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  • 平面公式,射线公式学习总结

    千次阅读 2016-04-03 00:13:52
    平面公式1:n · (p - p0) = 0 点p与p0必须均位于同一平面,且n为此平面的法向量。 平面公式2:n · p + d = 0 平面公式2转换式:d = -n · p 由平面公式2可知: 如果d = 0,则点p位于当前平面上。 如果d > 0,则...

    平面公式:n · (p - p0) = 0

    pp0必须均位于同一平面,且n为此平面的法向量。

    平面公式:n · p + d = 0

    平面公式转换式:d = -n · p


    由平面公式可知:

    如果d = 0,则点p位于当前平面上。

    如果d > 0,则点p位于当前平面前方,并处于平面的正半区域。

    如果d < 0,则点p位于当前平面后方,并处于平面的负半区域。

    如果平面法向量n的模为1,则 n · p + d 就等于该平面到点p的最短有符号距离。


    射线公式:p(t) = p0 + tu

    p0为射线起始点向量,t为标量,u为射线方向。


    给定射线 p(t) = p0 + tu 和平面 n · p + d = 0,求该射线是否与平面相交以及交点的位置。此时可以将射线代入平面方程,并求解满足平面方程的参数t,这样就求出能够产生交点的参数的范围。

    n · p(t) + d = 0 
    n · (p0 + tu) + d = 0 
    n · p0 + n ·tu + d = 0 
    n · tu = -d - (n ·p0)
    t = (-d - (n ·p0)) / (n ·u)


    t不在区间[0, ∞]内,则射线与平面不相交。

    t位于区间[0,]内,可t带入射线方程,则可求得交点:

    p((-d -(n · p0)) / (n · u)) = p0 + ((-d -(n · p0)) / (n · u)) · u

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  •   最近在学习《统计学习方法》,在学习第一个机器学习算法 ——感知机时,提出了超平面的概念,以下为超平面公式的推导及空间中任意一点距离超平面距离的推导。方便日后复习。参考 超平面    ...

      最近在学习《统计学习方法》,在学习第一个机器学习算法 ——感知机时,提出了超平面的概念,以下为超平面公式的推导及空间中任意一点距离超平面距离的推导。方便日后复习。参考

    超平面

      在数学中,超平面是n维欧氏空间中,余维度为1的子空间[1]。即超平面是n维空间中的n-1维的子空间。它是平面中的直线、空间中的平面之推广。
      上面的这句话,读完应该不是很清楚,下面详细介绍一下。下面的解释参考了知乎上的文章:一根芦苇儿

    • 我们都知道,0维的点可以将1维的线分为两个部分:
      在这里插入图片描述
    • 1维的线可以将2维的平面分成两个部分:
      在这里插入图片描述
    • 2维的面可以将3维的体分成两部分:
      在这里插入图片描述
        以此类推,n-1维的子空间,可以将n维的空间分为两个部分。所以超平面就是这个n-1维子空间,他就像3维空间中的平面,可以用来将n维空间分割成为两个部分。

    超平面公式

    超平面公式推导

      在n维空间中,超平面该如何表示?
      在n维空间中,假设x0为超平面上的一点,w为超平面的法向量,对于超平面上任意的一点x,都存在:

    令:
    则变为:
    这就是超平面的公式。
    点到超平面的距离

      设n维超平面的方程为:

    其中w为法向量,Q为平面上的一点。对于空间中的任意一点P,到超平面的距离为PQ在w上的投影,如下图所示:

    在这里插入图片描述
    如果求d,则可以更加三角函数关系知:

    而其中的夹角余弦值为:
    则可以得到点到超平面的距离为:
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  • 直线分割平面公式

    千次阅读 2018-09-07 19:51:51
    如果有2条直线,又可分为两种情况:第2条直线与第1条直线不相交,可分平面3部分,第2条直线与第1条直线相交,可分平面4部分,同理,3条直线最多可分平面7部分,4条直线最多可分平面11部分,再把这几个数分解,发现1=...

    如果没有一条直线,那么平面就可以看作1个部分;如果有1条直线,那么平面就被分成2个部分;如果有2条直线,又可分为两种情况:第2条直线与第1条直线不相交,可分平面3部分,第2条直线与第1条直线相交,可分平面4部分,同理,3条直线最多可分平面7部分,4条直线最多可分平面11部分,再把这几个数分解,发现1=1,2=1+1,4=1+1+2,7=1+1+2+3,11=1+1+2+3+4。由此我们可得到直线分平面公式:n条直线最多能把平面分成1+1+2+3+……+n个部分,即最多能把平面分成(n(n+1)+2)/2个部分,化简以后为(n^2)/2+n/2+1。

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  • //折线分割平面 2n^2-n+1 //直线分割平面 n(n+1)/2 + 1 //封闭曲线分割平面 n^2-n+2 //平面分割空间 (n^3+5n)/6+1 https://blog.csdn.net/D_mengxin/article/details/84940269

    //折线分割平面
    2n^2-n+1

    //直线分割平面
    n(n+1)/2 + 1

    //封闭曲线分割平面
    n^2-n+2

    //平面分割空间
    (n^3+5n)/6+1
    https://blog.csdn.net/D_mengxin/article/details/84940269

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  • 分割平面、空间问题 数学公式

    千次阅读 2018-06-05 19:17:05
    公式:f(n)=n(n+1)/2+1(2)折线分平面公式:f(n)=2n^2-n+1(3)封闭曲线分平面公式:f(n)=n^2-n+2(4)平面分割空间问题公式:f(n)=(n^3+5n)/6+1推导过程:(1) n条直线最多分平面问题题目描述:n条直线,最多可以把平面...
  • 初中平面几何公式大全.doc
  • 二维平面旋转公式

    千次阅读 2019-05-13 22:37:00
    在实际中,用到旋转公式的情况一般分二维平面旋转公式和三维立体旋转公式; 1 二维平面旋转公式 如下图,坐标系中的点v(x,y),绕零点,逆时针旋转theta角度,计算旋转后的点v’(x', y'); 2 二维坐标系旋转...
  • 平面直线一些公式

    千次阅读 2010-09-13 13:35:00
    平面定义公式 <br />直线公式: <br />
  • 平面图欧拉公式

    2021-03-06 00:22:19
    小知识点 欧拉公式用于平面图的标准形式为 V – E + F = C + 1,其中 V 为顶点数,E 为边数,F 为面数(包括图边界以外的面),C 为连通数。
  • 点到平面的距离公式的推导

    千次阅读 2017-03-22 10:09:41
    点到平面的距离公式 准备知识 平面的一般式方程 Ax +By +Cz + D = 0 其中n = (A, B, C)是平面的法向量,D是将平面平移到坐标原点所需距离(所以D=0时,平面过原点) 向量的模(长度) 给定一个向量V(x, y, z)...
  • 点到平面的距离公式

    千次阅读 2016-11-18 17:14:26
    最近在复习SVM的知识,其中有一个点到超平面公式无法理解,看了原博主的博文感觉豁然开朗,故在这里收藏一下,转自http://www.cnblogs.com/graphics/archive/2010/07/10/1774809.html 点到平面的距离公式...
  • 平面几何图形面积体积公式汇集.doc
  • 2020年高中数学第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式课时跟踪检测新人教B版必修2
  • 平面点的旋转公式

    2015-06-17 17:04:00
    定义:平面上绕它上面一点O的旋转,是使平面上任意一对对应点P和P’...变换公式 取直角坐标系,以原点O为旋转中心,旋转角为β,平面上任意一点P(x,y)旋转到P'(x',y') 旋转变换公式为 1 /// 点的旋转 ...
  • SVM:任意点到超平面的距离公式

    万次阅读 多人点赞 2018-10-18 11:05:06
    任意点 到超平面的距离公式 在样本空间中,划分超平面可通过如下线性方程来描述: 其中 w 决定了超平面的方向 ; b 为位移项,决定了超平面与原点之间的距离.显然,划分超平面可被法向量 ω 和位移 b 确定 。 ...
  • 2019版高中数学第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式练习新人教B版必修2
  • 点到平面的距离公式推导

    万次阅读 2018-09-27 20:34:25
    预备知识: (1) 平面的一般表达式: 其中,n=(A,B,C)是平面的法向量,D决定了平面与原点之间的距离,当D=0时,平面经过原点。...点到直线的距离公式推导:   参考博客:http://www.cnblogs.co...
  • 软件名称:坐标转换软件1.0 运行平台:windows98/me/2000 功能:根据相似变换原理利用四...采用最小二乘法建立平面坐标系统转换公式(参见《浙江测绘》2002(1)吉渊明“采用最小二乘法建立平面坐标系统转换公式”)
  • 空间直线的参数方程(引入参数t) 两直线的夹角(锐角) 是指的其方向向量的夹角 用向量夹角的公式 两直线相互垂直和平行的充分必要条件 垂直是向量数量积为0 平行时对应的方向向量成比例 直线与平面夹角 注意与直线...
  • 高三复习-平面向量基本定理和公式.pdf
  • 平面点坐标旋转公式

    千次阅读 2019-10-11 21:28:40
    点顺时针绕点(a,b)角度k度得到点 那么就有:

空空如也

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