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  • 空间平面及其方程

    千次阅读 2020-07-06 11:02:55
    方程类型2. 常见问题 1. 方程类型 点法式 A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 (A,B,C)为平面的法向量 三点式 一般方程 Ax + By + Cz + D = 0; (A,B,C)为平面的法向量 缺少谁,该平面...

    F(x,y,z)= 0 几何意义 空间中的平面

    1. 方程类型

    1. 点法式
      A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

    (A,B,C)为平面的法向量

    1. 三点式
      在这里插入图片描述
    2. 一般方程
      Ax + By + Cz + D = 0;

    (A,B,C)为平面的法向量

    缺少谁,该平面就与哪个轴平行。

    2. 常见问题

    Π1:A1x + B1y + C1z + D1 = 0
    Π2:A2x + B2y + C2z + D2 = 0

    ① 两平面夹角
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    Π1 Π2 垂直 <=> A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0

    Π1 Π2 平行或重合 <=> A1/A2 + B1/B2 + C1/C2 = 0

    ② 点到平面的距离
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  • 平面及其方程问题的引入平面的点法式方程例1例2平面的截距式方程特别的三点分别在三个坐标轴上平面的一般方程特殊情形的性质例3例4平面的参数方程平面片的描绘点到平面的距离例6 平面截距与一点到平面的距离D的关系 ...
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  • 1. 问题的引入——通过网格精确描述和生成大飞机复杂外形 2. 平面的点法式方程(平面的法向量) ...3. 平面的三点式方程 ...6. 平面参数方程 7. 点到平面的距离公式 ...

     

    1. 问题的引入——通过网格精确描述和生成大飞机复杂外形

     

    2. 平面的点法式方程(平面的法向量)

     

    3. 平面的三点式方程

     

    4. 平面的截距式方程

     

    5. 平面的一般方程

     

    6. 平面的参数方程

     

    7. 点到平面的距离公式

     

     

     

     

     

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  • 一、向量及其线性运算

    一、向量及其线性运算

    1、向量的概念

    • 向量(或矢量):客观世界中有这样一类量,它们既有大小,又有方向,例如位移、速度、加速度、力、力矩等等,这一类量叫做向量(或矢量)

    • A B ⃗ \vec{AB} AB :在数学上,常用一条有方向的线段,即有向线段来表示向量。有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向。以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作 A B ⃗ \vec{AB} AB

    • 自由向量:在实际问题中,有些向量与其起点有关(例如质点运动的速度与该质点的位置有关, 一个力与该力的作用点的位置有关),有些向量与其起点无关。由于一切向量的共性是它们都有大小和方向,因此在数学上我们只研究与起点无关的向量,并称这种向量为自由向量(简称向量),即只考虑向量的大小和方向,而不论它的起点在什么地方。

    • a ⃗ \vec{a} a = b ⃗ \vec{b} b :由于我们只讨论自由向量,所以如果两个向量a 和b 的大小相等,且方向相同,我们就说向诅 a 和 b 是相等的,记作 a ⃗ \vec{a} a = b ⃗ \vec{b} b 。这就是说,经过平行移动后能完全重合的向量是相等的。

    • 向量的模:向量的大小叫做向量的模。向量 A B ⃗ \vec{AB} AB a ⃗ \vec{a} a 的模依次记作| A B ⃗ \vec{AB} AB |、| a ⃗ \vec{a} a |

    • 单位向量:模等于1的向批叫做单位向量。

    • 零向量:模等于零的向量叫做零向量,记作0或 0 ⃗ \vec{0} 0 。零向量起点和终点重合, 它的方向可以看做是任意的。

    • 向量的夹角:设有两个非零向量 a ⃗ \vec{a} a b ⃗ \vec{b} b ,任取空间一点O . 作 O A ⃗ \vec{OA} OA = a ⃗ \vec{a} a O B ⃗ \vec{OB} OB = b ⃗ \vec{b} b ,规定不超过π的角∠AOB称为向量 a ⃗ \vec{a} a b ⃗ \vec{b} b 的夹角。如果向量 a ⃗ \vec{a} a b ⃗ \vec{b} b 中有一个是零向量,规定它们的夹角可以在0 到π之间任意取值。

    • 向量平行:当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共起点应在一条直线上。因此,两向量平行,又称两向量共线。

    • 向量共面:设有k ( k≥3 ) 个向址, 当把它们的起点放作同一点时,如果k 个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k 个向量共面。

    2、向量的“线性运算”:加减法、数乘

    2.1 向量的加减法

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    2.2 向量与数的乘法

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    3、空间直角坐标系

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    4、利用坐标作向量的线性运算

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    5、向量的模

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    6、向量的方向角与方向余弦

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    7、向量在轴上的投影

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    二、数量积、向量积、混合积

    1、两向量间的数量积(结果是一个标量)

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    2、两向量间的向量积(结果是一个向量)

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    3、三向量间的混合积(结果是一个标量)

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    三、平面及其方程

    1、曲面方程的概念

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    2、空间曲线方程的概念

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    3、平面的点法式方程

    法线向量:如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的法线向量。容易知道, 平面上的任一向量均与该平而的法线向量垂直。

    一个平面上的两个非平行向量的“向量积”------------>得到一个垂直于该平面的法向量。

    因为过空间一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直线. 所以当平面Π上一点M0(x0,y0,z0)和它的一个法线向量 n ⃗ \vec{n} n =(A,B,C) 为已知时,平面Π的位置就完全确定了。

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    4、平面的一般方程

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    5、平面的截距式方程

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    6、两平面的夹角

    两平面的夹角:两平面的法线向量的夹角(通常指锐角或直角) 称为两平面的夹角。

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    7、点到平面的距离

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    四、空间直线及其方程

    方向向量:如果一个非零向量平行于一条已知直线, 那么这个向量就叫做这条直线的方向向量。

    1、空间直线的一般方程

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    2、空间直线的点向式方程

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    3、空间直线的参数方程

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    4、两直线的夹角

    两直线的夹角:两直线的方向向量的夹角(通常指锐角或直角)叫做两直线的夹角。

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    5、直线与平面的夹角

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    五、曲面及其方程

    在空间解析几何中,关千曲面的研究有下列两个基本问题:

    1. 已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立这曲面的方程;
    2. 已知坐标x 、y 和z 间的一个方程时,研究这方程所表示的曲而的形状。

    1、球面曲面

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    2、旋转曲面

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    2.1 圆锥面

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    2.2 双曲面

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    3、柱面

    柱面(Cylinder)直线沿着一条曲线平行移动所形成的曲面。
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    4、二次曲面

    二次曲面:与平而解析几何中规定的二次曲线相类似,我们把三元二次方程F (x,y,z) =0 所表示的曲面称为二次曲面,把平面称为一次曲面。二次曲面有9种,适当选取空间直角坐标系,可得它们的标准方程。

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    4.1 椭圆锥面

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    4.2 椭球面

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    4.3 单叶双曲面

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    4.4 双叶双曲面

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    4.5 椭圆抛物面

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    4.6 双曲抛物面

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    4.7 椭圆柱面

    4.8 双曲柱面

    4.9 抛物柱面

    六、空间曲线及其方程

    1、空间曲线的一般方程

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    2、空间曲线的参数方程

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  • 空间直线及其方程

    2020-07-06 11:07:07
    二、空间直线及其方程 1. 方程类型 一般式 参数方程 对称式/点向式 两点式 2. 常见问题 ①两直线夹角 ②直线与平面的夹角
  • 空间直线及其方程问题引入直线的参数方程直线的对称式方程向量方程例1直线的一般方程如何把直线的一般法方程转化为对称式方程(怎样知道直线上的一点以及直线的方向向量)平面束方程例3空间点到直线的距离公式 ...
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  • 68 ----柱面及其方程

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平面及其方程的参数方程