3．数量积的几何应用
(1)向量垂直关系的判定：a.b=0
(2)向量的投影：
2．混合积的几何应用
(1) a,b,c共面⇔[abc]=0存在不全零的数λ,μ,γ，使得λa +μb +γc=0.
(2) 空间四点A,B,C,D共面⇔[abc]=0
(3) 以a,b,c为棱的四面体体积为：|[a b c]|/6
(4) 以a,b,c为棱的平行六面体体积为：|[a b c]|
四、空间平面及其方程
1．平面的点法式方程
设M(x0,y0,z0)为平面上的已知点，n=(A,B,C)为法向量，M(x,y,z)为平面上的任一点，则平面的点法式方程为：
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
2．平面的三点式方程
设M1 (x1,y1,z1)，M2 (x2,y2,z2)，M3 (x3,y3,z3)是某平面上不共线的三点，则由四点共面，四点构成的三个向量的混合积为零，可得平面的三点式方程：
3．平面的截距式方程
如果三点取为坐标轴上的点(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)，其中abc≠0，或者已知平面在三坐标轴上的截距为a,b,c，则平面的截距式方程为
x/a+y/b+z/c=1
4．平面的一般式方程
三元一次方程描述的图形为空间平面，即平面的一般式方程为：
Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C2≠0).
并且平面的法向量为n=(A,B,C)，任何满足方程的x,y,z的值构成在有序对(x,y,z)对应的点都为该方程描述的平面上的点。
【注】：法向量的哪两个分量为零，则该平面平行于这两个分量对应的坐标轴构成的坐标面。
五、空间直线及其方程
1．直线的向量式参数方程
设直线L过点M0(x0,y0,z0)，方向向量为s=(m,n,p)，其中m,n,p是不全为零的常数．在直线L上任取一点M(x,y,z)，并记
则直线L参数为t的向量式参数方程为
r=r0+ts(-∞
2．空间直线的坐标式参数方程
过点M0(x0,y0,z0)，方向向量为s=(m,n,p)的直线的坐标式参数方程为
3．空间直线的标准式方程
过点M0(x0,y0,z0)，方向向量为s=(m,n,p)的直线的标准式方程，或者对称式方程，点向式方程为
(x-x0)/m =(y-y0)/n =(z-z0)/p
4．空间直线的两点式方程
已知空间直线L上的相异的两点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则两点的连线构成的直线的两点式方程为
(x-x1)/(x2-x1) =(y-y1)/(y2-y1) =(z-z1)/(z2-z1)
(1)两平面平行 有，
且不等于D1/D2
【注】：若两直线平行或重合，则它们的夹角可看成是0或π；如果两直线垂直，则它们的夹角为π/2.
4．点到直线的距离
设点M1(x1,y1,z1)是直线
上的一点，s=(m,n,p)是直线的方向向量，则点M0(x0,y0,z0)到直线L的距离为由方向向量s与M1和M0构成的向量为邻边构成的平行四边形，在方向向量所在边上的高，即由平行四边形的面积公式可得
5．直线间的距离
平行直线之间的距离归结为一直线上的任一点到另一直线之间的距离，即平行直线之间的距离可以直接使用点到直线的距离公式计算得到。
如果两条直线为异面直线，即已知两直线的标准式方程分别为：
并设M1(x1,y1,z1)是直线L1上的点，s1=(m1,n1,p1)是它的一个方向向量；M2(x2,y2,z2)是直线L2上的点，s2=(m2,n2,p2)是它的一个方向向量，则两异面直线之间距离等于向量M1, M2构成的向量在向量s1ⅹs2上的投影的绝对值，即
6．平面与直线的位置关系
设平面和直线的方程分别为：
并设n=(A,B,C)是平面π的法向量，s=(m,n,p)是直线L的方向向量，M0(x0,y0,z0)是直线L上的一点，则有：
直线L在平面π上⇔n⊥s且
Ax0+By0+Cz0+D=0.
(3) 直线L与平面π相交⇔Am+Bn+Cp≠0.
(4) 规定直线L与它在平面π上的投影线的夹角θ为直线与平面的夹角，即
λ是不全为零的任意实数，则该方程能够表示的平面为除了平面π1的平面束中的所有平面；在利用平面束方程解决问题的过程中，减少了一个参数，简化问题求解过程，但是需要单独考虑平面π1。
七、构建图形数学描述形式的一般步骤
(1) 针对实际问题，绘制草图，构建合适的空间直角坐标系。
【注1】当然根据问题的描述的方便，也可以是其他坐标系，比如在三重积分中我们要讨论的柱坐标系、球坐标系等。
【注2】如果问题本身带有坐标信息，则绘制坐标系，并根据坐标特征绘制草图。
(2) 在图形上，或者空间任取一符合问题背景或相关几何意义的点，并设其坐标为M(x,y,z)。
(3) 依据问题提供的条件，比如物理意义、几何意义、已有等式等，构建相关的等式，并转化为点M的坐标变量x,y,z的等式；或者通过适当引入参数，将点M的坐标变量x,y,z描述为有关参数的表达式，如果是平面图形或曲线图形，则一个参数；如果是曲面图形，一般为两个参数。
(4) 化简相关等式，得到图形的方程描述形式。
八、旋转曲面
空间中，一条曲线绕一定直线旋转一周所得的曲面称为旋转曲面，定直线称为旋转曲面的旋转轴，曲线称为旋转曲面的母线．
比如，yOz坐标面上的曲线C:f(y,z)=0绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为
绕y轴旋转一周所成的旋转曲面的方程为
空间曲线
绕z轴旋转一周所得旋转曲面的参数方程为
【注1】如果三个方程能够消去两个参数得到x,y,z的表达式，则也就可以直接得到旋转曲面的一般方程。
九、柱面
在空间中，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所构成的曲面叫做柱面；直观地讲，柱面就是由平行于一定直线沿曲线移动时所形成的曲面，或者说是由一条直线连续平移而形成的。其中曲线叫做柱面的准线，直线叫做柱面的母线．
圆柱面：准线为圆，母线为垂直于圆所在平面的直线所形成的曲面。
比如准线为xOy面上的圆x2+y2=R2，母线垂直于xOy面，或平行于z轴的圆柱面方程为
x2+y2=R2。
类似有中心轴为y,x轴为中心轴的圆柱面方程
z2+x2=R2，y2+z2=R2。
椭圆柱面：准线为椭圆，母线为垂直于椭圆所在平面的直线所形成的曲面。比如准线取为xOy,yOz,zOx面上的椭圆，母线分别垂直三个坐标面的椭圆柱面方程分别为
双曲柱面：准线为双曲线，母线为垂直于双曲线所在平面的直线所形成的曲面。比如准线取为xOy,yOz,zOx面上的、实轴分别为x轴、y轴、z轴的双曲线，母线分别垂直三个坐标面的双曲柱面方程分别为
抛物柱面：准线为抛物线，母线为垂直于抛物线所在平面的直线所形成的曲面。比如，比如准线取为xOy面上的抛物线，母线为垂直xOy面的抛物柱面方程为
y^2=2px或x^2=2py。
十、常见标准曲面及其参数方程
1．球面
方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2所表示的曲面为球心在(x0,y0,z0)球面，半径为R的球面。借助三角恒等式，cos2t+sin2t=1，可将椭球面的方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2转为参数方程描述，即
特别有x2+y2+z2=1表示球心在原点，半径为1的球面。
2．椭球面
方程x2/a2+ y2/b2+ z2/c2=1所表示的曲面称为椭球面，其中a,b和c均为正常数。借助三角恒等式，cos2t+sin2t=1，可将椭球面的方程x2/a2+ y2/b2+ z2/c2=1转为参数方程描述，即
3．双曲面
双曲面分为单叶双曲面和双叶双曲面。
l单叶双曲面：平方项两正一负的和等于1的方程描述的曲面。即
其负向变量所对应的坐标轴为对称轴．
l双叶双曲面：平方项一正两负的和等于1的方程描述的曲面。即
其正向变量所对应的坐标轴为对称轴．
借助三角恒等式cos2t+sin2t=1及sec2t-tan2t=1，可将对称轴为z的单叶双曲面方程，双叶双曲面方程转换为参数方程描述，有
4．抛物面
抛物面包括椭圆抛物面和双曲抛物面。
l椭圆抛物面：具有1次方项等于两个平方项的和结构的方程所表示的曲面。即
如果a=b，则为旋转抛物面。
借助三角恒等式cos2t+sin2t=1，可将方程转换为参数方程描述，如
l双曲抛物面：1次方项等于两个平方项的差结构的方程所表示的曲面。如
由于双曲抛物面的形状像马鞍，所以它又称为马鞍面．
借助三角恒等式sec2t-tan2t=1，可将方程转换为参数方程描述。如对
5．二次锥面
在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面。直线称为锥面的母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。
如方程
描述的曲面图形为顶点在原点的椭圆锥面，其中心轴在分别为z轴，x轴，y轴．当a=b时为圆锥面。
由三角恒等式cos2t+sin2t=1，可得椭圆锥面的参数方程，如中心轴为z轴的椭圆锥面的参数方程为
十一、空间曲线的方程
1．空间曲线的一般方程
空间曲线总可以看成是某两个曲面的交线．设两曲面的方程为F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，则两个曲面的交线Γ可以用方程组描述为
该方程组也称为空间曲线C的一般方程．
【注1】空间曲线的一般方程不唯一。可以用任意两个过空间曲线的曲面的方程构成的方程组来描述；并且空间曲线也位于描述空间曲线的一般方程中两个方程的线性组合构成的方程
λF(x,y,z)+μG(x,y,z)=0
(其中λ,μ为不全为零的实数)描述的曲面图形上。这样就可以用相对简单的曲面方程来描述曲线。
2．空间曲线的参数方程
一般地，空间运动的质点的轨迹对应一条空间曲线。曲线C上动点M的坐标x,y,z可以用一个参数t的函数表示为
【注1】空间曲线参数方程参数的意义可以为运动时间，也可以是转动角度、弧度，或者为坐标变量等。
3．空间曲线一般方程与参数方程的相互转换的思路
将空间曲线的参数方程转换为一般方程描述比较简单，由三个参数表达式两两消去参数，则可以得到两个不包含参数的等式，它们一起构成空间曲线的一般方程。
将空间曲线的一般方程转换为参数方程描述的基本思路为：
(1) 如果空间曲线的一般方程的两个方程都是三个变量的方程，则通过消元，获得一个二元方程表达式，然后借助于二元方程的参数方程，写出两个变量的参数表达式，并代入其中一个方程解出另一变量关于参数的表达式。
(2) 如果空间曲线的一般方程中，有一个方程只有两个变量，则可以直接通过引入参数，写出两个变量的参数方程，然后利用另外一个方程解出另一变量的参数表达式。也可以利用两个变量的表达式用一个变量表示另外一个变量代入另一方程，由变换后的方程写出参数方程后得到参数方程。
(3) 如果空间曲线的一般方程中有一个方程为单独变量等于常数的表达式时，则直接将它代入另一个方程，由另一个方程写出对应的参数方程表达式，并联合这个表达式即可得所求空间曲线的参数方程。
(4) 如果有两个方程都是单独变量等于常数的表达式，则直接令另一变量为参数即可。
十二、空间曲线在平面上的投影
1．曲线在平面上的投影
设是一条空间曲线，是一个平面，曲线上每一点在平面上有一个垂足，曲线上的所有点在平面上的垂足所构成的曲线叫做曲线在平面上的投影曲线，简称投影，平面也称为投影面。
过曲线上的每一点，都有平面的一条垂线，这些垂线构成一个柱面，并且把这样的柱面称为曲线关于平面的投影柱面。
空间曲线在平面上的投影曲线就是投影柱面与平面的交线。
2．一般方程描述的空间曲线在坐标面上的投影方程
设空间曲线Γ的一般方程为
则Γ关于xOy、yOz、zOx坐标面的投影柱面方程可以通过方程组分别消去z,x,y变量得到。假设方程组消去变量z,x,y后得到的方程分别描述为
F(x,y)=0,G(y,z)=0,H(z,x)=0，
则以上三个方程分别描述了空间曲线关于坐标面xOy、yOz、zOx的投影柱面；并且空间曲线在三个坐标面上的投影曲线分别为
4．参数方程描述的空间曲线在坐标面上的投影方程
设空间曲线Γ的参数方程为
Γ:x=x(t),y=y(t),z=z(t)(t∈[t0,t1])，
则Γ关于xOy、yOz、zOx坐标面的投影柱面方程与投影曲线方程为
xOy投影柱面：x=x(t),y=y(t)，投影曲线：C:x=x(t),y=y(t),z=0(t∈[t0,t1])
yOz投影柱面：y=y(t),z=z(t)，投影曲线：C:x=0, y=y(t),z=z(t) (t∈[t0,t1])
zOx投影柱面：z=z(t), x=x(t)，投影曲线：C: x=x(t),y=0,z=z(t),(t∈[t0,t1])
【注1】空间曲面或立体图形在坐标面上的投影为空间曲面或围成立体的所有曲面上的点在坐标面上的投影点构成的平面区域，可以用投影区域的边界曲线为准线，垂直于坐标面的直线为母线形成的投影柱面与坐标面方程来描述。
【注2】空间直角坐标系中立体图形简图的绘制方法：在掌握基本立体几何形状，比如长方体、球体、柱体、平面、直线绘制的基础上，一般通过绘制一些关键性的曲线，比如围成立体图形的曲面的交线，平行于坐标面的平面截取空间图形所得的交线等，来描述图形的大致轮廓，帮助我们更好地理解和解决问题。

高中数学《平面向量高考题专项》
2020年高考已经结束，我们专门整理了近3年各地的平面向量高考题题型，为同学们能够更加明确高考中平面向量考查的具体内容与题型，这样也有利于同学们在学习认知上，可以更好的掌握方向。
题型一：平面向量的垂直与平行
该题型主要考查平面向量的基础坐标表示，还有相应的垂直关系与平行关系相应的公式运用，在解答分析的基础上，应该注意运算的准确度，属于简易题型，计算是至关重要的一个环节。
技巧：注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错。
题型二：平面向量数量积分析
该题型主要考查平面向量的数量积内容，掌握数量积基础公式运用和公式中各个数据的重要性，运算过程中，需要掌握平面向量相关模的公式技巧和平方技巧，细心注意题型中涉及的对象不同，应对的方向必须有所不同的特点，因题而异。
技巧一：计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角。
技巧二：平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直知识，考查学生的转化能力和计算求解能力。
技巧三：渗透了数学运算、直观想象素养，使用转化思想得出答案。
题型三：平面向量线性运算与多种延伸知识的结合
涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算。
学会利用定义、利用向量的坐标运算、利用数量积的几何意义，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用。
该题型考查平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合和方程思想解题。还要掌握根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要。具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

第2讲 两直线的位置关系
最新考纲 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
知 识 梳 理
1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2?k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，
l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交
直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组?
????A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，
A 2x ＋
B 2y ＋
C 2＝0的
解一一对应.
相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行?方程组无解； 重合?方程组有无数个解. 3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|
特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P
0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d (3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l
1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d 诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2?l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )

	

本章考点与要求：
 两个向量垂直、平行的条件；面面、线面、线线之间的夹角，点到直线的距离以及点到平面的距离，求平面方程和直线方程，利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。
下面的★表示该题的难度系数。
一、填空题(每题3分，共18分)
二、选择题(每题3分，共18分)
三、试解下列各题【每小题8分，共64分】
1、(★)已知空间三点Ａ(１，２，３)、Ｂ(２，－１，５)和Ｃ(３，２，－５)，求：(1)ＡＢＣ的ＡＢ边上的高。(2)ＡＢＣ所在的平面方程。
解析：面积问题，与叉乘有关系。至于平面方程，已知三个点，如果对三点式方程记得牢，就用三点式方程；如果忘记了三点式方程，就先用叉乘求法向量，再用点法式写出来。
求 1)直线与平面的交点坐标；
2)直线与平面的夹角；
3)直线在平面上的投影直线方程。
解析：求线面交点，直接参数方程代入即可；线面夹角直接用公式即可；
求投影直线方程，直接用一般式来表示，仅需要求出过直线L且与平面垂直的平面方程即可。
6、(★★★)1)求点A(1，2，-4)的关于平面3x - y - 2z = 0的对称点；
2)求点A(1，2，-4)的关于直线x = y/2 = z 的对称点。
解析：(1)设点A关于平面的对称点为B，连接AB，平面的法向量即为直线AB的方向向量，即可写出直线AB的参数方程，代入平面即可求出垂点。利用中点公式，可写出对称点坐标。
(2)关于点A关于直线的对称点B，可以作一个平面，其法向量即为直线的方向向量。点A 在平面上。然后求直线与平面的交点，进而利用中点公式求之。
解：(1)设点A关于平面的对称点为B，过AB的直线方程为：
解析：思路分析
思路1、只要求出所求直线方向向量即可。可利用所求直线与已知平面平行且与已知直线相交直接求。
利用与平面平行，即直线的方向向量与平面的法向量垂直，建立一个方程(1)。又与相交的特性，可以把参数的方程代入已知直线方程中，可以建立方程等式。联立即可解出方向向量。
8、(★★★★)一镜面放在平面：2x - y + 3z = 11上，在镜面上方有两点Ａ(１，２，－１)、Ｂ(－２，１，３)，现从Ａ点发射一束光至镜面上点Ｐ处，其反射光线通过Ｂ点，试求点Ｐ的位置(即坐标)。
解析：可以从2个角度衡量。
思路一、由物理学知识，过A点找出镜面的对称点M，连接MB，MB与镜面相交的点即为点P。
思路二、先建立与镜面垂直的平面，然后构造出两个平面的交线，进而得到交线的任一点的坐标，与A点、B点构成向量，通过角度进行确定参数。
6、设直线L过A (1,0,0), B (0,1,1)两点，将L绕Z轴旋转一周得到 曲面,它与平面z=0, z=2所围成的立体为Ω，(Ⅰ)求曲面的方程，(Ⅱ)求Ω的形心坐标.
注：本题的(Ⅱ)留到三重积分再做。
解析：根据直线方程公式很容易得到直线方程，进而可以得到曲面的方程．根据形心左边公式可以得到形心坐标．
本题考点：旋转曲面的方程及其图形；形心的计算．
考点点评：本题主要考察旋转曲面方程以及形心坐标的计算，属于基础题．