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  • 高数__已知一个平面方程_求平行平面,并且经过某点
    2022-04-10 17:29:10

    201904 真题

    已知平面 π 经过点P(-1, 1,2),并且与平面2x-3y+6z-3=0平行, 求平面π的方程

    分析: 对于这种题型, 可以用点法式 来解决,  要用此方法,需要知道平面的法向量。

    解:由题目可得知 法向量为(2, -3,  6). 

           使用点法式方程求解: A(X-X0) + B(Y-Y0) + C(Z-Z0) = 0;

           所以  π的平面方程为  2(x+1) + (-3)(y-1)+ 6(z-2)=0.

    化简得到: 2x-3y+6z-7=0

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    • 根据直线的位置关系求参数值

    当直线方程中的系数含有参数时,参数的不同取值决定了直线的不同位置,因此应对参数的取值进行分类讨论,一般分为斜率存在和斜率不存在两种情况,再根据不同情况下应满足的关系,列式求解.或直接应用“知识划重点”中l3,l4所满足的条件列式求解. 敲黑板 根据位置关系转化为等量关系(不等关系)时,要注意等价性.如两直线平行⇔k1=k2且b1≠b2(或A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0),此时不要只得出k1=k2(或A1B2-A2B1=0).另外,求出参数值时注意代回检验,避免产生增根.
    • 根据直线的位置关系求解直线方程

    解答这类题通常有两种方法: ①根据l1∥l2⇒k1=k2,l1⊥l2⇒k1·k2=-1确定待求直线的斜率,再由点斜式得到直线的方程. ②由两直线平行(垂直)的方程特征设出方程,再由待定系数法求解. f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png 31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png 5.两条直线的交点与距离 (1)求两直线的交点坐标 设两条直线的方程为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则方程组 3bbcd6d86448f0b3bb9de535d9fafcfb.png 的解就是两条直线的交点坐标. ①若方程组有唯一解,则两条直线 相交 ,此解就是交点的坐标; ②若方程组无解,则两条直线 无公共点 ,此时两条直线 平行 ,反之亦成立. (2)距离公式的应用
    • 求距离

    应用距离公式求解即可. 敲黑板 ①求点到直线的距离时,必须把直线方程化为一般式Ax+By+C=0. ②求两条平行直线间的距离时,一定要把直线方程中x,y的系数化成一致的.
    • 已知距离求有关方程或有关量

    借助距离公式首先建立方程(组)得出参数的值或满足的关系式,然后结合题中其他条件确定方程、点的坐标等. 敲黑板 若已知点到直线的距离求直线方程,用一般式可避免讨论.否则,应讨论斜率是否存在. f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png 31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png 6.对称问题 (1) 点关于点对称 若点A(x1,y1)和点B(x2,y2)关于点C(a,b)对称,则由中点坐标公式得 05b8c29fde6363c24675466bd799c6de.png 从而可解. (2)直线关于点对称 方法1:根据两对称直线平行,求出已知直线上任一点的对称点,由点斜式可求对称直线的方程; 方法2:在已知直线上任取两点,分别求出两个对称点,由两点式可求得对称直线的方程. (3)点关于直线对称 若点A(x1,y1)和点B(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则满足方程组 7344f640de1636aa0b7923bcde76764b.png 进而求解 (4)直线关于直线对称 (1)若l1∥l2,l1与l2关于直线l对称,则可利用平行线间距离公式求解; (2)若l1∩l2=A,l1与l2关于直线l对称,且点A在直线l上,求出直线l1上任一点关于直线l的对称点B,由 两点式 可求得对称直线的方程. 敲黑板 点关于点的对称是基本问题,也是各种对称问题可转化的最终问题.抓住两点:一是“垂直”,两对称点连线与对称轴垂直;二是“平分”,两对称点连线段的中点在对称轴上. 声明:以上内容摘自包学习APP_动态教辅《 数学丨动态题型包 》,欢迎来包学习和更多小伙伴一起学习更多知识吧。 c79161691cef18b290ffba06024dbe90.png 点击
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  • 旋转三维平面某一坐标平面平行

    千次阅读 2020-11-07 11:29:05
    坐标平面平行的三维平面绕着一个轴,旋转一个角度,使得其某一个坐标平面平行。 一、原理分析 实现步骤: 1. 获得拟合出的平面的法向量 2. 找到参考向量,如要XOY平面平行,参考向量为(0,0

    在上一篇文章(https://blog.csdn.net/weixin_38636815/article/details/109495227)中我写了如何使用ceres,根据一系列的点来拟合一个平面,很难保证ORB-SLAM输出的轨迹严格与某一个坐标平面平行,所以这篇文章我我将说一下,如何将不与任何一个

    坐标平面平行的三维平面绕着一个轴,旋转一个角度,使得其与某一个坐标平面平行。

    一、原理分析

    实现步骤:

    1. 获得拟合出的平面的法向量

    2. 找到参考向量,如要与XOY平面平行,参考向量为(0,0,1)的转置,与XOZ平面平行,参考向量为(0,1,0)的转置,与YOZ平面平行,参考向量为(1, 0, 0)的转置。

    因为SLAM中的相机坐标系为(水平朝前放置相机时)Z轴朝前,X轴朝右, Y轴朝下,也就是说Z轴就是相机朝着的方向,我们在实际安装时也多数水平朝前安装

    有时会有一些俯仰角,所以一般情况下我会把XOZ平面作为参考面,那么参考向量就是(0,1,0)向量的转置。

    3. 根据“向量的点积”来求解两个向量之间的夹角。

     

    4. 根据“向量的叉乘”求解垂直于两个向量构成的平面的法向量。因为两个向量的叉乘得到的新向量

    就是一个同时垂直于两个向量的向量。

    上面第4步求解出的向量就是我们的旋转轴,第三步求解出来的角度就是需要旋转的角度,我们将拟合出来的

    平面绕着这个轴,旋转一个角度,就可以将这个平面旋转到与参考平面平行的地方。

    注意:(1)上面求解出的角度是以弧度为单位,(2)上面求解出的旋转轴向量要进行归一化处理,否则后续求解的结果会出错。

    二、代码讲解

    下面有两种方法可以进行求解,一种是使用opencv的方法,一种是使用Eigen的方法。

    1. 首先求解出旋转轴和旋转向量

    //a,b,c为求解出的拟合平面的法向量,是进行归一化处理之后的向量。
    cv::Point3d plane_norm(a, b, c);
    //xz_norm是参考向量,也就是XOZ坐标平面的法向量
    cv::Point3d xz_norm(0.0, 1.0, 0.0);
    std::cout<<"plane_norm: "<<plane_norm<<std::endl;
    std::cout<<"xz_norm: "<<xz_norm<<std::endl;
    //求解两个向量的点乘
    double v1v2 = plane_norm.dot(xz_norm);
    //计算平面法向量和参考向量的模长,因为两个向量都是归一化之后的,所以这里的结果都是1.
    double v1_norm = plane_norm.x*plane_norm.x + plane_norm.y*plane_norm.y + plane_norm.z*plane_norm.z;
    double v2_norm = xz_norm.x*xz_norm.x + xz_norm.y*xz_norm.y + xz_norm.z*xz_norm.z;
    //计算两个向量的夹角
    double theta  = std::acos(v1v2/(std::sqrt(v1_norm)*std::sqrt(v2_norm)));
      
    //根据向量的叉乘求解同时垂直于两个向量的法向量。
    cv::Point3d axis_v1v2 = xz_norm.cross(plane_norm);
    
    //对旋转向量进行归一化处理
    double v1v2_2 = axis_v1v2.x*axis_v1v2.x + axis_v1v2.y*axis_v1v2.y + axis_v1v2.z*axis_v1v2.z;
    double v1v2_n = std::sqrt(v1v2_2);
    axis_v1v2 = axis_v1v2/v1v2_n;
    std::cout<<"axis_v1v2: "<<axis_v1v2<<std::endl;
    std::cout<<"theta: "<<theta<<std::endl;

    2. 根据旋转轴和旋转向量求解旋转矩阵

    (opencv法)

    //-theta表示改变旋转的方向
    cv::Point3d axis_v1v2_cv = -theta* axis_v1v2;//轴角,角度乘以方向
    std::cout<<"axis_v1v2_cv: "<<axis_v1v2_cv<<std::endl;
    
    cv::Mat R_vec=(cv::Mat_<double>(3,1)<<axis_v1v2_cv.x,axis_v1v2_cv.y,axis_v1v2_cv.z);
    
    cv::Mat rotation;
    cv::Rodrigues(R_vec,rotation);
    std::cout<<" rotation  CV::"<<rotation<<std::endl;
    
    for (size_t i = 0; i < locations.size(); i++)
    {
        cv::Mat Pt=(cv::Mat_<double>(3,1)<<locations[i][0],locations[i][1],locations[i][2]);
    
        cv::Mat afterPt=rotation*Pt;
    
        std::cout<<"orignal     "<<locations[i].transpose()<<"      cv  Translate   "<<afterPt.t()<<std::endl;
    
     }

    (Eigen法)

    Eigen::AngleAxisd ro_vector(-theta, Eigen::Vector3d(axis_v1v2.x, axis_v1v2.y, axis_v1v2.z));
    Eigen::Matrix3d ro_matrix = ro_vector.toRotationMatrix();
    std::cout<<"rotation eigen "<<ro_matrix<<std::endl;
        
    std::vector<Eigen::Vector3d> new_points;
    double sum  = 0;
    for(int i = 0; i<locations.size(); i++)
    {
        Eigen::Vector3d newP;
            
        //计算点到平面上的距离,只处理那些距离平面距离很小的点。
        double x = locations[i].x();
        double y = locations[i].y();
        double z = locations[i].z();
    
        //计算每一个真实点到拟合出来的平面的距离,求出总距离,求解平均距离
        double dist2 = (a*x + b*y + c*z+d)*(a*x + b*y + c*z+d);
        sum =+ std::sqrt(dist2); 
        newP.x()=x;
        newP.y()=y;
        newP.z()=z;
        Eigen::Vector3d new_point = ro_matrix*newP;
        std::cout<<"newP: "<<new_point.transpose()<<"    orignal"<<newP.transpose()<<std::endl;      
        }

    根据上面的步骤,我们就可以将拟合出来的平面旋转到参考平面。

    如何验证我们的旋转对不对呢,你可以检验经过旋转之后的3D点是不是某一个维度上的值全部稳定在一个值附近。下图中y轴的值稳定在比较小的值,这样

    我们取出x和z轴上的两维坐标去画图,得到的轨迹失真性更小。

     

    三、将旋转后的3D平面画在图像上

    将轨迹点画到图像上,其中一个重要的思想就是点坐标的转换。

    在下面段代码中,将原始轨迹点按照求解出来的旋转变换,进行旋转,旋转到平行于指定的坐标平面。并且求出实际点的最大值和最小值(作用在下文中有体现)

    double min_x = 10e5;
    double max_x = 10e-5;
    double min_y = 10e5;
    double max_y = 10e-5;
    for (size_t i = 0; i < locations.size(); i++)
        {
            cv::Mat Pt=(cv::Mat_<double>(3,1)<<locations[i][0],locations[i][1],locations[i][2]);
    
            cv::Mat afterPt=rotation*Pt;
    
           
            double x = afterPt.at<double>(1,0);
            double y = afterPt.at<double>(2,0);
            
            plane_points.push_back(cv::Point2d(x, y));
    
            if(min_x > x) min_x = x;
            if(max_x < x) max_x = x;
    
            if(min_y > y) min_y = y;
            if(max_y < y) max_y = y;
            //求出这些点中的水平方向的最大值最小值和竖直方向的最大值最小值
            std::cout<<"orignal     "<<locations[i].transpose()<<"      after rotated   "<<afterPt.t()<<std::endl;
        }
    

     step1: 根据实际点的大小计算生成图像的长宽

    step2: 将实际点中为负的点,通过减去最小值,转换到正点上

    step3: 然后就是把转换后的实际点按照原始比例画在图像上

        //计算实际点水平方向与竖直方向的长宽比值
        double wh = (max_x-min_x)/( max_y-min_y);
        //只设置高度,然后根据实际比利计算长度,这样可以确保画出来的轨迹图不失真。
        int img_height = 720;
        int img_width = img_height * wh;
        cv::Mat img(img_height, img_width, CV_8UC3, cv::Scalar(255, 255, 255));
        std::cout<<"img.size(): "<<img.size()<<std::endl;
    
        double scale_ = max(max_x-min_x, max_y-min_y);
        std::cout<<"scale_: "<<scale_<<std::endl;
    
        cv::Point2i center_p;
        std::vector<cv::Point2i> pixels;
        for(int i = 0; i<plane_points.size(); i++)
        {
            //首先将负数部分都转换到正数部分
            double x = plane_points[i].x - min_x;
            double y = plane_points[i].y - min_y;
    
            //std::cout<<"x: "<<x<<"   y:"<<y<<std::endl;
            // int u = img_width*x/(scale_);
            // int v = img_height*y/(scale_);
    
            int u = img_width*x/(max_x-min_x);
            int v = img_height*y/(max_y-min_y);
    
            std::cout<<"u: "<<u<<"  v:"<<v<<std::endl;
            cv::Point2i center_p(u,v);
            pixels.push_back(center_p);
        
            cv::circle(img, center_p, 2, cv::Scalar(0, 0, 255), -1, 8);
    	}
        for(int i = 1; i<pixels.size(); i++)
        {
            cv::Point2i start_point(pixels[i-1].x, pixels[i-1].y);
            cv::Point2i end_point(pixels[i].x, pixels[i].y);
    
            cv::line(img, start_point, end_point, cv::Scalar(0, 0, 255), 2);
    
        }

     

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  • 平面向量的所有公式-平面向量公式

    千次阅读 2020-12-18 23:08:41
    1平面向量的所有公式设a=(x,y),b=(x',y')。1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。AB+BC=AC。a+b=(x+x',y+y')。a+0=0+a=a。向量加法的运算律:交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。2、...

    1

    平面向量的所有公式

    a=

    (

    x

    y

    )

    b=(x'

    y')

    1

    、向量的加法

    向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

    AB+BC=AC

    a+b=(x+x'

    y+y')

    a+0=0+a=a

    向量加法的运算律:

    交换律:

    a+b=b+a

    结合律:

    (a+b)+c=a+(b+c)

    2

    、向量的减法

    如果

    a

    b

    是互为相反的向量,那么

    a=-b

    b=-a

    a+b=0. 0

    的反向量为

    0

    AB-AC=CB.

    共同起点,指向被减

    a=(x,y) b=(x',y')

    a-b=(x-x',y-y').

    3

    、数乘向量

    实数

    λ

    和向量

    a

    的乘积是一个向量,记作

    λa

    ,且∣

    λa

    =

    λ

    a

    ∣。

    λ

    0

    时,

    λa

    a

    同方向;

    λ

    0

    时,

    λa

    a

    反方向;

    λ=0

    时,

    λa=0

    ,方向任意。

    a=0

    时,对于任意实数

    λ

    ,都有

    λa=0

    注:按定义知,如果

    λa=0

    ,那么

    λ=0

    a=0

    实数

    λ

    叫做向量

    a

    的系数,

    乘数向量

    λa

    的几何意义就是将表示向量

    a

    的有向线段伸长或压

    缩。

    当∣

    λ

    ∣>

    1

    时,表示向量

    a

    的有向线段在原方向(

    λ

    0

    )或反方向(

    λ

    0

    )上伸长为原来

    的∣

    λ

    ∣倍;

    当∣

    λ

    ∣<

    1

    时,表示向量

    a

    的有向线段在原方向(

    λ

    0

    )或反方向(

    λ

    0

    )上缩短为原来

    的∣

    λ

    ∣倍。

    数与向量的乘法满足下面的运算律

    结合律:

    (λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)

    向量对于数的分配律(第一分配律)

    (λ+μ)a=λa+μa.

    数对于向量的分配律(第二分配律)

    λ(a+b)=λa+λb.

    数乘向量的消去律:

    如果实数

    λ≠0

    λa=λb

    那么

    a=b

    如果

    a≠0

    λa=μa

    那么

    λ=μ

    4

    、向量的的数量积

    定义:

    已知两个非零向量

    a,b

    OA=a,OB=b,

    则角

    AOB

    称作向量

    a

    和向量

    b

    的夹角,

    记作

    a,b

    〉并规定

    0≤

    a,b

    ≤π

    定义:

    两个向量的数量积

    (内积、

    点积)

    是一个数量,

    记作

    a•b

    a

    b

    不共线,

    a•b=|a|•|b|•cos

    a

    b

    ;若

    a

    b

    共线,则

    a•b=+

    -

    a

    ∣∣

    b

    ∣。

    向量的数量积的坐标表示:

    a•b=x•x'+y•y'

    向量的数量积的运算律

    a•b=b•a

    (交换律)

    (λa)•b=λ(a•b)(

    关于数乘法的结合律

    )

    (

    a+b)•c=a•c+b•c

    (分配律)

    向量的数量积的性质

    a•a=|a|

    的平方。

    a

    b

    =

    a•b=0

    |a•b|≤|a|•|b|

    向量的数量积与实数运算的主要不同点

    1

    、向量的数量积不满足结合律,即:

    (a•b)•c≠a•(b•c)

    ;例如:

    (a•b)^2≠a^2•b^2

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空空如也

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平面与平面平行的公式关系