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  • 一路过去好像平面向量也是必学的知识,毕竟用初中知识解题的日子已经过去了.我们来看一个例题. Codeforces 935C Fifa and Fafa 这个题是求一个圆之中不覆盖某点(x,y)的最大圆的圆心坐标和半径.(在圆上算不覆盖) ...

    一路过去好像平面向量也是必学的知识,毕竟用初中知识解题的日子已经过去了.我们来看一个例题.
    Codeforces 935C Fifa and Fafa
    这个题是求一个圆之中不覆盖某点(x,y)的最大圆的圆心坐标和半径.(在圆上算不覆盖)
    思路:首先判断某点是不是在圆外,如果在圆外直接输出圆的各项数值.
    如果不是,很明显就是找出该点p与圆心连线延长线与圆的交点q,然后输出pq中点坐标和pq距离的一半.
    如何求q点坐标?我用初中算法来做,坑了我40多分钟推公式,还wa了一次.

    #include<bits/stdc++.h>
    #define db double
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    typedef pair<db,db> pdd;
    db r,x8,y8,x9,y9;
    
    db dist(db a,db b,db c,db d)//两点之间距离
    {
    return sqrt((a-c)*(a-c)+(b-d)*(b-d));
    }
    
    pdd erci(db a,db b,db c)//解二次方程,用一个pair储存两个根
    {
    db delta=b*b-4*a*c,x1,x2;
    x1=(-b+sqrt(delta))/(2*a),x2=(-b-sqrt(delta))/(2*a);
    return pdd(x1,x2);
    }
    
    int main()
    {
    cin>>r>>x8>>y8>>x9>>y9;//由于y0,y1等会与保留字重复,所以用y8,y9,不影响观看.
    db d=dist(x8,y8,x9,y9);
    if (d>=r) return printf("%.15lf %.15lf %.15lf",x8,y8,r),0;//判断是否在圆外
    db dis=d+r,k,b;
    if (x8==x9) printf("%.15lf %.15lf %.15lf",x8,y9-dis/2,dis/2);//因为是初中算法,要特判一下横坐标相等,否则算不出k
    else 
      {
      k=(y9-y8)/(x9-x8),b=y8-k*x8;//算出解析式
      pdd p=erci(1+k*k,2*k*b-2*x8-2*k*y8,x8*x8+b*b-2*b*y8+y8*y8-r*r);//20分钟一个二次方程,差点错了,利用q在直线上且与圆心O距离为r列出该方程.
      db xp,yp;
      xp=x9<x8?p.first:p.second,yp=xp*k+b;//q必须是离某点较远的那个
      xp=(xp+x9)/2,yp=(yp+y9)/2;
      printf("%.15lf %.15lf %.15lf",xp,yp,dis/2);
      }
    }

    坑爹吧.所以我们需要救星——平面向量!
    见证奇迹的时候到了.具体的东西多看看数学书啊.(叉乘????)

    //打不出向量符号简直麻烦死了.
    #pragma GCC optimize("inline,Ofast",3)//优化
    #define nico puts("niconiconi")//不同的人不同的debug
    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const double pi=3.141592653587,eps=1e-10;
    struct xl{//定义结构体向量,含有一对坐标(x,y)
    double x,y;xl(){x=0,y=0;}
    void read1(){scanf("%lf%lf",&x,&y);}//第一种直接读入
    void read2()//第二种读入两对坐标,求差.
      {
      double a,b;
      scanf("%lf%lf%lf%lf",&x,&y,&a,&b);
      x=a-x,y=a-y;
      }
    void print(){printf("%lf %lf",x,y);}//输出
    double mo(){return sqrt(x*x+y*y);}//求它的模
    };
    xl operator -(xl a){xl b;b.x=-a.x,b.y=-a.y;return b;}//负的向量就是两个值均为相反数
    xl operator +(xl a,xl b){xl c;c.x=a.x+b.x,c.y=a.y+b.y;return c;}//加法
    xl operator -(xl a,xl b){return a+-b;}//减法就是加上负的向量
    xl operator *(xl a,double b){xl c;c.x=a.x*b,c.y=a.y*b;return c;}//向量的数乘
    double operator *(xl a,xl b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}//向量的数量积
    double jiao(xl a,xl b){return acos(a*b/a.mo()/b.mo());}//夹角
    double cross(xl a,xl b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}//叉乘结果的模
    int operator ==(xl a,xl b){return fabs(a.x-b.x)<=eps&&fabs(a.y-b.y)<=eps;}//判断两向量是否相等
    double mianji(xl a,xl b,xl c){return fabs(cross(b-a,c-a))/2;}//三点构成三角形面积
    xl zhuan(xl a,double du){xl b;b.x=a.x*cos(du)-a.y*sin(du),b.y=a.x*sin(du)+a.y*cos(du);return b;}//将向量a逆时针转一个角度(弧度)
    int shx(xl a,xl b,xl p){if (a.x<b.x) swap(a,b);double ans=cross(p-a,b-a);return abs(ans)<=eps?0:ans>0?1:-1;}//返回点p在直线ab的位置,在ab上返回0,在上方返回1,下方返回-1.
    int main()
    {
    
    }
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  • 高中数学|数列求和的几种策略点击上方蓝字关注“公众号”向量公式之用平面向量求三角形面积在学习向量时,我们能体会到向量的表达形式的多样化和直观性,而这些特点使解题更加简洁,可以省略大量繁琐的过程。...
    高中数学|数列求和的几种策略

    点击上方蓝字关注“公众号”

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    向量公式之

    用平面向量求三角形面积

    在学习向量时,我们能体会到向量的表达形式的多样化和直观性,而这些特点使解题更加简洁,可以省略大量繁琐的过程。

    为了能更好的利用向量解决实际问题,同学们需要掌握许多向量相关公式,今天要为大家介绍的就是利用平面向量求三角形面积的公式。在2020年高考全国卷三中的解答大题中,这个公式就已经派上用场啦,能为考生们节省不少计算的时间,从而赢得优势。接下来我们就一起来探究下这个公式的原理吧!

    4d7e96804fdb60a595972dcd199fe80e.pnge4f172157bbf77654c934d804c988e3e.png076e3b18d49aea6982ea3468af36d45c.pnge48dcd305dd2f57a894f26101cfe756a.png

    接下来我们就试着用这个结论解决一个简单的问题吧。

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    同学们是不是发现利用这个问题可以高效解决三角形面积问题呢?平面向量的学习,其意义不仅在于数学内容的学习,更重要的是引入新的思维方法,可以更有效地处理和解决数学问题和实际应用问题。从中也能启示我们在高考学习中,应突出向量的工具性,注重向量与其它知识的交汇与融合。

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    戴氏

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  • 平面向量有2个极为重要的定理,关于角平分线和中线,是平面向量的基础知识,这里予以补充和详解。有些同学在学习高中数学的时候都感觉比较吃力,有点跟不上老师的步伐,不知道如何学好高中数学?原因是高中数学相...

    原标题:高中平面向量学不好怎么办?这些公式帮你秒杀向量题目

    如何学好高中数学?

    平面向量有2个极为重要的定理,关于角平分线和中线,是平面向量的基础知识,这里予以补充和详解。

    有些同学在学习高中数学的时候都感觉比较吃力,有点跟不上老师的步伐,不知道如何学好高中数学?原因是高中数学相对于初中数学来说,难度层次更高,知识点,难点也更多,所以学习好高中数学,方法是关键。下面就和大家分享学霸们是怎么学好高中数学的。

    如何学好高中数学,李泽宇数学有三条重要的原则:

    一,巩固基础知识,简单的题目做得又快又对;

    二,学习李泽宇三招,有逻辑地思考那些难题;

    三,改掉错误习惯,避免运算错误、看错题目等毛病。

    本质教育李泽宇三招TM

    1. 翻译:

    把中文翻译成为数学语言,包括:字母表示未知数、图像表示函数式或几何题目、概率语言等等。翻译要求“信、达、雅”不能扭曲原文的意思。该方法常用于函数,几何以及不等式等题目。

    2. 特殊化:

    在面对抽象或者难以理解的题目的时候,我们尝试用最极端最特殊的数字来代替变量,帮助我们理解题目。该方法常用于在选择题目中排除选项,在解大题的过程中也经常会用到特殊化的结论。

    3. 盯住目标:

    把目标和已知结合,联想相关的定理、定义、方法。在压轴题目中,往往需要不断转化目标,即盯住目标需要反复使用!

    上述三个需要在解题的过程中灵活使用,接下来我们将用一道2017年北京中考的平面几何压轴题为大家示范如何利用李泽宇三招TM快速解决题目。

    通过这篇文章,我们讲平面向量中角平分线,来帮助基础知识掌握得不错的同学进一步提高解题速度,从而为我们学好高中数学走好第一步

    如何学好高中数学:提高解题速度公式-平面向量重要定理

    对于任何考试(例如高考),本质教育有一条重要的原则:

    68e888a4043b5a03c68976f2c4e875d6.png

    如图所示,在平行四边形ABCE中,D为BC的中点且为AE的中点(平行四边形性质)

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    如何学好高中数学:提高解题速度-实战演示

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    如何学好高中数学:结论

    通过上面的对比分析可以看出:

    如果利用好这个公式,我们就能多一条翻译的路径,可简化很多繁琐的运算,即可迅速解出答案, 如果是在考试中就能大幅提高解题速度, 提高考试成绩, 学好高中数学

    如果利用好这个公式,我们就能多一条思考的路径返回搜狐,查看更多

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  • 平面向量(平面上的直线)存在关系: 如果根据斜率什么的判断可能会涉及到对斜率计算结果精确度的判断,这就很麻烦,所以并不推荐用斜率计算 更推荐的是使用向量的关系; 假设向量A(a1,a2)向量B(b1,b2) ...

    平面向量(平面上的直线)存在关系:

    如果根据斜率什么的判断可能会涉及到对斜率计算结果精确度的判断,这就很麻烦,所以并不推荐用斜率计算

    更推荐的是使用向量的关系;

    假设向量A(a1,a2) 向量B(b1,b2)

    平行:

    共线:a1*b1=a2*b2 ,这里就不需要担心计算斜率带来的精度的问题了

    相交(则计算角度):

    代码实现:如下文贴出的空间向量计算的实现

     

    空间向量(空间直线)存在关系:

    平行:

    共线:

    相交(则计算角度):

    异面:

     

    代码:利用Eigen库计算两个向量的旋转角以及旋转矩阵

    代码中设置的旋转轴是z轴法向量

    但是光计算出旋转矩阵还不够,还需要计算出平移矩阵,这样就能模拟出以自身作为旋转的中心旋转的效果了。这部分在代码中是通过计算旋转前后点云中心点的平移来实现的。

    那么可能会有人问为什么不直接计算该点云的中心轴,直接以自身为中心进行旋转呢,关于这个方法,暂时并不知道如何去做。

    	//【1】求两个向量间的旋转角angle(点积)
    	double tem = vecbefore.dot(vecafter);//分子
    	//cout << vecbefore<<endl;
    	//cout << vecafter << endl;
    	double tep = sqrt(vecbefore.dot(vecbefore) * vecafter.dot(vecafter));//分母
    	double angle = acos(tem / tep);
    
    	if (isnan(angle))//acos取值范围[-1,1],若超出范围则越界,输出-1.#IND00
    	{
    		angle = acos(tep / tem);
    	}
    	cout << angle * 180 / PI << endl;
    	//cout << angle * PI / 180 << endl;
    	//	std::cout << "角度: " << angle << std::endl;
    		//【2】求旋转轴(叉积)
    	Eigen::Vector3f axis1 = vecbefore.cross(vecafter);
    	//	std::cout << "求旋转轴: " << axis1 << std::endl;
    	Eigen::Vector3f axis2 = vecafter.cross(vecbefore);
    	//std::cout << "求旋转轴: " << axis2 << std::endl;
    	//std::cout << "求旋转轴(归一化): " << axis2.normalized() << std::endl;
    	//【3】求旋转矩阵
    	Eigen::Affine3f transform_2 = Eigen::Affine3f::Identity();
    	// Define a translation of 2.5 meters on the x axis.//平移
    
    	// The same rotation matrix as before; theta radians arround Z axis
    	transform_2.rotate(Eigen::AngleAxisf(angle, axis1.normalized()));
    	//transform_2(0, 3) = 0;
    	//transform_2(1, 3) = 0;
    	//transform_2(2, 3) =0;
    	// Print the transformation
    	tra = transform_2;
    
    	Mat H = (Mat_ <float>(3, 3) << tra(0, 0), tra(0, 1), tra(0, 2), tra(1, 0), tra(1, 1), tra(1, 2), tra(2, 0), tra(2, 1), tra(2, 2));
    	Mat pointcenterTran = H * pointcenter;
    	//cout << H << endl;
    	//cout << pointcenterTran << endl;
    	float x_ = pointcenter.at<float>(0, 0) - pointcenterTran.at<float>(0, 0);
    	float y_ = pointcenter.at<float>(1, 0) - pointcenterTran.at<float>(1, 0);
    	float z_ = pointcenter.at<float>(2, 0) - pointcenterTran.at<float>(2, 0);
    	transform_2.translation() << x_, y_, z_;
    	transform_2.rotate(Eigen::AngleAxisf(ang, Eigen::Vector3f::UnitZ()));
    	// 可以使用 transform_1 或 transform_2; t它们是一样的
    	tra = transform_2;

     

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平面向量的基本运算公式