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  • 文章目录1、超平面一般表示形式2、超平面的法向量3、点到超平面的距离4、平行超平面之间的距离公式   1、超平面一般表示形式 在n维空间中,设任意点坐标为 xT=[x(1),x(2),...x(n)]T∈Rnx^T=[x^{(1)},x^{(2)},...x^...


    1、超平面一般表示形式

    在n维空间中,设任意点坐标为
    x=[x(1),x(2),...x(n)]TRnx=[x^{(1)},x^{(2)},...x^{(n)}]^T\in{R^n}

    设超平面参数
    w=[w(1),w(2),...w(n)]TRnw=[w^{(1)},w^{(2)},...w^{(n)}]^T\in{R^n}

    bRb\in{R}

    则超平面方程可表示为
    wTx+b=0(1)w^T x+b=0\tag{1}


    2、超平面的法向量

    超平面的法向量满足:超平面中任意向量都与该法向量垂直。设超平面上的两个点为x1x_1x2x_2,分别满足:
    wTx1+b=0(2)w^T x_1+b=0\tag{2}

    wTx2+b=0(3)w^T x_2+b=0\tag{3}

    两式相减,可得
    wT(x1x2)=0(4)w^T (x_1-x_2)=0\tag{4}

    v=(x1x2)\bm{v}=(x_1-x_2),由于x1x_1x2x_2是任取的,故 v\bm{v} 表示超平面上的任意向量。这时我们可以发现,式(4)(4)的含义恰好是:平面上任意一个向量都与 ww 相互垂直,因此 ww 就是超平面wTx+b=0w^T x+b=0的一个法向量。


    3、点到超平面的距离

    记超平面外一点为 x0x_0 ,记点 x3x_3 在超平面wTx+b=0w^T\cdot x+b=0上的投影点为 x0x_0',满足:
    wTx0+b=0(5)w^T\cdot x_0'+b=0\tag{5}

    则有向量 u=(x0x0)\bm{u}=(x_0-x_0') 与平面wTx+b=0w^T x+b=0的法向量w\bm{w}互相平行,则两者的数量积:
    wT(x0x0)=w(x0x0)=wx0x0cos(0 or π)=±wd(6)w^T(x_0-x_0')=w\cdot (x_0-x_0')=|w|*|x_0-x_0'|*cos(0~or~\pi)=\pm|w|*d\tag{6}

    其中 d=x0x0d=|x_0-x_0'| 即为待求的点到超平面间的距离。

    另一方面,根据式(5)(5)消去可得

    wT(x0x0)=wTx0wTx0=wTx0(b)=wTx0+b(7)w^T(x_0-x_0')=w^Tx_0-w^Tx_0'=w^Tx_0-(-b)=w^Tx_0+b\tag{7}

    结合(6)(7)(6)(7),考虑到 d0d\ge0,可得
    d=wTx0+bw(8)d=\frac{|w^Tx_0+b|}{|w|}\tag{8}

    这里上式中的 w|w| 表示 ww 的模长,模长作为绝对值概念的推广,在欧式空间中,模长常常称为L2范数(也称为Euclidean范数或者Frobenius范数)
    wF=(w(1))2+(w(2))2+...+(w(n))2||w||_F=\sqrt{(w^{(1)})^2+(w^{(2)})^2+...+(w^{(n)})^2}

    所以,dd 的表达式即为:
    d=wTx0+bwF(9)d=\frac{|w^Tx_0+b|}{||w||_F}\tag{9}

    这样来看,平面直角坐标系下的点到直线距离公式便是上式的一个特例。


    4、平行超平面之间的距离公式

    趁热打铁,继续推导平行超平面间的距离公式,设两个不重合的平行超平面分别为:
    w1Tx+b1=0w_1^T x+b_1=0

    w2Tx+b2=0w_2^T x+b_2=0

    由于两个超平面互相平行,因此由 22 中对法向量的讨论可知,两个超平面的法向量互相平行,我们取两个互相重合的法向量,即
    w=w1=w2w=w_1=w_2

    则可得
    wTx+b1=0(10)w^T x+b_1=0\tag{10}

    wTx+b2=0(11)w^T x+b_2=0\tag{11}

    P(x0)P(x_0) 为平面1上的一个点,即满足:
    wTx0+b1=0(12)w^Tx_0+b_1=0\tag{12}

    则根据点到超平面的距离公式可得点 P(x0)P(x_0) 到超平面2的距离 dd 满足:
    d=wTx0+b2x0F=b1+b2wFd=\frac{|w^Tx_0+b_2|}{||x_0||_F}=\frac{|-b_1+b_2|}{||w||_F}

    上式最后一步用到了式(12)(12)。最后我们得到了平行超平面之间的距离公式为
    d=b2b1wF(13)d=\frac{|b_2-b_1|}{||w||_F}\tag{13}

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  • SVM:任意点到超平面的距离公式

    万次阅读 多人点赞 2018-10-18 11:05:06
    任意点 到超平面的距离公式 在样本空间中,划分超平面可通过... b 为位移项,决定了超平面与原点之间的距离.显然,划分超平面可被法向量 ω 和位移 b 确定 。 任意点到超平面的距离公式为: 推到如下: ...
    任意点 到超平面的距离公式

    在样本空间中,划分超平面可通过如下线性方程来描述:
    在这里插入图片描述
    其中 w 决定了超平面的方向 ; b 为位移项,决定了超平面与原点之间的距离.显然,划分超平面可被法向量 ω 和位移 b 确定 。

    任意点到超平面的距离公式为:

    推到如下:

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  • 点到平面的距离公式推导

    万次阅读 2018-09-27 20:34:25
    其中,n=(A,B,C)是平面的法向量,D决定了平面与原点之间的距离,当D=0时,平面经过原点。   (2) 向量的模(长度): 给定一个向量V=(x,y,z),则   (3) 向量的点积(内积): 给定两个向量和,则它们的内积为:...

    预备知识:

    (1) 平面的一般表达式:

    其中,n=(A,B,C)是平面的法向量,D决定了平面与原点之间的距离,当D=0时,平面经过原点。

     

    (2) 向量的模(长度):

    给定一个向量V=(x,y,z),则

     

    (3) 向量的点积(内积):

    给定两个向量,则它们的内积为:

     

    点到直线的距离公式推导:

     

    参考博客:http://www.cnblogs.com/graphics/archive/2010/07/10/1774809.html

     

    --------------------- 本文来自 懒懒的杰威 的CSDN 博客 ,全文地址请点击:https://blog.csdn.net/u011483307/article/details/51034169?utm_source=copy

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  • b 为位移项,决定了超平面与原点之间的距离.显然,划分超平面可被法向量 ω 和位移 b 确定 。 其中任意点到超平面的距离公式y为: 上述是点在超平面的正一侧的情形,如何点再在超平面负的一侧,只需在公式前加-...

    支持向量机就是找到划分超平面中间隔最大的超平面,设定划分超平面的线性方程为:

     其中 w 决定了超平面的方向 ; b 为位移项,决定了超平面与原点之间的距离.显然,划分超平面可被法向量 ω 和位移 b 确定 。

    其中任意点到超平面的距离公式y为:

     

     上述是点在超平面的正一侧的情形,如何点再在超平面负的一侧,只需在公式前加-号即可。

    综上所述,点与超平面的距离公式可表示为:
    yi*y

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