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  • 直线与平面夹角

    千次阅读 2012-04-23 19:45:37
    按两向量夹角余弦的坐标表示式,有    因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行,直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直,所以

    直线与平面的夹角

      1. 直线与平面的夹角

      

      2. 夹角的坐标表达式

      设直线的方向向量 ,平面的法线向量为 ,直线与平面的夹角为 ,那么 ,因此 .按两向量夹角余弦的坐标表示式,有

     

      因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行,直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直,所以

      (1)直线与平面垂直相当于

      (2)直线与平面平行或直线在平面上相当于

      

       3   求过点 且与平面 垂直的直线的方程.


    来源:http://web.nuist.edu.cn/courses/gdsx/calculus1/CHAP7/section6/7.6.4.1.HTM

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  • 计算法向量与平面余弦值 #include #include #include #include "stdio.h" #include #define npoint 235992 double mo(double i,double j,double k) {
  • 平面三点计算夹角

    万次阅读 2017-02-13 21:09:14
    平面给定三点,计算夹角的三种方法。

    纯数学问题,今天正好有人询问到,搜索复习几何知识,留此记录。

    平面给定三点,计算夹角有三种方法:

    1 使用向量计算

    关于向量a和b,向量夹角余弦公式
       a*b = |a||b|cosTheta
    所以 
       夹角 = acos(a*b) / (|a|*|b|)

    两向量的数量积 = a.x*b.x + a.y*b.y

    向量的模 = sqrt(x*x+y*y)

    在二维下,计算量是最小的一种方法了(节约了sqrt计算),只需要一次acos

    例,三个点A(1,1), B(2,1), C(2,2)

    AB=(B.x-A.x, B.y-A.y)=(1,0)

    AC=(C.x-A.x, C.y-A.y)=(1,1)

    cosA = (AB*AC)/(|AB|*|AC|)=1/2=√2/2, 则夹角BAC=45度

    2 余弦定理

    cosA = (AB*AB + AC*AC - BC*BC ) / 2*AB*AC

    例,三个点A(1,1), B(2,1), C(2,2)

    cosA = (1+2-1)/2*1*2=1/2=√2/2, 则夹角A=45度

    3 单独计算AB和AC的角度

    分别求出直线AB, AC的斜率,得到对应的角度,两线角度之差即为夹角,考虑到夹角的方向,顺时钟夹角定为正

    AB的角度:atan2(AB.y, AB.x)

    AC的角度:atan2(AC.y, AC.x)

    计算AB和AC的差


    在JavaScript中使用第二种方法实现:

    var lengthAB = Math.sqrt( Math.pow(pointA.X - pointB.X, 2) + 
                    Math.pow(pointA.Y - pointB.Y, 2)),
        lengthAC = Math.sqrt( Math.pow(pointA.X - pointC.X, 2) + 
                    Math.pow(pointA.Y - pointC.Y, 2)),
        lengthBC = Math.sqrt( Math.pow(pointB.X - pointC.X, 2) + 
                    Math.pow(pointB.Y - pointC.Y, 2));
    var cosA = (Math.pow(lengthAB, 2) + Math.pow(lengthAC, 2) - Math.pow(lengthBC, 2)) / 
                    (2 * lengthAB * lengthAC);
    var angleA = Math.round( Math.acos(cosA) * 180 / Math.PI );

    Math反三角函数返回值是弧度,若需要的是角度时还应将弧度转换,如最末行所示。

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  • 平面上两直线的夹角求法解析

    万次阅读 2019-04-01 13:21:49
    但是,该问题完全可以作为三角恒等式中两角差的正切公式:,平面向量中直线法向量夹角余弦及直线方向向量夹角余弦的应用来进行考查. 二、基本概念 ①平面上直线方程的两种常用表示: 直线的点斜式方程:;...

    平面上两直线的夹角求法解析

    一、内容概述

    在2004年审定的人教A和B版教材中,平面两条直线的夹角概念与相应问题没有涉及到.但是,该问题完全可以作为三角恒等式中两角差的正切公式:,平面向量中直线法向量夹角的余弦及直线方向向量夹角的余弦的应用来进行考查.

    二、基本概念

     

    ①平面上直线方程的两种常用表示:

    直线的点斜式方程:

    直线的一般式方程:不全为

     

    ②平面上两条相交直线夹角的概念:

    平面上两条相交直线所成四个角中的最小角,叫做两条直线的夹角.

     

    ③平面上两条直线所成角的范围:

    如果两条直线平行或重合,规定它们所成的角为

    如果两条直线垂直,规定它们的夹角为

    如果两条直线相交且互不垂直,则两直线的夹角范围为

     

    ④平面上直线的方向向量:

    基线与平面上一条直线平行或重合的向量,叫做直线的方向向量;

    直线点斜式方程的一个方向向量为

     

    ⑤平面上直线的法向量:

    基线与平面上一直线垂直的向量,叫做直线的法向量;

    直线的一般式方程不全为的一个法向量为

     

    三、理论推导

    1.已知倾斜角,根据两角差的正切公式求两直线夹角.

     

    证明:如下图所示,在平面直角坐标系中,直线的倾斜角为,直线的倾斜角为

    假设为直线所成的一角,显然,则,由公式得:

    又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角范围是,所以.从而得:

    即,平面上直线与直线的夹角

    2.已知直线的一般式方程,运用直线法向量夹角余弦求平面上两直线夹角.

    证明:如下图所示,在平面直角坐标系中,直线的一般式方程为,一法向量;直线的一般式方程为,一法向量

     

    假设为直线所成的一角,显然(左图)或(右图)由法向量夹角的余弦得:

    又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角范围是,所以.从而得:

    即,平面上直线与直线的夹角

     

    3.已知直线的点斜式方程,利用直线方向向量夹角余弦求平面上两直线夹角.

    证明:如下图所示,在平面直角坐标系中,直线的点斜式方程为,一方向向量;直线的点斜式方程为,一方向向量

     

    假设为直线所成的角,显然(左图)或(右图),由方向向量夹角的余弦得:

    又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角范围是,所以.从而得:

    即,平面上直线与直线的夹角

     

    注意:可以求出直线一般式方程的某个方向向量,也可以求出直线点斜式方程的某个法向量.但是,无论利用哪一种方法,都必须谨记平面上两直线所成角与两直线夹角的区别:两直线夹角的范围是,即的三角函数值一定是非负的

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  • 说一句废话,概率密度函数的函数值是概率密度,表征该点处概率变化快慢,而不是概率值。同时,概率密度函数不是概率函数,也不是分布函数。 两个单位方向矢量夹角余弦值求解过程:

    概率密度函数的函数值是概率密度,表征该点处概率变化快慢,而不是概率值。同时,概率密度函数不是概率函数,也不是分布函数。
    两个单位方向矢量夹角的余弦值求解过程:
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  • 这个文档,介绍了平面内,求两个向量的夹角的算法,同时附上了C++的算法实现。很简单,希望可以帮助到需要的朋友
  • 方向余弦,向量夹角,向量的投影

    千次阅读 2020-11-13 10:18:32
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空空如也

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平面与平面夹角的余弦