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  • 平面向量

    千次阅读 2015-07-31 23:20:59
     平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量, 物理学中也称作矢量, 与之相对的是只有大小, 没有方向的数量(标量). 平面向量用小写加粗的字母a, b, c表示; 也可以用表示向量的有向线段的...

    一. 描述


            平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量, 物理学中也称作矢量, 与之相对的是只有大小, 没有方向的数量(标量). 平面向量用小写加粗的字母a, b, c表示; 也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.

    二. 一些概念


    有向线段AB:具有方向的线段叫做有向线段, 以A为起点, B为终点的有向线段记作:
    ->
    AB
    AB; (加粗)

    向量的模:有向线段AB的长度叫做向量的模, 记作: |AB|;

    零向量:长度等于0的向量叫做零向量记作:
    ->
    0
    或0; (加粗) (注意粗体格式, 实数"0"和向量"0"是有区别的, 书写时要在实数“0”上加箭头,以免混淆);

    相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;

    平行向量(共线向量): 两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量, 零向量与任意向量平行, 即0//a;

    单位向量: 模等于1个单位长度的向量叫做单位向量, 通常用e表示, 平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i, j表示;

    相反向量: 与a长度相等, 方向相反的向量, 叫做a的相反向量, -(-a) = a,
    零向量的相反向量仍然是零向量;

    三. 表示方法

    3.1 几何表示

    用有向线段表示, 我们以A为起点、B为终点的有向线段记作
    ->                      
    AB
    , 则向量可以相应地记作

    ->
    AB, 但是,区别于有向线段,在一般的数学研究中,向量是可以平移的.

    3.2 坐标表示

            在直角坐标系内, 我们分别取与x轴, y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底. 任作一个向量a, 由平面向量基本定理可知, 有且只有一对实数x, y, 使得: a = xi + yj, 我们把(x, y)叫做向量a的(直角)坐标, 记作: a = (x, y). 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标, 上式叫做向量的坐标表示.在平面直角坐标系内, 每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示.
    根据定义, 任取平面上两点A(x1, y1), B(x2, y2), 则向量 AB = (x2 - x1, y2 - y1), 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

    3.3 书写方法


    印刷体: 只用小写字母表示时, 采用加粗黑体; 例如: a; 用首尾点大写字母表示时, 需要在字母上加箭头, 如:
    ->
    AB


    手写体:均需在字母上加箭头表示,如:
    ->
    a


    ->
    AB


    四. 运算法则


    // 一个3D向量
    // 很详细

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  • 平面向量加法(15 分)

    千次阅读 2018-02-04 17:38:04
    本题要求编写程序,计算两个二维平面向量的和向量。 输入格式: 输入在一行中按照“x​1​​ y​1​​ x​2​​ y​2​​”的格式给出两个二维平面向量,和,的分量。 输出格式: 在一行中按照(x, y)的...

    本题要求编写程序,计算两个二维平面向量的和向量。

    输入格式:

    输入在一行中按照“x1 y1 x2 y2”的格式给出两个二维平面向量,,的分量。

    输出格式:

    在一行中按照(x, y)的格式输出和向量,坐标输出小数点后一位(注意不能输出)。

    输入样例:

    3.5 -2.7 -13.9 8.7
    

    输出样例:

    (-10.4, 6.0)
    /*这个题看起来是非常的简单,然而有两个坑,
    	第一个坑:就是四舍五入 如:相加后是-0.05,不做处理的话
    那么最后就会出现-0.0;
    	第二个坑:必须定义为double型,一开始我定义的是float,修
    改了老半天,才考虑到这个问题(T-T) 
    */
    #include<stdio.h>
    #include<math.h>
    int main(){
    	float x1,y1,x2,y2,x,y;
    	scanf("%f %f %f %f",&x1,&y1,&x2,&y2);
    	x=x1+x2;y=y1+y2;
    	if(fabs(x)<0.05) x=fabs(x);
    	if(fabs(y)<0.05) y=fabs(y);
    	printf("(%.1f, %.1f)",x,y);
    	return 0;
    } 

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  • 平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量,物理学中也称作矢量,与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示,也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。 ...

    内容来自百度百科知识以及东方耀老师笔记内容的整合

    1、定义

    平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量,物理学中也称作矢量,与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示,也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。

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    2、其它相关概念

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    3、 向量的加法运算

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    4、 向量的减法运算

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    5、 向量的数乘运算

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    6、 向量的线性运算

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    7、 两个向量数量积的坐标表示

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    8、 向量的模与垂直关系的坐标表示

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    9、 向量夹角坐标的表示

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    10、 推导公式

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  • 一路过去好像平面向量也是必学的知识,毕竟用初中知识解题的日子已经过去了.我们来看一个例题. Codeforces 935C Fifa and Fafa 这个题是求一个圆之中不覆盖某点(x,y)的最大圆的圆心坐标和半径.(在圆上算不覆盖) ...

    一路过去好像平面向量也是必学的知识,毕竟用初中知识解题的日子已经过去了.我们来看一个例题.
    Codeforces 935C Fifa and Fafa
    这个题是求一个圆之中不覆盖某点(x,y)的最大圆的圆心坐标和半径.(在圆上算不覆盖)
    思路:首先判断某点是不是在圆外,如果在圆外直接输出圆的各项数值.
    如果不是,很明显就是找出该点p与圆心连线延长线与圆的交点q,然后输出pq中点坐标和pq距离的一半.
    如何求q点坐标?我用初中算法来做,坑了我40多分钟推公式,还wa了一次.

    #include<bits/stdc++.h>
    #define db double
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    typedef pair<db,db> pdd;
    db r,x8,y8,x9,y9;
    
    db dist(db a,db b,db c,db d)//两点之间距离
    {
    return sqrt((a-c)*(a-c)+(b-d)*(b-d));
    }
    
    pdd erci(db a,db b,db c)//解二次方程,用一个pair储存两个根
    {
    db delta=b*b-4*a*c,x1,x2;
    x1=(-b+sqrt(delta))/(2*a),x2=(-b-sqrt(delta))/(2*a);
    return pdd(x1,x2);
    }
    
    int main()
    {
    cin>>r>>x8>>y8>>x9>>y9;//由于y0,y1等会与保留字重复,所以用y8,y9,不影响观看.
    db d=dist(x8,y8,x9,y9);
    if (d>=r) return printf("%.15lf %.15lf %.15lf",x8,y8,r),0;//判断是否在圆外
    db dis=d+r,k,b;
    if (x8==x9) printf("%.15lf %.15lf %.15lf",x8,y9-dis/2,dis/2);//因为是初中算法,要特判一下横坐标相等,否则算不出k
    else 
      {
      k=(y9-y8)/(x9-x8),b=y8-k*x8;//算出解析式
      pdd p=erci(1+k*k,2*k*b-2*x8-2*k*y8,x8*x8+b*b-2*b*y8+y8*y8-r*r);//20分钟一个二次方程,差点错了,利用q在直线上且与圆心O距离为r列出该方程.
      db xp,yp;
      xp=x9<x8?p.first:p.second,yp=xp*k+b;//q必须是离某点较远的那个
      xp=(xp+x9)/2,yp=(yp+y9)/2;
      printf("%.15lf %.15lf %.15lf",xp,yp,dis/2);
      }
    }

    坑爹吧.所以我们需要救星——平面向量!
    见证奇迹的时候到了.具体的东西多看看数学书啊.(叉乘????)

    //打不出向量符号简直麻烦死了.
    #pragma GCC optimize("inline,Ofast",3)//优化
    #define nico puts("niconiconi")//不同的人不同的debug
    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const double pi=3.141592653587,eps=1e-10;
    struct xl{//定义结构体向量,含有一对坐标(x,y)
    double x,y;xl(){x=0,y=0;}
    void read1(){scanf("%lf%lf",&x,&y);}//第一种直接读入
    void read2()//第二种读入两对坐标,求差.
      {
      double a,b;
      scanf("%lf%lf%lf%lf",&x,&y,&a,&b);
      x=a-x,y=a-y;
      }
    void print(){printf("%lf %lf",x,y);}//输出
    double mo(){return sqrt(x*x+y*y);}//求它的模
    };
    xl operator -(xl a){xl b;b.x=-a.x,b.y=-a.y;return b;}//负的向量就是两个值均为相反数
    xl operator +(xl a,xl b){xl c;c.x=a.x+b.x,c.y=a.y+b.y;return c;}//加法
    xl operator -(xl a,xl b){return a+-b;}//减法就是加上负的向量
    xl operator *(xl a,double b){xl c;c.x=a.x*b,c.y=a.y*b;return c;}//向量的数乘
    double operator *(xl a,xl b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}//向量的数量积
    double jiao(xl a,xl b){return acos(a*b/a.mo()/b.mo());}//夹角
    double cross(xl a,xl b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}//叉乘结果的模
    int operator ==(xl a,xl b){return fabs(a.x-b.x)<=eps&&fabs(a.y-b.y)<=eps;}//判断两向量是否相等
    double mianji(xl a,xl b,xl c){return fabs(cross(b-a,c-a))/2;}//三点构成三角形面积
    xl zhuan(xl a,double du){xl b;b.x=a.x*cos(du)-a.y*sin(du),b.y=a.x*sin(du)+a.y*cos(du);return b;}//将向量a逆时针转一个角度(弧度)
    int shx(xl a,xl b,xl p){if (a.x<b.x) swap(a,b);double ans=cross(p-a,b-a);return abs(ans)<=eps?0:ans>0?1:-1;}//返回点p在直线ab的位置,在ab上返回0,在上方返回1,下方返回-1.
    int main()
    {
    
    }
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  • 习题9-3 平面向量加法 (15 分)

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平面向量坐标的定义