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  • 平面的法向量与距离公式

    千次阅读 2020-04-21 15:46:14
    文章目录1、超平面一般表示形式2、超平面的法向量3、点到超平面的距离4、平行超平面之间距离公式   1、超平面一般表示形式 在n维空间中,设任意点坐标为 xT=[x(1),x(2),...x(n)]T∈Rnx^T=[x^{(1)},x^{(2)},...x^...


    1、超平面一般表示形式

    在n维空间中,设任意点坐标为
    x = [ x ( 1 ) , x ( 2 ) , . . . x ( n ) ] T ∈ R n x=[x^{(1)},x^{(2)},...x^{(n)}]^T\in{R^n} x=[x(1),x(2),...x(n)]TRn

    设超平面参数
    w = [ w ( 1 ) , w ( 2 ) , . . . w ( n ) ] T ∈ R n w=[w^{(1)},w^{(2)},...w^{(n)}]^T\in{R^n} w=[w(1),w(2),...w(n)]TRn

    b ∈ R b\in{R} bR

    则超平面方程可表示为
    w T x + b = 0 (1) w^T x+b=0\tag{1} wTx+b=0(1)


    2、超平面的法向量

    超平面的法向量满足:超平面中任意向量都与该法向量垂直。设超平面上的两个点为 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2,分别满足:
    w T x 1 + b = 0 (2) w^T x_1+b=0\tag{2} wTx1+b=0(2)

    w T x 2 + b = 0 (3) w^T x_2+b=0\tag{3} wTx2+b=0(3)

    两式相减,可得
    w T ( x 1 − x 2 ) = 0 (4) w^T (x_1-x_2)=0\tag{4} wT(x1x2)=0(4)

    v = ( x 1 − x 2 ) \bm{v}=(x_1-x_2) v=(x1x2),由于 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2是任取的,故 v \bm{v} v 表示超平面上的任意向量。这时我们可以发现,式 ( 4 ) (4) (4)的含义恰好是:平面上任意一个向量都与 w w w 相互垂直,因此 w w w 就是超平面 w T x + b = 0 w^T x+b=0 wTx+b=0的一个法向量。


    3、点到超平面的距离

    记超平面外一点为 x 0 x_0 x0 ,记点 x 3 x_3 x3 在超平面 w T ⋅ x + b = 0 w^T\cdot x+b=0 wTx+b=0上的投影点为 x 0 ′ x_0' x0,满足:
    w T ⋅ x 0 ′ + b = 0 (5) w^T\cdot x_0'+b=0\tag{5} wTx0+b=0(5)

    则有向量 u = ( x 0 − x 0 ′ ) \bm{u}=(x_0-x_0') u=(x0x0) 与平面 w T x + b = 0 w^T x+b=0 wTx+b=0的法向量 w \bm{w} w互相平行,则两者的数量积:
    w T ( x 0 − x 0 ′ ) = w ⋅ ( x 0 − x 0 ′ ) = ∣ w ∣ ∗ ∣ x 0 − x 0 ′ ∣ ∗ c o s ( 0   o r   π ) = ± ∣ w ∣ ∗ d (6) w^T(x_0-x_0')=w\cdot (x_0-x_0')=|w|*|x_0-x_0'|*cos(0~or~\pi)=\pm|w|*d\tag{6} wT(x0x0)=w(x0x0)=wx0x0cos(0 or π)=±wd(6)

    其中 d = ∣ x 0 − x 0 ′ ∣ d=|x_0-x_0'| d=x0x0 即为待求的点到超平面间的距离。

    另一方面,根据式 ( 5 ) (5) (5)消去可得

    w T ( x 0 − x 0 ′ ) = w T x 0 − w T x 0 ′ = w T x 0 − ( − b ) = w T x 0 + b (7) w^T(x_0-x_0')=w^Tx_0-w^Tx_0'=w^Tx_0-(-b)=w^Tx_0+b\tag{7} wT(x0x0)=wTx0wTx0=wTx0(b)=wTx0+b(7)

    结合 ( 6 ) ( 7 ) (6)(7) (6)(7),考虑到 d ≥ 0 d\ge0 d0,可得
    d = ∣ w T x 0 + b ∣ ∣ w ∣ (8) d=\frac{|w^Tx_0+b|}{|w|}\tag{8} d=wwTx0+b(8)

    这里上式中的 ∣ w ∣ |w| w 表示 w w w 的模长,模长作为绝对值概念的推广,在欧式空间中,模长常常称为L2范数(也称为Euclidean范数或者Frobenius范数)
    ∣ ∣ w ∣ ∣ F = ( w ( 1 ) ) 2 + ( w ( 2 ) ) 2 + . . . + ( w ( n ) ) 2 ||w||_F=\sqrt{(w^{(1)})^2+(w^{(2)})^2+...+(w^{(n)})^2} wF=(w(1))2+(w(2))2+...+(w(n))2

    所以, d d d 的表达式即为:
    d = ∣ w T x 0 + b ∣ ∣ ∣ w ∣ ∣ F (9) d=\frac{|w^Tx_0+b|}{||w||_F}\tag{9} d=wFwTx0+b(9)

    这样来看,平面直角坐标系下的点到直线距离公式便是上式的一个特例。


    4、平行超平面之间的距离公式

    趁热打铁,继续推导平行超平面间的距离公式,设两个不重合的平行超平面分别为:
    w 1 T x + b 1 = 0 w_1^T x+b_1=0 w1Tx+b1=0

    w 2 T x + b 2 = 0 w_2^T x+b_2=0 w2Tx+b2=0

    由于两个超平面互相平行,因此由 2 2 2 中对法向量的讨论可知,两个超平面的法向量互相平行,我们取两个互相重合的法向量,即
    w = w 1 = w 2 w=w_1=w_2 w=w1=w2

    则可得
    w T x + b 1 = 0 (10) w^T x+b_1=0\tag{10} wTx+b1=0(10)

    w T x + b 2 = 0 (11) w^T x+b_2=0\tag{11} wTx+b2=0(11)

    P ( x 0 ) P(x_0) P(x0) 为平面1上的一个点,即满足:
    w T x 0 + b 1 = 0 (12) w^Tx_0+b_1=0\tag{12} wTx0+b1=0(12)

    则根据点到超平面的距离公式可得点 P ( x 0 ) P(x_0) P(x0) 到超平面2的距离 d d d 满足:
    d = ∣ w T x 0 + b 2 ∣ ∣ ∣ x 0 ∣ ∣ F = ∣ − b 1 + b 2 ∣ ∣ ∣ w ∣ ∣ F d=\frac{|w^Tx_0+b_2|}{||x_0||_F}=\frac{|-b_1+b_2|}{||w||_F} d=x0FwTx0+b2=wFb1+b2

    上式最后一步用到了式 ( 12 ) (12) (12)。最后我们得到了平行超平面之间的距离公式为
    d = ∣ b 2 − b 1 ∣ ∣ ∣ w ∣ ∣ F (13) d=\frac{|b_2-b_1|}{||w||_F}\tag{13} d=wFb2b1(13)

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    平面向量内积的坐标运算与距离公式

    德清乾元职高

    朱见锋

    【教材分析】

    本课是在平面向量坐标运算、

    内积定义基础上学习的,

    主要知识是平面向量内积的坐标运算与平面内两点

    间的距离公式,是后面学习曲线方程的重要公式和推导依据,是进一步学习相关数学知识的重要基础。

    【教学目标】

    1.

    掌握平面向量内积的坐标表示,会应用平面向量内积的知识解决平面内有关长度、两向量的夹角和垂直的问题.

    2.

    能够根据平面向量的坐标,判断两向量是否垂直,求两向量的夹角等。

    3.

    通过学习平面向量的坐标表示,使学生进一步了解数学知识的相同性,培养学生辩证思维能力.提高学生数学知识

    的应用能力。

    【教学重点】

    :平面向量内积的坐标公式式,平面向量垂直的充要条件,平面内两点间距离公式的应用.

    【教学难点】

    :平面向量内积的坐标公式的推导和应用。

    【教学方法】

    本节课采用问题启发式教学和讲练结合的教学方法.

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  • 点到平面距离公式的推导

    千次阅读 2017-03-22 10:09:41
    点到平面距离公式 准备知识 平面的一般式方程 Ax +By +Cz + D = 0 其中n = (A, B, C)是平面的法向量,D是将平面平移到坐标原点所需距离(所以D=0时,平面过原点) 向量的模(长度) 给定一个向量V(x, y, z)...

    点到平面的距离公式

    准备知识

    平面的一般式方程

    Ax +By +Cz + D = 0

    其中n = (A, B, C)是平面的法向量,D是将平面平移到坐标原点所需距离(所以D=0时,平面过原点)

    向量的模(长度)

    给定一个向量V(x, y, z),则|V| = sqrt(x * x + y * y + z * z)

    向量的点积(内积)

    给定两个向量V1(x1, y1, z1)和V2(x2, y2, z2)则他们的内积是

    V1V2 = x1x2 + y1y2 + z1z2

    点到平面的距离

    有了上面的准备知识,则求点到直线的距离不再是难事,有图有真相

    如果法相量是单位向量的话,那么分母为1

    转载自:http://www.cnblogs.com/graphics/archive/2010/07/10/1774809.html

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  • 点到平面距离公式

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    准备知识

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    Ax +By +Cz + D = 0

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    给定一个向量V(x, y, z),则|V| = sqrt(x * x + y * y + z * z)

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    V1V2 = x1x2 + y1y2 + z1z2

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  • 点到平面距离公式推导

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    简单推导点到直线的距离公式
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空空如也

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平面与平面之间的距离公式