高中网课实录：平面向量基本定理
《平面向量基本定理》
课型：线上教学    时长：90分钟
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在学习了向量的加法、减法和数乘运算之后，安排了一节向量线性运算的综合运用习题课。
习题课除了巩固向量的运算(字母运算及图形运算)之外，主要以贯输平面向量基本定理的意识为主，强化向量学习过程中的统一化思想。
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通过此题分析，一方面强化统一化思想，巩固向量的图形运算，另一方面在习题课中已经接触过此类题型的基础上，介绍此类常见问题的常规解法：“奔驰定理”。
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三角形四心概念介绍，并利用奔驰定理，介绍并利用四心特征简单证明四心的向量式。
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复习向量共线定理，分析系数特征，为平面向量基本定理中的系数研究做铺垫。
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两个向量不共线时，提出向量夹角概念，并就夹角作一定分析，讨论向量夹角与两向量之间的位置关系，总结向量共线和向量垂直的夹角表示。为后续向量应用做好方法基础。
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两个小例，提醒学生研究向量夹角时，将两向量的起点平移到同一点，务必注意向量的方向。
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“平面向量基本定理”探索
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提出两个向量不共线时，主要研究平面内任意向量与两者之间的关系。
通过视频学习，理解并接受平面向量基本定理，并能根据视频观察系数λ、μ的正负对点P位置的影响，为向量坐标化奠定基本。
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介绍平面向量基本定理的内容，提出基底概念，强调两个基向量不共线的特征。
根据视频学习内容，了解点P在各区域(16个)内时，系数λ、μ的取值变化。进一步理解平面向量基本定理与平行四边形法则之间内在联系。
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一组习题，进一步巩固基本定理的相关要求。
提醒学生注意利用位移的概念理解基本定理的表示方法。
变式的目的在于提醒学生思考：随着点D的位置不同，根据两种情形下结论的相似性，能否得到某些结论？一组课堂练习，让学生通过平面向量基本定理的使用，逐步形成共线定理的概念，为下一节平面向量基本定理的推论奠定基础。
基本定理课堂训练
END
【说明】来源于“素人素言”，这是由安徽省阜阳市红旗中学彭西东老师建立的个人公众号，该公众号旨在用最朴素、简洁的语言讲述数学，以适用性为目标，介绍高考备考和教学经验。
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【附】彭老师课堂视频精选
网课实录：向量的减法及数乘运算
网课实录：向量的概念及加法运算
网课实录：正切函数的性质及图像
(精品)奔驰不仅是车，更是数学人心中的小美好
(精品)实在没忍住，今天说下“等和线”
(精品)是时候和“四心”做个了结了
(精品)共起点数量积问题处理｜极化恒等式
(精品)单位圆 ，不仅仅是个圆。
(精品)你确定会求法向量？！
网课实录：正切函数的性质及图像
网课实录：三角函数的性质
网课实录：三角函数的图像及简单性质
解几思想试探：直线与圆的位置关系
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【考试要求】
1.了解平面向量的基本定理及其意义；
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
【知识梳理】
1.平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
【考点聚焦】
考点一　平面向量基本定理及其应用
【规律方法】　1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
考点二　平面向量的坐标运算
【规律方法】
1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.
2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.
考点三　平面向量共线的坐标表示　多维探究
角度1　利用向量共线求向量或点的坐标
角度2　利用向量共线求参数
【规律方法】
1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
【反思与感悟】
1.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
2.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.
3.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式.
【易错防范】
1.注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2－x2y1＝0.
2.要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息.

	

引导：高一、高三一轮复习阅读
● 本文适合高一学生预习与章节复习时阅读，也适合高三学生一轮复习时阅读；
● 阅读时建议先看视频，再读文字；
● 看视频时注意及时暂停，深入思考，步步为营，理解透彻。
向量是一个很好的数学工具，能实现图形的运算。高中向量知识是学生较易克服的一个难点。实际学习中发现，偏文的同学普遍觉得向量较难。
01
向量的概念、加减法则
视频：向量的概念、加减法则、
1、向量：既有大小，又有方向的量,具有双重性，不能比较大小。
2、向量与起点、终点的位置没有关系，只与起点、终点的相对位置有关。
3、向量表示法：有向线段法、单字母法、双字母法
4、单位向量：模长为１的向量。
把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是圆。
5、相等向量：大小相等、方向相同的向量。
6、相反向量：大小相等、方向相反的向量。
7、向量加法法则。
8、向量减法法则。
注：利用三角形法则，可以合并或分解向量。为了加快计算速度，在理解的基础上要记忆：同起点向量之差是由减向量终点指向被减向量终点的向量。
02
向量的数乘与平行向量基本定理
视频：向量数乘与平行向量基本定理。
9、数乘向量：
10、数乘向量满足如下运算律：
11、平行(共线)向量基本定理：
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λ 。
12、数乘说明：
03
平面向量基本定理
视频：平面向量基本定理
13、平面向量基本定理：
我们把不共线向量e1、e2叫做这一平面内所有向量的一个基底。
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6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
 教材分析
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》(人教A版)第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习平面向量数量积的坐标表示，模、夹角的坐标表示。
前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.
教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础。
教学目标与核心素养 
课程目标
学科素养
A.掌握平面向量数量积坐标表示及模、夹角的公式。
B.能用公式求向量的数量积、模、夹角；
C.掌握两个向量垂直的坐标判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
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1.数学抽象：用数量积判断两个平面向量的垂直关系;
2.逻辑推理：证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
3.数学运算：利用平面向量数量积解决有关长度、角度的问题；
4.直观想象：用坐标表示平面向量数量积的有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内在联系。
 教学重难点
1.教学重点：平面向量数量积坐标表示及模、夹角公式；
2.教学难点：平面向量数量积的应用。
 课前准备
多媒体
 教学过程
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
一、复习回顾，温故知新
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
【答案】
2.两个向量的数量积的性质：
【答案】
故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
【答案】
例1.已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(-2， 5)，试判断△ABC的形状，证明你的猜想.
思考4：设是两个非零向量，其夹角为θ，若，那么如何用坐 标表示？
通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
通过探究，让学生数量积的坐标表示，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
通过思考，让学生会用坐标表示向量的模、垂直，提高学生分析问题、概括能力。
通过例题练习数量积的坐标表示，提高学生解决问题的能力。
通过思考，推导夹角的坐标表示，提高学生的推理能力。
通过例题进一步熟悉向量的应用，提高学生的观察、概括能力，进一步体会向量的工具性。
三、达标检测
1．已知a＝(1，－1)，b＝(2，3)，则a·b＝(　　)
A．5B．4
C．－2D．－1
【解析】　a·b＝(1，－1)·(2，3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.
【答案】　D
2．已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为(　　)
A．－1B．0
C．1D．2
【解析】　由题意，a·b＝(－2，1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1.故选A．
【答案】　A
A．－4B．－2
C．2D．4
4．已知a＝(3，－4)，则|a|＝________.
【解析】　因为a＝(3，－4)，所以|a|＝＝5.
【答案】　5
5．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，
求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b)．
【解】　(1)因为a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，
所以a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5.
(2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，
所以(a＋b) 2＝＝42＋(－3)2＝25.
(3)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，
a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2，1)，
(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2，1)＝8－3＝5.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结
1. 向量数量积的坐标表示；
2.向量的模的坐标表示，向量垂直的充要条件；
3.向量的夹角公式的坐标表示;
五、作业
习题6.3   10,14题
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
 教学反思 
结合本节教材浅显易懂,又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点,兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状,我主要采用“诱思探究教学法”,其核心是“诱导思维,探索研究”,其教学思想是教师为主导,学生为主体,训练为主线的原则,为此,我通过精心设置的一个个问题,激发学生的求知欲,积极的鼓励学生的参与,给学生独立思考的空间,鼓励学生自主探索,在教师的指导下去探索发现问题,解决问题。在教学中,我适时的对学生学习过程给予评价,适当的评价,可以培养学生的自信心,合作交流的意识,更进一步地激发了学生的学习兴趣,让他们体验成功的喜悦。
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