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  • 看了以后很受启发,今天我们继续探讨这个话题,并把它拓展到平面等螺旋线长度的计算。卷筒卫生纸卷筒卫生纸的长度该如何计算呢?李永乐老师是从侧面积的计算入手来解决问题的。卫生纸有两个相同的侧面,形状都是...

    前一段时间看了李永乐老师的视频,谈到了卷筒卫生纸长度的计算方法。看了以后很受启发,今天我们继续探讨这个话题,并把它拓展到平面等距螺旋线长度的计算。

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    卷筒卫生纸

    卷筒卫生纸的长度该如何计算呢?李永乐老师是从侧面积的计算入手来解决问题的。卫生纸有两个相同的侧面,形状都是圆环,计算这个圆环的面积很简单,套用公式就行了。请看圆环的面积计算公式:

    S=π(R²-r²)

    这个公式就是说一个圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积。公式中的S代表圆环面积,R是外圆半径,r是内圆半径。

    卫生纸可以展开拉直,这时它的侧面形状从圆环变成了一个长方形,长方形的长就是我们想知道的未知数L:卫生纸的长度,宽就是卫生纸的厚度。在这个变形过程中,侧面形状虽然从圆环变成了长方形,但是面积不变,于是可以根据这个等量关系列方程求L:

    π(R²-r²)=L·W

    方程式中的W代表长方形的宽。把方程式变形一下:

    L=S/W 【S=π(R²-r²)】

    所以,只有知道了卫生纸外圆、内圆和厚度这三个数据,就能够求出长度L。

    其实,这个问题的本质是求平面等距螺旋线的长度。

    先看看我们在生活中遇到的这种螺旋线。

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    一盘蚊香

    生活中很常见的蚊香就是平面等距螺旋线的实物化。这种螺旋线的长度应该怎么计算呢?我们的思路是从简单到复杂,从易到难。先谈谈怎么计算同心圆的周长。请看下图:

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    等距同心圆

    这个同心圆的周长计算很简单,把每个圆的周长算出来再相加就完事了。下图是我们在生活中常见的同心圆的实物化形象。

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    飞镖靶盘

    同心圆可以转化为螺旋线。请看下图:

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    一组等距同心圆变形为两条等距螺旋线

    从上图可以很直观地看出,一条通过圆心的直线将同心圆分为上下两部分,将下半部分平移一个螺距,我们就得到了两条等距螺旋线。平移后的结果可以展示为很形象的具体实物,请看下图:

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    两盘蚊香

    再看一下软件绘制平面等距螺旋线的绘图过程,请看下图:

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    图1

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    AI绘制等距螺旋线

    Adobe illustrator,常被称为“AI”,是一个矢量图创作软件。看了上图,对我们探索平面等距螺旋线长度的计算方法很有启发。

    明白了同心圆能够变换为螺旋线,一个最简单有力的计算方法呼之欲出:一条平面等距螺旋线的长度=对应的一组同心圆的周长之和的一半。换句话说,所求螺旋线长度=对应同心圆半圆弧长之和。

    如果掌握了计算卷筒卫生纸长度的方法,那么计算快递粘胶带、电工常用的绝缘粘胶带、卷筒运输皮带等的长度也不在话下。

    一组等距同心圆中,相邻两个圆的半径之差如果称为螺距,那么同心圆变形而成的等距螺旋线相邻两圈的半径之差也称为螺距。

    计算卷筒卫生纸的长度这个问题的本质是求平面等距螺旋线的长度。这条螺旋线的螺距就是卫生纸的厚度。卫生纸的侧面是圆环,圆环的内外圆半径之差称为环宽。卫生纸在内芯芯筒上绕一圈,也就是旋转360°可以称为一圈或是一匝。环宽=螺距×匝数。环宽和螺距都是已知数,那么匝数也能够算出来了。

    一匝的螺旋线长度等于两个半圆的弧长之和,这两个半圆的半径之差是一个螺距。匝数增加就是螺距增加,从1个螺距到n个螺距,就是一个等差数列,公差是螺距。

    下面我们来看一道例题,实际计算一卷包装卷膜的长度。请看下图:

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    自动包装机使用的光电卷膜

    假设这卷膜的圆环形横截面内圆半径是5cm,外圆半径是23.112cm,卷膜厚度是0.008cm,求卷膜长度是多少米?

    我们用Excel来计算。环宽=外圆半径-内圆半径=23.112-5=18.112(cm),螺距=卷膜厚度=0.008(cm)

    第一个半圆周长到第四个半圆周长(cm)分别是15.70796, 15.7331, 15.75823 ,15.78336。第2265个半圆周长是72.6084893267948,求和为100018.3825(cm),约等于1000米。把这2265个半圆依从小到大的顺序连续地缠绕在内芯卷筒上,就是这卷光电膜的实际长度。

    这圈膜以三面封的形式制袋,按每个小袋袋长9.5cm计算,可以制100000÷9.5=10526.3158袋。这卷膜用了一部分没有用完,我们想知道还剩余多少米的长度,那么可以测量环宽,在刚才编制的Excel表格中查找数据,就能够知道卷膜的长度了。

    补充一个计算卷膜长度的简单方法。请看下图:

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    塑料材质简介

    在图中查看你要计算的卷膜是什么材质,相应的比重是多少。下图对你的判断可能有帮助。

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    常见塑料袋的材质

    只要知道了卷膜的比重,就可以称重量计算体积,算出体积就自然能够求出卷膜的长度了。

    更简单的方法是称卷膜的毛重,即卷膜本身重量加上内芯卷筒的重量,再减去内芯卷筒的重量得到卷膜的净重。卷膜的净重和卷膜长度成比例,用这个比例就能够计算出卷膜长度。

    在测量环宽时,必须找准圆心,否则测量数据不准确导致计算出现较大误差。现在补充介绍一个知识点:已知一个弓形,如何找圆心,计算半径、圆心角、弧长和面积等。请看下图:

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    图中黄色部分就是弓形

    圆的一条弦把圆分割为两个部分,只要这条弦不是直径,那么这两部分面积不相等,包含圆心的那部分是个弓形,由一段优弧和弦组成;不包含圆心的那部分,是我们最常见的弓形,由一段劣弧和弦组成。一般而言,我们所指的弓形,就是不包含圆心的那个弓形。

    相关计算公式见下图:

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    弓形相关数据计算公式

    图上的弓形,如果我们知道弦长s和高度h,就能够求出圆的半径。计算的依据是圆的相交弦定理。

    设P是圆内一点,弦AB和弦CD相交于点P,则有AP·PB=CP·PD

    请看下图:

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    弓形已知弦长和高度找圆心计算半径示意图

    在弓形CED中,已知弦长CD和高度EF,就可以求出半径R。直径BE垂直平分弦CD,根据相交弦定理,CF·FD=EF·FB,如果我们设圆的半径为R,弦CD的长度为B=2A,弓形高度EF为h,则可以推导出计算半径的公式:

    A²=h(2R-h)=2Rh-h² ∴R=(A²+h²)/2h

    计算实例如下:

    1114533bb188838ee693bc1486322a90.png

    计算实例

    如图,已知弓形AHB的弦长AB=16,高度CH=4,代入公式计算可得

    R=(8²+4²)/2·4=80÷8=10

    设:弓形的弦长为b,弓形的高为h, 半径为: R, 弧长为: L, 圆心角为: θ,
    计算圆心角的公式为:
    θ=4arctan(2h/b).(单位为:弧度).

    计算弧长的公式为:
    L=2πR*( θ/360)

    弧度和角度的转换公式:

    弧度记为rad,角度记为deg,1πrad=180°,2πrad=360°

    1rad=180°/π(约等于57.29577951°)

    公式见下图:

    18526b084481d64c62a5ea7d00102ee3.png

    角度和弧度转换公式

    计算举例:

    31°6′等于多少弧度?

    一度=60分,1分=60秒,π弧度=180°,所以

    31°6′=[31/180+6/(180×60)]π

    =311π/1800(弧度)

    科学尚未普及,媒体还需努力。感谢阅读,再见。

    展开全文
  • 看了以后很受启发,今天我们继续探讨这个话题,并把它拓展到平面等螺旋线长度的计算。卷筒卫生纸卷筒卫生纸的长度该如何计算呢?李永乐老师是从侧面积的计算入手来解决问题的。卫生纸有两个相同的侧面,形状都是...

    前一段时间看了李永乐老师的视频,谈到了卷筒卫生纸长度的计算方法。看了以后很受启发,今天我们继续探讨这个话题,并把它拓展到平面等距螺旋线长度的计算。

    9aa6ebaad50f98c2c67056f9746a0c30.png

    卷筒卫生纸

    卷筒卫生纸的长度该如何计算呢?李永乐老师是从侧面积的计算入手来解决问题的。卫生纸有两个相同的侧面,形状都是圆环,计算这个圆环的面积很简单,套用公式就行了。请看圆环的面积计算公式:

    S=π(R²-r²)

    这个公式就是说一个圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积。公式中的S代表圆环面积,R是外圆半径,r是内圆半径。

    卫生纸可以展开拉直,这时它的侧面形状从圆环变成了一个长方形,长方形的长就是我们想知道的未知数L:卫生纸的长度,宽就是卫生纸的厚度。在这个变形过程中,侧面形状虽然从圆环变成了长方形,但是面积不变,于是可以根据这个等量关系列方程求L:

    π(R²-r²)=L·W

    方程式中的W代表长方形的宽。把方程式变形一下:

    L=S/W 【S=π(R²-r²)】

    所以,只有知道了卫生纸外圆、内圆和厚度这三个数据,就能够求出长度L。

    其实,这个问题的本质是求平面等距螺旋线的长度。

    先看看我们在生活中遇到的这种螺旋线。

    354432187526eb25d1a46c22b0b028ca.png

    一盘蚊香

    生活中很常见的蚊香就是平面等距螺旋线的实物化。这种螺旋线的长度应该怎么计算呢?我们的思路是从简单到复杂,从易到难。先谈谈怎么计算同心圆的周长。请看下图:

    9d8a0de5784e4199d987eeb44727343f.png

    等距同心圆

    这个同心圆的周长计算很简单,把每个圆的周长算出来再相加就完事了。下图是我们在生活中常见的同心圆的实物化形象。

    c61fd6ac0c83206f3a82100d6fc9babb.png

    飞镖靶盘

    同心圆可以转化为螺旋线。请看下图:

    e855cd8a38a2537d02bfcfd4a3d6309a.png

    一组等距同心圆变形为两条等距螺旋线

    从上图可以很直观地看出,一条通过圆心的直线将同心圆分为上下两部分,将下半部分平移一个螺距,我们就得到了两条等距螺旋线。平移后的结果可以展示为很形象的具体实物,请看下图:

    a94504d9de11c3a2d3f85f1ab018cba5.png

    两盘蚊香

    再看一下软件绘制平面等距螺旋线的绘图过程,请看下图:

    e10ecb9886eafd9caf46df6ffa5d547c.png

    图1

    a58af8f7ceb26afbeb7220e201ba2cb8.png

    AI绘制等距螺旋线

    Adobe illustrator,常被称为“AI”,是一个矢量图创作软件。看了上图,对我们探索平面等距螺旋线长度的计算方法很有启发。

    明白了同心圆能够变换为螺旋线,一个最简单有力的计算方法呼之欲出:一条平面等距螺旋线的长度=对应的一组同心圆的周长之和的一半。换句话说,所求螺旋线长度=对应同心圆半圆弧长之和。

    如果掌握了计算卷筒卫生纸长度的方法,那么计算快递粘胶带、电工常用的绝缘粘胶带、卷筒运输皮带等的长度也不在话下。

    一组等距同心圆中,相邻两个圆的半径之差如果称为螺距,那么同心圆变形而成的等距螺旋线相邻两圈的半径之差也称为螺距。

    计算卷筒卫生纸的长度这个问题的本质是求平面等距螺旋线的长度。这条螺旋线的螺距就是卫生纸的厚度。卫生纸的侧面是圆环,圆环的内外圆半径之差称为环宽。卫生纸在内芯芯筒上绕一圈,也就是旋转360°可以称为一圈或是一匝。环宽=螺距×匝数。环宽和螺距都是已知数,那么匝数也能够算出来了。

    一匝的螺旋线长度等于两个半圆的弧长之和,这两个半圆的半径之差是一个螺距。匝数增加就是螺距增加,从1个螺距到n个螺距,就是一个等差数列,公差是螺距。

    下面我们来看一道例题,实际计算一卷包装卷膜的长度。请看下图:

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    自动包装机使用的光电卷膜

    假设这卷膜的圆环形横截面内圆半径是5cm,外圆半径是23.112cm,卷膜厚度是0.008cm,求卷膜长度是多少米?

    我们用Excel来计算。环宽=外圆半径-内圆半径=23.112-5=18.112(cm),螺距=卷膜厚度=0.008(cm)

    第一个半圆周长到第四个半圆周长(cm)分别是15.70796, 15.7331, 15.75823 ,15.78336。第2265个半圆周长是72.6084893267948,求和为100018.3825(cm),约等于1000米。把这2265个半圆依从小到大的顺序连续地缠绕在内芯卷筒上,就是这卷光电膜的实际长度。

    这圈膜以三面封的形式制袋,按每个小袋袋长9.5cm计算,可以制100000÷9.5=10526.3158袋。这卷膜用了一部分没有用完,我们想知道还剩余多少米的长度,那么可以测量环宽,在刚才编制的Excel表格中查找数据,就能够知道卷膜的长度了。

    补充一个计算卷膜长度的简单方法。请看下图:

    cc0b130a36bfff9cbb34eb41d1ab0191.png

    塑料材质简介

    在图中查看你要计算的卷膜是什么材质,相应的比重是多少。下图对你的判断可能有帮助。

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    常见塑料袋的材质

    只要知道了卷膜的比重,就可以称重量计算体积,算出体积就自然能够求出卷膜的长度了。

    更简单的方法是称卷膜的毛重,即卷膜本身重量加上内芯卷筒的重量,再减去内芯卷筒的重量得到卷膜的净重。卷膜的净重和卷膜长度成比例,用这个比例就能够计算出卷膜长度。

    在测量环宽时,必须找准圆心,否则测量数据不准确导致计算出现较大误差。现在补充介绍一个知识点:已知一个弓形,如何找圆心,计算半径、圆心角、弧长和面积等。请看下图:

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    图中黄色部分就是弓形

    圆的一条弦把圆分割为两个部分,只要这条弦不是直径,那么这两部分面积不相等,包含圆心的那部分是个弓形,由一段优弧和弦组成;不包含圆心的那部分,是我们最常见的弓形,由一段劣弧和弦组成。一般而言,我们所指的弓形,就是不包含圆心的那个弓形。

    相关计算公式见下图:

    94c86528f35536bd0713d24b88f14e4c.png

    弓形相关数据计算公式

    图上的弓形,如果我们知道弦长s和高度h,就能够求出圆的半径。计算的依据是圆的相交弦定理。

    设P是圆内一点,弦AB和弦CD相交于点P,则有AP·PB=CP·PD

    请看下图:

    afc9d07d0950f7e1f4736493284a1f78.png

    弓形已知弦长和高度找圆心计算半径示意图

    在弓形CED中,已知弦长CD和高度EF,就可以求出半径R。直径BE垂直平分弦CD,根据相交弦定理,CF·FD=EF·FB,如果我们设圆的半径为R,弦CD的长度为B=2A,弓形高度EF为h,则可以推导出计算半径的公式:

    A²=h(2R-h)=2Rh-h² ∴R=(A²+h²)/2h

    计算实例如下:

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    计算实例

    如图,已知弓形AHB的弦长AB=16,高度CH=4,代入公式计算可得

    R=(8²+4²)/2·4=80÷8=10

    设:弓形的弦长为b,弓形的高为h, 半径为: R, 弧长为: L, 圆心角为: θ,
    计算圆心角的公式为:
    θ=4arctan(2h/b).(单位为:弧度).

    计算弧长的公式为:
    L=2πR*( θ/360)

    弧度和角度的转换公式:

    弧度记为rad,角度记为deg,1πrad=180°,2πrad=360°

    1rad=180°/π(约等于57.29577951°)

    公式见下图:

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    角度和弧度转换公式

    计算举例:

    31°6′等于多少弧度?

    一度=60分,1分=60秒,π弧度=180°,所以

    31°6′=[31/180+6/(180×60)]π

    =311π/1800(弧度)

    科学尚未普及,媒体还需努力。感谢阅读,再见。

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  • 气象统计常用公式

    2020-06-18 15:37:40
    气象统计常用公式Chapter2 气象资料及其表示方法1. 方差2. 标准差3. 变率4. 变差系数5. 标准化变量6. 数据矩阵7. 均值向量8. 协方差9. 协方差矩阵(离差积矩阵)10.... 峰度系数Chapter3 选择最大信息的预报... 累积距平3.

    Chapter2 气象资料及其表示方法

    1. 方差

    sx=1nt=1n(xtx)2t=1,2,3,,n=1nxxTx \begin{aligned} s_x &= \frac{1}{n} \sum_{t = 1}^n(x_t-\overline{x})^2 \quad t = 1,2,3,\cdots,n \\ &= \frac{1}{n}x^{'} x^{'T} \quad x^{'}表示距平向量 \end{aligned}

    2. 标准差

    sx=1nt=1n(xtx)2t=1,2,3,,n \begin{aligned} s_x = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{t = 1}^n(x_t-\overline{x})^2} \quad t = 1,2,3,\cdots,n \end{aligned}

    3. 变率

    • 绝对变率

    Va=1nt=1nxtxt=1,2,3,,n \begin{aligned} V_a = \frac{1}{n} \sum_{t = 1}^n|x_t-\overline{x}| \quad t = 1,2,3,\cdots,n \end{aligned}

    • 相对变率

    Vr=Vax \begin{aligned} V_r = \frac{V_a}{\overline{x}} \end{aligned}

    4. 变差系数

    Vp=sxx=1x1nt=1n(xtx)2 \begin{aligned} V_p &= \frac{s_x}{\overline{x}} \\ &= \frac{1}{\overline{x}} \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{t = 1}^n(x_t - \overline{x})^2} \end{aligned}

    5. 标准化变量

    x=xxsxE(x)=0,Var(x)=1 \begin{aligned} x^{\star} = \frac{x-\overline{x}}{s_x} \\ 易得:E(x^{\star}) = 0,\, Var(x^{\star}) = 1 \end{aligned}

    6. 数据矩阵

    mXn=[x11x12x1nx21x22x2nxm1xm2xmn]=(x1,x2,,xn)=(xt)t=1,2,3,,nnm()() _mX_n = \left[ \begin{matrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ x_{m1} & x_{m2} & \cdots & x_{mn} \end{matrix} \right] = (x_1, x_2,\cdots,x_n) = (x_t) \quad t = 1,2,3,\cdots,n \\ 该矩阵表示n个样本的m个要素,即行表示一个要素(变量),列表示一个观测(样本)
    xt=(x1t,x2t,,xmt)Ttm x_t = (x_{1t}, x_{2t},\cdots,x_{mt})^T \quad 第t个样本的m个要素向量

    7. 均值向量

    x=(x1,x2,,xm)Txi=1nt=1nxit(t=1,2,3,,n.i=1,2,3,,m) \begin{aligned} \overline{x} &=(\overline{x_1},\overline{x_2},\cdots,\overline{x_m})^T \\ \overline{x_i} &= \frac{1}{n} \sum_{t = 1}^nx_{it} \quad (t = 1,2,3,\cdots,n. \quad i = 1,2,3,\cdots,m) \end{aligned}

    8. 协方差

    sij=1nt=1n(xitxi)(xjtxj)=1nt=1nxitxjtxixj=1nt=1nxitxjt=1nxixj \begin{aligned} s_{ij} &= \frac{1}{n} \sum_{t = 1}^n(x_{it} - \overline{x_i})(x_{jt} - \overline{x_j}) \\ &= \frac{1}{n} \sum_{t = 1}^n x_{it}x_{jt} - \overline{x_i} \overline{x_j} \\ &= \frac{1}{n} \sum_{t = 1}^n x_{it}^{'}x_{jt}^{'} \quad距平形式 \\ &= \frac{1}{n}x_i x_j \quad向量形式,距平向量的内积 \end{aligned}

    9. 协方差矩阵(离差积矩阵)

    SS=(ssij)(i,j=1,2,,m):ssij=t=1n(xitxi)(xjtxj):S=1n1SS \begin{aligned} SS &= (ss_{ij}) \quad (i,j = 1,2,\cdots,m) \\ 其中:ss_{ij} &= \sum_{t = 1}^n(x_{it} - \overline{x_i})(x_{jt} - \overline{x_j}) \\ 总体协方差矩阵的无偏估计:S &= \frac{1}{n-1}SS \end{aligned}

    10. 偏度系数

    • 老师PPT里的公式

    g1=16ni=1n(xixs)3 \begin{aligned} g_1 = \sqrt{\frac{1}{6n}} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_i - \overline{x}}{s}\right)^3 \end{aligned}

    • 概率论课本的公式

    βs=ν3ν23/2νkk \begin{aligned} \beta_s = \frac{\nu_3}{\nu_2^{3/2}} \quad \nu_k表示样本k阶中心距 \end{aligned}

    11. 峰度系数

    • 老师PPT里的公式

    g2=124n[1ni=1n(xixs)43] \begin{aligned} g_2 = \sqrt{\frac{1}{24n}} \left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_i - \overline{x}}{s}\right)^4 - 3 \right] \end{aligned}

    • 概率论课本的公式

    βk=ν4ν223 \begin{aligned} \beta_k = \frac{\nu_4}{\nu_2^2} - 3 \end{aligned}

    Chapter3 选择最大信息的预报因子

    1. 样本值对总体值的抽样误差

    E(xm)2=E(xm)2nμx2=σ2n \begin{aligned} E(\overline{x} - m)^2 &= \frac{E(x - m)^2}{n} \\ \mu_x^2 = \frac{\sigma^2}{n} \end{aligned}

    2. 条件概率

    P(AB)=P(AB)P(B) \begin{aligned} P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \end{aligned}

    • A与B相互独立
      P(AB)=P(A)P(B) P(AB) = P(A)P(B)

    3. 二项分布

    Pn(m)=Cnmpm(1p)mnCnm=n!m!(nm)! \begin{aligned} P_n(m) &= C_n^m p^m (1-p)^{m-n} \\ 其中 C_n^m &= \frac{n!}{m!(n-m)!} \end{aligned}

    4. 简单相关系数

    rxy=sxysxsy=1ni=1n(xix)(yiy)1ni=1n(xix)21ni=1n(yiy)2=i=1nxiyinxy1ni=1n(xix)21ni=1n(yiy)2=1ni=1nxiyi1ni=1n(xi)21ni=1n(yi)2 \begin{aligned} r_{xy} &= \frac{s_{xy}}{s_x s_y} \\ &= \frac{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n(x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})}{\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n(x_i - \overline{x})^2} \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n(y_i - \overline{y})^2}} \\ &= \frac{\sum_{i = 1}^nx_i y_i - n \overline{x} \cdot \overline{y}}{\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n(x_i - \overline{x})^2} \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n(y_i - \overline{y})^2}} \\ &= \frac{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n x_i^{'} y_i^{'}}{\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n(x_i^{'})^2} \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n (y_i^{'})^2}} \end{aligned}

    5. 自相关系数

    r(j)=s(j)s2=1s21njt=1nj(xtx)(xt+jx)s2,t=1,2,,nj \begin{aligned} r(j) &= \frac{s(j)}{s^2} \\ &= \frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{n-j} \sum_{t=1}^{n-j}(x_t - \overline{x})(x_{t+j} - \overline{x}) \\ &其中s^2为该序列的方差, t=1,2, \cdots, n-j \end{aligned}

    6. 落后交叉相关系数

    rxy(j)=sxy(j)sxsy=1sxsy1njt=1nj(xtx)(yt+jy)sx,syxy,t=1,2,,nj \begin{aligned} r_{xy}(j) &= \frac{s_{xy}(j)}{s_xs_y} \\ &=\frac{1}{s_xs_y} \cdot \frac{1}{n-j} \sum_{t=1}^{n-j}(x_t - \overline{x})(y_{t+j} - \overline{y}) \\ &其中s_x,s_y分别为序列x和y的标准差, t=1,2, \cdots, n-j \end{aligned}

    7. 偏相关系数

    3R3=[rDDrDJrDFrJDrJJrJFrFDrFJrFF]D12,J1,F2 _3R_3 = \left[ \begin{matrix} r_{DD} & r_{DJ} & r_{DF} \\ r_{JD} & r_{JJ} & r_{JF}\\ r_{FD} & r_{FJ} & r_{FF} \end{matrix} \\ \right] \\ 其中D为12月, J为1月, F为2月

    rDJF=RDJRDDRJJrDFJ=RDFRDDRFF \begin{aligned} r_{DJ \cdot F} &= -\frac{R^{\star}_{DJ}}{\sqrt{R^{\star}_{DD}R^{\star}_{JJ}}} \\ r_{DF \cdot J} &= -\frac{R^{\star}_{DF}}{\sqrt{R^{\star}_{DD}R^{\star}_{FF}}} \\ \end{aligned}

    Chapter4 回归分析

    1. 一元线性回归

    • 回归系数

    b=(nxyi=1nxiyi)/(nx2i=1nxi2)=sxy/sx2a=ybx \begin{aligned} b &= (n\overline{x} \cdot \overline{y} - \sum_{i=1}^nx_iy_i) \, / \, (n\overline{x}^2 - \sum_{i=1}^n x_i^2) \\ &= s_{xy}/s_x^2 \\ a &= \overline{y} - b \cdot \overline{x} \end{aligned}

    • 反映回归效果的统计量

      • 离差平方和
        Syy=t=1n(yty)2 \begin{aligned} S_{yy} = \sum_{t=1}^{n}(y_t - \overline{y})^2 \end{aligned}

      • 回归平方和
          也称为可解释平方和或者回归方差
        U=t=1n(y^ty)2 \begin{aligned} U = \sum_{t=1}^{n}(\hat{y}_t - \overline{y})^2 \end{aligned}

      • 残差平方和
          也称为不可解释平方和或者剩余方差
        Q=t=1n(yty^t)2 \begin{aligned} Q = \sum_{t=1}^{n}(y_t - \hat{y}_t)^2 \end{aligned}

      • 判决系数
        R2=USyy=rxy2 \begin{aligned} R^2 = \frac{U}{S_{yy}} = r_{xy}^2 \end{aligned}

    • 回归系数与相关系数的关系
      b=sxysx2=sysxysxsxsy=sysxrxy \begin{aligned} b = \frac{s_{xy}}{s_x^2} = \frac{s_ys_{xy}}{s_xs_xs_y} = \frac{s_y}{s_x}r_{xy} \end{aligned}

    • 回归方程的显著性检验(F检验)
      F=U/mQ/(nm1)F=rxy2/m(1rxy2)/(nm1)(m,nm1)F \begin{aligned} F &= \frac{U/m}{Q/(n-m-1)} \quad或\\ F &= \frac{r_{xy}^2/m}{(1-r_{xy}^2)/(n-m-1)}\\ 服&从自由度为(m, n-m-1)的F分布 \end{aligned}

    2. 多元线性回归

    • 回归系数

    b=(XTX)1XTY \begin{aligned} b = (X^TX)^{-1}X^TY \end{aligned}

    • 复相关系数
      R=1QSyy=USyyQUSyy线 \begin{aligned} R = \sqrt{1 - \frac{Q}{S_{yy}}} = \sqrt{\frac{U}{S_{yy}}} \quad此处Q、U、S_{yy}均与一元线性回归的定义一致 \end{aligned}

    • 多元线性回归方程的检验统计量
      F=U/mQ/(nm1)F=R2/m(1R2)/(nm1)(m,nm1)F \begin{aligned} F &= \frac{U/m}{Q/(n-m-1)} \quad 或\\ F &= \frac{R^2/m}{(1-R^2)/(n-m-1)}\\ 服&从自由度为(m, n-m-1)的F分布 \end{aligned}

    • 方差贡献
      Qi=bi2cii \begin{aligned} Q_i = \frac{b_i^2}{c_{ii}} \end{aligned}

    • 预报因子的显著性检验

    Fi=QiQ/(nm1)=bi2/ciiQ/(nm1)(1,nm1)F \begin{aligned} F_i &= \frac{Q_i}{Q/(n-m-1)} = \frac{b_i^2 / c_{ii} }{Q/(n-m-1)} \\ 服&从自由度为(1, n-m-1)的F分布 \end{aligned}

    Chapter5 气候趋势分析

    1. 滑动平均

    xj^=1ki=1kxi+j1(j=1,2,,nk+1)k \begin{aligned} \hat{x_j} &=\frac{1}{k} \sum_{i=1}^k x_{i+j-1} \quad (j=1,2,\cdots,n-k+1)\\ &k为滑动长度,一般取奇数 \end{aligned}

    2. 累积距平

    xt^=i=1t(xix)(t=1,2,,n) \begin{aligned} \hat{x_t}= \sum_{i=1}^t (x_i - \overline{x}) \quad (t=1,2,\cdots,n) \end{aligned}

    3. 五、七、九点二次平滑

    • 五点平滑
      x^i2=135(3xi2+12xi1+17xi+12xi+13xi+2) \begin{aligned} \hat{x}_{i-2} = \frac{1}{35}(-3x_{i-2} + 12x_{i-1} +17x_{i} + 12x_{i+1} - 3x_{i+2}) \end{aligned}

    • 七点平滑

    x^i3=121(2xi3+3xi2+6xi1+7xi+6xi+1+3xi+22xi+3) \begin{aligned} \hat{x}_{i-3} = \frac{1}{21}(-2x_{i-3} + 3x_{i-2} + 6x_{i-1} + 7x_{i} + 6x_{i+1} + 3x_{i+2} - 2x_{i+3}) \end{aligned}

    • 九点平滑

    x^i4=1231(21xi4+14xi3+39xi2+54xi1+59xi+54xi+1+39xi+2+14xi+321xi+4) \begin{aligned} \hat{x}_{i-4} = \frac{1}{231}(-21x_{i-4} + 14x_{i-3} + 39x_{i-2} + 54x_{i-1} + 59x_{i} + 54x_{i+1} + 39x_{i+2} + 14x_{i+3} - 21x_{i+4}) \end{aligned}

    展开全文
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    在上一篇文章中,我们介绍了 Matlab 中 FFT 计算的表达式和基本操作。

    其中最值得注意的就是「指标的习惯」

    我们也介绍了 FFT 可以用来帮助我们快速计算「傅里叶系数的数值近似」

    不过这部分内容讲的不够详细,因此本文先对此进行一部分的补充。

    回顾

    equation?tex=2+%5Cpi 周期函数傅里叶系数的计算

    equation?tex=%5Chat+f+%28k%29+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2+%5Cpi%7D%5Cint_0%5E+%7B2+%5Cpi%7D+f%28y%29+e%5E%7B-iky%7D+dy+%5C%5C

    将积分区间

    equation?tex=%5B0%2C+2+%5Cpi%5D 进行等距剖分

    equation?tex=y_j+%3D+%5Cfrac%7B2+%5Cpi+%28j-1%29%7D%7BN%7D%2C%5Cquad+j+%3D+1%2C2%2C%5Ccdots%2C+N+%5C%5C

    使用矩形公式(梯形公式同理)进行数值离散

    equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5Csum_%7Bj+%3D+1%7D%5EN+f%28y_j%29e%5E%7B-iky_j%7D+%5C%5C

    重点

    周期函数

    equation?tex=f
    「采样」「取左端点不取右端点」

    该部分的「主题」是详细测试一下:

    Matlab 中 FFT 在使用的过程中的结果是否和我预想相同。

    如果不同,我需要调整一下自己对 DFT 的理解。

    混叠效应

    如果我们的「采样频率低于两倍的目标频率」的话,将会发生混叠效应。

    我们从离散傅里叶变换的公式上来看一下这个性质

    equation?tex=Y_k+%3D+%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5E%7Bn%7D+X_j+%5Cexp+%5Cleft%28-i%28k-1%29y_j%5Cright%29+%5C%5C

    其中

    equation?tex=X_j+%3D+f%28%5Cfrac%7B2%28j-1%29+%5Cpi%7D%7BN%7D%29+%5C%5C

    所以对于下面两个周期函数

    equation?tex=f_1
    equation?tex=f_2 它们的采样
    equation?tex=X 是相同的。

    equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+%26f_1%28x%29+%3D+%5Csin+%28kx%29%5C%5C+%26f_2%28x%29+%3D+%5Csin%28%28k%2BN%29x%29+%5Cend%7Baligned%7D+%5C%5C

    「具体的例子」如下,取

    equation?tex=N%3D8

    2cbc9e1ca8fcabe5805b8ef977ef3f3f.png

    灰色的线条为

    equation?tex=%5Csin%289x%29,蓝色的线条为
    equation?tex=%5Csin%28x%29

    「等距采样节点」(红色点)来看,我们无法区分两者。

    所以,从这个角度,我们采样频率应该至少等于目标频率。那为什么要两倍呢?

    比如,对于周期函数

    equation?tex=f%28x%29+%3D+%5Cexp%2830ix%29%2B%5Cexp%28-10ix%29+%5C%5C

    我们在

    equation?tex=%5B0%2C2+%5Cpi%29 上采样 40 个点,即取
    equation?tex=N+%3D+40 ,通过

    equation?tex=y_j+%3D+%5Cfrac%7B2+%5Cpi%28j-1%29%7D%7BN%7D%2C%5Cquad+j+%3D+1%2C%5Ccdots%2C+N+%5C%5C

    以及

    equation?tex=f%28y_j%29 来生成采样向量 X,然后用
    Y=fft(X) 来计算对应的离散傅里叶变换。

    按照之前的分析,向量

    equation?tex=Y 的第
    equation?tex=k%2B1 个分量应该是

    equation?tex=%5Chat+f+%28k%29+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2+%5Cpi%7D%5Cint_0%5E+%7B2+%5Cpi%7D+f%28y%29+e%5E%7B-iky%7D+dy+%5C%5C

    的一个「数值离散近似」。因为

    equation?tex=f%28x%29 有两个模态,
    • 一个频率为
      equation?tex=30
    • 一个频率为
      equation?tex=10

    我们写个程序测试一下,运行结果如何呢?

    N = 40;
    x = linspace(0,2*pi,N+1);
    x = x(1:end-1);
    y = exp(1i*30*(x))+exp(-1i*10*(x));
    frequency = fft(y);
    figure;
    set(gcf,'unit','centimeters','position',[10,10,24,15])
    plot(1/N*real((frequency)),'-o','LineWidth');

    7529112d7a6f4f0c08543f0506d00195.png

    结果「居然只有一个波峰」,而且强度为

    equation?tex=2

    解释

    之前我们讲过离散傅里叶变换得到的

    equation?tex=Y%28k%29 的周期性

    equation?tex=Y%28k%2BN%29+%3D+Y%28k%29+%5C%5C

    因此,在

    equation?tex=N%3D40 的时候,
    equation?tex=k%3D-10 的模态和
    equation?tex=k%3D30 的混合了。

    我们可以测试一下

    equation?tex=N%3D50 的情形

    3956abf2aa94040c0279ad3e428c69f7.png

    可以看到

    • equation?tex=k%3D30 的模态给出了在
      equation?tex=31 的一个波峰
    • equation?tex=k%3D-10 的模态,等价于
      equation?tex=-10%2BN%3D40 ,给出了
      equation?tex=41 处的波峰

    因此,为了能够区分出

    equation?tex=30
    equation?tex=-10 这两个模态(以及和所有
    equation?tex=-1%2C%5Ccdots%2C+-29),我们需要选择
    equation?tex=N 至少为两倍的目标频率。

    也因此,我们需要使用 fftshift 函数将得到的频率超过

    equation?tex=N%2F2 的部分等价转移到
    equation?tex=-N%2F2%2C%5Ccdots%2C-1 部分。

    平移与其他周期

    思考这个问题的「起源」

    有些书本中的采样舍去了左端点(而不是右端点)

    因此,利用

    equation?tex=%5B0%2C2%5Cpi%5D 区间的等距剖分(不包含左端点),我们有

    equation?tex=X1%28k%29+%3D+f%28%5Cfrac%7B2+%5Cpi+k%7D%7BN%7D%29%2C%5Cquad+k+%3D+1%2C%5Ccdots%2C+N+%5C%5C

    所以对这个向量执行离散傅里叶变换的话 Y1 = fft(X1)

    给出的其实是

    equation?tex=f%28x%29
    「向左平移」
    equation?tex=2+%5Cpi%2FN 之后得到函数的傅里叶变换系数

    如果我们记向左平移得到的函数为

    equation?tex=g%28x%29 ,那么

    equation?tex=g%28x%29+%3D+f%28x%2B%5Cfrac%7B2+%5Cpi%7D%7BN%7D%29+%5C%5C

    所以 Y1 这个向量逼近的是积分

    equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2+%5Cpi%7D+%5Cint_0%5E%7B2+%5Cpi%7D+f%28x%2B%5Cfrac%7B2+%5Cpi%7D%7BN%7D%29+e%5E%7B-i%28k-1%29+x%7D+dx+%5C%5C

    特别地,我们取

    equation?tex=f%28x%29+%3D+e%5E%7B30i+x%7D+%5C%5C

    equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2+%5Cpi%7D+%5Cint_0%5E%7B2+%5Cpi%7D+e%5E%7B30i+%28x%2B%5Cfrac%7B2+%5Cpi%7D%7BN%7D%29%7D+e%5E%7B-i%28k-1%29+x%7D+dx++%3D+e%5E%7B%5Cfrac%7B60+%5Cpi+i%7D%7BN%7D%7D+%5Cdelta%28k-31%29+%5C%5C

    特殊的,我们取

    equation?tex=N%3D60,这样,多出来的因子为

    equation?tex=%5Cexp+%5Cleft%28%5Cfrac%7B60+%5Cpi+i%7D%7BN%7D%5Cright%29+%3D+-1+%5C%5C

    这个时候我们再绘制 Y1 的图像,代码如下

    N = 60;
    x = linspace(0,2*pi,N+1);
    x = x(2:end);
    y = exp(1i*30*x);
    frequency = fft(y);
    figure;
    set(gcf,'unit','centimeters','position',[10,10,24,15])
    plot(1/N*real((frequency)),'-o','LineWidth',2,'MarkerIndices',31);

    结果如图

    15b5ff0b13d214e841a7a1e57bfb3e01.png

    可以发现

    • 结果符合我们的分析,「对应模态的系数」变成了
      equation?tex=-1
    • 如果我们使用 fft 来进行积分的数值计算,那么采样过程需要「舍去右端点」,而不是左端点。否则计算的是平移过后函数的傅里叶系数,会额外出现一个相位因子

    其他周期

    假如我们的函数

    equation?tex=h%28x%29
    equation?tex=a 周期的,我们通过仿射变换将
    equation?tex=%5B0%2C2+%5Cpi%5D 映射到单个周期
    equation?tex=%5B0%2Ca%5D

    equation?tex=T%28x%29+%3D+%5Cfrac%7Ba%7D%7B2+%5Cpi%7Dx+%5C%5C

    equation?tex=h%28T%28x%29%29
    equation?tex=2+%5Cpi 周期的。

    因此我们对它采样,得到

    equation?tex=X%28k%29+%3D+h%28T%28%5Cfrac%7B2+%5Cpi%28k-1%29%7D%7BN%7D%29%29%2C%5Cquad+k+%3D+1%2C%5Ccdots+N+%5C%5C

    equation?tex=T%282+%5Cpi%28k-1%29%2FN%29 得到的其实是
    equation?tex=%5B0%2Ca%5D 上的等距剖分(保留左端点)

    下面我们将讲到本文的重点。如何利用 fft 来对导数进行「具有谱精度的近似」

    导数近似

    对函数

    equation?tex=f%28x%29
    equation?tex=x%3D+x_0 处的导数,我们可以通过差分来近似,例如下面的两种

    equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+%26+%5Cfrac%7Bf%28x_0%2Bh%29-f%28x_0%29%7D%7Bh%7D%5C%5C+%26+%5Cfrac%7Bf%28x_0%2Bh%29-f%28x_0-h%29%7D%7B2h%7D+%5Cend%7Baligned%7D+%5C%5C

    这些都叫做「局部的近似」,它们都只用到了

    equation?tex=x_0 附近的点。

    下面我们介绍一种对周期函数导数的全局近似,这是一种谱方法(收敛很快)

    我们仍然假定函数

    equation?tex=f%28x%29
    equation?tex=2+%5Cpi 周期的函数,在
    equation?tex=%5B0%2C+2+%5Cpi%5D 上有等距剖分

    equation?tex=y_j+%3D+%5Cfrac%7B2+%5Cpi+%28j-1%29%7D%7BN%7D%2C%5Cquad+j+%3D+1%2C%5Ccdots%2C+N+%5C%5C

    我们记这些点上的函数的采样值为

    equation?tex=X_j+%3D+f%28y_j%29+%5C%5C

    「导数逼近的思路」如下:

    • 先利用
      equation?tex=X_j 来构造函数
      equation?tex=f 的一个逼近函数
      equation?tex=g%28x%29
    • 使用
      equation?tex=g%5E%5Cprime%28y_j%29 来作为
      equation?tex=f%5E%5Cprime%28y_j%29 的近似

    逼近函数

    equation?tex=g%28x%29 的构造

    首先,因为

    equation?tex=f%28x%29
    equation?tex=2+%5Cpi 周期函数,假定有足够的光滑性,那么它有傅里叶级数展开

    equation?tex=f%28x%29+%3D+%5Csum_%7Bk+%3D+-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty+%5Chat+f%28k%29+e%5E%7Bikx%7D+%5C%5C

    回忆离散傅里叶变换(也就是 FFT)做的事情是通过

    equation?tex=X_j 来计算了

    equation?tex=%5Chat+f%28k%29%2C%5Cquad+k+%3D+0%2C%5Ccdots%2C+%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%2C+-%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%2B1%2C%5Ccdots%2C+-1+%5C%5C

    的近似值。

    因此,我们可以「将傅里叶展开截断」。令

    equation?tex=g%28x%29+%3D+%5Csum_%7Bk+%3D+-%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%2B1%7D%5E%7B%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%7D+%5Chat+f%28k%29+e%5E%7Bikx%7D+%5C%5C

    作为

    equation?tex=f%28x%29 的一个近似。

    此时,我们可以计算

    equation?tex=g%28x%29 的导数来获得
    equation?tex=f%28x%29 导数的近似

    equation?tex=g%5E%5Cprime+%28x%29+%3D+%5Csum_%7Bk+%3D+-%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%2B1%7D%5E%7B%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%7D+ik%5Chat+f%28k%29+e%5E%7Bikx%7D+%5C%5C

    特别地,我们关心

    equation?tex=f%28x%29 在采样点
    equation?tex=y_j 上的导数值,近似表示为

    equation?tex=g%5E%5Cprime+%28y_j%29+%3D+%5Csum_%7Bk+%3D+-%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%2B1%7D%5E%7B%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%7D+ik%5Chat+f%28k%29+e%5E%7Biky_j%7D+%5C%5C

    这是什么呢?对应上了 ifft (逆快速傅里叶变换)

    equation?tex=X_j%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D+%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN%7D+Y_k+%5Cexp+%5Cleft%28i%28k-1%29y_j%5Cright%29+%5C%5C

    怎么个对应关系呢?利用

    equation?tex=e%5E%7Biky_j%7D+%3D+e%5E%7Bi%28k%2BN%29y_j%7D+%5C%5C

    得到

    equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+%26+%5Csum_%7Bk+%3D+-%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%2B1%7D%5E%7B%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%7D+ik%5Chat+f%28k%29+e%5E%7Biky_j%7D+%5C%5C+%3D%26+%5Csum_%7Bk+%3D+0%7D%5E%7B%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%7D+ik%5Chat+f%28k%29+e%5E%7Biky_j%7D+%2B+%5Csum_%7Bk+%3D+-%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%2B1%7D%5E%7B-1%7D+ik%5Chat+f%28k%29+e%5E%7Bi%28k%2BN%29y_j%7D+%5Cend%7Baligned%7D+%5C%5C

    拆分原因

    上面的式子之所以这么拆分是因为这样,

    equation?tex=%5Cexp%28iky_j%29
    equation?tex=k 的取值就和
    ifft 有了对应,即

    equation?tex=k+%3D+0%2C%5Ccdots%2C+%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%2C+%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%2B1%2C%5Ccdots%2C+N-1+%5C%5C

    因此,结合上 fft 的运算,我们总结一下「导数离散的计算思路」

    • 首先周期内采样,计算采样点的函数值
    • 通过 fft 计算各个模态的傅里叶系数的数值近似
    • 乘上对应的模态
      equation?tex=ik
    • 逆变换 ifft

    具体计算过程中会涉及到

    • 常数因子
      equation?tex=N 的乘除(最后都抵消了)
    • 模态
      equation?tex=ik 的排序

    我们使用下面的代码片段来测试一下

    N = 100;
    y = linspace(0,2*pi,N+1);
    y = y(1:end-1);
    X = exp(sin(y));
    Y = fft(X);
    % 计算数值导数
    deri_Y = ifft(Y.*[1i*(0:N/2), 1i*(-N/2+1:-1)]);
    % 计算精确导数
    deri_exact = cos(y).*X;
    % 绘图
    figure;
    plot(y,deri_Y,'r-o'); hold on;
    plot(y,deri_exact,'b-.');
    legend('数值导数','精确导数');

    bcb711b7f17677f999831e8ed90719a3.png

    这显示了谱方法逼近导数具有非常好的效果。

    「两个注意点」

    • 「第一个注意点」:程序的第三行,我们的采样点是从左端点开始。这里修改成
    y = y(2:end);

    同样没有问题。

    我们之前说,在使用 fft 计算频率的模值的时候,为了对应上具体的公式,我们需要从左端点开始计数,否则会出现一个相位因子。

    但是此处由于是计算导数的近似,我们在 fft 之后还要进行一个 ifft,所以这个因子会消去。

    同样道理,我们在上述代码中,在 fft 之后也没有像之前那样除掉

    equation?tex=N,它和本来在
    ifft 中要处理的
    equation?tex=N 一样抵消了。

    我们展示一下最终得到的结果,最左侧的点有一个微小的平移。

    584ce2416b14be08c8e9a4fae343b5b9.png
    • 「第二个注意点」
    ifft(Y.*[1i*(0:N/2), 1i*(-N/2+1:-1)]);
    

    由于离散傅里叶变换公式的特殊性

    equation?tex=Y_k%3D+%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5E%7BN%7D+X_j+%5Cexp+%5Cleft%28-i%28k-1%29y_j%5Cright%29+%5C%5C

    equation?tex=X_j 是实数的情况下,如果
    • equation?tex=k%3D1 ,则计算出来
      equation?tex=Y_1 是实数
    • 此外,

    equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+Y_k+%26%3D+%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5E%7BN%7D+X_j+%5Cexp+%5Cleft%28-i%28k-1%29y_j%5Cright%29%5C%5C+%26%3D+%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5E%7BN%7D+X_j+%5Cexp+%5Cleft%28i%28N-k%2B1%29y_j%5Cright%29+%5Cend%7Baligned%7D+%5C%5C

    所以

    equation?tex=Y_k+%3D+%5Coverline%7BY_%7BN-k%2B2%7D%7D 。 举个例子就是

    equation?tex=Y_2+%3D+%5Cbar+Y_N.+%5C%5C

    所以在 ifft 的时候

    equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+%26+%5Csum_%7Bk+%3D+-%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%2B1%7D%5E%7B%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%7D+ik%5Chat+f%28k%29+e%5E%7Biky_j%7D+%5C%5C+%3D%26+%5Csum_%7Bk+%3D+1%7D%5E%7B%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D-1%7D+ik%5Chat+f%28k%29+e%5E%7Biky_j%7D+%2B+%5Csum_%7Bk+%3D+-%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%2B1%7D%5E%7B-1%7D+ik%5Chat+f%28k%29+e%5E%7Biky_j%7D+%2B+i%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%5Chat+f%28%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%29+e%5E%7Bi%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7Dy_j%7D+%5Cend%7Baligned%7D+%5C%5C

    前两项加起来正好是实数,只剩下最后一项。

    我们希望它不起贡献。

    实际上

    equation?tex=%5Cexp%28i+%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7Dx%29 的实数部分在采样节点上确实导数为
    equation?tex=0 ,因此我们可以修改我们的近似。

    在程序中表现为

    deri_Y = ifft(Y.*[1i*(0:N/2-1),0, 1i*(-N/2+1:-1)]);

    总结

    本文补充说明了使用 fft 来作为傅里叶级数数值离散计算工具的一些细节和例子。

    然后讨论了使用 fftifft 来进行导数谱精度离散的具体操作与注意事项。

    下期,我们将使用这一套离散来求解微分方程——谱方法。

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