1. 平面的点法式方程
过空间的一点，与已知直线垂直的平面只有一个。因此，给定平面上的一点和垂直于该平面的一个非零向量，平面就确定了。

这就是所谓的点法式方程的基础。
(1)法向量：
任意垂直与一个平面的向量被称为法向量。

法向量有无数个。
(2)平面的点法式方程：
假设平面上的一个点$M_0(x_0, y_0, z_0)$,已知该平面的法向量为$n=(A, B, C)$, 那么对于平面上的任意一点$M(x, y ,z)$, 向量$M_0 = (x-x_0, y-y_0, z-z_0)$与法向量垂直，即$n \cdot MM_0 = 0$,$A(x-x_0)+B(y-y_0)+c(z-z_0)=0$

2. 点与平面的关系
(1)点与平距离的计算
假设平面的方程为$Ax+By+Cz+D=0$平面外的一点$P_0(x_0, y_0, z_0)$, 在平面上取一点$P_1(x_1, y_1, z_1)$, 那么点$P_0$到平面的距离d就是向量$P_1P_0$在法向量$n$上投影的长度。



$d=\frac{\left | n\cdot P_1P_0 \right |}{n}=\frac{\left | A(x-x_0)+B(y-y_0)+c(z-z_0) \right |}{\sqrt{A^{2}+ B^{2}+C^{2}}}$$=\frac{\left | Ax-Ax_0+By-By_0+Cz-Cz_0 \right |}{\sqrt{A^{2}+ B^{2}+C^{2}}}=\frac{\left | Ax+By+Cz-Ax_0-By_0-Cz_0 \right |}{\sqrt{A^{2}+ B^{2}+C^{2}}}$$=\frac{\left |D+ Ax_0+By_0+Cz_0 \right |}{\sqrt{A^{2}+ B^{2}+C^{2}}}$

所以点$(x_0,y_0,z_0)$到平面的距离为$d=\frac{\left | Ax_0+By_0+Cz_0 +D\right |}{\sqrt{A^{2}+ B^{2}+C^{2}}}$


同济版 高等数学

空间内一点到平面内一点的最小长度叫做点到平面的距离。
特别的，当点在平面内，则点到平面的距离为0。
平面的一般式方程
Ax +By +Cz + D = 0
其中n = (A, B, C)是平面的法向量，D是将平面平移到坐标原点所需距离（所以D=0时，平面过原点）

向量的模（长度）
给定一个向量V（x, y, z),则|V| = sqrt(x * x + y * y + z * z)

向量的点积（内积）
给定两个向量V1(x1, y1, z1)和V2(x2, y2, z2)则他们的内积是
V1V2 = x1x2 + y1y2 + z1z2

点到平面的距离

有了这条公式，在计算3D空间里的物体是否碰撞，就比较简单了，只要计算物体的边缘是离平面的距离就可以了。

1. C++标准模板库从入门到精通 
http://edu.csdn.net/course/detail/3324
2.跟老菜鸟学C++
http://edu.csdn.net/course/detail/2901
3. 跟老菜鸟学python
http://edu.csdn.net/course/detail/2592
4. 在VC2015里学会使用tinyxml库
http://edu.csdn.net/course/detail/2590
5. 在Windows下SVN的版本管理与实战 
 http://edu.csdn.net/course/detail/2579
6.Visual Studio 2015开发C++程序的基本使用 
http://edu.csdn.net/course/detail/2570
7.在VC2015里使用protobuf协议
http://edu.csdn.net/course/detail/2582
8.在VC2015里学会使用MySQL数据库
http://edu.csdn.net/course/detail/2672

点到平面的距离证明

点到超平面的距离
1.点到平面的距离
2.点到超平面的距离

1.点到平面的距离
首先说一下采用向量法计算点到平面的距离：



设图中平面的方程为Ax+By+Cz+D=0,点M0的坐标为（x0,y0,z0）,点M1的坐标为（x1,y1,z1）,求M1到平面的距离。

解：



其中a为向量M0M1与平面法向量之间的夹角，对于平面Ax+By+Cz+D=0，该平面的一个法向量n为（A，B，C）,由于



因此



进一步化简该式：



由于点M0在平面内，故有



故结果可进一步转化为



因为距离为正数，因此此处加了个绝对值。

综上可以看出，点到平面的距离的计算，实际上是将该点带入到该平面方程，然后再除以该平面的法向量的二范数。

注：

1.向量的模为向量的长度

2.向量的点积为一个数

3.向量的二范数为向量所有元素的平方和再开根号。

2.点到超平面的距离
由点到平面的距离，可以类比下点到超平面的距离，即将该点带入到该超平面，然后再除以该平面法向量的二范数。实际应用中。通常将该点带入到该超平面，不除以该平面法向量的二范数，利用该方式来刻画点到超平面的距离远近。