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  • 等差数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列,常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差。前n项和公式为:Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。等差数列公式1.定义式2.通项公式...

    等差数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列,常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差。前n项和公式为:Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。

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    等差数列公式

    1.定义式

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    2.通项公式

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    3.求和公式

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    4.前n项和公式

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    等差数列推论

    (1)从通项公式可以看出,a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由前n项和公式知,S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0。

    (2)从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1),(类似:p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1)),k∈{1,2,…,n}。

    (3)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q),S(2n-1)=(2n-1)*a(n),S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1),S(k),S(2k)-S(k),S(3k)-S(2k),…,S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列,等等。若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p)。

    证明:p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n);p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因为m+n=p+q,所以p(m)+p(n)=p(p)+p。

    (4)其他推论:

    ①和=(首项+末项)×项数÷2;

    ②项数=(末项-首项)÷公差+1;

    ③首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×(项数-1);

    ④末项=2x和÷项数-首项;

    ⑤末项=首项+(项数-1)×公差;

    ⑥2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和。

    数列求和方法

    1、公式法

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    2、错位相减法

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    3、倒序相加法

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    4、分组法

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    5、裂项相消法

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    6、数学归纳法

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    7、通项化归法

    先将通项公式进行化简,再进行求和。

    如:求数列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出,再利用分组等方法求和。

    8、并项求和法

    (常采用先试探后求和的方法)

    例:1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n

    方法一:(并项)

    求出奇数项和偶数项的和,再相减。

    方法二:

    (1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]

    方法三:

    构造新的数列,可借用等差数列与等比数列的复合。

    an=n(-1)^(n+1)

    9、求和公式

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  • 等差数列求和公式

    万次阅读 2018-10-08 11:09:22
    等差数列是常见数列的一种,可以用AP表示,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。例如:1,3,5,7,9……(2n-1...

    等差数列是常见数列的一种,可以用AP表示,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。例如:1,3,5,7,9……(2n-1)。等差数列{an}的通项公式为:an=a1+(n-1)d。前n项和公式为:Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。注意: 以上n均属于正整数

    目录

    1. 一般定义
    2. 扩展:幂次数列
    3. 其他结论
    1. 特殊性质
    2. 求和公式(字母)
    1. 求和公式(文字)

    一般定义

    编辑

    等差数列遵守

      

    的形式,

    可规定b为数列的0项,记为a0,k为数列的公差,记为d,y为通项公式,记为an

     

    对应的求和数列

      

    其中

      

    正整数

    扩展:幂次数列

    编辑

    数列:

     

    求和数列:

     

    方阵

     

    等差数列是幂次数列的特殊形式

    数列:

     

    求和数列:

     

    其他结论

    编辑

    首项:

      

    /末项-(项数-1)×公差

    末项:

     

    通项公式:

     

    项数:

     

    公差:

     

    如:数列1,3,5,7,……,97,99 公差就是d=3-1=2 将

      

    推广到

      

    ,则为:

     

    a1,a2,a3....an,n=奇数,Sn=(a((n-1)/2))*((n-1)/2)

    特殊性质

    编辑

    1.在数列

      

    中,若

      

    ,则有:

    ①若

      

    ,则am+an=ap+aq.

    ②若m+n=2q,则am+an=2aq.

    2.在等差数列中,若Sn为该数列的前n项和,S2n为该数列的前2n项和,S3n为该数列的前3n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也为等差数列。

    求和公式(字母)

    编辑

    设首项为  , 末项为  , 项数为  , 公差为  , 前  项和为  , 则有:

    ①  ;

    ②  ;

    ③  ;

    ④  , 其中

      ..

    当d≠0时,Sn是n的二次函数,(n,Sn)是二次函数

      

    的图象上一群孤立的点。利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。

    注意:公式一二三事实上是等价的,在公式一中不必要求公差等于一。

    求和推导

    证明:由题意得:

    Sn=a1+a2+a3+。。。+an①

    Sn=an+a(n-1)+a(n-2)+。。。+a1②

    ①+②得:

    2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](当n为偶数时)

    Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2

    Sn=n(A1+An)/2 (a1,an,可以用a1+(n-1)d这种形式表示可以发现括号里面的数都是一个定值,即A1+An)

    求和公式(文字)

    编辑

    【(首项+末项)×项数】÷2

    首项×项数+【项数(项数-1)×公差】/2

    {【2首项+(项数-1)×公差】项数}/2

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  • 等差数列求和公式1.公式法2.错位相减法3.求和公式4.分组法有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.5.裂项相消法适用...

    数学大师


    等差数列是常见数列的一种,可以用AP表示,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。

    等差数列求和公式

    1.公式法

    c910b683d6b5431e1359e4df20af485a.png

    2.错位相减法

    3c421f05fe05a24644e53377b874eb70.png

    3.求和公式

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    4.分组法

    有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.

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    5.裂项相消法

    适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)-f(n),然后累加时抵消中间的许多项。

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    【小结】此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
    注意:余下的项具有如下的特点1、余下的项前后的位置前后是对称的。2、余下的项前后的正负性是相反的。

    6.数学归纳法

    一般地,证明一个与正整数n有关的命题,有如下步骤:(1)证明当n取第一个值时命题成立;(2)假设当n=k(k≥n的第一个值,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。

    【例】求证:1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

    证明:当n=1时,有:1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

    假设命题在n=k时成立,

    于是:1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

    则当n=k+1时有:

    1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

    = 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

    = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

    = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)

    = [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

    即n=k+1时原等式仍然成立,归纳得证

    7.并项求和法

    (常采用先试探后求和的方法)【例】1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n

    方法一:(并项)求出奇数项和偶数项的和,再相减。

    方法二:(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]

    方法三:构造新的数列,可借用等差数列与等比数列的复合。an=n(-1)^(n+1)

    等差数列判定及其性质

    等差数列的判定
    (1)a(n+1)--a(n)=d (d为常数、n ∈N*)[或a(n)--a(n-1)=d,n ∈N*,n ≥2,d是常数]等价于{a(n)}成等差数列。
    (2)2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。
    (3)a(n)=kn+b [k、b为常数,n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。
    (4)S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B为常数,A不为0,n ∈N* ]等价于{a(n)}为等差数列。

    特殊性质
    在有穷等差数列中,与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和;特别的,若项数为奇数,还等于中间项的2倍,即,a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中

    【例】数列:1,3,5,7,9,11中

    a(1)+a(6)=12 ;

    a(2)+a(5)=12 ;

    a(3)+a(4)=12 ;

    即,在有穷等差数列中,与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和。


    数列:1,3,5,7,9中

    a(1)+a(5)=10 ;

    a(2)+a(4)=10 ;

    a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ;

    即,若项数为奇数,和等于中间项的2倍,另见,等差中项。

    ​数学大师

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  • 下半年的事业单位考试正在来袭,在大家备考过程中不难发现,计算问题属于一类高频考点,而计算问题中的等差数列又是这一类题里最常考的知识点,那么,今天和大家分享的是等差数列中中项法求和公...

    【导读】

    中公事业单位为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试!今天为大家带来数量关系:等差数列中项法求和的应用。

    【导读】

    中公事业单位为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试!今天为大家带来数量关系:等差数列中项法求和的应用。

    下半年的事业单位考试正在来袭,在大家备考过程中不难发现,计算问题属于一类高频考点,而计算问题中的等差数列又是这一类题里最常考的知识点,那么,今天和大家分享的是等差数列中中项法求和公式的应用。我们初中时就知道了等差数列的通项公式和求和公式,但是那时主要应用的求和公式是:前n项和

    530903bdf953ad9445153c969ccdfa98.png,即

    865f6c8778d90e1ac43c6b4c91f9b370.png,而在实际解题过程中我们发现,等差数列的中项法求和公式应用起来解题会更快。所以,对于等差数列的学习,一定要掌握中项法求和的方式。

    中项法求和分为两种情况,一是数列为奇数项时:Sn=中间一项×项数。

    【例1】主席台前排坐着5个人,最小的一个32岁,从第二个起,每个人都比前一个人年龄大3岁,则这个5个人的平均年龄为( )

    A.28 B.35 C.38 D.41

    【答案】C。

    【中公解析】方法一,依题意可知,5人年龄构成公差为3的等差数列,求5人的平均年龄,只需求5人的年龄和,再除以5即可,a1=32,根据通项公式易知a5=44,则

    1244bc5dbccf8be6b3fb23de86f96035.png,所以,5人平均年龄为190÷5=38。

    方法二,由中项法求和可知:五个人的年龄和S5=第三个人的年龄×5,所以第三个人的年龄即等于5人的平均年龄,第一人是32岁,则第二人为35岁,第三人为38岁,此题选C。

    中项法求和的另一种情况是数列为偶数项时:Sn=中间两项和×项数的一半。

    【例2】一张试卷共8道题,后面每一道题总比前一道多4分,如果试卷满分120分,那么第四道题分值是:

    A.17 B.16 C.13 D.11

    【答案】C。

    【中公解析】方法一,依题意,8道题的分值构成公差为4的等差数列,8项的和S8=120,根据通项公式和常规求和公式有:

    4c8137281f3bb06c2eb2cd19d9906466.png……①;a8=a1+(8-1)×4……②;联立两式解得a1=1,所以,a4=1+(4-1)×4=13。

    方法二,由中项法求和可知:S8=120=(a4+a5)×4,则(a4+a5)=30,又因为a5比a4大4,所以a5=17,a4=13.此题选C.

    通过以上两道例题不难看出,在等差数列的计算问题中,如果能灵活运用中项法求和公式,那么解题过程也许会变得简单,更容易得到结果,所以,在事业单位备考过程中,一定要对中项法求和很熟悉,做到灵活运用。

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  • HDU2015 偶数求和【入门】

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    偶数求和 Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 98886Accepted Submission(s): 41277 Problem Description 有一个长度为n(n Input
  • HDU 2015 偶数求和

    2015-05-31 12:30:50
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空空如也

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偶数等差数列求和

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