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  • 平面内直角坐标系中坐标旋转变换公式

    万次阅读 多人点赞 2017-10-24 20:14:46
    平面内直角坐标系中坐标旋转变换公式今天做数字图像处理作业时遇到一个关于图片旋转变换的问题,要用到坐标的旋转变换公式,突然不记得公式是怎么来的了,于是乎,就琢磨了一番。。。首先上公式:逆时针(如下图):...

    首先上公式:

    逆时针(如下图):
    x1=xcos(β)-ysin(β);
    y1=ycos(β)+xsin(β);

    顺时针(图未给出):
    x1=xcos(β)+ysin(β);
    y1=ycos(β)-xsin(β);

    其中x,y表示物体相对于旋转点旋转β的角度之前的坐标,x1,y1表示物体旋转β后相对于旋转点的坐标。此公式仅为在下图坐标中的变换公式,坐标系的选取不同可能会有不同的结果,但是推导方式一样,请大家注意。

    下面是推导过程:

    从数学上来说,此公式可以用来计算某个点绕另外一点旋转一定角度后的坐标,例如:A(x,y)绕B(a,b)旋转β度后的位置为C(c,d),则x,y,a,b,β,c,d有如下关系式:

    这里写图片描述
    1.设A点旋转前的角度为δ,则旋转(逆时针)到C点后角度为δ+β

    2.求A,B两点的距离:dist1=|AB|=y/sin(δ)=x/cos(δ)

    3.求C,B两点的距离:dist2=|CB|=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)

    4.显然dist1=dist2,设dist1=r所以:
      r=x/cos(δ)=y/sin(δ)=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)
      
    5.由三角函数两角和差公式知:
      sin(δ+β)=sin(δ)cos(β)+cos(δ)sin(β)
      cos(δ+β)=cos(δ)cos(β)-sin(δ)sin(β)
      
      所以得出:
    c=r*cos(δ+β)=r*cos(δ)cos(β)-r*sin(δ)sin(β)=xcos(β)-ysin(β)
      d=r*sin(δ+β)=r*sin(δ)cos(β)+r*cos(δ)sin(β)=ycos(β)+xsin(β)

    即旋转后的坐标c,d只与旋转前的坐标x,y及旋转的角度β有关
    从图中可以很容易理解出A点旋转后的C点总是在圆周上运动,圆周的半径为|AB|,利用这点就可以使物体绕圆周运动,即旋转物体。

    另外,顺时针旋转可以理解为逆时针一个负角度,根据sin(),cos()的奇偶性,即sin(-β)=-sin(β),cos(-β)=cos(β),可得顺时针旋转的变换公式:

    x1=xcos(β)+ysin(β);
    y1=ycos(β)-xsin(β);

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  • 一、基础知识 1、方向向量(direction vector)是一个数学概念,空间直线的方向用一个与...平面α的法向量。 3、直线表示方式:Ax+By+Cz+d=0 二、已知三点坐标怎样求法向量  已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,...

    一、基础知识

    1、方向向量(direction vector)是一个数学概念,空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示,该向量称为这条直线的一个方向向量。

    2、直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做

    法向量 法向量

    平面α的法向量。

    3、直线表示方式:Ax+By+Cz+d=0

    二、已知三点坐标怎样求法向量
        已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)三点的面怎样求它的法向量
        求:1.三个点可以形成3个向量,比如向量AB,向量AC和向量BC,则分别得到(x2-x1,y2-y1,z2-z1),AC(x3-x1,y3-y1,z3-z1),(x3-x2,y3-y2,z3-z2)
                2.设平面的法向量坐标是(x,y,z)则,根据法向量定义的,得到方程组:
                (x2-x1)*x+(y2-y1)*y+(z2-z1)*z=0;
                且(x3-x1)*x+(y3-y1)*y+(z3-z1)*z=0;
                且(x3-x2)*x+(y3-y2)*y+(z3-z2)*z=0 ;
                解出来x,y,z就是平面法向量的坐标,方向满足 右手螺旋 法则.

     

    三、空间直线与平面的交点

    如果直线不与平面平行,将存在交点。如下图所示,已知直线L过点m(m1,m2,m3),且方向向量为VL(v1,v2,v3),平面P过点n(n1,n2,n3),且法线方向向量为VP(vp1,vp2,vp3),求得直线与平面的交点O的坐标(x,y,z):

     将直线方程写成参数方程形式,即有:

    x = m1+ v1 * t

    y = m2+ v2 * t (1)

    z = m3+ v3 * t

    将平面方程写成点法式方程形式,即有:

    vp1 * (x – n1) + vp2 * (y – n2) + vp3 * (z – n3) = 0 (2)

    则直线与平面的交点一定满足式(1)和(2),联立两式,求得:

    t = ((n1 – m1)*vp1+(n2 – m2)*vp2+(n3 – m3)*vp3) / (vp1* v1+ vp2* v2+ vp3* v3) (3)

    如果(3)式中分母(vp1* v1+ vp2* v2+ vp3* v3)为0,则表示直线与平面平行,即直线与平面没有交点。求解出t后,然后将t代入式(1)即可求得交点O的坐标(x,y,z)。定义一个求直线与平面交点坐标的函数


    使用向量表示就是 vector3d S = R1 + (RN *(R0-R1))/(RN*RA)*RA  (R1是直线起点、RA是直线的方向向量、RN是平面法矢、R0是平面上一点、S就是计算得到的交点)

     

    四、相关代码

    1.点方式求法,直线上两点坐标A(Lx1, Ly1, Lz1),B(Lx2, Ly2, Lz2),与平面上的三点坐标C(Px1, Py1, Pz1),D(Px2, Py2, Pz2),E(Px3, Py3, Pz3),则该直线与平面的交点坐标计算方法为:

    public double[] MianXianJiaoDianXYZ(double Lx1, double Ly1, double Lz1, double Lx2, double Ly2, double Lz2, double Px1, double Py1, double Pz1, double Px2, double Py2, double Pz2, double Px3, double Py3, double Pz3)
        {
            double[] newJiaoPoint = new double[3];
            //L直线矢量
            double m = Lx2 - Lx1;
            double n = Ly2 - Ly1;
            double p = Lz2 - Lz1;
            //MessageBox.Show(m.ToString("#0.#") + "," + n.ToString("#0.#") + "," + p.ToString("#0.#,"));

            //平面方程Ax+BY+CZ+d=0 行列式计算
            double A = Py1 * Pz2 + Py2 * Pz3 + Py3 * Pz1 - Py1 * Pz3 - Py2 * Pz1 - Py3 * Pz2;
            double B = -(Px1 * Pz2 + Px2 * Pz3 + Px3 * Pz1 - Px3 * Pz2 - Px2 * Pz1 - Px1 * Pz3);
            double C = Px1 * Py2 + Px2 * Py3 + Px3 * Py1 - Px1 * Py3 - Px2 * Py1 - Px3 * Py2;
            double D = -(Px1 * Py2 * Pz3 + Px2 * Py3 * Pz1 + Px3 * Py1 * Pz2 - Px1 * Py3 * Pz2 - Px2 * Py1 * Pz3 - Px3 * Py2 * Pz1);
            //MessageBox.Show(A.ToString("#0.#") + "," + B.ToString("#0.#") + "," + C.ToString("#0.#,") + "," + D.ToString("#0.#,"));
            //系数比值 t=-(Axp+Byp+Cxp+D)/(A*m+B*n+C*p)

            if (A*m+B*n+C*p == 0)  //判断直线是否与平面平行   
            {  
                newJiaoPoint = null;  
            }
            else  
            {  
                double t = -(Lx1 * A + Ly1 * B + Lz1 * C + D) / (A * m + B * n + C * p);
                //MessageBox.Show(t.ToString("#0.##############"));
                newJiaoPoint[0] = Lx1 + m * t;
                newJiaoPoint[1] = Ly1 + n * t;
                newJiaoPoint[2] = Lz1 + p * t;
                //MessageBox.Show(newJiaoPoint[0].ToString("#0.####") + "," + newJiaoPoint[1].ToString("#0.####") + "," + newJiaoPoint[2].ToString("#0.####"));

            }
            return (newJiaoPoint);

    }

    2.向量方式求法

         /// <summary>  
        /// 求一条直线与平面的交点  
        /// </summary>  
        /// <param name="planeVector">平面的法线向量,长度为3</param>  
        /// <param name="planePoint">平面经过的一点坐标,长度为3</param>  
        /// <param name="lineVector">直线的方向向量,长度为3</param>  
        /// <param name="linePoint">直线经过的一点坐标,长度为3</param>  
        /// <returns>返回交点坐标,长度为3</returns>  
        private float[] CalPlaneLineIntersectPoint(float[] planeVector, float[] planePoint, float[] lineVector, float[] linePoint)  
        {  
        float[] returnResult = new float[3];  
        float vp1, vp2, vp3, n1, n2, n3, v1, v2, v3, m1, m2, m3, t,vpt;  
        vp1 = planeVector[0];  
        vp2 = planeVector[1];  
        vp3 = planeVector[2];  
        n1 = planePoint[0];  
        n2 = planePoint[1];  
        n3 = planePoint[2];  
        v1 = lineVector[0];  
        v2 = lineVector[1];  
        v3 = lineVector[2];  
        m1 = linePoint[0];  
        m2 = linePoint[1];  
        m3 = linePoint[2];  
        vpt = v1 * vp1 + v2 * vp2 + v3 * vp3;  
        //首先判断直线是否与平面平行  
        if (vpt == 0)  
        {  
        returnResult = null;  
        }  
        else  
        {  
        t = ((n1 - m1) * vp1 + (n2 - m2) * vp2 + (n3 - m3) * vp3) / vpt;  
        returnResult[0] = m1 + v1 * t;  
        returnResult[1] = m2 + v2 * t;  
        returnResult[2] = m3 + v3 * t;  
        }  
        return returnResult;  
        } 

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  • 如图,在平面直角坐标系中(忽略坐标轴上的刻度值),求坐标点P0(x0, y0)绕坐标原点旋转角度B后得到新的坐标P1(x1, y1)。这是最基本的坐标点坐标原点旋转问题,通过这样的思想我们还可以求解坐标系旋转后坐标...

    如图,在平面直角坐标系中(忽略坐标轴上的刻度值),求坐标点P0(x0, y0)绕坐标原点旋转角度B后得到新的点的坐标P1(x1, y1)。这是最基本的坐标点绕坐标原点旋转问题,通过这样的思想我们还可以求解坐标系旋转后坐标的新位置以及三维坐标系旋转的求解等。

    我们开始推导计算,首先需要知道以下常用三角公式:

    sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

    sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ

    cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

    cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

    tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)  

    tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

     

    假设坐标点 P0(x0, y0)与x轴形成的夹角为A,|OP0|长度为r, 可以通过三角函数得出

    (1).  r = x0 / cosA = y0 / sinA

    (2).  r = x1 / cos(A + B) = y1 / sin(A + B)

    将(2)式通过三角公式展开可以得到

    x1 = r * cos(A + B) = r * cosAcosB - r * sinAsinB 

    y1 = r *  sin(A + B) = r * sinAcosB  +  r * cosAsinB

    结合(1)式可以知道

    x1 = x0*cosB - y0*sinB

    y1 = y0*cosB + x0*sinB

    所以可以看出旋转后的坐标点只与原坐标点和旋转角度有关,表示为矩阵形式为

     

     

     

     

     

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  •  给定一个平面直角坐标系和一组数据,数据由一系列坐标点组成,形式如:(xi, yi),i = 1, 2, 3……, n; 给定的(xi, yi)可以组成一个封闭的多边形,数组下标顺序连接点坐标,(x0, y0) -> (x1, y1) -> ……->(xn-1, ...
    受到在线变成QQ群讨论的一个问题启发,“如何判断点是否在三角形内部?”

      给定一个平面直角坐标系和一组数据,数据由一系列坐标点组成,形式如:(xi, yi),i = 1, 2, 3……, n; 给定的(xi, yi)可以组成一个封闭的多边形,数组下标顺序连接点坐标,(x0, y0) -> (x1, y1) -> ……->(xn-1, yn-1) ->(x0, y0),现在给定一个坐标点(X, Y),请判断该点的位置:返回 1 表示在多边形内部,返回 0 表示在多边形边上,返回 -1 表示在多边形外部。


    思路1:分割法

             假设n = 3, (xi, yi),i=1,2,3; 三个点坐标为(0, 0), (0, 1), (1, 0),那么该三角形围成的三条直线的解析式分别为:y = 0;  x = 0;  y = -x + 1;还记得高中时我们学的不等式方程吗,如图所示:


    如果点(X0, Y0)在上图中封闭的三角形内部,那么满足三个不等式:

    X0 > 0; Y0 > 0; X0 + Y0 -1 < 0; 若在三角形边上则是三个不等式转换为相应的等式:
    X0 = 0; Y0 = 0; X0 + Y0 -1 = 0; 其余情况则是点在三角形外部;

    通过上面两个例子,解析式用aixi + biyi + ci = 0表示,可以得到结论,则有当n 为3时,满足三个对应的不等式。

      在解题的过程中,发现对于任意多边形来说,需要讨论的情况太复杂,所以在这里我们假设该多边形是一个凸多边形。所谓凸多边形,就是把一个多边形任意一边向两方无限延长成为一条直线,如果多边形的其他各边均在此直线的同旁,那么这个多边形就叫做凸多边形。

      在多边形内部找到一个相对合适的参照坐标点(X, Y),以该点为中心,分别与多边形各点连接,形成n个独立的三角形,通过上面对点与三角形位置判断的理论,可以分n次判断该点是否在分割的n个独立的三角形内部即可;如下图所示:


    找到比较合适的点的方法是:在任意两个内角之间,作这两个内角的角平分线,角平分线的交点的坐标就是我们所要找的参照点。

      正当我要实现其代码时,在网上发现了一个更加简洁的解决方法,并且,此方法对于多边形没有限制,适用于任意多边形的情况。

    思路2:向量叉积法

    设矢量P = (x1,y1) ,Q = (x2,y2)
      则矢量叉积定义为:  P × Q = x1*y2 – x2*y1   得到的是一个标量
      显然有性质 P × Q = – ( Q × P )   P × ( – Q ) = – ( P × Q )
      如不加说明,下面所有的点都看作矢量,点的乘法看作矢量叉积;

    叉乘的重要性质:
      若 P × Q  > 0 ,  则P 在Q的顺时针方向
      若 P × Q  < 0 ,  则P 在Q的逆时针方向
      若 P × Q  = 0 ,  则P 与Q共线,但可能同向也可能反向 ,用于判断点是否在边上

    对于(x0, y0), (x1, y1), ……, (xn - 1, yn - 1)这些坐标,若(xk, yk)指向(xk + 1, yk + 1)的矢量为Vk ,(xk, yk)指向(X, Y)的矢量为Vf ,对于所有的k = 0, 1, 2……,n - 1,当k = n - 1时,Vn- 1 (xn - 1, yn - 1)指向(x0, y0)

    1、任意一点(xk, yk)使得Vf若为(0, 0)零向量,则点在多边形上;

    2、若满足Vf在Vk的同一方向(均为逆时针或者顺时针方向),即都满足P × Q  < 0(顺时针为P × Q  > 0),则点(X, Y)在该多边形内部;
    3、若不在同一方向且Vf和Vk永远不共线,则在多边形外部;
    4、若Vf和Vk存在共线情况,则判断使得Vf和Vk共线的点(X, Y)是否在多边形上(Vf  。Vk  >0 且|Vf | < |Vk|则点(X, Y)在多边形边上),其他则在外部。

    #include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    #include <math.h>
    //返回1表示内部,0表示边上,-1表示外部
    int dotLocation(const double *x, const double *y, int n, const double XG, const double YG)
    {
        int currentflag = 0;  //当前状态,根据每次叉乘的值来判断
        int lastflag = 0;  //只在第一次进入循环式赋值,后面依次比较lastflag和currentflag的关系
        int iterN = 0;
        double vectorPX = 0.0, vectorPY = 0.0;
        double vectorQX = 0.0, vectorQY = 0.0;
        double PRODUCT = 0.0;//叉乘
        for(iterN = 0; iterN < n; iterN++)
        {
            vectorPX = XG - x[iterN];
            vectorPY = YG - y[iterN];
            if(vectorPX == 0 && vectorPY == 0) return 0;  //要检测的点若在数组x, y中,表示该点在多边形上
            vectorQX = x[(iterN == n - 1) ? 0 : (iterN + 1)] - x[iterN];
            vectorQY = y[(iterN == n - 1) ? 0 : (iterN + 1)] - y[iterN];
            PRODUCT = vectorPX * vectorQY - vectorQX * vectorPY;//计算叉乘
    
            currentflag = ( PRODUCT > 0) ? 1 : ((PRODUCT < 0)? -1 : 0);//判断叉乘获取currentflag的值
    
            if(iterN == 0)//第一次进入循环
            {
                lastflag = currentflag;
            }
            if(currentflag != lastflag)
            {
                switch(currentflag)
                {
                case 0:
                    {
                        //叉乘为0时,共线(反向货同向),要分两种情况:1、点在边上;2、点在外部
                        return (vectorPX * vectorQX + vectorPY * vectorQY > 0 && (vectorPX * vectorPX + vectorPY * vectorPY) <= (vectorQX * vectorQX + vectorQY * vectorQY))? 0 : -1;
                    }
                default:
                    return -1;//点在多边形外部
                }
            }
        }
        return 1;  //点在多边形内部
    }
    int main()
    {
    //    double x[3] = { 0.0, 0.0, 1.0 };
    //    double y[3] = { 0.0, 1.0, 0.0 };
    //    int n = 3;
    //    double X , Y;
    //    X = 0.5;
    //    Y = 0.25;
        double x[4] = { 0.0, 0.0, 1.0, 1.0 };
        double y[4] = { 0.0, 1.0, 1.0, 0.0 };
        int n = 4;
        double X , Y;
        X = 0.6;
        Y = 0.6;
        int result = dotLocation(x, y ,n, X ,Y);
        printf("the result is %d\n", result);
        switch(result)
        {
            case 0: printf("该点在多边形的边上!\n"); break;
            case 1: printf("该点在多边形的内部!\n"); break;
            case -1: printf("该点在多边形的外部!\n"); break;
            default: break;
        }
        return 0;
    }


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    平面纹理坐标和球面坐标互相转换 设有一张图片width/height = 2:1。这个比例很重要。因为这个比例的全景图片刚好可以还原成一张球形全景图。比喻展开的世界地图。 把图片的宽 当成成 纬度,范围[0-2π]。 把...
  • 本篇学习了空间直角坐标系、大地坐标系、平面坐标系、高斯平面直角坐标系。这个个坐标系有时很容易弄混淆!  ( 一)空间直角坐标系  空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心,Z轴指向参考椭球的北极,X轴...
  • 输入x,y值表示一个坐标点坐标点不会处于x轴和y轴上,也不会在原点。 输出 输出对应的象限,用数字1,2,3,4分别对应四个象限。> */ int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); if(x > 0) { if(y > 0) { ...
  •  众所周知,在三维空间,不共线的三个可以确定一个平面,现在给出三个的空间坐标[x1,y1,z1],[x2,y2,z2],[x3,y3,z3],请计算在这3个确定的平面坐标分量x, y, z分别在[lx, rx],[ly, ry],[lz,rz]的...
  • 根据一组坐标拟合空间平面,有两种方法 第一种:如果在测量得到的数据中,x,y值都是确认没有误差的,而误差只是出现在z值上,则可以使用线性回归的方法,此方法最小二乘的目标是在z方向上de残差 Matlab 代码 ...
  • 坐标系 维基百科,自由的百科全书 跳转到: ...该坐标系统中的由一个夹角和一段相对中心——极点(相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点)的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广
  • 目录经纬度坐标与平面坐标转换问题提出经纬度的定义 经纬度坐标与平面坐标转换 问题提出 已知地球上的某的经纬度信息(这里暂时不考虑高度信息),将这个沿着某方向移动一段距离之后,其经纬度坐标是多少 最近...
  • 平面射影几何——齐次坐标

    千次阅读 2017-07-02 21:22:58
    平面上的可以用二维有序数组p˜=(x,y)T\widetilde p=(x, y)^T来表示,就是该的欧氏坐标平面上的直线方程可以表示为ax+by+c=0ax+by+c=0 (1)在方程两边同乘以任一非零常数t,得到下述方程axt+byt+ct=0axt+byt+...
  • ArcGIS经纬度转为6位数(右下角)——经纬度转平面坐标 ArcGIS导入坐标要素后,右下角显示的是经度、纬度信息 想要让右下角x、y坐标值显示为6位(不加带号)或8位(加带号) 怎么操作呢? 1.ArcToolbox 中点击 ...
  • 关于高斯克吕格平面直角坐标

    万次阅读 2012-06-01 16:43:56
    高斯克吕格平面直角坐标系是投影坐标系的一种,根据我国的地理情况,为建立地形图的测量控制和城市、矿山等区域性的测量控制,早在1952年决定,采用高斯克吕格平面直角坐标系。 投影面的形成: 椭球面是不可展...
  • 1.设计一个名为Point的类,表示一个带x坐标和y坐标。该类包括: 两个带get方法的数据域x和y分别表示它们的坐标。 一个创建(0,0)的无参构造方法。 一个创建特定坐标点的构造方法。 一个名为distance的方法,...
  • 二维平面可以通过平面直角坐标表示; 二维平面上不同的散列,也就是平面直角坐标系上的不同的, 其在坐标轴方向上的移动,分别在以下两个方向上的移动: 在 xx 轴方向上,(x1,y1)(x_1, y_1) ⇒ (x2,y1)(x_2,y...
  • 平面上有n个(n),每个坐标均在-10000~10000之间。其中的一些之间有连线。若有连线,则表示可从一个到达另一个,即两间有通路,通路的距离为两间的直线距离。现在的任务是找出从一点到另一点之间...
  • 平面直角坐标变换

    千次阅读 2006-11-09 19:05:00
    一 平移坐标变换 定义:若二平面直角坐标系{O;i,j}和{O′;i′,j′}满足i=i′,j=j′,则坐标系{O′;i′,j′}可看成是由{O;i,j}经过平移得到的,称由坐标系{O;i,j}到坐标系{O′;i′,j′}的变换为平移...
  • OpenGL平面坐标与世界坐标的互转

    千次阅读 2013-08-21 21:04:40
    1、V 表示摄像机的观察矩阵(View Matrix),它的作用是把对象从世界坐标系变换到摄像机坐标系。因此,对于世界坐标系下的坐标值worldCoord(x0, y0, z0),如果希望使用观察矩阵VM 将其变换为摄像机相对坐标系下的...
  • #include #include #include using namespace std; class CPoint ... // 横坐标 double y; // 纵坐标 public: CPoint(double xx=0,double yy=0); double GetX(){return x;} double GetY(){return
  • 输入平面上两个坐标(double类型),计算两个之间的距离。 输入 两个坐标(4个实数)。 输出 两之间的距离(保留3位小数)。 样例输入 10.5 1.6 3.5 4.8 样例输出 7.697 提示 来源 hnldyhy ...

空空如也

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平面内点的坐标表示方法