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  • 方向向量和法向量的关系
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    2020-12-31 07:42:18

    法向量是空间解析几何的一个概念,垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面,因此一个平面都存在无数个法向量(包括两个单位法向量)。方向向量是一个数学概念,空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示,该向量称为这条直线的一个方向向量。

    在数学中,向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量),数量(或标量)只有大小,没有方向。

    向量的记法:印刷体记作黑体(粗体)的字母(如a、b、u、v),书写时在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点(A)和终点(B),可将向量记作AB(并于顶上加→)。

    在物理学和工程学中,几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量,比如一个物体的位移,球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量,即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系,例如向量势对应于物理中的势能。

    几何向量的概念在线性代数中经由抽象化,得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素,要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示,大小和方向的概念亦不一定适用。因此,平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。

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    空间向量,如果一条直线与一平面平行,那么直线的方向向量与平62616964757a686964616fe78988e69d8331333431353934面的法向量关系:直线方向向量s与平面法向量n的数量积为0。即:s•n=0。直线与平面平行时,直线方向向量s与平面法向量n是垂直的关系。

    空间向量,如果一条直线与一平面垂直,那么直线的方向向量与平面的法向量关系:直线方向向量s与平面法向量n是平行的。即:s=λn,其中λ是常数。

    两个空间向量a,b向量(b向量不等于0),a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ,使a=λb。

    如果两个向量a,b不共线,则向量c与向量a,b共面的充要条件是:存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by。

    扩展资料:

    利用坐标法研究线面关系或求角和距离,关键是建立正确的空间直角坐标系,正确表达已知点的坐标。

    度量问题,它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角,而如何用向量证明线面平行,计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多,起到一个抛砖引玉的作用。

    斜线与平面所成的角就是求出斜线的方向向量与平面的法向量n的夹角,所求角为上述夹角的余角或者夹角减去π/2。点到平面的距离就是求出该面的法向量n在平面上任取(除被求点在该平面的射影外)一点。

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    关键是求出平面上的所有点满足的方程,现在知道一个点还有法向量,那么在平面上取一个点用它和那个点组成向量,这个向量与法向量的点积为零,就求完了 三点式 共面就是三个向量的混合积为零,然后以减少x,y,z出现...

    向量

    点积,加减什么的就不说了

    叉积:

    在这里插入图片描述
    这个是叉积结果与原来两个向量的方向与模长的关系,其中模长为两者模长相乘后乘以夹角的sin值,方向符合右手规则,即四指从第一个向量的方向以最小的角度转向第二个向量时的大拇指方向,这里区别第一个向量和第二个向量是因为叉积的结果与向量的顺序有关,于是有以下性质
    在这里插入图片描述

    然后是如果我们给定两个向量的坐标且已知个坐标的叉积结果,那么怎么求叉积结果的坐标,这里以三维空间为例:
    在这里插入图片描述
    结合前面的性质,我们很容易能将两个向量相乘的结果转化为坐标向量的叉积,那么对于正交的三维坐标系(两个坐标叉积结果与另一个共线),我们有一个有用的结论
    在这里插入图片描述

    有用的东西

    在这里插入图片描述
    叉积的结果刚好是两个向量三角区域的面积的两倍,这个可以帮助我们计算已知坐标的三角形面积的计算

    混合积

    在这里插入图片描述
    由几何意义得轮换(不是乱换)值不变
    坐标计算方法为:
    在这里插入图片描述
    由于ijk是单位向量相当于结果就是将ijk换成c的坐标,当然和这里给出的值是一样的,这里这样写我觉得就是方便记忆

    有用的东西

    在这里插入图片描述

    平面

    点法式

    在这里插入图片描述
    关键是求出平面上的所有点满足的方程,现在知道一个点还有法向量,那么在平面上取一个点用它和那个点组成向量,这个向量与法向量的点积为零,就求完了

    三点式

    在这里插入图片描述
    共面就是三个向量的混合积为零,然后以减少x,y,z出现为标准选出三个向量就行了

    截距式

    在这里插入图片描述
    平行与哪个轴,哪个轴对应的下面的数字就是无穷大,就是不存在这个数。

    直线

    一般式

    就是两个平面方程联立

    点向式(对称式)

    要写方程,关键是找到直线上的满足的方程,已知一个点和方向向量,那么直线上的点与已知点的向量与方向向量平行,得到
    在这里插入图片描述

    参数式

    可以由对称式快速转化过来。
    令三个=t,将x,y,z用t表示

    转化

    关键是对称式和一般式的相互转换
    一般式到对称式:两个平面叉积求出方向向量,然后再找一个点就行了。
    对称式到一般式:就是两个等号连接的三个式子,随便取两个组合成两组作为方程联立后就是一般式方程。

    补充

    直线系

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    类比二维中的直线系方程

    点到平面的距离

    思路是在平面上找一个点然后与外面那个点连成一个向量,这个向量在平面法向量上的投影就是点到平面的距离。记公式更好形式与二维中点到直线的距离公式形式差不多。
    在这里插入图片描述

    判断两直线是否是异面的,顺便求距离

    在这里插入图片描述
    就是这样,如果高是零就说明是共面的

    已知直线与直线外一点求过该点且与直线垂直相交的直线

    1. 在直线上设一点(用参数式这样自带两个方程)(相交条件限定),再利用直线外那点与设的点的向量与直线方向向量垂直解出那点的坐标,进而得到方向向量,得到直线方程。
      在这里插入图片描述
    2. 利用s1和p2得到直线的垂面,再利用P1P2和s1的叉积得到方向向量,再结合P1或P2点写出平面方程,这两个方程联立就是所求直线的方程。

    在这里插入图片描述
    3. 已经有了一个点了,还要方向向量,利用方向向量与s1垂直和方向向量与P1P2和s1的叉积垂直得到方向向量
    在这里插入图片描述

    异面直线的公垂线方程

    在这里插入图片描述
    方向向量很好求但是点很难找,所以我们采用平面联立的方式,两个平面已经在图中画出来了,他们分别过P1,P2点并且以方向向量与s1,s2的叉积为法向量。
    在这里插入图片描述
    求出红蓝平面的方程,他们的交线即为所求

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    一、向量

    1、简单的高中那些就不说了....

    2、左右手系:

    右手系:将右手四指(拇指除外)从x轴方向以小于π的角度弯向y轴方向,如果拇指所指的方向为z轴的方向,则称此坐标系为右手系。

    左手系:将左手四指(拇指除外)从x轴方向以小于π的角度弯向y轴方向,如果拇指所指的方向为z轴的方向,则称此坐标系为左手系。

    3、单位向量的方向:设向量

    ,p的长度为

    ,则它的单位向量可以表示为

    所以向量投影的定义为:

    其中方向余弦是:

    三个方向余弦的平方和等于1,

    4、向量的内积:两个向量a和b的内积记作

    ,定义为下面的实数,

    ,若a与b中有一个为0的向量,则

    其中:

    5、对于任意的向量a,b,c,以及任意实数λ,有

    (1)若

    ,则

    (2)

    (3)

    (4)

    6、向量的外积:

    (1)定义:两个向量a与b的外积记作

    ,它仍是一个向量,将其长度规定为:

    ,它的方向规定为与a,b均垂直,并且使

    成右手系。

    (2)性质:

    ①若a,b中有一个为0,则a×b=0。

    ②a×b=0的充分必要条件是a与b共线。

    外积的几何意义:当a与b不平行时,

    表示以a和b为领边的平行四边形的面积。

    (3)外积的计算性质:对于任意的向量a,b,c,以及任意实数λ,外积有

    ;②

    ;③

    (4)外积的计算:设

    为了方便记忆可以写成:

    7、向量的混合积:

    (1)定义:三个向量a,b,c的混合积记作(a,b,c),它是一个数,规定

    (2)几何意义:以三个非零向量a,b,c为棱作一个平行六面体,其底面积为|a×b|,高为

    ,其中θ为c与a×b的夹角。于是该平行六面体的体积为

    (3)在空间直角坐标系中建立混合积的坐标表达式:

    从而有:

    注意,有的地方是写成

    此时他们定义的混合积是:

    二、空间平面及其方程

    1、平面的点法式方程:设π平面的法向量

    是π平面上的一点,因此其平面方程为:

    (其实很简单,记住原理使法向量和平面上的一条向量垂直就可以了)

    2、平面的一般式方程:

    ,其中

    ,这个方程称为平面的一般式方程

    (1)设C≠0,则方程可以化成:

    ,对照平面的点法式方程,我们可以知道这是一个过

    且以

    为法向量的平面。

    (2)特点:

    ①D=0时,方程表示一个过原点的平面。

    ②当D≠0时,若A,B,C中只有一个为零,则平面平行于某个坐标轴

    (如只有C=0时,平面的法向量与z轴垂直,因此平面平行于z轴)

    ③当D≠0时,若A,B,C中只有一个不为零,则平面平行于某坐标面

    (如只有A≠0,则平面的法向量平行于x轴,因此平面平行于yOz面)

    3、平面的截距式方程:当abc≠0时,平面

    在x、y、z轴上的截距分别为a、b、c,因此这种形式的平面称为平面的截距式方程。

    4、平面的三点式方程:用三点可以确定一个平面,三个点都在这个平面上面,设

    。则这三个点构成的三个向量他们的混合积等于0,所以得到方程

    5、两平面间的关系设两个平面:

    结论:

    (1)两个平面重合

    (2)两个平面平行

    (3)两个平面相交

    6、同轴平面束:经过同一条直线的所有平面的集合叫做同轴平面束。

    设l为平面π1和平面π2的交线,则可以设λ1和λ2,就可以得到

    以直线l为轴的平面束方程:

    三、空间直线及其方程

    1、直线的点向式方程(或者叫直线的对称式方程):设

    ,向量

    是l的方向向量,所以P(x,y,z)在l上

    向量P0P平行于s

    则有

    。此方程称为直线的点向式方程。

    2、直线的一般式方程:当

    时,由方程组确定:

    3、直线与直线的关系:设两条空间直线:

    分析:l1过点

    ,方向向量

    l2过点

    ,方向向量

    两直线固定点的向量P1P2为:

    (1)共面与异面的判断:s1、s2、P1P2的混合积为0则

    共面,否则两直线异面。

    (2)共面后判断是否重合、平行、相交。

    ①两直线重合

    ②两直线平行

    且不平行于向量

    ③两直线相交

    三个向量共面但s1与s2不平行

    四、直线与平面的关系,点和直线和平面的关系

    1、直线与平面的关系:

    ,

    .

    记s为l的方向向量

    ;π的法向量为

    (1)l在π上

    s垂直于n,且点

    满足平面π的方程

    (2)l与π平行

    方向向量s与n垂直,但是点

    不满足平面π的方程

    (3)l与π相交

    方向向量s与n不垂直

    (4)l与π垂直

    s//n(即s×n=0)

    2、直线与平面相互之间的夹角(都是锐角)

    设l1、l2的方向向量分别为s1,s2。平面π1和π2的法向量分别为n1和n2。

    (1)两条直线的夹角:s1和s2的夹角为θ,把

    (因为两直线的夹角一定为锐角)称为两直线的夹角。

    (2)两个平面的夹角:n1与n2的夹角是θ,把

    (因为平面的夹角一定为锐角)称为平面的夹角的夹角。

    (3)平面与直线的夹角:设s1和n1的夹角为θ,把

    称为直线l1与平面π1的夹角。有

    3、距离问题:

    (1)点到直线的距离:设

    是空间一定点,过点

    且方向向量为s的直线用

    表示;点P0到l的距离用

    表示。

    设θ为向量s与向量P1P0的夹角,则从图中可以得到有

    又因为从外积公式得到

    所以

    (2)点到平面的距离:设

    是空间一定点,过点

    且法向量n的平面用

    表示;点P0到l的距离用

    表示。

    设θ为向量n与向量P1P0的夹角,则从图中可以得到,

    由内积公式可以得到

    所以可以得到:

    (对于π平面的方程为:Ax+By+Cz+D=0,

    则公式为

    )

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