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    空间向量,如果一条直线与一平面平行,那么直线的方向向量与平62616964757a686964616fe78988e69d8331333431353934面的法向量关系:直线方向向量s与平面法向量n的数量积为0。即:s•n=0。直线与平面平行时,直线方向向量s与平面法向量n是垂直的关系。

    空间向量,如果一条直线与一平面垂直,那么直线的方向向量与平面的法向量关系:直线方向向量s与平面法向量n是平行的。即:s=λn,其中λ是常数。

    两个空间向量a,b向量(b向量不等于0),a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ,使a=λb。

    如果两个向量a,b不共线,则向量c与向量a,b共面的充要条件是:存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by。

    扩展资料:

    利用坐标法研究线面关系或求角和距离,关键是建立正确的空间直角坐标系,正确表达已知点的坐标。

    度量问题,它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角,而如何用向量证明线面平行,计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多,起到一个抛砖引玉的作用。

    斜线与平面所成的角就是求出斜线的方向向量与平面的法向量n的夹角,所求角为上述夹角的余角或者夹角减去π/2。点到平面的距离就是求出该面的法向量n在平面上任取(除被求点在该平面的射影外)一点。

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  • 4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题;5.能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题;6.并能描述解决夹角和距离的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.【知识...

    【考试要求】

    1.理解直线的方向向量及平面的法向量;

    2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系;

    3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理;

    4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题;

    5.能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题;

    6.并能描述解决夹角和距离的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.

    【知识梳理】

    1.直线的方向向量和平面的法向量

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    【微点提醒】

    1.平面的法向量是非零向量且不唯一.

    2.建立空间直角坐标系要建立右手直角坐标系.

    3.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值,即sin θ=|cos〈a,n〉|,不要误记为cos θ=|cos〈a,n〉|.

    4.二面角与法向量的夹角:利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面α,β的法向量n1,n2时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,来确定二面角与向量n1,n2的夹角是相等,还是互补.

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    【规律方法】

    (1)恰当建立坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,是运用向量法证明平行和垂直的关键.

    (2)证明直线与平面平行,只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面,或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.

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    【规律方法】

    (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.

    (2)用向量证明垂直的方法

    ①线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.

    ②线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示.

    ③面面垂直:证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示.

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    考点三 用空间向量解决有关位置关系的探索性问题

    角度1 与平行有关的探索性问题

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    【规律方法】 解决立体几何中探索性问题的基本方法

    (1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理.

    (2)探索性问题的关键是设点:①空间中的点可设为(x,y,z);②坐标平面内的点其中一个坐标为0,如xOy面上的点为(x,y,0);③坐标轴上的点两个坐标为0,如z轴上的点为(0,0,z);④直线(线段)AB上的点P,可设为=λ,表示出点P的坐标,或直接利用向量运算.

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    【反思与感悟】

    1.用向量法解决立体几何问题,是空间向量的一个具体应用,体现了向量的工具性,这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算,降低了空间想象演绎推理的难度,体现了由“形”转“数”的转化思想.

    2.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路:一种是用向量表示几何量,利用向量的运算进行判断;另一种是用向量的坐标表示几何量,共分三步:(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面,把立体几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系;(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.

    3.用向量的坐标法证明几何问题,建立空间直角坐标系是关键,以下三种情况都容易建系:(1)有三条两两垂直的直线;(2)有线面垂直;(3)有两面垂直.

    【易错防范】

    1.用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证明直线a∥b,只需证明向量a=λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外.

    2.用向量证明立体几何问题,写准点的坐标是关键,要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.

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  • 由于空间内有无数个直线垂直于已知平面,因此一个平面都存在无数个法向量(包括两个单位法向量)。2.空间直角坐标系空间解析几何相似,为了确定空间中任意一点的位置,需要在空间中引进坐标系,最常用的坐标系是空间...

    1.法向量

    法向量是空间解析几何的一个概念,垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面,因此一个平面都存在无数个法向量(包括两个单位法向量)。

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    2.空间直角坐标系

    与空间解析几何相似,为了确定空间中任意一点的位置,需要在空间中引进坐标系,最常用的坐标系是空间直角坐标系。

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    3.向量积

    向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛,通常应用于物理学光学和计算机图形学中。

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    4.向量空间

    向量空间又称线性空间,是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后,使许多问题的处理变得更为简洁和清晰,在此基础上的进一步抽象化,形成了与域相联系的向量空间概念。譬如,实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间,在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后,也构成向量空间,研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

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    5.线性运算

    线性运算是加法和数量乘法, 在实数领域像只包含加法和数量乘法二元一次方程就属于线性运算,如y=3x+5。如果是矩阵的加法和数乘运算,就称为矩阵的线性运算;如果是向量的加法和数乘运算,统称为向量的线性运算。对于不同线性运算一般有不同的形式,它们满足交换律、结合律、分配律等。

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  • 在讨论直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直等问题时,一个有效的思路是:明确直线、平面的方向向量、法向量,通过讨论这些向量的关系,来解决问题。在找到相关向量后,剩下的就是计算问题了;尤其是在...

    在讨论直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直等问题时,一个有效的思路是:明确直线、平面的方向向量、法向量,通过讨论这些向量的关系,来解决问题。在找到相关向量后,剩下的就是计算问题了;尤其是在解决是否平行和垂直问题时,往往这要比公理化的证明简单的多。

    直线的法向量

    定义:如果向量n与直线l垂直,则称向量n为l的法向量。

    设直线l有法向量c20cedfdc223739ded2dade036e3ab17.png,且经过点7227d7e5b9ee4d08e517303f6a26b2bf.png,则点P在直线l上的充要条件:e296fb5de05ebb3ecd60ee069570305d.png

    因为b35042f394b01343b97f1fc0cfc11bb8.png,所以直线的点法式方程为:14da4700c9f4ef8db583ad4be3d06d76.png

    如果直线有一般方程:db3acefa833e39d7bda9e617d336d619.png,若

    • A≠0,直线点法式:ee5aee37c8ca60f017a69e02eea1261b.png

    • B≠0,直线点法式:dc8be6562f3aeab0619cb9d1c7d61364.png

    所以直线db3acefa833e39d7bda9e617d336d619.png的法向量c20cedfdc223739ded2dade036e3ab17.png

    补充:直线db3acefa833e39d7bda9e617d336d619.png的方向向量为e05523a61d011c4ade7540006e106c37.png4bb3f97f2b1e9962b28afcbbc3853819.png

    空间平面的法向量

    与直线类似,平面c3c43411e951266c39b2578654d4598f.png的法向量为5a0957b8e8c45707011c0d1bbf219134.png

    两直线的关系

    设直线l1和l2的方程分别为2e25d0c4dd3a62345af1378655eb5801.png
    那么041e4453cff5f890253f4c6839fbef8c.png分别是直线l1和l2的的法向量。


    • 设直线l1和l2的夹角为α,1bb7d9cc798815e882650622909f3e17.png8d5b643e16c9f1b68d05f107ea7fbeb9.png的夹角为θ,则α=θ或α=π-θ,所以d360d63963270a3f5cf5c2d198942831.png。因为44386d4fc381279183e65b70629a5693.pngcba3735cf341221458cf11c8b749b2f2.png

    • 若直线l1和l2相交于一点,则过该点的直线:b5a6f33b1519f0b8879eaaf86a8701f4.png显然地,直线l1和l2的交点在该直线上,该直线的法向量74cb8ce8cf9cf797c74e1d40b06db16c.png根据平面向量基本定理知:用向量n₁和n₂可以表示出过交点的所有直线的法向量。

    • 如果l₁∥l₂,则n₁∥n₂,所以bac1632556f98e34e15a3562cc32865b.png;反之亦成立。

    • 如果l₁⊥l₂,则n₁⊥n₂,所以c8ab904effca26c6eef60df26327e942.png;反之亦成立。

    注意,上面的结论有个默认的前提:两个直线在同一平面上。如果是在空间中的两条直线,要讨论两直线的夹角(平行、垂直)的话,最好使用直线的方向向量。

    直线与平面的关系

    讨论空间中直线与平面的夹角问题,只需要讨论该直线的方向向量与平面的法向量的夹角。

    • 如果直线的方向向量与平面的法向量平行,则直线垂直于该平面。

    • 如果直线的方向向量与平面的法向量垂直:

      • 若直线与平面无交点,则直线平行于平面;

      • 若直线与平面有交点,则直线在平面上。

    平面与平面的关系

    设平面l₁和l₂的方程分别为7d2c085d0768df48cdefe5648b8c761f.png
    那么ce0c792109e9c9d5f6c44d878d6eb3a4.png分别是平面l₁和l₂的的法向量。


    类比直线与直线的关系,同样有:

    • 设平面l₁和l₂的夹角为α,73a15cff16e773785fcb5702a1e94b46.png87ffa19c6877363ef43c848ab7b05ee1.png的夹角为θ,则α=θ或α=π-θ,所以d360d63963270a3f5cf5c2d198942831.png。因为0b66174c5267134ae355a7a35bef8bb2.png50825a03cd4952a13d5cb8a096cbc5ed.png

    • 若平面l₁和l₂相交于一直线,则过该直线的平面:65791a65b9dd2604048e5d8b35aa5710.png显然地,平面l₁和l₂的交线在该平面上,该平面的法向量84310beb712e110287a6b77c72466451.png根据空间向量基本定理知:用n₁和n₂可以表示出过交线的所有平面的法向量。

    • 如果l₁∥l₂,则n₁∥n₂,所以6d1da746abd463b31eb86bae144f4f99.png

    • 如果l₁⊥l₂,则n₁⊥n₂,所以2a07d4c00a8df0575cac7aa7769c632e.png

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