python实现点到平面的距离
 

目录
 
python实现点到平面的距离
 
1.三点定面
 
2.点到面的距离
 
3.python实现点到面的距离
 

关于点线面之间关系可以参考:https://blog.csdn.net/qq_23869697/article/details/82688277
 
1.三点定面
 
空间上任意三个不共线的点，可以确定一个平面，三点定面的例子：
 
 
2.点到面的距离
 
点到面的距离，可参考这个例子
 
 
3.python实现点到面的距离
 
空间上不共线的三个点P1，P2，P3确定一个平面，计算空间上某个点P4到{P1，P2，P3}组成的平面的距离，可如下计算
 
import numpy as np

def define_area(point1, point2, point3):
    """
    法向量    ：n={A,B,C}
    空间上某点：p={x0,y0,z0}
    点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=Ax+By+Cz-(Ax0+By0+Cz0)
    https://wenku.baidu.com/view/12b44129af45b307e87197e1.html
    :param point1:
    :param point2:
    :param point3:
    :param point4:
    :return:（Ax, By, Cz, D）代表：Ax + By + Cz + D = 0
    """
    point1 = np.asarray(point1)
    point2 = np.asarray(point2)
    point3 = np.asarray(point3)
    AB = np.asmatrix(point2 - point1)
    AC = np.asmatrix(point3 - point1)
    N = np.cross(AB, AC)  # 向量叉乘，求法向量
    # Ax+By+Cz
    Ax = N[0, 0]
    By = N[0, 1]
    Cz = N[0, 2]
    D = -(Ax * point1[0] + By * point1[1] + Cz * point1[2])
    return Ax, By, Cz, D


def point2area_distance(point1, point2, point3, point4):
    """
    :param point1:数据框的行切片，三维
    :param point2:
    :param point3:
    :param point4:
    :return:点到面的距离
    """
    Ax, By, Cz, D = define_area(point1, point2, point3)
    mod_d = Ax * point4[0] + By * point4[1] + Cz * point4[2] + D
    mod_area = np.sqrt(np.sum(np.square([Ax, By, Cz])))
    d = abs(mod_d) / mod_area
    return d



if __name__ == '__main__':
    # 初始化数据
    point1 = [2, 3, 1]
    point2 = [4, 1, 2]
    point3 = [6, 3, 7]
    point4 = [-5, -4, 8]
    # 计算点到面的距离
    d1 = point2area_distance(point1, point2, point3, point4)  # s=8.647058823529413
    print("点到面的距离s: " + str(d1))
 
 

求一个点到一个平面的距离？
 
 
上图中点P到平面的距离
 
在平面上任取一点A，连接向量 PA，过P向平面做垂线与平面相交与P'，则PP'A构成一个直角三角形，PP' 的长度即为点P到平面的距离。
 
因为 PP' 垂直于平面，平面法向量 Normal垂直于平面
 
则 PP' || Normal
 
PP'的长度即为向量 PA 到平面法向量Normal的投影长度
 
则 PP' 的长度 L = |PP'| = Math.Abs(Dot(PA, Normal)) ，因为点乘结果有正/负两种可能，所以这里取了绝对值
 
P'的坐标值为多少？
 
P' 坐标 = P坐标 + PP' 长度 * (PP' 归一化)
 
上边已经证明  |PP'| = Math.Abs(Dot(PA, Normal)) ，
 
PP' 归一化 = +Normal或者 PP'归一化= -Normal，决定条件在于P在平面正面你或者反方，平面以Normal指向为正面，-Normal 方向即为反面
 
最终 P' 坐标 = P坐标 + Dot(PA, Normal) * Normal
 
 
上面已经计算得到了点P到平面的距离，那么进一步思考得到球与平面的相交检测？
 
 
 球的定义为到点P距离小于等于R的点的集合
 
如果 P到平面的距离也就是 |PP'| <= R, 球与平面相交
 
 
 

前几天跟同事讨论一个几何知识时遇到了一些疑问，后面经过推导弄明白了，其实这道题不难，但是里面有些基本的原理深究的话一开始还是没想明白，在这里记录下：
 
点到面的距离一般还说时最短距离，但一个平面一般是有界限的，所以需要先把一个平面用截距式方程显示为：
 
Ax+By+Cz+D=0
 
 
借用这张图来表示：
 
可以看到要求d（最短距离）需要知道q点到p点（p点时平面的点）的距离（也就是他的模），以及这个角度，
 
通过三角函数知道：d=
 
因为pg的模本身我们不确定，所以需要得到一个确定的值来运算
 
我们可以用来做运算，要得到这块我们法线d这个公式只需要加上就可以了，
 
所以我们乘除得到
 
 
已知=
 
得：
 
 
 
到了这一步我们法线我们得法向量还未知：
 
但其实我们通过截距式方程的公式可知n={A,B,C}。
 
当然我们还时可以推导出来的。
 
法向量的推导可以用两个方式，一个是取平面的任意两条线与法向量点乘，这个值必然为0。另一个是用任意两条平面的线做叉乘，这时可得垂直于他的法向量。
 
下面我们推导点乘的方式：
 
我们已知平面的截距式公式为：Ax+By+Cz+D=0
 
得到：截距式表明了，当y=0，z=0时，跟x轴相交，代入公式得到,
 
同理y=0，z=0时，跟y轴相交，带入公式得到y=
 
同理x=0，y=0时，跟z轴相交，带入公式得到z=
 
然后我们可以得到平面的特殊的三个点a点：(,0,0)，b点：(0,,0),c点：(0,0,)
 
那么我们可以得到向量ab:,ac:,bc:
 
具体得到ab:(,,0),ac:(,0,),bc:(0,,)
 
我们之前说了平面和法向量的点乘一定为0
 
点乘的公式为：
 
带入进入得
 
*x+*y+0*z = 0
 
*x+0*y+*z=0
 
0*x+*y+*z=0
 
这里公式列出来我们可以求解，我们可以得到两种情况可以让xyz使上面得值为0得，
 
第一个值时xyz都为0，这个就i是具体的一个点了，而不是面。
 
那么另外一个值就只有点(A,B,C)了。
 
由此可得法向量为(A,B,C)
 
 
 
最终带入到上面的公式中得：
 
 
（其中(x0,y0,z0)是点Q的值，ABCD是截距式公式的4个常量值）
 
最后的等式就是我们要求的点到面的最短距离了。
 
只需要带入具体的值就能算出来了。
 
 
 
这个公式在具体的应用中也会用到。
 
 
 
有时我们能直接套公式不需要推导就能完成很多事情，但只有完整推导出公式才属于自己的知识，才能在以后的复杂应用中灵活引用。

1. 平面的点法式方程
 
过空间的一点，与已知直线垂直的平面只有一个。因此，给定平面上的一点和垂直于该平面的一个非零向量，平面就确定了。
 这就是所谓的点法式方程的基础。
 
(1)法向量：
 
任意垂直与一个平面的向量被称为法向量。
 法向量有无数个。
 
(2)平面的点法式方程：
 
假设平面上的一个点$M_0(x_0,y_0,z_0)$,已知该平面的法向量为$n=(A,B,C)$, 那么对于平面上的任意一点$M(x,y,z)$, 向量$M_0=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$与法向量垂直，即$n\cdot M{M}_0=0$,$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+c(z-z_0)=0$$
 
 
2. 点与平面的关系
 
(1)点与平距离的计算
 
假设平面的方程为$$Ax+By+Cz+D=0$$平面外的一点$P_0(x_0,y_0,z_0)$, 在平面上取一点$P_1(x_1,y_1,z_1)$, 那么点$P_0$到平面的距离d就是向量$P_1{P}_0$在法向量$n$上投影的长度。
 
 $$d=\frac{\left|n\cdot P_1{P}_0\right|}{n}=\frac{\left|A(x-x_0)+B(y-y_0)+c(z-z_0)\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$$$=\frac{\left|Ax-A{x}_0+By-B{y}_0+Cz-C{z}_0\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{\left|Ax+By+Cz-A{x}_0-B{y}_0-C{z}_0\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$$$=\frac{\left|D+A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
 所以点$(x_0,y_0,z_0)$到平面的距离为$$d=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
 
 
 
 
同济版 高等数学