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  • 平面方程与点到平面的距离

    万次阅读 2018-09-13 15:02:22
    平面方程与点到平面的距离 1. 平面的点法式方程 过空间的一点,与已知直线垂直的平面只有一个。因此,给定平面上的一点和垂直于该平面的一个非零向量,平面就确定了。 这就是所谓的点法式方程的基础。 (1)法...

    1. 平面的点法式方程

    过空间的一点,与已知直线垂直的平面只有一个。因此,给定平面上的一点和垂直于该平面的一个非零向量,平面就确定了。
    这就是所谓的点法式方程的基础。

    (1)法向量:

    任意垂直与一个平面的向量被称为法向量。
    法向量有无数个。

    (2)平面的点法式方程:

    假设平面上的一个点M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0),已知该平面的法向量为n=(A,B,C)n=(A, B, C), 那么对于平面上的任意一点M(x,y,z)M(x, y ,z), 向量M0=(xx0,yy0,zz0)M_0 = (x-x_0, y-y_0, z-z_0)与法向量垂直,即nMM0=0n \cdot MM_0 = 0,A(xx0)+B(yy0)+c(zz0)=0A(x-x_0)+B(y-y_0)+c(z-z_0)=0


    2. 点与平面的关系

    (1)点与平距离的计算

    假设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0平面外的一点P0(x0,y0,z0)P_0(x_0, y_0, z_0), 在平面上取一点P1(x1,y1,z1)P_1(x_1, y_1, z_1), 那么点P0P_0到平面的距离d就是向量P1P0P_1P_0在法向量nn上投影的长度
    project
    d=nP1P0n=A(xx0)+B(yy0)+c(zz0)A2+B2+C2d=\frac{\left | n\cdot P_1P_0 \right |}{n}=\frac{\left | A(x-x_0)+B(y-y_0)+c(z-z_0) \right |}{\sqrt{A^{2}+ B^{2}+C^{2}}}=AxAx0+ByBy0+CzCz0A2+B2+C2=Ax+By+CzAx0By0Cz0A2+B2+C2=\frac{\left | Ax-Ax_0+By-By_0+Cz-Cz_0 \right |}{\sqrt{A^{2}+ B^{2}+C^{2}}}=\frac{\left | Ax+By+Cz-Ax_0-By_0-Cz_0 \right |}{\sqrt{A^{2}+ B^{2}+C^{2}}}=D+Ax0+By0+Cz0A2+B2+C2=\frac{\left |D+ Ax_0+By_0+Cz_0 \right |}{\sqrt{A^{2}+ B^{2}+C^{2}}}
    所以点(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0)到平面的距离为d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2d=\frac{\left | Ax_0+By_0+Cz_0 +D\right |}{\sqrt{A^{2}+ B^{2}+C^{2}}}


    同济版 高等数学

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  • 到平面的距离

    千次阅读 2017-02-06 14:56:29
    空间内一点到平面内一点的最小长度叫做点到平面的距离。特别的,当点在平面内,则点到平面的距离为0。平面的一般式方程Ax +By +Cz + D = 0其中n = (A, B, C)是平面的法向量,D是将平面平移到坐标原点所需距离(所以D...
    空间内一点到平面内一点的最小长度叫做点到平面的距离。
    特别的,当点在平面内,则点到平面的距离为0。
    平面的一般式方程
    Ax +By +Cz + D = 0
    其中n = (A, B, C)是平面的法向量,D是将平面平移到坐标原点所需距离(所以D=0时,平面过原点)

    向量的模(长度)
    给定一个向量V(x, y, z),则|V| = sqrt(x * x + y * y + z * z)

    向量的点积(内积)
    给定两个向量V1(x1, y1, z1)和V2(x2, y2, z2)则他们的内积是
    V1V2 = x1x2 + y1y2 + z1z2

    点到平面的距离

    有了这条公式,在计算3D空间里的物体是否碰撞,就比较简单了,只要计算物体的边缘是离平面的距离就可以了。

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  • 到平面的距离证明

    2020-11-16 21:50:46
    到平面的距离证明
    点到平面的距离证明

    在这里插入图片描述

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  • 平面的距离

    2020-07-28 17:30:07
    平面的距离

    1.点到平面的距离

    首先说一下采用向量法计算点到平面的距离:
    在这里插入图片描述

    设图中平面的方程为Ax+By+Cz+D=0,点M0的坐标为(x0,y0,z0),点M1的坐标为(x1,y1,z1),求M1到平面的距离。

    解:
    在这里插入图片描述
    其中a为向量M0M1与平面法向量之间的夹角,对于平面Ax+By+Cz+D=0,该平面的一个法向量n为(A,B,C),由于
    在这里插入图片描述
    因此
    在这里插入图片描述
    进一步化简该式:
    在这里插入图片描述
    由于点M0在平面内,故有
    在这里插入图片描述
    故结果可进一步转化为
    在这里插入图片描述
    因为距离为正数,因此此处加了个绝对值。
    综上可以看出,点到平面的距离的计算,实际上是将该点带入到该平面方程,然后再除以该平面的法向量的二范数。

    注:
    1.向量的模为向量的长度
    2.向量的点积为一个数
    3.向量的二范数为向量所有元素的平方和再开根号。

    2.点到超平面的距离

    由点到平面的距离,可以类比下点到超平面的距离,即将该点带入到该超平面,然后再除以该平面法向量的二范数。实际应用中。通常将该点带入到该超平面,不除以该平面法向量的二范数,利用该方式来刻画点到超平面的距离远近。

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  • python实现点到平面的距离

    千次阅读 2019-10-11 15:08:42
    python实现点到平面的距离 目录 python实现点到平面的距离 1.三点定面 2.点到面的距离 3.python实现点到面的距离 关于点线面之间关系可以参考:https://blog.csdn.net/qq_23869697/article/details/82688277 1...
  • 已知三点求平面方程、平面法向量和点到平面的距离已知三点p1(x1,y1,z1),p2(x2,y2,z2),p3(x3,y3,z3),要求确定的平面方程关键在于求出平面的一个法向量,为此做向量p1p2(x2-x1,y2-y1,z2-z1),p1p3(x3-x1,y3-y1,z3-z1...
  • 到平面的距离计算

    千次阅读 2017-11-19 11:10:19
    在工程计算过程中,往往要求我们计算点到平面的距离,特别是在计算机图形学中的运用最多。如图1所示,已知一个平面Plan的方向n和该平面上的顶点B,求空间中某一个顶点P到该平面的距离。假设点P在平面Plan上的投影点...
  • 求点平面的距离

    2020-12-27 14:53:21
    求点平面的距离
  • 到平面的距离公式

    2020-08-14 17:09:17
    准备知识 平面的一般式方程 Ax +By +Cz + D = 0 其中n = (A, B, C)是平面的法向量,D是将平面平移到坐标原点所需距离(所以D=0时,平面过原点) 向量的模(长度) ...点到平面的距离 有了上面的准备知识,则
  • 到平面的距离计算如上图所示,假设现在有一平面\(S\)\[WX+b = 0\]其中\(W,X\)都是向量,现有平面外一点\(Q\),求\(Q\)到平面的距离。我们假设平面内有一点\(P\),并且平面的法向量为\(\overrightarrow{n}=(W_1, W_...
  • 直线有图如下:假设直线方程是 , 求Q点 直线的距离。最容易想到的办法:QE⊥直线,同时E点在直线上,所以可得两个方程: 代入求解: 最终解得: 实际上我们还有一种看法就是把直线 Ax+By+C = 0 看成 nP + d = 0. ...
  • 到平面的距离(最短距离)

    千次阅读 2019-03-01 18:46:08
    初高中的知识,拿出来从新学习 首先确定平面所满足的公式: Ax+By+Cz+D=0,其中D是常数项,D/A、D/B和D/C分别是平面在x轴、y轴和z轴上截距,表示为平面到原点的最小...面外的点(x' , y' , z')到平面的距离公式为: ...
  • 这个问题在解数学题时候不需要多想,按照已知条件带入公式求值计算即可,最后会化简成几个多项式,可以用多种方法求解。比较麻烦是用编程方法计算多项式是件很麻烦事情,至少在下觉得写出来代码不会太...
  • 到平面的距离公式的推导

    千次阅读 2017-03-22 10:09:41
    到平面的距离公式 准备知识 平面的一般式方程 Ax +By +Cz + D = 0 其中n = (A, B, C)是平面的法向量,D是将平面平移到坐标原点所需距离(所以D=0时,平面过原点) 向量的模(长度) 给定一个向量V(x, y, z)...
  • 平面距离的原理推导

    千次阅读 2019-03-13 12:57:49
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  • 到平面的距离公式推导

    万次阅读 2018-05-10 16:06:20
    转自:http://www.cnblogs.com/graphics/archive/2010/07/10/1774809.html准备知识平面的一般式方程Ax +By +Cz + D = 0其中n = (A, B, C)是平面的法向量,D是将平面平移坐标原点所需距离(所以D=0时,平面过原点)...
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  • SVM:任意点平面的距离公式

    万次阅读 多人点赞 2018-10-18 11:05:06
    任意点 平面的距离公式 在样本空间中,划分超平面可通过如下线性方程来描述: 其中 w 决定了超平面的方向 ; b 为位移项,决定了超平面与原点之间的距离.显然,划分超平面可被法向量 ω 和位移 b 确定 。 ...

空空如也

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