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  • 一般函数的傅里叶级数问题引入一般函数的傅里叶级数定理,一般函数的傅里叶级数特别为奇函数与偶函数的情况例题1方法1方法2例题2傅里叶级数的复数形式利用Mathemaitca求函数的傅里叶级数展开,软件求傅里叶级数...

    问题引入

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    一般函数的傅里叶级数

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    定理,一般函数的傅里叶级数

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    特别为奇函数与偶函数的情况

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    例题1

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    方法1

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    方法2

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    例题2

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    傅里叶级数的复数形式

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    利用Mathemaitca求函数的傅里叶级数展开,软件求傅里叶级数

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    傅里叶变换的概念

    其中的一个应用,可以把,定义在实轴上的函数,如何通过积分的形式表示出来。这就是借助于复数形式的傅里叶级数。

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    傅里叶变换,傅里叶反变换

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    傅里叶变换在物理学科,电子类学科等领域,有着非常广泛的应用,是信号处理中重要的数学工具。

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  • 函数的傅里叶级数展开问题的引入傅里叶级数的收敛定理定理1,狄利克莱收敛定理例题1例题2正弦级数与余弦级数正弦级数,奇函数余弦级数,偶函数例题3例题4吉布斯现象 问题的引入 将函数展开成幂级数要求函数有很高的...

    问题的引入

    将函数展开成幂级数要求函数有很高的的光滑性,也就是要求函数在相应的区间内是任意次可导;
    将函数展开成傅里叶级数,根据狄里克莱收敛条件,我们只对它的连续性和极值点有要求。
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    傅里叶级数的收敛定理

    定理1,狄利克莱收敛定理

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    例题1

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    例题2

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    正弦级数与余弦级数

    正弦级数,奇函数

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    余弦级数,偶函数

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    例题3

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    例题4

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    吉布斯现象

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    如何消除吉布斯现象?我们可以把函数延拓为一个连续函数,使得间断点变成连续点,这样就消除了吉布斯现象。

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  • 偶函数对应余弦级数 4. 定义在任何有限区间上的函数的傅里叶级数展开方法——方法一 5.定义在任何有限区间上的函数的傅里叶级数展开方法——方法二 三、傅里叶级数的复数形式 1. 利用欧拉公式,...

    一、问题的引入——傅里叶级数是“拼接”分段函数的工具

     

    二、一般函数的傅里叶级数

    1. 以2l为周期的函数的傅里叶级数

     

    2. 以2l为周期的函数的傅里叶展开公式

     

    3. 奇函数对应正弦级数;偶函数对应余弦级数

     

    4. 定义在任何有限区间上的函数的傅里叶级数展开方法——方法一

     

    5. 定义在任何有限区间上的函数的傅里叶级数展开方法——方法二

     

    三、傅里叶级数的复数形式

    1. 利用欧拉公式,可将傅里叶级数表示为复数形式

     

    2. 利用Mathematica求函数的傅里叶级数展开

     

    四、傅里叶变换的概念

    傅里叶变换、傅里叶反变换、傅里叶反演表示

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  • 一、周期为2l的周期函数傅里叶级数 实际问题中所遇到的周期函数,它的周期不一定是2π2\pi2π。如之前提到的矩形波,它的周期函数是T=2πωT=\frac{2\pi}{\omega}T=ω2π​。因此,这里讨论周期为2l2l2l的周期函数...

    一、周期为2l的周期函数的傅里叶级数

    实际问题中所遇到的周期函数,它的周期不一定是2π2\pi。如之前提到的矩形波,它的周期函数是T=2πωT=\frac{2\pi}{\omega}。因此,这里讨论周期为2l2l的周期函数的傅里叶级数。根据之前讨论的结果,经过自变量的变量代换,可得到下面的定理:

    定理:设周期为2l的周期函数f(x)f(x)满足收敛定理的条件,则它的傅里叶级数展开式为
    f(x)=a02+n=1(ancosnπxl+bnsinnπxl)(xC) f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_ncos\frac{n\pi x}{l}+b_nsin\frac{n\pi x}{l})(x\in C)
    其中
    an=1lllf(x)cosnπxldx(n=0,1,2,)bn=1lllf(x)sinnπxldx(n=1,2,3,)C={xf(x)=12[f(x)+f(x+)]} a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx\quad (n=0,1,2,···) \\ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx\quad (n=1,2,3,···)\\ C=\{x|f(x)=\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]\}
    f(x)f(x)为奇函数时,
    f(x)=n=1bnsinnπxl(xC) f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_nsin\frac{n\pi x}{l}\quad (x\in C)
    其中
    bn=2l0lf(x)sinnπxldx(n=1,2,3,) b_n=\frac{2}{l}\int_0^lf(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx \quad (n=1,2,3,···)
    f(x)f(x)为偶函数时,
    f(x)=a02+n=1ancosnπxl(xC) f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_ncos\frac{n\pi x}{l}(x\in C)
    其中
    an=2l0lf(x)cosnπxldx(n=0,1,2,) a_n=\frac{2}{l}\int_0^l f(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx \quad(n=0,1,2,···)

    二、傅里叶级数的复数形式

    傅里叶级数可用复数形式表示,在电子技术中,经常应用这种形式。

    设周期为2l2l的周期函数f(x)f(x)的傅里叶级数为
    a02+n=1(ancosnπxl+bnsinnπxl)(1) \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_ncos\frac{n\pi x}{l}+b_nsin\frac{n\pi x}{l}) \tag{1}
    其中系数ana_nbnb_n
    an=1lllf(x)cosnπxldx(n=0,1,2,)bn=1lllf(x)sinnπxldx(n=1,2,3,)(2) a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx \quad (n=0,1,2,···)\\ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx \quad (n=1,2,3,···) \tag{2}
    利用欧拉公式
    cost=eti+eti2, sint=etieti2i cos\,t=\frac{e^{ti}+e^{-ti}}{2},\space sin\,t=\frac{e^{ti}-e^{-ti}}{2i}
    把(1)式化为
    a02+n=1[an2(enπxli+enπxli)bni2(enπxlienπxli)]=a02+n=1[anbni2enπxli+an+bni2enπxli](3) \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty[\frac{a_n}{2}(e^{\frac{n\pi x}{l}i}+e^{-\frac{n\pi x}{l}i})-\frac{b_ni}{2}(e^{\frac{n\pi x}{l}i}-e^{-\frac{n\pi x}{l}i})] \\ =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty[\frac{a_n-b_ni}{2}e^{\frac{n\pi x}{l}i}+\frac{a_n+b_ni}{2}e^{-\frac{n\pi x}{l}i}] \tag{3}

    a02=c0,anbni2=cn,an+bni2=cn(n=1,2,3,)(4) \frac{a_0}{2}=c_0, \quad \frac{a_n-b_ni}{2}=c_n,\quad \frac{a_n+b_ni}{2}=c_{-n} \quad (n=1,2,3,···) \tag{4}
    则(2)式就表示为
    c0+n=1(cnenπxli+cnenπxli)=(cnenπxli)n=0+n=1(cnenπxli+cnenπxli) c_0+\sum_{n=1}^\infty (c_ne^{\frac{n\pi x}{l}i}+c_{-n}e^{-\frac{n\pi x}{l}i})=(c_ne^{\frac{n\pi x}{l}i})_{n=0}+\sum_{n=1}^\infty(c_ne^{\frac{n\pi x}{l}i}+c_{-n}e^{-\frac{n\pi x}{l}i})
    即得傅里叶级数的复数形式为
    n=cnenπxli \sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{\frac{n\pi x}{l}i}
    为得出系数cnc_n的表达式,把(2)式代入(4),得
    c0=a02=12lllf(x)dx;cn=12lllf(x)enπxldx(n=1,2,3,)cn=an+bni2=12lllf(x)enπxlidx(n=0,1,2,) c_0=\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2l}\int_{-l}^lf(x)dx ;\\ c_n=\frac{1}{2l}\int_{-l}^l f(x)e^{-\frac{n\pi x}{l}dx} \quad (n=1,2,3, ···) \\ c_{-n}=\frac{a_n+b_ni}{2}=\frac{1}{2l}\int_{-l}^lf(x)e^{\frac{n\pi x}{l}i}dx \quad (n=0, 1, 2,···)
    将已得的结果合并写为
    cn=12lllf(x)enπxlidx(n=0,±1,±2,) c_n=\frac{1}{2l}\int_{-l}^lf(x)e^{-\frac{n\pi x}{l}i}dx \quad (n=0,\pm 1,\pm 2, ···)
    这就是傅里叶系数的复数形式。

    傅里叶级数的两种形式本质上是一样的,但复数形式比较简洁,且只用一个算式计算系数。

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偶函数的傅里叶级数