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  • 数学篇(三)向量的基本运算

    千次阅读 2019-04-25 16:59:20
    1.1平面向量的加法运算 两个向量,; 向量满足四边形法则; 1.2平面向量的乘法运算 两个向量,; 向量乘表示为 ; 相比于向量加运算,向量乘运算要复杂点,很难看明白向量乘的几何意义; 将和用极坐标表示...

    1.平面向量

    1.1平面向量的加法运算

    两个向量\vec{A}=x_{1}+iy_{1}\vec{B}=x_{2}+iy_{2}

    向量满足四边形法则\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2})

    1.2平面向量的乘法运算

    两个向量\vec{A}=x_{1}+iy_{1}\vec{B}=x_{2}+iy_{2}

    向量乘表示为

    \vec{D}=\vec{A}\cdot \vec{B}=(x_{1}+iy_{1})\cdot (x_{2}+iy_{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1});

    相比于向量加运算,向量乘运算要复杂点,很难看明白向量乘的几何意义;

    \vec{A}\vec{B}用极坐标表示:\vec{A}=(\rho _{1},\theta_{1}),\vec{B}=(\rho _{2},\theta_{2})

    则向量乘法表示为:\vec{D}=(\rho _{1}\cdot \rho _{2},\theta_{1}+\theta_{2})=\rho_{1}\rho_{2}e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}

    2.空间向量

    如果三个向量\vec{a}\vec{b}\vec{c}不共面,那么对空间任一向量\vec{\rho },存在唯一的有序实数组\left \{ x \right.y \right.\left. z \right \},使的\vec{\rho }=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}

    模长\left | \rho \right |=\sqrt[2]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

     

     

     

     

     

     

     

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  • 高中网课实录:平面向量基本定理《平面向量基本定理》课型:线上教学 时长:90分钟1在学习了向量的加法、减法和数乘运算之后,安排了一节向量线性运算的综合运用习题课。习题课除了巩固向量的运算(字母运算及图形...

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    高中网课实录:平面向量基本定理

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    《平面向量基本定理》

    课型:线上教学    时长:90分钟

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    在学习了向量的加法、减法和数乘运算之后,安排了一节向量线性运算的综合运用习题课。

    习题课除了巩固向量的运算(字母运算及图形运算)之外,主要以贯输平面向量基本定理的意识为主,强化向量学习过程中的统一化思想

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    通过此题分析,一方面强化统一化思想,巩固向量的图形运算,另一方面在习题课中已经接触过此类题型的基础上,介绍此类常见问题的常规解法:“奔驰定理”。

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    三角形四心概念介绍,并利用奔驰定理,介绍并利用四心特征简单证明四心的向量式。

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    复习向量共线定理,分析系数特征,为平面向量基本定理中的系数研究做铺垫。

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    两个向量不共线时,提出向量夹角概念,并就夹角作一定分析,讨论向量夹角与两向量之间的位置关系,总结向量共线和向量垂直的夹角表示。为后续向量应用做好方法基础

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    两个小例,提醒学生研究向量夹角时,将两向量的起点平移到同一点,务必注意向量的方向。

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    “平面向量基本定理”探索

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    提出两个向量不共线时,主要研究平面内任意向量与两者之间的关系。

    通过视频学习,理解并接受平面向量基本定理,并能根据视频观察系数λ、μ的正负对点P位置的影响,为向量坐标化奠定基本。

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    介绍平面向量基本定理的内容,提出基底概念,强调两个基向量不共线的特征。

    根据视频学习内容,了解点P在各区域(16个)内时,系数λ、μ的取值变化。进一步理解平面向量基本定理与平行四边形法则之间内在联系。

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    TRAVEL

    一组习题,进一步巩固基本定理的相关要求。

    提醒学生注意利用位移的概念理解基本定理的表示方法。

    变式的目的在于提醒学生思考:随着点D的位置不同,根据两种情形下结论的相似性,能否得到某些结论?一组课堂练习,让学生通过平面向量基本定理的使用,逐步形成共线定理的概念,为下一节平面向量基本定理的推论奠定基础。

    基本定理课堂训练


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    END

    【说明】来源于“素人素言”,这是由安徽省阜阳市红旗中学彭西东老师建立的个人公众号,该公众号旨在用最朴素、简洁的语言讲述数学,以适用性为目标,介绍高考备考和教学经验。

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    【附】彭老师课堂视频精选

    1. 网课实录:向量的减法及数乘运算

    2. 网课实录:向量的概念及加法运算

    3. 网课实录:正切函数的性质及图像

    4. (精品)奔驰不仅是车,更是数学人心中的小美好

    5. (精品)实在没忍住,今天说下“等和线”

    6. (精品)是时候和“四心”做个了结了

    7. (精品)共起点数量积问题处理|极化恒等式

    8. (精品)单位圆 ,不仅仅是个圆。

    9. (精品)你确定会求法向量?!

    10. 网课实录:正切函数的性质及图像

    11. 网课实录:三角函数的性质

    12. 网课实录:三角函数的图像及简单性质

    13. 解几思想试探:直线与圆的位置关系

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  • 一路过去好像平面向量也是必学知识,毕竟用初中知识解题日子已经过去了.我们来看一个例题. Codeforces 935C Fifa and Fafa 这个题是求一个圆之中不覆盖某点(x,y)最大圆圆心坐标和半径.(在圆上算不覆盖) ...

    一路过去好像平面向量也是必学的知识,毕竟用初中知识解题的日子已经过去了.我们来看一个例题.
    Codeforces 935C Fifa and Fafa
    这个题是求一个圆之中不覆盖某点(x,y)的最大圆的圆心坐标和半径.(在圆上算不覆盖)
    思路:首先判断某点是不是在圆外,如果在圆外直接输出圆的各项数值.
    如果不是,很明显就是找出该点p与圆心连线延长线与圆的交点q,然后输出pq中点坐标和pq距离的一半.
    如何求q点坐标?我用初中算法来做,坑了我40多分钟推公式,还wa了一次.

    #include<bits/stdc++.h>
    #define db double
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    typedef pair<db,db> pdd;
    db r,x8,y8,x9,y9;
    
    db dist(db a,db b,db c,db d)//两点之间距离
    {
    return sqrt((a-c)*(a-c)+(b-d)*(b-d));
    }
    
    pdd erci(db a,db b,db c)//解二次方程,用一个pair储存两个根
    {
    db delta=b*b-4*a*c,x1,x2;
    x1=(-b+sqrt(delta))/(2*a),x2=(-b-sqrt(delta))/(2*a);
    return pdd(x1,x2);
    }
    
    int main()
    {
    cin>>r>>x8>>y8>>x9>>y9;//由于y0,y1等会与保留字重复,所以用y8,y9,不影响观看.
    db d=dist(x8,y8,x9,y9);
    if (d>=r) return printf("%.15lf %.15lf %.15lf",x8,y8,r),0;//判断是否在圆外
    db dis=d+r,k,b;
    if (x8==x9) printf("%.15lf %.15lf %.15lf",x8,y9-dis/2,dis/2);//因为是初中算法,要特判一下横坐标相等,否则算不出k
    else 
      {
      k=(y9-y8)/(x9-x8),b=y8-k*x8;//算出解析式
      pdd p=erci(1+k*k,2*k*b-2*x8-2*k*y8,x8*x8+b*b-2*b*y8+y8*y8-r*r);//20分钟一个二次方程,差点错了,利用q在直线上且与圆心O距离为r列出该方程.
      db xp,yp;
      xp=x9<x8?p.first:p.second,yp=xp*k+b;//q必须是离某点较远的那个
      xp=(xp+x9)/2,yp=(yp+y9)/2;
      printf("%.15lf %.15lf %.15lf",xp,yp,dis/2);
      }
    }

    坑爹吧.所以我们需要救星——平面向量!
    见证奇迹的时候到了.具体的东西多看看数学书啊.(叉乘????)

    //打不出向量符号简直麻烦死了.
    #pragma GCC optimize("inline,Ofast",3)//优化
    #define nico puts("niconiconi")//不同的人不同的debug
    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const double pi=3.141592653587,eps=1e-10;
    struct xl{//定义结构体向量,含有一对坐标(x,y)
    double x,y;xl(){x=0,y=0;}
    void read1(){scanf("%lf%lf",&x,&y);}//第一种直接读入
    void read2()//第二种读入两对坐标,求差.
      {
      double a,b;
      scanf("%lf%lf%lf%lf",&x,&y,&a,&b);
      x=a-x,y=a-y;
      }
    void print(){printf("%lf %lf",x,y);}//输出
    double mo(){return sqrt(x*x+y*y);}//求它的模
    };
    xl operator -(xl a){xl b;b.x=-a.x,b.y=-a.y;return b;}//负的向量就是两个值均为相反数
    xl operator +(xl a,xl b){xl c;c.x=a.x+b.x,c.y=a.y+b.y;return c;}//加法
    xl operator -(xl a,xl b){return a+-b;}//减法就是加上负的向量
    xl operator *(xl a,double b){xl c;c.x=a.x*b,c.y=a.y*b;return c;}//向量的数乘
    double operator *(xl a,xl b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}//向量的数量积
    double jiao(xl a,xl b){return acos(a*b/a.mo()/b.mo());}//夹角
    double cross(xl a,xl b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}//叉乘结果的模
    int operator ==(xl a,xl b){return fabs(a.x-b.x)<=eps&&fabs(a.y-b.y)<=eps;}//判断两向量是否相等
    double mianji(xl a,xl b,xl c){return fabs(cross(b-a,c-a))/2;}//三点构成三角形面积
    xl zhuan(xl a,double du){xl b;b.x=a.x*cos(du)-a.y*sin(du),b.y=a.x*sin(du)+a.y*cos(du);return b;}//将向量a逆时针转一个角度(弧度)
    int shx(xl a,xl b,xl p){if (a.x<b.x) swap(a,b);double ans=cross(p-a,b-a);return abs(ans)<=eps?0:ans>0?1:-1;}//返回点p在直线ab的位置,在ab上返回0,在上方返回1,下方返回-1.
    int main()
    {
    
    }
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    1、平面向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫向量,只有大小没有方向的量叫数量。(注意物理学中的矢量与向量的区别)(2)共线向量、相等向量、零向量的概念:两个向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这两个向量叫共线向量。长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。长度为零的向量叫做零向量,零向量与任意向量共线。2、向量的运算(1)向量的加减运算:满足向量的运算的平行四边形法则、三角形法则。b6b59fd9291542fac911c1888a02c81d.png,则9518b934f528965140e85ba61798359a.pngd4b5fc1fd6ba90b71af9a6cb8e2e5538.png7b14b76c0c141d476ffb52ffe45f511e.png(2)数乘运算:实数59c353a85eccc0efbc615f850b026c8d.png与向量53b16f9a37ba5592ddb2ee3bd092303f.png的乘积是一个向量,其长度是1f6d9c479d8f28382e96c797711789e7.png1a55938d5c662b119a243143b5564b81.pngf28fc6a4acd90f5ca92ba1ea3ebf44e8.png方向相同,反之方向相反。当cc5f2a80842beb63325b6776d144cafe.png(3)共线向量定理:9d012fb034d3256ab9d9f8b0cc861936.png,则62c4447026e51c0c85c57ef203f865a9.png(4)向量的坐标运算:设5c92b49f1d269259ba0e801292050d30.pngd1cc46f7d99b04fcd2af4bb81dc59622.pngdd7888a898712d2f11ab3d352ab46aba.png(5)运算律:6da96ea29588d936d392ff758c97864f.png   008b11ca7c42cf991146678b8874e311.png289c68b91ea21b147b41db9244a2fb3f.png 6d7bf3c8a07131d10774af04acdc48f0.png      3、直线L的向量方程:在平面直角坐标系中,经过bdf5038654fa83002f5ce24975c4ac97.png,且平行于非零向量211238350be3cc700a0050e95f475761.png的直线L的向量方程是:8aebe10bf1283afea74969ff4602a833.png即:c71b8e43e92e3e6e23e874aacc43fa99.png 4、矩阵的概念:由042634f39c2db0015f48ab7b6ba300f0.png个数排成的mn列矩形数表叫一个mn列的矩阵。常用大写字母A表示。当m=n时,即45bccdcea7e12637f477869bc20ee795.png个数据组成的矩阵叫n阶方阵。0ab2aa7b8864e2198c779804ef92a11b.png5、二阶方阵与向量乘法的运算法则:二阶方阵8a3c6e809b3a6c6149cd31ef65dcedc9.png 左乘向量5ff184dff978ba0f881bd0f0127383df.png   的法则是:9f3f25e633d9cb5636244f30759018c3.png  注:二阶方阵8a3c6e809b3a6c6149cd31ef65dcedc9.png 左乘向量5ff184dff978ba0f881bd0f0127383df.png 的作用是变成另一个向量3f3b9d136ae709c1b9a49947450648f2.png 典型例题知识点一:平面向量的基本运算1、已知向量b93c7f2c6b0e10c05cba91af448b8da2.png,则76da4d9633c272817172e1bd8e99997c.png(     )A. ff1a952cb576a5bb148f36f2c6780ac0.pngB. 01efb0576234384c732456a6965e1aba.pngC. 66ec4fb429547879dc947f7506958f6b.pngD. 74b7f2db1cb425b0f0c664628d1ff287.png分析:本题考查向量的数乘运算和向量减法的坐标运算。根据数乘运算公式b70e006795d416d5faae2b806e928075.png和向量加减法坐标运算9d74bd61636a560cf3561b98475e3904.png计算。解析:76da4d9633c272817172e1bd8e99997c.png9ba99f1cc444629b74c27660b7c9e7c6.png,选(A)小结:本题考查向量的坐标运算,要准确的利用公式,计算过程要认真仔细。2、已知动直线L过定点A(1,-2),且与向量15536bb2ce4b24fe829fa86263bb6108.png平行(1)用坐标表示动直线L的向量方程。(2)假设M是动直线L上的一个动点,当t=0fee5ad595d89063f1aebd985949ca717.png时,分别求出动点M的坐标。(3)根据(2)说明参数t的几何意义.分析:本题考察向量方程的概念及其意义。根据动直线L向量方程的定义:直线L的向量方程是:07ded152f8e8ea805c1a8654edf1fc5b.png,(t为参数,X是直线L上的任意一个动点)X(xy),代入可用坐标表示直线L的向量方程。098922757f4013322d3c22e05a77b397.png解析:(1)设X(xy)是直线L上的任意一个动点,f1c24cf332dbc0202011fffed3ad7d1b.png722c341ec6b6097cd1a7b12089c2d306.png,由直线向量方程的定义知:07ded152f8e8ea805c1a8654edf1fc5b.png54c5f80395de506f2945b7f1e028ea00.png,即1765b0970d3f30567db1c231aca4dafe.png为参数)(2)设M32c8a8104f307e3b28d69c82746113fc.png,则cfee7bf7af1710309d6c6fed14cbaeb5.png为参数)t=0时,M(1,-2),当0d1b0658aea386b988c797bf350f05fb.pnge8a8004041a24de42ed3716e9f20e5ed.png(3)参数t的几何意义是:t表示动点M到定点A的数量,|t|表示动点M到定点A的距离。小结:本题主要考查直线向量方程的概念,要明白直线向量方程的推导过程,才能理解其中参数的几何意义。3、给定的三个向量82c6218d1c12590649e599bcc2bc5c32.png0c2d3bf1e6007cbf820ab1cc6a857ba8.png,问:是否存在实数st使223b56d12aa64286d9e9620ba8a825c4.png成立?若存在求出st的值。数对(st)是否唯一,说明理由。分析:本题考查向量的加法与数乘运算知识及向量加法的几何意义。根据223b56d12aa64286d9e9620ba8a825c4.png建立关于st的方程组,确定st的值。解析:223b56d12aa64286d9e9620ba8a825c4.png得:65f31b48c4612bfa320eee2e2f21210b.pngb0f59297045998ab893965f1665f76dc.png533727936959d3bfd6cd0238f5862a59.png,解得:a0af99862d17c7f1ae6484ef183bdc2d.png,故存在实数st满足条件。223b56d12aa64286d9e9620ba8a825c4.png――――(1)假设另有一组数对78ef67f12dd730372d05a423b3d6df9b.png满足条件:0bb1c8d3359bd37103819df3c363d02b.png――――(2)(1)-(2)得:ee9d7e69a8a6aa51015fdd933dca7ce7.png9ba099b5b7533a4776a2480e21fd2fcf.png,故b7a57ff64236ee0718c4acc5729f065c.png故实数对(st)是唯一的。小结:有关向量的运算问题要掌握向量的加减、数乘运算的法则。对直线的向量方程的问题要理解其意义。 知识点二:二阶方阵与平面向量的乘法4、已知向量1b92bba8337035b39dd6e96343c442b2.png,二阶方阵8ce41d6280949ecacc1927bbfb81b2d0.png00bcefded30257d14923ec401742052b.png,且52df1f35764dde526fa3d74b0256460d.png,则x=_________分析:本题考查二阶方阵与平面向量的乘法。利用二阶方阵与向量的乘法及c05f1e02eeba929da1557e8e2b94fabc.png建立关于x的方程。解析:56acdfb74b72e3b216a83c0ab2850d1f.png61cacd0a979310b865e9852be2ac8c33.png c1f1938a9971ee3353af2c035175b17a.png小结:关于二阶方阵与平面向量的乘法计算问题,要把握运算法则。5、若矩阵7b1f517916b5fb4ab7a912f1836a78d1.png把点M变成了点bba37ee43bd502bc3671d4c0c791052b.png,求点M的坐标。分析:本题考查矩阵与向量乘法的意义及其基本的运算。M(xy),则3e22599d3993af40f312da20a14d852e.png,根据1e44d37573364e3d7ef09523a3aa6bf2.png建立关于xy的方程组。解析:M(xy),则3e22599d3993af40f312da20a14d852e.png46fd036b194a95017dabbae0f23d9432.pnge57d8ccfe7ef2bf0b5921f181c6ea882.png小结:解答本题的关键是理解矩阵与向量乘法(左乘)的运算法则及其意义,即矩阵左乘向量的作用是:把一个向量变成了另一个向量,即把平面上的一个点变成另一个点。6、已知矩阵:d93999e9791e7215122d623ef0707d16.png,向量2c9fbf24ed3687dff40b310b4f175150.png,试计算0857e9383900f2b4edc9ca8bcc29af75.png根据你的计算结果猜想一下在单位矩阵I的作用下,这些向量发生了怎样的变化?你得到的这个结论能否推广到一般的情形?如果能,请给予证明。分析:本题考查单位矩阵的左乘向量的几何意义。分别计算0857e9383900f2b4edc9ca8bcc29af75.png,观察结果,总结结论。解析:6f21d349cd84681e2ef5001dd94cf1cc.png91691735405d7b96eaef1c136046f073.png同理可以计算:9c51fe426c4dd1da00de159c1fe93404.png8ce41d6280949ecacc1927bbfb81b2d0.png由上述的结果可猜想:在单位矩阵的作用下,任意一个向量变成了它自己。下面证明一般情形的结论:设单位矩阵d93999e9791e7215122d623ef0707d16.png,任意向量5dd5e2d3d681999e4eae83df58a140bf.png94019f1263d862d8b80e125463ead367.png,故结论得证。小结:本题考查了单位矩阵与向量乘法的几何意义,通过特例推广到一般的情形,要掌握单位矩阵与向量乘法的意义及零矩阵与向量乘法的几何意义。在矩阵与平面向量的乘法(左乘)知识点中,关键是掌握住乘法的法则及其几何意义。

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