精华内容
下载资源
问答
  • 文章目录平面参数方程平面的向量式方程平面的行列式方程平面的三点式方程平面的点法式方程平面的一般方程平面的一般方程讨论小结:平面方程的几种形式参考资料 平面是随处可见的空间形状 问题1:如何从几何上确定...

    1. 06向量及其坐标表示、向量的方向角与方向余弦、向量组共线与共面的条件、向量的加法与数乘运算、向量组的线性组合、二维向量的基向量分解、三维向量的基向量分解、用坐标做向量的数乘
    2. 07向量的点积、数量积、两向量垂直的条件、投影与投影向量、向量的正交分解、几个不等式、用坐标计算数量积
    3. 08向量的叉积、向量积、用坐标行列式计算向量积、二重外积
    4. 09向量的混合积、向量之间的位置关系、用坐标行列式计算混合积、三向量共面的条件
    5. 10空间直线方程、参数方程、向量式方程、点向式方程、两点式方程、一般方程、空间直线的一般方程化为点向式方程
    6. 11空间平面方程、参数方程、向量式方程、行列式方程、三点式方程、点法式方程、一般方程

    平面是随处可见的空间形状

    image-20201211155255454

    问题1:如何从几何上确定一个平面?

    image-20210529142843991

    • 不在一条直线上的三点确定一个平面 .
    • 过一定点且垂直于一定直线可以作一个平面.

    image-20210529142821100

    • 一条直线和直线外一点确定一个平面.
    • 两相交直线确定一个平面.
    • 两平行直线确定一个平面.

    问题2:如何从代数上描述一个平面 ?

    用代数方程式刻画平面上动点的轨迹,即建立平面的方程 .

    在直角坐标系下,建立动点坐标满足的方程式 .

    平面的参数方程

    不在一条直线上的三点确定一个平面

    要素:点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), M0(x0,y0,z0), 不共线的向量 a , b \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} a,b已知要素

    任务:求平面 π \pi π 的方程即动点 𝑀 ( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) M(x,y,z)的轨迹方程.

    依据: M 0 M → \overrightarrow{M_{0} M} M0M 与不共线的向量 𝒂 , 𝒃 共面 .

    image-20210529143035494

    关系式:
    M 0 M → = λ a + μ b \large{\color{red}{\overrightarrow{M_{0} M}=\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}}} M0M =λa+μb
    a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) \boldsymbol{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right),\boldsymbol{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 得到:
    π : { x = x 0 + λ a 1 + μ b 1 y = y 0 + λ a 2 + μ b 2 z = z 0 + λ a 3 + μ b 3 (1) \boldsymbol{\pi}:\left\{\begin{array}{l}x=x_{0}+\lambda a_{1}+\mu b_{1} \\ y=y_{0}+\lambda a_{2}+\mu b_{2} \\ z=z_{0}+\lambda a_{3}+\mu b_{3}\end{array}\right.\tag1 π:x=x0+λa1+μb1y=y0+λa2+μb2z=z0+λa3+μb3(1)
    称为平面 π \pi π 的参数方程 . . .其中 λ , μ \lambda, \mu λ,μ 为参数。

    • 平面上的点都满足方程 。
    • 满足方程的点都在平面上, 不在平面上的点不满足方程 .

    平面的向量式方程

    M 0 M → = λ a + μ b \large{\color{red}{\overrightarrow{M_{0} M}=\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}}} M0M =λa+μb ,由
    r = O M → = ( x , y , z ) r 0 = O M 0 → = ( x 0 , y 0 , z 0 ) r=\overrightarrow{O M}=(x,y,z)\\ r_0=\overrightarrow{O M_0}=(x_0,y_0,z_0) r=OM =(x,y,z)r0=OM0 =(x0,y0,z0)
    得到: π : r = r 0 + λ a + μ b \quad \pi: r=r_{0}+\lambda a+\mu b π:r=r0+λa+μb.

    称为平面的向量式方程.

    平面的行列式方程

    要素:点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), M0(x0,y0,z0), 不共线的向量 a , b \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} a,b已知要素

    依据:三向量 M 0 M → , a , b \overrightarrow{M_{0} M}, \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \quad M0M ,a,b 共面,则它们的混合积为 0 .

    平面 π \pi π 的行列式方程为
    ∣ x − x 0 y − y 0 z − z 0 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ∣ = 0 \left|\begin{array}{ccc} x-x_{0} & y-y_{0} & z-z_{0} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right|=0 xx0a1b1yy0a2b2zz0a3b3=0

    平面的三点式方程

    要素: 不在一条直线上的三点
    M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), M_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right), M_{3}\left(x_{3}, y_{3}, z_{3}\right) M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3)

     依据:三向量  M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 →  共面  . \text { 依据:三向量 } \overrightarrow{M_{1} M}, \overrightarrow{M_{1} M_{2}}, \overrightarrow{M_{1} M_{3}} \text { 共面 } .  依据:三向量 M1M ,M1M2 ,M1M3  共面 .

    image-20201211160954444

     平面  π  的方程为  \text { 平面 } \pi \text { 的方程为 }  平面 π 的方程为 

    ∣ x − x 1 y − y 1 z − z 1 x 2 − x 1 y 2 − y 1 z 2 − z 1 x 3 − x 1 y 3 − y 1 z 3 − z 1 ∣ = 0 \begin{array}{l} \left|\begin{array}{ccc} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{array}\right|=0 \end{array} xx1x2x1x3x1yy1y2y1y3y1zz1z2z1z3z1=0
    一称为平面 π \pi π 的三点式方程

    平面的点法式方程

    过一定点且垂直于一定直线可以作一个平面.

    平行于定直线的非零向量是垂直于平面的,称为平面的法向量.

    要素:点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), M0(x0,y0,z0), 法向量 n n n

    • 任何垂直于平面的非零向量 n n n 都是平面的法向量.
    • n n n平行的所有非零向量均可作为此平面的法向量.
    • 平面上的所有向量都与该平面的法向量垂直.

    image-20201211161225386

    要素:点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), M0(x0,y0,z0), 法向量 n = ( A , B , C ) \boldsymbol{n}=(A, B, C) n=(A,B,C).

    M ( x , y , z ) M(x, y, z) M(x,y,z) 为平面上的动点, 则
    n ⊥ M 0 M → ,        向 量 关 系 \boldsymbol{n} \perp \overrightarrow{M_{0} {M}} ,~~~~~~ 向量关系 nM0M ,      

     有  n ⋅ M 0 M → = 0.  向量代数关系  \begin{array}{lll}\text { 有 } & \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{\boldsymbol{M}_{0} \boldsymbol{M}}=\mathbf{0} . & \text { 向量代数关系 }\end{array}   nM0M =0. 向量代数关系 

    平面 π \pi π点法式方程 . . . :
    π : A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 \pi: A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0 π:A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0

    平面的一般方程

    点法式 : π : A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 \pi: A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0 π:A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0 ,转化得到
    π : A x + B y + C z + D = 0 \pi: A x+B y+C z+D=0 π:Ax+By+Cz+D=0
    称为平面 π \pi π 的一般方程,其中 n = ( A , B , C ) n=(A, B, C) n=(A,B,C) 为平面的法向量

    【注】 平面方程是一个三元一次方程 .反之,一个三元一次方程在几何上表示一个平面 .

    平面的一般方程讨论

    π : A x + B y + C z + D = 0 ( A , B , C \pi: A x+B y+C z+D=0 \quad(A, B, C π:Ax+By+Cz+D=0(A,B,C 不全为0 ) ) )

    (1) 当 D = 0 D=0 D=0 时, 平面 π : A x + B y + C z = 0 \pi: A x+B y+C z=0 π:Ax+By+Cz=0 过原点;

    (2) 当 A = 0 A=0 A=0 时, 平面 π : B y + C z + D = 0 \pi: B y+C z+D=0 π:By+Cz+D=0 平行于 x x x 轴;

    B = 0 B=0 B=0 时, 平面 π : A x + C z + D = 0 \pi: A x+C z+D=0 π:Ax+Cz+D=0 平行于 y y y

    C = 0 C=0 C=0 时, 平面 π : A x + B y + D = 0 \pi: A x+B y+D=0 π:Ax+By+D=0 平行于 z z z

    (3) 当 A = 0 , D = 0 A=0, D=0 A=0,D=0 时, 平面 π : B y + C z = 0 \pi: B y+C z=0 π:By+Cz=0 x x x 轴;

    B = 0 , D = 0 B=0, D=0 B=0,D=0 时, 平面 π : A x + C z = 0 \pi: A x+C z=0 π:Ax+Cz=0 y y y 轴;

    C = 0 , D = 0 C=0, D=0 C=0,D=0 时, 平面 π : A x + B y = 0 \pi: A x+B y=0 π:Ax+By=0 z z z

    (4) 当 A = 0 , B = 0 A=0, B=0 A=0,B=0 时, 平面 π : C z + D = 0 \pi: C z+D=0 π:Cz+D=0 平行于 x O y x O y xOy

    B = 0 , C = 0 B=0, C=0 B=0,C=0 时, 平面 π : A x + D = 0 \pi: A x+D=0 π:Ax+D=0 平行于 y O z y O z yOz

    A = 0 , C = 0 A=0, C=0 A=0,C=0 时,平面 π : B y + D = 0 \pi: B y+D=0 π:By+D=0 平行于 z O x z O x zOx 面.

    例 1 \Large\color{violet}{例1} 1 求过 M 0 ( 2 , 1 , 1 ) M_{0}(2,1,1) M0(2,1,1) 且平行于 π 1 : x + 2 y − 3 z + 7 = 0 \pi_{1}: x+2 y-3 z+7=0 π1:x+2y3z+7=0 的平面方程

    【解法一】 因所求平面 π \pi π 与已知平面 π 1 \pi_{1} π1 平行, 则 π 1 \pi_{1} π1法向量
    n = ( 1 , 2 , − 3 ) n=(1,2,-3) n=(1,2,3)
    也是 π \pi π 的法向量,则平面 π \pi π点法式方程为
    1 ⋅ ( x − 2 ) + 2 ⋅ ( y − 1 ) + ( − 3 ) ⋅ ( z − 1 ) = 0 1 \cdot(x-2)+2 \cdot(y-1)+(-3) \cdot(z-1)=0 1(x2)+2(y1)+(3)(z1)=0
    整理得平面 π \pi π 的一般方程为
    x + 2 y − 3 z − 1 = 0 x+2 y-3 z-1=0 x+2y3z1=0
    【解法二 】因所求平面 π \pi π 与已知平面 π 1 \pi_{1} π1 平行, 设平面 π \pi π 的一般方程为
    x + 2 y − 3 z + D = 0 x+2 y-3 z+D=0 x+2y3z+D=0
    代入点 M 0 ( 2 , 1 , 1 ) M_{0}(2,1,1) M0(2,1,1) 的坐标, 得 2 + 2 − 3 + D = 0 , 2+2-3+D=0, \quad 2+23+D=0, D = − 1. D=-1 . D=1.

    于是平面 π \pi π 的方程为
    x + 2 y − 3 z − 1 = 0 x+2 y-3 z-1=0 x+2y3z1=0
    例 2 \Large\color{violet}{例2} 2 已知一平面 π \pi π 与三个坐标轴的交点分别为
    P ( a , 0 , 0 ) , Q ( 0 , b , 0 ) , R ( 0 , 0 , c ) ( a , b , c ≠ 0 ) P(a, 0,0), \quad Q(0, b, 0), \quad R(0,0, c) \quad(a, b, c \neq 0) P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)(a,b,c=0)
    求平面 π \pi π 的方程 .

    【解法一】由平面的三点式方程知
    ∣ x − a y − 0 z − 0 0 − a b − 0 0 − 0 0 − a 0 − 0 c − 0 ∣ = 0 \left|\begin{array}{ccc} x-a & y-0 & z-0 \\ 0-a & b-0 & 0-0 \\ 0-a & 0-0 & c-0 \end{array}\right|=0 xa0a0ay0b000z000c0=0
    整理得平面 π \pi π 的一般方程为 b c x + a c y + a b z − a b c = 0. \quad b c x+a c y+a b z-a b c=0 . bcx+acy+abzabc=0.

    进一步整理得 π : x a + y b + z c = 1. ⟶ \quad \pi: \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 . \quad \longrightarrow π:ax+by+cz=1. 称为平面 π \pi π 截 距 式 方 程 \large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{截距式方程}}}

    【解法二 】 设平面 π \pi π 的一般方程为 π : A x + B y + C z + D = 0 , \pi: A x+B y+C z+D=0, π:Ax+By+Cz+D=0,
    { A a + D = 0 B b + D = 0 C c + D = 0 \left\{\begin{array}{l} A a+D=0 \\ B b+D=0 \\ C c+D=0 \end{array}\right. Aa+D=0Bb+D=0Cc+D=0
    解得 A = − D a , B = − D b , C = − D c . A=-\frac{D}{a}, B=-\frac{D}{b}, C=-\frac{D}{c} . A=aD,B=bD,C=cD. A , B , C A, B, C A,B,C 不全为 0 , 0, 0, D ≠ 0 D \neq 0 D=0. 于是得
    π : x a + y b + z c = 1 \quad \pi: \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 π:ax+by+cz=1
    例 3 \Large\color{violet}{例3} 3 已知空间四点 A ( 1 , 0 , 0 ) , B ( 2 , 1 , 3 ) , C ( 1 , 2 , 5 ) , P ( 2 , 3 , t ) A(1,0,0), B(2,1,3), C(1,2,5), P(2,3, t) A(1,0,0),B(2,1,3),C(1,2,5),P(2,3,t)

    问:当 t t t 为何值时, 这四点在一个平面上? 并求出该平面方程.

    【解 】 A ( 1 , 0 , 0 ) , B ( 2 , 1 , 3 ) , C ( 1 , 2 , 5 ) , P ( 2 , 3 , t ) A(1,0,0), B(2,1,3), C(1,2,5), P(2,3, t) A(1,0,0),B(2,1,3),C(1,2,5),P(2,3,t) 四点共面的充要条件是三向量 A P → = ( 1 , 3 , t ) , A B → = ( 1 , 1 , 3 ) , A C → = ( 0 , 2 , 5 ) \overrightarrow{A P}=(1,3, t), \overrightarrow{A B}=(1,1,3), \overrightarrow{A C}=(0,2,5) AP =(1,3,t),AB =(1,1,3),AC =(0,2,5) 共面, \quad
    ∣ 1 3 t 1 1 3 0 2 5 ∣ = 2 t − 16 = 0 ,  即  t = 8 \left|\begin{array}{lll} 1 & 3 & t \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 5 \end{array}\right|=2 t-16=0, \text { 即 } t=8 110312t35=2t16=0,  t=8
    所以, 当 t = 8 t=8 t=8 时, A 、 B 、 C 、 P A 、 B 、 C 、 P ABCP 四点共面.

    该平面的三点式方程为
    ∣ x − 1 y − 0 z − 0 2 − 1 1 − 0 3 − 0 1 − 1 2 − 0 5 − 0 ∣ = ∣ x − 1 y z 1 1 3 0 2 5 ∣ = 0 \left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-0 & z-0 \\ 2-1 & 1-0 & 3-0 \\ 1-1 & 2-0 & 5-0 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y & z \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 5 \end{array}\right|=0 x12111y01020z03050=x110y12z35=0
    整理得平面的一般方程为 x + 5 y − 2 z − 1 = 0 x+5 y-2 z-1=0 x+5y2z1=0.

    注 : \Large\color{violet}{注:} 也可以先求出由 A 、 B 、 C A 、 B 、 C ABC 三点所确定的平面的方程
    x + 5 y − 2 z − 1 = 0 x+5 y-2 z-1=0 x+5y2z1=0
    再代入点P的坐标,得 t = 8 t=8 t=8.

    小结:平面方程的几种形式

    设点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) M0(x0,y0,z0) 在平面上, n = ( A , B , C ) \quad \boldsymbol{n}=(A, B, C) n=(A,B,C) 是平面的法向量

    1、平面的点法式方程
    A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0 A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0
    2、平面的一般式方程
    A x + B y + C z + D = 0 A x+B y+C z+D=0 Ax+By+Cz+D=0

    3 、平面的截距式方程

    x a + y b + z c = 1. \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 . \quad ax+by+cz=1. 其中 a , b , c a, b, c a,b,c 为平面在三个坐标轴上的截距.

    4 、平面的三点式方程

    M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), M_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right), M_{3}\left(x_{3}, y_{3}, z_{3}\right) M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3) 是平面上不共线的三点, 则
    ∣ x − x 1 y − y 1 z − z 1 x 2 − x 1 y 2 − y 1 z 2 − z 1 x 3 − x 1 y 3 − y 1 z 3 − z 1 ∣ = 0 \left|\begin{array}{ccc} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{array}\right|=0 xx1x2x1x3x1yy1y2y1y3y1zz1z2z1z3z1=0
    5 、平面的参数式方程 π : { x = x 0 + λ a 1 + μ b 1 y = y 0 + λ a 2 + μ b 2 , z = z 0 + λ a 3 + μ b 3 \quad \pi:\left\{\begin{array}{l}x=x_{0}+\lambda a_{1}+\mu b_{1} \\ y=y_{0}+\lambda a_{2}+\mu b_{2}, \\ z=z_{0}+\lambda a_{3}+\mu b_{3}\end{array}\right. π:x=x0+λa1+μb1y=y0+λa2+μb2,z=z0+λa3+μb3

    6 、平面的行列式方程 ∣ x − x 0 y − y 0 z − z 0 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ∣ = 0 \quad\left|\begin{array}{ccc}x-x_{0} & y-y_{0} & z-z_{0} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right|=0 xx0a1b1yy0a2b2zz0a3b3=0.

    7 、平面的向量式方程 π : r = r 0 + λ a + μ b \quad \pi: r=r_{0}+\lambda a+\mu b π:r=r0+λa+μb.

    参考资料

    空间解析几何_国防科技大学

    北京大学数学系几何与代数教研室代数小组,《高等代数》(第四版)

    高等代数,林亚南,高等教育出版社

    高等代数学习辅导,林亚南,林鹭,杜妮,陈清华,高等教育出版社

    高等代数 电子科技大学

    高等代数_安阳师范学院

    《高等代数》(第五版)

    展开全文
  • 平面曲线弧长(代数方程,参数方程,极坐标方程) 旋转曲面面积 旋转体体积 拉格朗日乘数法求最值; 几何平均数,代数平均数: 算术平均数(a+b)/2,不仅体现数字上的关系,而且体现将两个线段的和作为一个线段...
    展开全文
  • 参考链接:三维空间中的平面方程 这个链接是错误的: http://blog.csdn.net/PengPengBlog/article/details/52774421   //获取平面方程//Ax + By + Cz + D std::vector<float> getPlaneParam(const...

      参考链接:三维空间中的平面方程              

      这个链接是错误的: http://blog.csdn.net/PengPengBlog/article/details/52774421   

     

    	//获取平面方程//Ax + By + Cz + D
    	std::vector<float> getPlaneParam(const std::vector<pcl::PointXYZ> &votexs)
    	{
    		std::vector<float> abcd;
    		if (votexs.size()<3){
    			return abcd;
    		}
    		else
    		{//取前三个点计算平面
    			float x1, x2, x3, y1, y2, y3, z1, z2, z3;
    			x1 = votexs[0].x; x2 = votexs[1].x; x3 = votexs[2].x;
    			y1 = votexs[0].y; y2 = votexs[1].y; y3 = votexs[2].y;
    			z1 = votexs[0].z; z2 = votexs[1].z; z3 = votexs[2].z;
    			float A = y1*(z2-z3)+y2*(z3-z1)+y3*(z1-z2);
    			float B = z1*(x2-x3)+z2*(x3-x1)+z3*(x1-x2);
    			float C = x1*(y2-y3)+x2*(y3-y1)+x3*(y1-y2);
    			float D = -(x1*(y2*z3-y3*z2)+ x2*(y3*z1-y1*z3) + x3*(y1*z2 -y2*z1) );
    			abcd.push_back(A); abcd.push_back(B); abcd.push_back(C);
    			abcd.push_back(D);
    		}
    
    		return abcd;
    	}

    以茶壶为例,点云插值的效果如下:

    顶点点云:

    Mesh图像:

    插值点云:






    展开全文
  • 空间平面及其方程

    千次阅读 2020-07-06 11:02:55
    (A,B,C)为平面向量 三点式 一般方程 Ax + By + Cz + D = 0; (A,B,C)为平面向量 缺少谁,该平面就与哪个轴平行。 2. 常见问题 Π1:A1x + B1y + C1z + D1 = 0 Π2:A2x + B2y + C2z + D2 = ...

    F(x,y,z)= 0 几何意义 空间中的平面

    1. 方程类型

    1. 点法式
      A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

    (A,B,C)为平面的法向量

    1. 三点式
      在这里插入图片描述
    2. 一般方程
      Ax + By + Cz + D = 0;

    (A,B,C)为平面的法向量

    缺少谁,该平面就与哪个轴平行。

    2. 常见问题

    Π1:A1x + B1y + C1z + D1 = 0
    Π2:A2x + B2y + C2z + D2 = 0

    ① 两平面夹角
    在这里插入图片描述
    Π1 Π2 垂直 <=> A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0

    Π1 Π2 平行或重合 <=> A1/A2 + B1/B2 + C1/C2 = 0

    ② 点到平面的距离
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 关键在于平面的一个向量,为此做向量p1p2(x2-x1,y2-y1,z2-z1), p1p3(x3-x1,y3-y1,z3-z1),平面法线和这两个向量垂直,因此向量n: 平面方程:a(x-x1)+b(y-y1)+ c(z-z1)=0; d=-ax1-by1-c*z1。 平面平面方程...
  • 平面方程

    千次阅读 2010-11-01 22:36:00
    點法式: 若平面E向量n=(a,b,c)且過點A(x0,y0,z0),則平面E的方程式為a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z... 一般式ax+by+cz+d=0的向量為n=(a,b,c)  (c)求平面方程:已知三点 // ------------- 由三
  • 关于平面方程的理解

    千次阅读 2019-11-15 15:36:56
    B1,C1)是(1)的向量,b→\overrightarrow {b}b=(A2,B2,C2)是(2)的向量,记这两个平面的交线为l,则l必垂直于a和b构成的平面,而a+λb可用来表示所有过l的平面向量,这时候对应的平面方程就是我们的...
  • 2. 参数方程的概念 (一元函数y=f(x),方程F(x,y)=0的图形通常为平面曲线) 3. 竖直判断判断图形是否为函数图形 4. 曲线的参数方程 5. 直角坐标方程化为参数方程 6. 摆线 7. ...
  • 空间平面法向量求法(转)

    万次阅读 2009-08-25 16:08:00
    二、平面法向量的求法 1、内积 在给定的空间直角坐标系中,设平面向量=(x,y,1)[或=(x,1,z)或=(1,y,z)],在平面内任找两个不共线的向量,。由,得·=0且·=0,由此得到关于x,y的方程组,解此方程组即可...
  • 坐标平面上的参数方程,坐标的 z z 项必然是 0 0 , 否则就是你算错了; 利用 Eliminate 或 GroebnerBasic 方法,对 x ( t ) , y ( t ) x(t),y(t) 进行消元,消去参数就得到了 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 ...
  • 1. 问题的引入——通过网格精确描述和生成大飞机复杂外形 2. 平面的点法式方程(平面向量) ...3. 平面的三点式方程 ...6. 平面参数方程 7. 点到平面的距离公式 ...
  • 求平面法向量 点到平面的距离 直线与平面交点 三个平面斜交 1. 参数化表达式 三维平面可以看做是点的集合,已知一个平面上一点和向量, 设点为平面上任意一点,那么一定与平面法向量垂直,表达式...
  • 高等数学---平面方程理解

    千次阅读 2020-05-16 14:29:14
    简介 本文是对平面方程的个人理解,如有不对或不足,...直线l垂直 a ,b 那必然垂直于a+(任意实数)b 向量的两向量回构成一个面,所以 平面束的向量也就可以a+(任意实数)b 表示 所以就有了上面的解释, 括号中不包
  • 关键是平面上的所有点满足的方程,现在知道一个点还有向量,那么在平面上取一个点用它和那个点组成向量,这个向量与向量的点积为零,就完了 三点式 共面就是三个向量的混合积为零,然后以减少x,y,z出现...
  • 数学笔记26——参数方程

    千次阅读 2017-11-29 17:38:53
    参数方程的示例  现在有两个函数,x = acost和y = asint,如果将t看作时间,我们感兴趣的第一个问题是这两个函数将形成什么曲线? x2 + y2 = a2cos2t + a2sint = a2  很明显是一个圆。  另一个关注的问题是...
  • 原文链接: 三维空间中圆的参数方程 三维空间中,以点为圆心、以向量为向量、半径为 r 的圆(见下图), 它的参数方程为:其中,与分别对应单位向量与,它们既垂直于,又互相垂直;随着从0变化到,通过参数方程...
  • 线性代数笔记5——平面方程与矩阵

    千次阅读 2018-01-08 18:23:39
    线性方程的几何意义 二元线性方程  该方程是一个二元线性方程组,包含两个方程,每个方程是一条直线,两条直线的交点就是该方程有唯一解,...平面方程也称为三元线性方程。  方程x + 4y + z = 8,在xyz三个坐标
  • 设任意两个有序点P、Q对应于n维矢量空间中的一个矢量a,那么过两点的直线方程为:(1-t)P + tQ笛卡尔平面是一个仿射空间,那么空间两点(a,b), (c, d)之间的参数方程为:L = {((1-t)a + tc, (1-t)b + td) | t是...
  • Ax+By+Cz+D=0 (参数,A,B,C,D是描述平面空间特征的常数)  已知空间中3个点的坐标(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3),求解平面方程。 解法1.根据已知的3个点,建立3个联合方程组,进行消元; 2.根据克莱姆法则, ...
  • 平面方程(Plane Equation)求解方法

    千次阅读 2018-04-12 19:35:18
    (A,B,C)能够构成该平面的一个向量n。 那么,怎么通过一堆离散的点来求解这个平面呢?首先我们可以简单的用一个平面向量来表征一个平面。 方法1:假设在某个平面中存在着三个坐标点分别...
  • 三维空间中的平面方程

    万次阅读 2017-05-26 18:15:44
    平面方程: Ax+By+Cz+D=0 (参数,A,B,C,D是描述平面空间特征的常数) 如何求参数: 选择逆时针凸多边形的三个连续顶点(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3) 建立方程组来A,B,C,D(为什么要选择凸多边形,凸多边形能...
  • 平面曲线的三种方程及转化关系,杜艳梅,孙明珠,本文从实际意义出发,推导了摆线、星形线、心形线等平面曲线的方程,指出方程参数的几何意义。根据平面曲线方程的三种表示:一
  • 曲线 Geom_Circle Geom_Circle的参数方程
  • 空间直线方程及两直线的夹角 空间直线的一般方程 方向向量 直线的点向式(对称式)方程 两直线的夹角 两直线相互垂直和平行的充分必要条件
  • 应用平面表像,推导了钻头结构参数与刃磨参数之间的关系;为了由给定的结构参数计算刃磨参数,将求解关于刃磨参数的超越方程组问题,转化为计算结构参数误差平方和的最小值的优化问题,并用Matlab提供的优化函数...
  • 1.基于[基于三次样条的路径生成方法]中,在xix_ixi​非递增状态下时,三次样条插值产生的曲线在实际应用中会产生缺陷。如下图所示,在第一次xix_ixi​由递增状态变成递减,曲线走向不符合实际车辆的全局规划路径。...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 17,420
精华内容 6,968
关键字:

平面参数方程求法