即很早以前的经验数据也可能对预测数据有较大的影响。很多实际场景中，未来一段时间的趋势可能和在最近一段时间的趋势关系更加紧密。比如小明去年数学考试成绩一直不及格，今年连续多次考试90多分，预测小明下一次数学考试的成绩，情理上90多分的可能性更高。采用传统的线性回归算法，预测结果可能是70多分。

指数平滑法认为越老的经验数据对趋势的影响越小。我们假定时间t的观测值为y(t)，时间t的预测值为S(t)，则时间t+1的预测值S(t+1)为

a的取值范围(0, 1)，a越大，最近时间点的观测值对预测值的影响越大。

假设我们有t个经验数据，根据上述一次指数平滑公式，预测值S(t + n) = S(t + 1)，预测值不具备趋势。

二次指数平滑

我们对一次指数平滑值再进行指数平滑，可以获得趋势。二次指数平滑法的预测模型为：

式中：

分别为时间t和时间t - 1的二次指数平滑值。

三次指数平滑

二次指数模型是线性的，对于非线性趋势预测我们可以使用三次指数平滑法。公式如下

Holt-Winters算法

对于具有周期性的趋势预测，我们可以使用Holt-Winters算法。累乘性Holt-Winters公式如下

其中，alpha，beta，gamma取值范围为(0, 1)，分别表示全局因子，趋势因子，周期性因子中最近时间点数据对预测数据的影响程度。y为经验数据，L为周期。

表示使用t时间点的估计值预测t+m时间点的值。

注：预测公式中I(t – L + m)应该为I(t – L + 1 +(m – 1) mod L)

计算步骤

alpha，beta，gamma，y，L，m已知。

(1)初始化S0

S0 = y0

(2)初始化b0

(3)初始化I1, I2, …, IL

(3)计算所有S，b，I

(4)根据公式预测未来值。其中，t取经验数据最后一个时间点，t+m为预测时间点。

累加性Holt-Winters公式

Holt-Winters理解

指数平滑法与Holt-Winters不是建立在理论基础上的，而是一种经验法则。文章开发我们讨论了时间序列的分解，Holt-Winters公式正是把时间序列分解为趋势项和周期项。其中趋势项为线性函数s + mb，周期项为c。这里面趋势项与周期项考虑了指数平滑，即给不同时间点的趋势或者周期性赋予了不同的权重。不过，这里的趋势仅仅是线性趋势，在带有季节性的非线性趋势预测中，效果可能不那么好。

Holt-Winters的Java实现

下面的代码实在google上搜索的，预测公式逻辑有问题，没有对季节项进行mod运算，会导致数组越界，有空再修改代码。

packagecoshaho.learn;public classHoltWinters

{public static double[] forecast(int[] y, double alpha, doublebeta,double gamma, int period, int m, booleandebug) {if (y == null) {return null;

}int seasons = y.length /period;double a0 =calculateInitialLevel(y, period);double b0 =calculateInitialTrend(y, period);double[] initialSeasonalIndices =calculateSeasonalIndices(y, period, seasons);if(debug) {

System.out.println(String.format("Total observations: %d, Seasons %d, Periods %d", y.length,

seasons, period));

System.out.println("Initial level value a0: " +a0);

System.out.println("Initial trend value b0: " +b0);

printArray("Seasonal Indices: ", initialSeasonalIndices);

}double[] forecast =calculateHoltWinters(y, a0, b0, alpha, beta, gamma,

initialSeasonalIndices, period, m, debug);if(debug) {

printArray("Forecast", forecast);

}returnforecast;

}private static double[] calculateHoltWinters(int[] y, double a0, double b0, doublealpha,double beta, double gamma, double[] initialSeasonalIndices, int period, int m, booleandebug) {double[] St = new double[y.length];double[] Bt = new double[y.length];double[] It = new double[y.length];double[] Ft = new double[y.length +m];//Initialize base values

St[1] =a0;

Bt[1] =b0;for (int i = 0; i < period; i++) {

It[i]=initialSeasonalIndices[i];

}

Ft[m]= (St[0] + (m * Bt[0])) * It[0];//This is actually 0 since Bt[0] = 0

Ft[m + 1] = (St[1] + (m * Bt[1])) * It[1];//Forecast starts from period + 2//Start calculations

for (int i = 2; i < y.length; i++) {//Calculate overall smoothing

if((i - period) >= 0) {

St[i]= alpha * y[i] / It[i - period] + (1.0 - alpha) * (St[i - 1] + Bt[i - 1]);

}else{

St[i]= alpha * y[i] + (1.0 - alpha) * (St[i - 1] + Bt[i - 1]);

}//Calculate trend smoothing

Bt[i] = gamma * (St[i] - St[i - 1]) + (1 - gamma) * Bt[i - 1];//Calculate seasonal smoothing

if((i - period) >= 0) {

It[i]= beta * y[i] / St[i] + (1.0 - beta) * It[i -period];

}//Calculate forecast

if( ((i + m) >=period) ){

Ft[i+ m] = (St[i] + (m * Bt[i])) * It[i - period +m];

}if(debug){

System.out.println(String.format("i = %d, y = %d, S = %f, Bt = %f, It = %f, F = %f", i,

y[i], St[i], Bt[i], It[i], Ft[i]));

}

}returnFt;

}/*** See:http://robjhyndman.com/researchtips/hw-initialization/* 1st period's average can be taken. But y[0] works better.

*

*@return- Initial Level value i.e. St[1]*/

private static double calculateInitialLevel(int[] y, intperiod) {/**double sum = 0;

for (int i = 0; i < period; i++) {

sum += y[i];

}

return sum / period;

**/

return y[0];

}/*** See:http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section4/pmc435.htm*

*@return- Initial trend - Bt[1]*/

private static double calculateInitialTrend(int[] y, intperiod){double sum = 0;for (int i = 0; i < period; i++) {

sum+= (y[period + i] -y[i]);

}return sum / (period *period);

}/*** See:http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section4/pmc435.htm*

*@return- Seasonal Indices.*/

private static double[] calculateSeasonalIndices(int[] y, int period, intseasons){double[] seasonalAverage = new double[seasons];double[] seasonalIndices = new double[period];double[] averagedObservations = new double[y.length];for (int i = 0; i < seasons; i++) {for (int j = 0; j < period; j++) {

seasonalAverage[i]+= y[(i * period) +j];

}

seasonalAverage[i]/=period;

}for (int i = 0; i < seasons; i++) {for (int j = 0; j < period; j++) {

averagedObservations[(i* period) + j] = y[(i * period) + j] /seasonalAverage[i];

}

}for (int i = 0; i < period; i++) {for (int j = 0; j < seasons; j++) {

seasonalIndices[i]+= averagedObservations[(j * period) +i];

}

seasonalIndices[i]/=seasons;

}returnseasonalIndices;

}private static void printArray(String description, double[] data){

System.out.println(String.format("******************* %s *********************", description));for (int i = 0; i < data.length; i++) {

System.out.println(data[i]);

}

System.out.println(String.format("*****************************************************************", description));

}

}