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  • 偶数项求和
    2021-05-13 11:30:02

    题目描述

    斐波那契数列中的每个新项都是通过将前两个项相加而生成的。从1和2开始,前10个项将是:

    1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…

    通过考虑斐波那契数列中值不超过400万的项,找到偶值项的总和。

    思路

    可以直接通过公式来求,第三项等于前两项之和
    也可以通过推导公式来求,只求偶数项
    Fn=Fn−1+Fn−2
    =Fn−2+Fn−3+Fn−3+Fn−4
    =2Fn−3+Fn−2+Fn−4
    =2Fn−3+(Fn−3+Fn−4)+(Fn−5+Fn−6)
    =3Fn−3+Fn−4+Fn−5+Fn−6=4Fn−3+Fn−6
    最终公式:EFn=4EFn−1+EFn−2(EF1=2,EF2=8)

    代码

    #include <iostream>
    #include <vector>
    
    using namespace std;
    
    int main() {
        vector<int>q {2, 8};
        int n = 4000000;
        long long res = 0;
    
        int a = 2, b = 8, c = 0;
        while (1) {
            c = b * 4 + a;
            a = b;
            b = c;
            if (b < n) q.push_back(b);
            else break;
        }
    
        for (int i = 0; i < q.size(); i ++ ) {
        	cout << q[i] << ' ';
        	res += q[i];
    	}
    	
    	cout << endl;
    
        cout << res << endl;
    
        return 0;
    }
    
    
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    Each new term in the Fibonacci sequence is generated by adding the previous two terms. By starting with 1 and 2, the first 10 terms will be:

    1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

    By considering the terms in the Fibonacci sequence whose values do not exceed four million, find the sum of the even-valued terms.

    C代码:

    #include <stdio.h>
    #define MAX_LOOP        100
    #define MAX_FIB_NUM     4000000
    static int fib[MAX_LOOP] = { 0, 1, 2 };
    int main()
    {
        int value = 2;
        int result = 2;
        int i;
    
        for( i = 3; i < MAX_LOOP; i++ )
        {
            value = fib[i-1] + fib[i-2];
    
            if( value >= MAX_FIB_NUM )  break;
    
            if( (value % 2 == 0) )
            {
                result += value;
            }
    
            fib[i] = value;
        }
    
        printf("%d\n",result);
    
        return 0;
    }


    python代码:

    fib = {
    0 : 0,
    1 : 1,
    2 : 2,
    }
    
    i = len(fib)
    ret = 2
    while True:
        v = fib[i-1]+ fib[i-2]
        if v >= 4000000 : break
        if v % 2 == 0:
            ret += v
        fib[i] = v
        i += 1
    
    print ret

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    题目

    问题引入

    给你一个古典概型问题,总共两个事件,发生A事件的概率为p,则发生B事件的概率为1-p;求k次操作之后,出现偶数次A事件的概率为多少。对于最后的答案要取模1e9+7。
    题库链接 <<

    样例输入

    2
    2 1 1
    3 1 2

    样例输出

    500000004
    555555560

    题目来源

    2017 ACM-ICPC 亚洲区(西安赛区)网络赛

    题解

    • 很显然,答案是求二项式的偶数项和。
      这里写图片描述
    • 对于这种求偶数项的和,可以参照对于n的所有组合数C(n, i)求得奇数项和为2^(n-1),偶数项和为2^(n-1)的方法,如下所示:
      这里写图片描述
    • 综上,二项式偶数项和的通项公式为:
      • ans=(p^k+(2*q-p)^k)/(2*p^k) ;
    #include<cstdio>
    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    
    const int mod=1e9+7;
    const double eps=1e-8;
    
    typedef long long LL;
    LL pow_mod(LL a,LL b,LL p) //快速幂取模
    {
        LL ans=1,base=a;
        while(b>0)
        {
            if(b&1) //n%2==1
                ans=ans*base%p;
            base=base*base%p;
            b>>=1;// b/=2
        }
        return ans;
    }
    LL cal(LL x,LL y)//分数取模
    {
        return x*pow_mod(y,mod-2,mod)%mod;
    }
    int main()
    {
        int T;
        LL p,q,k;
        scanf("%d",&T);
        while(T--)
        {
            scanf("%lld%lld%lld",&p,&q,&k);
            q=pow_mod(p-2*q,k,mod);
            p=pow_mod(p,k,mod);
            q=(p+q)%mod;
            p=(p*2)%mod;
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        return 0;
    }
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    1、奇数项求和

    2、偶数项求和

    3、平方求和

    在数学上,斐波那契数列以如下被以32313133353236313431303231363533e78988e69d8331333431366339递推的方法定义:F(1)=1,F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=3,n∈N*)在现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波纳契数列都有直接的应用。

    为此,美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志,用于专门刊载这方面的研究成果。

    扩展资料:

    斐波那契数列的应用:

    1、生物应用

    斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如,如果选择树干上的一片叶子,将其计数为零,然后按顺序(假设没有损坏)计数叶子,直到达到适合这些叶子的位置,它们之间的叶子数基本上是斐波那契数。从一个位置移动到下一个位置的叶子称为周期。

    叶子在一个周期内旋转的圈数也是斐波那契数。一个循环中叶数与叶旋转圈数之比称为叶序比(源自希腊语,意为叶的排列)。大多数叶序比是斐波那契数。

    2、自然界中的应用

    自然界中的斐波那契数列斐波那契数列在自然科学的其他分支,有许多应用。例如,树木的生长,由于新的枝条,往往需要一段时间的“休息”时间来自己生长,才能使新的枝条发芽。因此,例如,幼苗每隔一年生长一个新的枝条。

    第二年,新树枝“休息”,老树枝仍在发芽。之后,老枝和老枝“休憩”一年的同时发芽,而当年的新枝则在第二年“休息”。这样,一棵树每年的分枝数就构成了斐波那契数列。这个定律是生物学中著名的“鲁德维格定律”。

    展开全文
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