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  • 奇函数相乘/除是偶函数,偶函数相乘/除还是偶函数; 奇函数和偶函数相乘/除是奇函数. 这些其实理解了定义是很直白的东西,如果不会就推导下. 举例: 比如奇函数相乘,推导: 假设奇函数f(x),g(x) 那么f(-x)g(-x)=[-f(x)...

    定义:

    f(x)=-f(-x)奇函数,f(x)=f(-x)偶函数。

    要点:

    奇函数相加还是奇函数,偶函数相加还是偶函数;
    奇函数相乘/除是偶函数,偶函数相乘/除还是偶函数;
    奇函数和偶函数相乘/除是奇函数.
    这些其实理解了定义是很直白的东西,如果不会就推导下.

    举例:

    比如奇函数相乘,推导:
    假设奇函数f(x),g(x)
    那么f(-x)g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)g(x),所以奇函数相乘是偶函数;

    ps:大概就是这样,好久之前的草稿了,做题突然忘了奇函数相乘除是啥了,当时我找了个特例推了下,其实真不用刻意去记!哈哈,有点水!
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  • 拉格朗日对偶函数&拉格朗日对偶问题

    万次阅读 多人点赞 2019-05-19 16:44:12
    愣是艰难地卡了大半天,一直没明白对偶问题的含义,原来拉格朗日函数得到以后还要进一步往下推出拉格朗日对偶函数,对偶函数的极值问题就是原问题的对偶问题,本文专门梳理和总结一下,以作学习记录。 本...

    前段时间学了拉格朗日乘子法,学会了构造拉格朗日函数,也就是学会了把带约束(等式或不等式)的优化问题转化为无约束优化问题,私以为这部分就学完了到此为止了,没想到今天推导SVM的数学模型,要推原问题的对偶问题,愣是艰难地卡了大半天,一直没明白对偶问题的含义,原来拉格朗日函数得到以后还要进一步往下推出拉格朗日对偶函数,对偶函数的极值问题就是原问题的对偶问题,本文专门梳理和总结一下,以作学习记录。

    本文是此文的续集,需要补充前面的知识可去逛逛,本文有的地方没仔细解释。

    对偶理论,1947年提出,最早出现在线性规划中,所以现在的最优化课本里讲对偶问题都是从线性规划开始的,注意初学者看了线性规划里的对偶问题,很容易误以为对偶问题就是原问题的一个等价问题,其实这么想是不正确不严密的,对偶和等价是不同的概念
    本文只讨论拉格朗日对偶问题,线性规划的先不考虑。


    考虑最优化模型:
    min ⁡ f ( x ) s . t . h k ( x ) = 0 , g j ( x ) ≤ 0 j = 1 , 2 … , n ; k = 1 , 2 … , l \min f(x) \quad s.t.\quad h_k(x)=0\quad,\quad g_j(x)\leq0\quad j=1,2\ldots,n;k=1,2\ldots,l minf(x)s.t.hk(x)=0,gj(x)0j=1,2,n;k=1,2,l

    (1)通过下面两步,构造拉格朗日函数为:

    1. 引入 松弛变量 / KKT乘子 μ j ( μ j ≥ 0 ) \mu_j(\mu_j\geq0) μj(μj0),把不等式约束条件转化为等式约束条件
    2. 引入拉格朗日乘子 λ k \lambda_k λk,把等式约束转化为无约束优化问题。

    L ( x , λ , μ ) = f ( x ) + ∑ k = 1 l λ k h k ( x ) + ∑ j = 1 n μ j g j ( x ) , μ j ≥ 0 \boldsymbol L(x,\boldsymbol \lambda,\boldsymbol\mu)=f(x)+\sum_{k=1}^l\lambda_kh_k(x)+\sum_{j=1}^n\mu_jg_j(x),\mu_j\geq0 L(x,λ,μ)=f(x)+k=1lλkhk(x)+j=1nμjgj(x),μj0

    (2)定义拉格朗日对偶函数为拉格朗日函数把 λ , μ \boldsymbol\lambda,\boldsymbol\mu λ,μ当作常数,关于 x x x取最小值得到的函数:

    g ( λ , μ ) = inf ⁡ x ( L ( x , λ , μ ) ) g(\boldsymbol\lambda,\boldsymbol\mu)=\inf_{x}(\boldsymbol L(x,\boldsymbol\lambda,\boldsymbol\mu)) g(λ,μ)=xinf(L(x,λ,μ))
    inf 表示下确界,infimum(sup,上确界,supremum)
    它只是 λ , μ \boldsymbol\lambda,\boldsymbol\mu λ,μ的函数,与 x x x无关。
    它一定是凹函数这里有证明。

    (3)拉格朗日对偶问题

    原问题是最小化 f ( x ) f(x) f(x),显然, f ( x ) ≥ L ( x , λ , μ ) f(x)\geq \boldsymbol L(x,\boldsymbol\lambda,\boldsymbol\mu) f(x)L(x,λ,μ)
    假设 f ∗ f^* f是满足原问题约束下的最优解,则
    f ∗ = min ⁡ f ( x ) ≥ min ⁡ L ( x , λ , μ ) ≥ g ( λ , μ ) , μ i ≥ 0 f^*=\min f(x)\geq\min \boldsymbol L(x,\boldsymbol\lambda,\boldsymbol\mu)\geq g(\boldsymbol\lambda,\boldsymbol\mu) ,\mu_i\geq0 f=minf(x)minL(x,λ,μ)g(λ,μ)μi0
    所以 g ( λ , μ ) g(\boldsymbol\lambda,\boldsymbol\mu) g(λ,μ)是原问题最优解的下界。

    找下界当然是要找最大的下界,所以导出拉格朗日对偶问题
    max ⁡ g ( λ , μ ) , s . t . μ i ≥ 0 \max g(\boldsymbol\lambda,\boldsymbol\mu), s.t.\quad\mu_i\geq0 maxg(λ,μ),s.t.μi0
    由于 g ( λ , μ ) g(\boldsymbol\lambda,\boldsymbol\mu) g(λ,μ)一定是凹函数,所以拉格朗日对偶问题一定是凸优化问题

    原问题的关于 x x x的最小化转化为了对偶问题关于 λ , μ \boldsymbol\lambda,\boldsymbol\mu λ,μ的最大化。

    (4)strong duality & weak duality

    d ∗ d^* d是拉格朗日对偶问题的最优解,则不管原问题是不是凸优化问题,都一定有
    d ∗ = f ∗ d^*= f^* d=f
    强对偶成立。这时对偶函数是原问题的紧致下界。

    d ∗ ≤ f ∗ d^*\leq f^* df
    弱对偶成立。

    能不能取到强对偶条件取决于目标函数和约束条件的性质。如果满足原问题是凸优化问题,并且至少存在一个绝对可行点(Slater’s condition)一个可以让所有不等式约束都不取等号的可行点),那么就具有强对偶性。

    slater条件:存在x,使得所以不等式约束 g ( x ) ≤ 0 g(x)\leq0 g(x)0严格成立(即严格小于)。
    slater条件性质: slater条件是原问题P可以等价于对偶问题Q的一个充分条件,该条件确保了鞍点的存在。

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  • 《信号与系统学习笔记》—信号与系统(一)

    万次阅读 多人点赞 2017-08-09 10:25:24
    一)、举例与数学表示 1、信号的定义  1)、在物理上,信号可以描述范围极广的一类物理现象。  2)、在数学上,信号可以表示为一个或多个变量的函数。 注:本博客讨论的范围仅限于单一变量的函数,而且为了方便...

    注:本博客是基于奥本海姆的《信号与系统》第二版编写,主要是为了自己学习的复习与加深。



    一、连续时间和离散时间信号

    一)、举例与数学表示

    1、信号的定义

     1)、在物理上,信号可以描述范围极广的一类物理现象。

     2)、在数学上,信号可以表示为一个或多个变量的函数。


    注:本博客讨论的范围仅限于单一变量的函数,而且为了方便起见,以后再讨论中一般总是用时间来表示自变量,然而在某些具体应用中自变量不一定是时间。


    2、两种基本类型信号

     1)、连续时间信号:自变量是连续可变的,信号在自变量的连续值上都有定义。

     2)、离散时间信号:定义在离散时刻点上,也就是自变量仅取在一组离散值上。


    3、基本类型信号的表示

     1)、用t表示连续时间变量,而且连续时间信号用圆括号()把自变量括在里面。

     2)、用n表示离散时间变量,而且离散时间信号用方括号[ ]来表示。


    4、一个离散信号x[n]可以表示一个自变量本来就是离散的现象。另一方面,有些很重要的离散时间信号则是通过对连续时间信号的采样而得到的,这时该离散信号x[n]则表示一个自变量连续变化的连续时间信号在相继的离散时刻点上的样本值。



    二)、信号能量与功率

    1、有限区间的功率和平均功率

     1)、连续时间信号

    总能量

    平均功率:把上式除以t2-t1就可以等到。

    2)、离散时间信号

    总能量

    平均功率:把上式除以n2-n1+1就可以得到。


    注:“功率”和“能量”与上面的式中的是否与真正的物理量想联系是无关的。


    2、无限区间的功率和平均功率

    1)、连续时间信号

    总能量:

    平均功率:

    2)、离散时间信号

    总能量:

    平均功率:

     3)、利用上述定义可区分三种重要的信号

    I、具有有限的总能量信号。

    II、平均功率P有限的信号。

    iii、平均功率P和总能量E都不是有限的。



    二、自变量的变换

    一)、自变量变换的举例

    1、时移变换


    离散时间信号的时移。图中n0>0


    连续时间信号的时移。图中t0<0


    2、时间反转


    离散时间信号的反转。以t=0轴


    连续时间信号的反转。以t=0轴


    3、时间尺度变换


    连续时间信号x(t)、x(2t)、x(t/2)视的时间尺度变换



    二)、周期信号

    1、连续时间信号周期定义:

    一个周期连续时间信号x(t)具有这样的性质,即存在一个正值的T,对所有的t来说,有

    x(t)=x(t+T)

    换句话说,当一个周期信号时移T后其值不变。这时就说x(t)是一个周期信号,周期为T。

    1)、使上式成立的最小正值T成为x(t)的基波周期

    2)、在x(t)为一个常数的情况下,基波周期无定义。


    2、一个信号x(t)不是周期的就称为非周期信号。


    3、离散时间信号周期定义

    如果一个离散时间信号x[n]时移一个N后其值不变,即对所有的n值有

    x[n]=x[n+N]

    x[n]是周期的,周期为N,N为某一正整数。



    三)、偶信号与奇信号

    1、偶信号

    如果一个信号x(t)或x[n],以原点为轴反转后不变,就称为偶信号。

    1)、连续时间信号:

    x(-t)=x(t)

    2)、离散时间信号

    x[-n]=x[n]


    2、如果一个信号x(t)或x[n],以原点为轴反转后改变,就称为奇信号。

    1)、连续时间信号:

    x(-t)=-x(t)

    2)、离散时间信号

    x[-n]=-x[n]


    3、任何信号都能分解为两个信号之后,其中一个为偶信号,另一个为奇信号

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  • 自己写的Oracle四舍六入奇进不进的函数,实现了四舍六入五单进的修约规则,已经测试通过,并应用到项目中了!
  • 最近有开发同事咨询 PostgreSQL 日期函数,对日期处理不太熟悉,今天详细看了下手册的日期函数,整理如下,供参考。 一 取当前日期的函数 --取当前时间skytf=> select now(); now --------------------------...

    最近偶有开发同事咨询 PostgreSQL 日期函数,对日期处理不太熟悉,今天
    详细看了下手册的日期函数,整理如下,供参考。
        

    一 取当前日期的函数

    --取当前时间
    skytf=> select now();
                  now             
    -------------------------------
     2011-06-03 14:45:43.633466+08
    (1 row)

    skytf=> select current_timestamp;
                  now             
    -------------------------------
     2011-06-03 14:46:58.768399+08

    --取当前时间的日期
    skytf=> select current_date;
        date   
    ------------
     2011-06-03
    (1 row)


    --取当前具体时间 (除去日期)
    skytf=> select current_time;
           timetz      
    --------------------
     14:46:29.404942+08
    (1 row)

     

    二 日期的加减

    skytf=> select now();
                  now             
    -------------------------------
     2011-06-03 14:54:04.771193+08
    (1 row)


    --表示三天后
    skytf=> select now() + interval '3 day';
               ?column?           
    -------------------------------
     2011-06-06 14:54:06.119683+08
    (1 row)


    --表示三天前
    skytf=> select now() - interval '3 day';
               ?column?           
    -------------------------------
     2011-05-31 14:54:10.060558+08
    (1 row)


    --表示1小时后
    skytf=> select now() + interval '1 hour';
               ?column?           
    -------------------------------
     2011-06-03 15:55:24.600172+08
    (1 row)


    --表示1小时前
    skytf=> select now() - interval '1 hour';
               ?column?           
    -------------------------------
     2011-06-03 13:55:25.799537+08
    (1 row)


    (1 row)

    --表示10分钟后
    skytf=> select now() + interval '10 minutes';
               ?column?           
    -------------------------------
     2011-06-03 15:06:23.363667+08
    (1 row)

    --表示10分钟前
    skytf=> select now() - interval '10 minutes';
               ?column?           
    -------------------------------
     2011-06-03 14:46:13.899526+08
     
      
    三 取时间字段的部分值
      
           在开发过程中,经常要取日期的年,月,日,小时等值,PostgreSQL 提供一个非常便利的EXTRACT函数。
     
    --EXTRACT函数解释
          EXTRACT(field FROM source): field 表示取的时间对象, source 表示取的日期来源,类型为 timestamp。
         下面是一些例子。
      
    --取年份
    skytf=> select extract (year from now());
     date_part
    -----------
          2011
    (1 row)  
      
      
    --取月份  
    skytf=> select extract (month from now());
     date_part
    -----------
             6
    (1 row)  


    --取day
    skytf=> select extract(day from now());
     date_part
    -----------
             3
    (1 row)

    skytf=> select extract(day from timestamp '2011-06-03');
     date_part
    -----------
             3
    (1 row)

    skytf=> select timestamp '2011-06-03';
          timestamp     
    ---------------------
     2011-06-03 00:00:00
    (1 row)


    --取小时
    skytf=> select extract (hour from now());
     date_part
    -----------
            14
    (1 row)


    --取分钟
    skytf=> select extract (minute from now());
     date_part
    -----------
            59
    (1 row)


    --取秒
    skytf=> select extract (second from now());
     date_part
    -----------
     46.039333
    (1 row)


    --取所在哪个星期
    skytf=> select extract (week from now());
     date_part
    -----------
            22
    (1 row)

    四 总结

          上面只是 PostgreSQL 日期函数的基本用法,希望这些对大家应用 PostgreSQL
          起到一定作用。

    转载于:https://www.cnblogs.com/kungfupanda/p/4371327.html

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