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  • §4 空间中点到直线、平面距离 1.点到平面距离 1o 设平面P的法线式方程为:   则点M(xo ,yo ,zo)到平面P的距离为:   2o 设平面P的一般式方程为:   则点M(xo ,yo ,zo)到平面P的距离为:   2....

    §4 空间中点到直线、平面的距离

    1.点到平面的距离

    1o 设平面P的法线式方程为:

        

    则点M(x,y,zo)到平面P的距离为:

        

    2o 设平面P的一般式方程为:

        

    则点M(x,y,zo)到平面P的距离为:

        

    2.点到直线的距离

    设直线L的对称式方程为:

      

    (直线过M1(x1 , y, z1)点,方向数为p, q, r)

    则点M(x,y,zo)到直线L的距离为:

      

    式中i,j,k为三个坐标轴上的单位矢量,最外面的“| |”表示矢量的模.

    或写为:

      




    §5 平面之间的相互关系

    1.二平面的交角

    平面P1:  A1x+B1y+C1z+D1=0.

    平面P2A2x+B2y+C2z+D2=0

    φ为平面P1和平面P2相交的二面角,则

        

    2.二平面平行和垂直的条件

    由1,得到

    1平面P1和平面P2平行的条件:

        

    2o 平面P1和平面P2垂直的条件:

        

    3.平面束

        

       Pλ表示一个通过已知二平面P1P2交线L的平面束。对一个特定的的值λ,方程表示平面束中某一平面。

    4.三平面共线条件

    设三平面为

      

    则三平面P1,P2,P3共线的条件是矩阵

          的秩为2。

    5.平面把

       

    Pλμ表示一个通过三平面P1,P2,P3交点G的平面把,G称为把的顶点。对任意一对确定值λ,μ,方程表示平面把中某一平面。

    6.四平面共点的条件

    设四平面为

       

    则四平面P1, P2, P3P4共点的条件是行列式

       





    §6 直线和直线、直线和平面的相互关系

    1.二直线的夹角

    设二直线的对称性方称为

      

      

    即直线L1和直线L2的方向数分别为p1, q1, r1p2, q2, r2,

    则二直线夹角φ的余弦为

      

    2.二直线平行和垂直条件

    由1可得到二直线L1, L2平行和垂直条件

      

      

    3.二不平行直线的最短距离

    直线L1,L2(方程同1)之间的最短距离d是指L1,L2的公垂线与两线交点之间的距离

      

    其中最外边的“| |”表示绝对值。

    4.二直线共面条件

    由3,推出二直线L1,L2共面的条件为d=0,所在的平面方程为

      

    5.直线与平面的夹角

    设直线

      

    平面

      

    则直线L与平面P夹角φ的正弦为

      

    6.直线与平面平行和垂直条件

    由5可得直线L与平面P平行和垂直条件




    from: http://202.113.29.3/nankaisource/mathhands/

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  • # 计算二维坐标平面上两点距离 # 导入模块 import numpy as np point1 = np . array ( [ 13 , 10.79 ] ) # 定义第一点x,y坐标 point2 = np . array ( [ 17 , 19 ] ) # 定义第二点x,y坐标 ...
    # 计算二维坐标平面上的夹角
    # 导入模块
    import numpy as np      
    import math
    # 定义组成一个角的三个点 point2是中间点
    point1 = np.array([23 , 9])     # 组成一个角的起始点
    point2 = np.array([13 , 10.79])          # 组成一个角的中间点
    point3 = np.array([17 , 19])         # 组成一个角的终止点
    
    vector1 = point1 - point2      # 从中间点开始的第一条直线的向量
    vector2 = point3 - point2      # 从中间点开始的第二条直线的向量
    
    # 根据夹角公式计算该角的余弦值
    cos_theta = np.dot(vector1, vector2) / (((vector1[0] ** 2 + vector1[1] ** 2) ** 0.5) * ((vector2[0] ** 2 + vector2[1] ** 2) ** 0.5))
    theta = np.arccos(cos_theta)   # 弧度
    degree = math.degrees(theta)   # 角度
    
    print('point1 = ',point1)
    print('point2 = ',point2)
    print('point3 = ',point3)
    print('vector1 = ',vector1)
    print('vector2 = ',vector2)
    print('cos_theta = ',cos_theta)
    print('vector1[0] = ',vector1[0])
    print('vector1[1] = ',vector1[1])
    print('角度余弦是:',cos_theta)
    print('弧度是:',theta)
    print('角度是:',degree)
    
    # 计算二维坐标平面上两点距离
    # 导入模块
    import numpy as np
    
    point1 = np.array([13, 10.79])   # 定义第一点x,y坐标
    point2 = np.array([17, 19])       # 定义第二点x,y坐标
    vector = point1 - point2         # 求两点组成的向量
    distance = ((vector[0] ** 2 + vector[1] ** 2) ** 0.5)   # 两点之间的距离
    
    print('两点之间的距离是:',distance)
    
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  • 一个平面或超平面由一个方程(不是一组方程)定义: {x∣aTx=b}\{x\mid a^Tx=b\}{x∣aTx=b} 其中 aaa 是一个非零的列向量,而 bbb 是一个实数。那么它的法线(垂线)向量是 aaa。 例如,超平面 2x+3y+4z=52x+3y+4z=...

    1. 法线

    一个平面或超平面由一个方程(不是一组方程)定义:
    { x ∣ a T x = b } \{x\mid a^Tx=b\} {xaTx=b}
    其中 a a a 是一个非零的列向量,而 b b b 是一个实数。那么它的法线(垂线)向量是 a a a
    例如,超平面
    2 x + 3 y + 4 z = 5 2x+3y+4z=5 2x+3y+4z=5
    它法线向量是: ( 2 , 3 , 4 ) (2, 3, 4) (2,3,4)。它的一个法线是:
    x − 1 2 = y − 1 3 = z − 1 4 \frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{4} 2x1=3y1=4z1

    画图表示:
    在这里插入图片描述
    画图的 matlab 代码:

    function DrawHyperPlane
    fmesh(@(x,y)1/4*(9-2*x-3*y));
    hold on;
    
    plot3([-1,3], [-2, 4], [-3, 5]);
    
    title('Hyper plane: 2x+3y+4z=9')
    str = '$$\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{4}$$';
    text(-0.7, 9.8, str, 'Interpreter','latex');
    annotation('arrow','X',[0.4,0.5],'Y',[0.6,0.6]
    
    end
    

    2. 平行超平面的距离

    设一个超平面为 a T x = b 1 a^Tx=b_1 aTx=b1,另一个超平面为 a T x = b 2 a^Tx=b_2 aTx=b2,求两个超平面的距离。

    解: 超平面的法线向量为 a a a,经过第一个超平面上的点 x 1 x_1 x1 的法线为: x = x 1 + t a x=x_1+ta x=x1+ta, ( t ∈ R ) (t\in R) (tR)。则该法线与第二个超平面的交点满足:
    a T ( x 1 + t a ) = b 2 a^T(x_1+ta)=b_2 aT(x1+ta)=b2
    因此 t = ( b 2 − a T x 1 ) / a T a t=(b_2-a^Tx_1)/a^Ta t=(b2aTx1)/aTa, 因此
    x 2 = x 1 + ( b 2 − a T x 1 ) a a T a = x 1 + ( b 2 − b 1 ) a a T a x_2=x_1+\frac{(b_2-a^Tx_1)a}{a^Ta}=x_1+\frac{(b_2-b_1)a}{a^Ta} x2=x1+aTa(b2aTx1)a=x1+aTa(b2b1)a

    连个超平面的距离即为 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2 的距离:
    ∥ x 2 − x 1 ∥ = ∥ ( b 2 − b 1 ) a a T a ∥ = ∣ b 2 − b 1 ∣ ∥ a ∥ \|x_2-x_1\|=\|\frac{(b_2-b_1)a}{a^Ta}\|=\frac{|b_2-b_1|}{\|a\|} x2x1=aTa(b2b1)a=ab2b1

    如下图所示:

    在这里插入图片描述

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  • python实现点到平面距离

    千次阅读 2019-10-11 15:08:42
    python实现点到平面距离 目录 python实现点到平面距离 1.三点定面 2.点到面的距离 3.python实现点到面的距离 关于点线面之间关系可以参考:https://blog.csdn.net/qq_23869697/article/details/82688277 1...

    python实现点到平面的距离


    目录

    python实现点到平面的距离

    1.三点定面

    2.点到面的距离

    3.python实现点到面的距离


    关于点线面之间关系可以参考:https://blog.csdn.net/qq_23869697/article/details/82688277

    1.三点定面

    空间上任意三个不共线的点,可以确定一个平面,三点定面的例子:

    2.点到面的距离

    点到面的距离,可参考这个例子

    3.python实现点到面的距离

    空间上不共线的三个点P1,P2,P3确定一个平面,计算空间上某个点P4到{P1,P2,P3}组成的平面的距离,可如下计算

    import numpy as np
    
    def define_area(point1, point2, point3):
        """
        法向量    :n={A,B,C}
        空间上某点:p={x0,y0,z0}
        点法式方程:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=Ax+By+Cz-(Ax0+By0+Cz0)
        https://wenku.baidu.com/view/12b44129af45b307e87197e1.html
        :param point1:
        :param point2:
        :param point3:
        :param point4:
        :return:(Ax, By, Cz, D)代表:Ax + By + Cz + D = 0
        """
        point1 = np.asarray(point1)
        point2 = np.asarray(point2)
        point3 = np.asarray(point3)
        AB = np.asmatrix(point2 - point1)
        AC = np.asmatrix(point3 - point1)
        N = np.cross(AB, AC)  # 向量叉乘,求法向量
        # Ax+By+Cz
        Ax = N[0, 0]
        By = N[0, 1]
        Cz = N[0, 2]
        D = -(Ax * point1[0] + By * point1[1] + Cz * point1[2])
        return Ax, By, Cz, D
    
    
    def point2area_distance(point1, point2, point3, point4):
        """
        :param point1:数据框的行切片,三维
        :param point2:
        :param point3:
        :param point4:
        :return:点到面的距离
        """
        Ax, By, Cz, D = define_area(point1, point2, point3)
        mod_d = Ax * point4[0] + By * point4[1] + Cz * point4[2] + D
        mod_area = np.sqrt(np.sum(np.square([Ax, By, Cz])))
        d = abs(mod_d) / mod_area
        return d
    
    
    
    if __name__ == '__main__':
        # 初始化数据
        point1 = [2, 3, 1]
        point2 = [4, 1, 2]
        point3 = [6, 3, 7]
        point4 = [-5, -4, 8]
        # 计算点到面的距离
        d1 = point2area_distance(point1, point2, point3, point4)  # s=8.647058823529413
        print("点到面的距离s: " + str(d1))
    

     

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平面与平面之间的距离