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  • 坐标轴的平移旋转

    万次阅读 2011-04-21 15:10:00
    因此必须运用地图投影的方法,建立地球表面和平面上点的函数关系,使地球表面上任一点由地理坐标(φ、λ)确定的点,在平面上必有一个它相对应的点,平面上任一点的位置可以用极坐标或直角坐标表示。1.1.平面直角...

     

    1.平面上的坐标系

    地理坐标是一种球面坐标。由于地球表面是不可展开的曲面,也就是说曲面上的各点不能直接表示在平面上,因此必须运用地图投影的方法,建立地球表面和平面上点的函数关系,使地球表面上任一点由地理坐标(φ、λ)确定的点,在平面上必有一个与它相对应的点,平面上任一点的位置可以用极坐标或直角坐标表示。

    1.1.平面直角坐标系的建立

    在平面上选一点O为直角坐标原点,过该点O作相互垂直的两轴X’OXY’OY而建立平面直角坐标系,如图5所示。

    直角坐标系中,规定OX、OY方向为正值,OX、OY方向为负值,因此在坐标系中的一个已知点P,它的位置便可由该点对OXOY轴的垂线长度唯一地确定,即x=APy=BP,通常记为P(x,y)

    1.2.平面极坐标系(Polar Coordinate)的建立

    4-5:平面直角坐标系和极坐标系

    如图5所示,设O’为极坐标原点,O’O为极轴,P是坐标系中的一个点,则O’P称为极距,用符号ρ表示,即ρ=O’P∠OO’P为极角,用符号δ表示,则∠OO’P=δ。极角δ由极轴起算,按逆时针方向为正,顺时针方向为负。

    极坐标与平面直角坐标之间可建立一定的关系式。由图5可知,直角坐标的x轴与极轴重合,二坐标系原点间距离OO’Q表示,则有:

    X=Q–ρcosδ

    Y=ρsinδ

    2.直角坐标系的平移和旋转

    2.1坐标系平移

    图1所示,坐标系XOY与坐标系X’O’Y’相应的坐标轴彼此平行,并且具有相同的正向。坐标系X’O’Y’是由坐标系XOY平行移动而得到的。设P点在坐标系XOY中的坐标为(x,y),在X’O’Y’中坐标为(x’,y’),而(a,b)O’在坐标系XOY中的坐标,于是:

    x=x’+a

    y=y’+b

    上式即一点在坐标系平移前后之坐标关系式。

    图1:坐标平移

    2.2坐标系旋转

    图2所示,如坐标系XOY与坐标系X’O’Y’的原点重合,且对应的两坐标轴夹角为θ,坐标系X’O’Y’是由坐标系XOY以O为中心逆时针旋转θ角后得到的。

    x=x’cosθ+y’sinθ

    y=y’cosθ-x’sinθ

    上式即为经过旋转θ角后的二直角坐标系中某一点坐标的关系式。


    图2:坐标旋转

    2.3坐标系平移和旋转

    图3所示,坐标系X’O’Y’的原点在坐标系XOY中的坐标为a、b,X轴与X’轴之夹角为θ。可以认为坐标系X’O’Y’原是与坐标系XOY重合,后因为O’分别平移了a、b之距离,并且坐标系二坐标轴O’X’O’Y’又相对OXOY逆时针旋转了θ角而得到的。

    在二坐标系之间引入一个辅助坐标系X”O’Y”,使它的二坐标轴O’X”O’Y”分别与OXOY平行。

    X”O’Y”系中有一点P,其坐标为(x”,y”),则由坐标系平移公式与坐标系旋转公式可得:

    x=x”+a

    y=y”+b

    故有

    x”=x’cosθ+y’sinθ

    y”=y’cosθ-x’sinθ

    x=x’cosθ+y’sinθ+a

    y”=y’cosθ-x’sinθ+b

    上式即坐标系平移和旋转后新、旧坐标系中某一点坐标之关系式。

    图3:坐标平移和旋转地图投影的基本问题

    3.地图投影的概念

    在数学中,投影(Project)的含义是指建立两个点集间一一对应的映射关系。同样,在地图学中,地图投影就是指建立地球表面上的点与投影平面上点之间的一一对应关系。地图投影的基本问题就是利用一定的数学法则把地球表面上的经纬线网表示到平面上。凡是地理信息系统就必然要考虑到地图投影,地图投影的使用保证了空间信息在地域上的联系和完整性,在各类地理信息系统的建立过程中,选择适当的地图投影系统是首先要考虑的问题。由于地球椭球体表面是曲面,而地图通常是要绘制在平面图纸上,因此制图时首先要把曲面展为平面,然而球面是个不可展的曲面,即把它直接展为平面时,不可能不发生破裂或褶皱。若用这种具有破裂或褶皱的平面绘制地图,显然是不实际的,所以必须采用特殊的方法将曲面展开,使其成为没有破裂或褶皱的平面。

     

    出处:http://learn.gxtc.edu.cn/NCourse/GIS/gis_html/GIS2/ch3/4.htm

     

    最近在研究坐标轴的旋转与平移,网上有两种公式,原来是顺时针与逆时针两种,但网上没有说清楚。最后找到了这篇文章,说明比较全面与清晰,转载备用。

     

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  • ROS中ENU坐标无人机中NED坐标转换关系理解 无人机中NED坐标理解 ENUNED转换 无人机中NED坐标理解 机体坐标系:机体坐标系固连飞机,其原点 取在多旋翼重心位置上。 x在多旋翼对称平面内指向机头...

    ROS中ENU坐标系与无人机中NED坐标系的转换关系理解

    项目地址

    • 无人机中NED坐标理解
    • ENU与NED转换

    无人机中NED坐标理解

    • 机体坐标系:机体坐标系固连飞机,其原点 取在多旋翼的重心位置上。 x轴在多旋翼对称平面内指向机头(机头方向与多旋+字形或X字形相关)。 z轴在飞机对称平面内,垂直轴向下。然后,按右手定则确定y轴 。
    • 地球固联坐标系:通常以多旋翼起飞位置作为坐标原点 。先让x轴在水平面内指向某一方向,z轴垂直于地面向下。然后,按右手定则确定y轴,坐标原点还有用地心的?比如NED坐标系为x轴为正北方向,y轴为正东方向,z轴指向下。

    飞机的欧拉角就是基于上面两个坐标系的转换。pitch+为抬头,roll+为右旋转,yaw+为右偏航。

    Yaw与指南针角度的关系

    • 指南针的角度是确定不变的,北朝向为0度,东为90度,南为180度,西为270度。
    • Yaw角是当前机头方向与正北方向的夹角(若地球固联坐标系为NED)

    也就是说当我们知道YAW角时我们就可以确定飞机当前的航向(东,北哪个方向),比如我们的vision通过mavros给飞控的Yaw的角度是90度,而且飞机的地球固联坐标系为NED,那么可以确定飞机机头当前指向为正东,即使我们没有磁力计测方向,但我们假设了一个方向,此时Yaw角与指南针的角度完全重合或者说相同。

    但当我们的Yaw角为90度,机头朝向为正北方向,那么我们可以确定飞机地球固联坐标系采用的是WND(W为西)。

    在PX4中用到的地球固联坐标轴是NED坐标系,即x,y,z的方向固定不变(Offboard模式下除外,但是在offboard模式下,初始上电后其东北方向由Yaw角决定)

    ENU与NED转换

    如下图

    image

    在ROS中用到的坐标系是ENU坐标系,而我们飞控中用到的坐标系是NED所有需要转换,好在mavros已将帮我们转换好了。

    下面是转化公式供参考
    YawNED=YawENU+90 Yaw_{NED} = -Yaw_{ENU}+90

    XNED=YENU X_{NED}=Y_{ENU}

    YNED=XENU Y_{NED}=X_{ENU}

    ZNED=ZENU Z_{NED}=-Z_{ENU}

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  • 判断点的位置关系 第一步,创建一个类,代表二维空间的一个点。二维空间确定一个点可参考平面直角坐标系中,确定了x坐标和y坐标,即可确定点的位置 package com.tyl.homework; import java.util.Scanner; /** ...

    判断点与圆的位置关系

    第一步,创建一个类,代表二维空间的一个点。二维空间确定一个点可参考平面直角坐标系中,确定了x坐标和y坐标,即可确定点的位置

    package com.tyl.homework;
    
    import java.util.Scanner;
    /**
     * 点类
     */
    public class Point {
    
        //x轴坐标值
        double x;
    
        //y轴坐标值
        double y;
        
        //Point类的无参构造器
        public Point(){
            
        }
    
        //Point类的有参构造器
        public Point(double x,double y){
            this.x = x;
            this.y = y;
        }
    
        //创建一个点的方法
        public  static  Point createPoint(){
            Scanner tools = new Scanner(System.in);
            System.out.println("请依次输入你想要创建的点的x坐标和y坐标:");
            Point p = new Point(tools.nextDouble(),tools.nextDouble());
            return p;
        }
    }
    
    

    确定圆只需要知道圆的圆心位置和半径长度,圆心可直接定义为上面的Point类引用类型,半径即基本类型中的double类型。代码中的Circle类重写了其中的area(求面积)方法和perimeter(求周长),因为Circle类继承了抽象类Figure,这一步非必需,可选择不继承和重写。

    /**
     *圆类
     */
    import java.util.Scanner;
    
    import static java.lang.StrictMath.PI;
    
    public class Circle extends Figure{
        
        //圆心:p,自定义的Point类型
        Point p;
        
        //半径:r
        double r;
        
        //Circle类的无参构造器
        public Circle(){
        }
        
        //Circle类的有参构造器
        public Circle(double r){
            this.r = r;
        }
        
        //计算面积的方法:S=圆周率*半径的平方
        @Override
        public double area(){
            //S=圆周率*半径的平方
            return PI*r*r;
        }
        //计算圆的周长 c=2*半径*圆周率
        @Override
        public double perimeter() {
            return 2*r*PI;
        }
        //创建一个圆
        public static Circle createCircle() {
            Scanner tools = new Scanner(System.in);
            System.out.println("请输入圆的半径值:");
            Circle c = new Circle(tools.nextDouble());
            //设置圆的圆心坐标
            System.out.println("请输入圆心的x坐标和y坐标:");
            Point p1 = new Point(tools.nextDouble(),tools.nextDouble());
            //把点p1赋值给圆c1的圆心p
            c.p = p1;
            return c;
        }
        //判断点与圆的位置关系
        public void position(Point p1){
            //点到圆心的距离公式(此处distance未开方,因此if中与r平方比较)
            double distance =(p1.x-p.x)*(p1.x-p.x)-(p1.y-p.y)*(p1.y-p.y);
            /*
            点到圆心的距离等于半径,点在圆上
            点到圆心的距离小于半径,点在圆内
            点到圆心的距离大于半径,点在圆外
             */
            if (distance==r*r){
                System.out.println("点在圆上");
            }else if (distance<r*r){
                System.out.println("点在圆内");
            }else if (distance>r*r){
                System.out.println("点在圆外");
            }
        }
    }
    

    测试代码

    package com.tyl.homework;
    
    /**
     * 计算圆的面积,并判断点与圆的位置关系
     */
    public class Demo {
        public static void main(String[] args) {
    
            Circle c1 = Circle.createCircle();
            //调用周长方法求圆的周长
            System.out.println("所求圆的周长为:"+c1.perimeter());
    
            //调用面积方法计算圆的面积
            System.out.println( "所求圆的面积为:"+c1.area());
    
            //调用createPoint方法创建一个点P2
            Point p2 = Point.createPoint();
    
            //调用position方法判断点与圆的位置关系
            c1.position(p2);
    
        }
    }
    

    运行结果:

    D:\software\jdk-14.0.1\bin\java.exe "-javaagent:D:\software\JetBrains\IntelliJ IDEA 2020.1\lib\idea_rt.jar=51767:D:\software\JetBrains\IntelliJ IDEA 2020.1\bin" -Dfile.encoding=UTF-8 -classpath D:\Code0625\out\production\Code0625 com.tyl.homework.Demo
    请输入圆的半径值:
    3
    请输入圆心的x坐标和y坐标:
    2
    3
    所求圆的周长为:18.84955592153876
    所求圆的面积为:28.274333882308138
    请依次输入你想要创建的点的x坐标和y坐标:
    4
    5
    点在圆内
    
    Process finished with exit code 0
    
    展开全文
  • 坐标表示x上各点的位置,纵坐标表示各点的电场强度和电势.设电场强度向右为正. 于是画出函数图像:考虑两点电荷连线中垂线上的变化情况:以正负电荷连线中点位置为原点,竖直向上为y,建立坐标系。设电场强度...

    一、建立物理模型

    1.等量异种点电荷

    设两点电荷电量分别为+Q和-Q,距离为

    equation?tex=L .

    先考虑连线上的变化情况:

    以正电荷所在位置为原点,水平向右为x轴,竖直方向为y轴,建立平面直角坐标系。横坐标表示x轴上各点的位置,纵坐标表示各点的电场强度和电势.设电场强度向右为正.

    equation?tex=E%28x%29%3D-k%5Cfrac%7BQ%7D%7Bx%5E2%7D%2Bk%5Cfrac%7BQ%7D%7B%28L-x%29%5E2%7D%2C%5Cvarphi%28x%29%3D-k%5Cfrac%7BQ%7D%7Bx%7D-k%5Cfrac%7BQ%7D%7BL-x%7D%2Cx%5Cleq0

    equation?tex=E%28x%29%3Dk%5Cfrac%7BQ%7D%7Bx%5E2%7D%2Bk%5Cfrac%7BQ%7D%7B%28L-x%29%5E2%7D%2C%5Cvarphi%28x%29%3Dk%5Cfrac%7BQ%7D%7Bx%7D-k%5Cfrac%7BQ%7D%7BL-x%7D%2C0%3Cx%3CL

    equation?tex=E%28x%29%3Dk%5Cfrac%7BQ%7D%7Bx%5E2%7D-k%5Cfrac%7BQ%7D%7B%28x-L%29%5E2%7D%2C%5Cvarphi%28x%29%3Dk%5Cfrac%7BQ%7D%7Bx%7D-k%5Cfrac%7BQ%7D%7Bx-L%7D%2Cx%5Cgeq+L

    于是画出函数图像:

    77a806d329f7194894232288988f72d9.png

    考虑两点电荷连线中垂线上的变化情况:

    以正负电荷连线中点位置为原点,竖直向上为y轴,建立坐标系。设电场强度向右为正.

    equation?tex=E%28y%29%3D-2k%5Cfrac%7BQy%7D%7B%28y%5E2%2B%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7B4%7D%29%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7D%2Cy%5Cleq0

    equation?tex=E%28y%29%3D2k%5Cfrac%7BQy%7D%7B%28y%5E2%2B%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7B4%7D%29%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7D%2Cy%3E0

    equation?tex=%5Cvarphi%28y%29%5Cequiv0

    于是画出函数图像:

    ae490a8703d72bf97c9078bd205c1fc7.png

    2.等量同种点电荷

    设两点电荷距离为

    equation?tex=L .

    (1)等量正电荷

    先考虑连线上的变化情况:

    设两点电荷带电量均为+Q.以左边电荷为原点,水平向右为x轴,建立坐标系.设电场强度向右为正.

    equation?tex=E%28x%29%3D-k%5Cfrac%7BQ%7D%7Bx%5E2%7D-k%5Cfrac%7BQ%7D%7B%28L-x%29%5E2%7D%2C%5Cvarphi%28x%29%3D-k%5Cfrac%7BQ%7D%7Bx%7D%2Bk%5Cfrac%7BQ%7D%7BL-x%7D%2Cx%5Cleq0

    equation?tex=E%28x%29%3Dk%5Cfrac%7BQ%7D%7Bx%5E2%7D-k%5Cfrac%7BQ%7D%7B%28L-x%29%5E2%7D%2C%5Cvarphi%28x%29%3Dk%5Cfrac%7BQ%7D%7Bx%7D%2Bk%5Cfrac%7BQ%7D%7BL-x%7D%2C0%3Cx%3CL

    equation?tex=E%28x%29%3Dk%5Cfrac%7BQ%7D%7Bx%5E2%7D%2Bk%5Cfrac%7BQ%7D%7B%28x-L%29%5E2%7D%2C%5Cvarphi%28x%29%3Dk%5Cfrac%7BQ%7D%7Bx%7D%2Bk%5Cfrac%7BQ%7D%7Bx-L%7D%2Cx%5Cgeq+L

    于是画出函数图像:

    ca891403be4a2d10b75f76b37a75cc5d.png

    考虑两电荷连线中垂线上的变化情况:

    以连线中点为原点,竖直向上为y轴,建立坐标系.设电场强度向上为正.

    equation?tex=E%28y%29%3D2k%5Cfrac%7BQy%7D%7B%28y%5E2%2B%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7B4%7D%29%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7D%2C%5Cvarphi%28y%29%3D2k%5Cfrac%7BQ%7D%7B%5Csqrt%7By%5E2%2B%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7B4%7D%7D%7D

    于是画出函数图像:

    7f9027dfdfb7380475b3b89f26898a93.png

    (2)等量负电荷

    先考虑连线上的变化情况:

    设两点电荷带电量均为-Q.以左边电荷为原点,水平向右为x轴,建立坐标系.设电场强度向右为正.

    equation?tex=E%28x%29%3Dk%5Cfrac%7BQ%7D%7Bx%5E2%7D%2Bk%5Cfrac%7BQ%7D%7B%28L-x%29%5E2%7D%2C%5Cvarphi%28x%29%3Dk%5Cfrac%7BQ%7D%7Bx%7D-k%5Cfrac%7BQ%7D%7BL-x%7D%2Cx%5Cleq0

    equation?tex=E%28x%29%3D-k%5Cfrac%7BQ%7D%7Bx%5E2%7D%2Bk%5Cfrac%7BQ%7D%7B%28L-x%29%5E2%7D%2C%5Cvarphi%28x%29%3D-k%5Cfrac%7BQ%7D%7Bx%7D-k%5Cfrac%7BQ%7D%7BL-x%7D%2C0%3Cx%3CL

    equation?tex=E%28x%29%3D-k%5Cfrac%7BQ%7D%7Bx%5E2%7D-k%5Cfrac%7BQ%7D%7B%28x-L%29%5E2%7D%2C%5Cvarphi%28x%29%3D-k%5Cfrac%7BQ%7D%7Bx%7D-k%5Cfrac%7BQ%7D%7Bx-L%7D%2Cx%5Cgeq+L

    于是画出函数图像:

    9d513b8889f684346f2b6c1be5a92432.png

    考虑两电荷连线中垂线上的变化情况:

    以连线中点为原点,竖直向上为y轴,建立坐标系.设电场强度向上为正.

    equation?tex=E%28y%29%3D-2k%5Cfrac%7BQy%7D%7B%28y%5E2%2B%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7B4%7D%29%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7D

    equation?tex=%5Cvarphi%28y%29%3D-2k%5Cfrac%7BQ%7D%7B%5Csqrt%7By%5E2%2B%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7B4%7D%7D%7D

    于是画出函数图像:

    585c0319fe5730ab78d850e41c4e751a.png
    展开全文
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  • 1.天球坐标系、地球坐标地球自转有无关系?...地球坐标定义:以地球质心为坐标原点O,其Z指向地球北极,X指向格林尼治平子午面去地球赤道交点E,Y垂直XOZ平面并构成右手坐标系。 地球坐标系...
  • 4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件; 5、点到直线以及点到平面的距离; 6、常用二次曲面的方程及其图形; 7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程; 8、空间曲线的参数方程...
  • 平面与平面、直线与直线、平面与直线之间的位置关系;点到平面、直线的距离;球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程;常用的二次曲面方程;空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。 1.2 微分学 ...
  • 方向导数梯度

    2020-05-26 10:39:45
    在一个二维平面中,如果温度T和平面中某一个点位置的关系是: T=f(x,y) 我们都知道x偏导数是该函数在x变化率。y偏导数是该函数在y变化率。那如果,我想知道,这个函数在y=x这个方向上变化...
  • 如下图,XY坐标系中,向量OP旋转β角度到了OP’的位置: 根据三角函数关系,可以列出向量OPOP’的坐标表示形式: 对比上面个两个式子,将第2个式子展开: 用矩阵形式重新表示为: 这就是二维旋转的基本形式,...
  • 该映射关系有效地将待标定系数标定采样点像素坐标分离开来,系统校准时只需标定采样点坐标位置无关常系数,大大减少标定采样点数目,且在校准过程中只需2个标定平面。实验证实了该方法有效性和正确性。
  • 向量 向量乘法:点乘得到是一个数,叉乘得到是垂直原向量新向量 平面 会根据法向量互推平面...旋转曲面:平面直线绕坐标轴旋转,绕x轴旋转得到方程只需把y换成根号下y2+z2 常见曲面方程: ...
  • 数学分析 - 多元函数极限和连续

    千次阅读 2020-04-08 17:25:15
    || 点点集关系,按照位置关系可以分为:内点,外点,界点 内点:若存在点A某邻域U(A),使得U(A)包含于E,则称A为E中内点。E中所有内点集合称为E是内部,记作int E 外点:若存在点A某邻域U(A),使得U...
  • **为了获得三维空间中 三角形平面上的点和三角形三个点的位置关系,并将其展现在平面上(纹理映射用),需要将三维空间中的三角形做矩阵变换,使其一点在原点上,一边在坐标轴上,平铺在xoz平面上。 解决方法:需要...
  • 得到的高度相位映射关系式中,待标定的系数像点的坐标无关,不需要对每一个像点进行采样,能够减少系统标定所需的时间。实验表明:所提方法使投影装置和成像系统的位置校准过程简单,提高了系统标定的速度,且具有...
  • 2020-03-10

    千次阅读 2020-03-10 10:33:58
    1.天球坐标系、地球坐标地球自转有无关系,哪一种便于描述地面观测站的空间位置,哪一种便于描述人造卫星的位置? 天球坐标系包括:赤道坐标系、黄道坐标系、时角坐标系、地平坐标系、银道坐标系,地球自转...
  • 要想让相机跟随物体移动,就要明白在一定角度下相机物体的位置关系。 首先设置相机物体之间的距离distance,相机xz平面的角度为roll 所以根据三角关系可以求得映射在xz平面的距离d为distancecos(rool),相机高度...
  • 相机标定 matlab

    2018-05-24 21:58:54
    [6]像平面x和y坐标轴相机坐标系上X和Y坐标轴互相平行; [7]相机坐标系是以X,Y,Z(大写)三个轴组成且原点在O点,度量值为米(m); [8]像平面坐标系是以x,y(小写)两个轴组成且原点在O1点,度量...
  • Unity-3D相机跟随控制

    千次阅读 2020-07-04 12:29:08
    要想让相机跟随物体移动,就要明白在一定角度下相机物体的位置关系。 首先设置相机物体之间的距离distance,相机xz平面的角度为roll 所以根据三角关系可以求得映射在xz平面的距离d为distancecos(rool),相机高度...
  • 黄冈中学高2数学教案

    2010-09-04 23:23:52
     注意:“截距”并不是“距离”,即截距并不一定是直线与坐标轴的交点与原点的距离.而是直线与x轴交点的横坐标或y轴交点的纵坐标.  斜截式不能表示与x轴垂直的直线.  (3)两点式方程  直线l经过两点 (其中 )...
  • 核心思想   该文提出一种采用固定相机(eye-to-hand)的视觉伺服方法,通过一个安装在天花板上的相机,...作者首先推导了在像素坐标系下,PPP点的位置坐标的导数机器人移动速度之间的对应关系 上式中Qp(t)Q_p(t)Q

空空如也

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平面与坐标轴的位置关系