-
2020-12-28 20:30:07
For
personal
use
only
in
study
and
research;
not
for
commercial
use
平面向量内积的坐标运算与距离公式
德清乾元职高
朱见锋
【教材分析】
:
本课是在平面向量坐标运算、
内积定义基础上学习的,
主要知识是平面向量内积的坐标运算与平面内两点
间的距离公式,是后面学习曲线方程的重要公式和推导依据,是进一步学习相关数学知识的重要基础。
【教学目标】
1.
掌握平面向量内积的坐标表示,会应用平面向量内积的知识解决平面内有关长度、两向量的夹角和垂直的问题.
2.
能够根据平面向量的坐标,判断两向量是否垂直,求两向量的夹角等。
3.
通过学习平面向量的坐标表示,使学生进一步了解数学知识的相同性,培养学生辩证思维能力.提高学生数学知识
的应用能力。
【教学重点】
:平面向量内积的坐标公式式,平面向量垂直的充要条件,平面内两点间距离公式的应用.
【教学难点】
:平面向量内积的坐标公式的推导和应用。
【教学方法】
本节课采用问题启发式教学和讲练结合的教学方法.
更多相关内容 -
平面向量的所有公式-平面向量公式
2020-12-18 23:08:411平面向量的所有公式设a=(x,y),b=(x',y')。1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。AB+BC=AC。a+b=(x+x',y+y')。a+0=0+a=a。向量加法的运算律:交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。2、...1
平面向量的所有公式
设
a=
(
x
,
y
)
,
b=(x'
,
y')
。
1
、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC
。
a+b=(x+x'
,
y+y')
。
a+0=0+a=a
。
向量加法的运算律:
交换律:
a+b=b+a
;
结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
。
2
、向量的减法
如果
a
、
b
是互为相反的向量,那么
a=-b
,
b=-a
,
a+b=0. 0
的反向量为
0
AB-AC=CB.
即
“
共同起点,指向被减
”
a=(x,y) b=(x',y')
则
a-b=(x-x',y-y').
3
、数乘向量
实数
λ
和向量
a
的乘积是一个向量,记作
λa
,且∣
λa
∣
=
∣
λ
∣
•
∣
a
∣。
当
λ
>
0
时,
λa
与
a
同方向;
当
λ
<
0
时,
λa
与
a
反方向;
当
λ=0
时,
λa=0
,方向任意。
当
a=0
时,对于任意实数
λ
,都有
λa=0
。
注:按定义知,如果
λa=0
,那么
λ=0
或
a=0
。
实数
λ
叫做向量
a
的系数,
乘数向量
λa
的几何意义就是将表示向量
a
的有向线段伸长或压
缩。
当∣
λ
∣>
1
时,表示向量
a
的有向线段在原方向(
λ
>
0
)或反方向(
λ
<
0
)上伸长为原来
的∣
λ
∣倍;
当∣
λ
∣<
1
时,表示向量
a
的有向线段在原方向(
λ
>
0
)或反方向(
λ
<
0
)上缩短为原来
的∣
λ
∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律:
(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)
。
向量对于数的分配律(第一分配律)
:
(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律)
:
λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律:
①
如果实数
λ≠0
且
λa=λb
,
那么
a=b
。
②
如果
a≠0
且
λa=μa
,
那么
λ=μ
。
4
、向量的的数量积
定义:
已知两个非零向量
a,b
。
作
OA=a,OB=b,
则角
AOB
称作向量
a
和向量
b
的夹角,
记作
〈
a,b
〉并规定
0≤
〈
a,b
〉
≤π
定义:
两个向量的数量积
(内积、
点积)
是一个数量,
记作
a•b
。
若
a
、
b
不共线,
则
a•b=|a|•|b|•cos
〈
a
,
b
〉
;若
a
、
b
共线,则
a•b=+
-
∣
a
∣∣
b
∣。
向量的数量积的坐标表示:
a•b=x•x'+y•y'
。
向量的数量积的运算律
a•b=b•a
(交换律)
;
(λa)•b=λ(a•b)(
关于数乘法的结合律
)
;
(
a+b)•c=a•c+b•c
(分配律)
;
向量的数量积的性质
a•a=|a|
的平方。
a
⊥
b
〈
=
〉
a•b=0
。
|a•b|≤|a|•|b|
。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1
、向量的数量积不满足结合律,即:
(a•b)•c≠a•(b•c)
;例如:
(a•b)^2≠a^2•b^2
。
-
向量的数量积的坐标运算公式是如何推导出的 两个向量的向量积公式是怎
2020-12-18 23:08:36a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉是定义,推出交换律,分配率,与数的乘法的结合律,以及垂直时为零。...y轴上的单位向量。i²=1, j²=1, i·j=0 ]看你是要高中证明还是大学证明还是更严密的证明。向...a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉是定义,推出交换律,分配率,与数的乘法的结合
律,以及垂直时为零。
∴(x1,y1)·(x2,y2)=[x1i+y1j]·[x2i+y2j]
=x1x2(i·i)+y1y2(j·j)+[x1y2+x2y1](i·j)=x1x2+y1y2.
[ i,j是x轴。y轴上的单位向量。i²=1, j²=1, i·j=0 ]
看你是要高中证明还是大学证明还是更严密的证明。
向量有点量积、矢量积、旋量积之分。大多高中只接触个点积而已
三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质,以代数方法证明。
下面把向量外积定义为:
a
×
b
=
|a|·|b|·Sin
b>.
分配律的几何证明方法很繁琐,大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。我们假定已经知道了:
1)外积的反对称性:
a
×
b
=
-
b
×
a.
这由外积的定义是显然的。
2)内积(即数积、点积)的分配律:
a·(b
+
c)
=
a·b
+
a·c,
(a
+
b)·c
=
a·c
+
b·c.
这由内积的定义a·b
=
|a|·|b|·Cos
-
向量点积公式证明
2020-12-24 04:40:59向量的点乘公式就是这样。就这么一个简简单单的公式:$$\vec{a}\cdot{\vec{b}}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$要是没记错的话,初中学的东西,一直在用,可总是想不起来是怎么来的。这里给出一个形象化的解释,省的...有些东西,看上去比较熟,用起来没什么问题,但细想起来却一脸茫然,这种感觉非常不爽。向量的点乘公式就是这样。就这么一个简简单单的公式:
$$
\vec{a}\cdot{\vec{b}}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
$$
要是没记错的话,初中学的东西,一直在用,可总是想不起来是怎么来的。这里给出一个形象化的解释,省的后面再次遇到仍然不爽。
物理中有一个基本的公式,这里就称为做功公式,如下:
$$
W=F\cdot{S}
$$
这里,$F$是施加在物体上的力,$S$是物体沿力的方向移动的距离,$W$就是力$F$做的功。对于力和位移方向相同的情况比较好理解。中学物理讨论的也基本上都是这种情况。
对于方向不同的情况,我们放到二维的向量平面中进行分析,如下:
可以将力$F$和位移$S$沿x、y轴进行分解。x轴上的分力和分位移分别为$F_x$、$S_x$,y轴上的分力和分位移分别为$F_y$、$S_y$。所以沿x轴、y轴做的功分别为:
$$
W_x=F_x\cdot{S_x}\
W_y=F_y\cdot{S_y}
$$
总的做功为:
$$
W=W_x+W_y=F_x\cdot{S_x}+F_y\cdot{S_y}
$$
也就是力向量和位移向量的点乘。
同样的,我们还可以选用不同的坐标来进行分解。这次选用位移$S$向量所在的轴为横轴,垂直于$S$的轴为纵轴。则位移$S$在纵轴的分量为0。此时,不管力$F$在纵轴的分量是多少,纵轴方向上做的功恒为0。再看横轴。由于$S$和横轴在同一条线上,所以其分量就是本身。$F$在横轴的分量为:
$$
F_s=\frac{|F|\cdot\cos{\theta}}{|S|}\cdot{S}
$$
力$F$沿$S$做的功,也就是总功为:
$$
W=|F_s|\cdot|S|=|F||S|\cos\theta
$$
所以有:
$$
F\cdot{S}=|F||S|\cos\theta
$$
将$F$、$S$换成$\vec{a}$、$\vec{b}$,于是有:
$$
\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
$$
问题得证。
-
向量数量积公式是什么
2020-12-24 04:39:20展开全部已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)32313133353236313431303231363533e59b9ee7ad...即:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1·x2+y1·y2向量的数量积公式:a*b=|a||b|cosθ,... -
向量积坐标表示公式
2020-12-30 13:38:07展开全部表示方法两个向量a和b的叉积写作a×b(有时也被写成a∧b,避免32313133353236313431303231363533e78988e69d8331333431363036和字母x混淆)。...)方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直... -
向量的数量积公式大全
2020-12-24 04:41:31平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,把数量|a||b|cosθ叫做a和b的数量积(或内积),记作a·b.即a&m...积化和差,指初等数学三角函数部分的一组恒等式。可以通过展开角的... -
向量叉乘公式_向量外积的高中数学运用
2020-11-21 09:49:08向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用十分广泛,通常应用于... -
向量的外积和内积
2020-09-07 09:43:14内积 计算公式 几何意义 两个向量之间的夹角 向量b在向量a上的投影 ...外积 ...外积在数值上等于两个向量组成平行四边形的面积 reference https://www.cnblogs.com/gxcdream/p/7597865.html ... -
平面向量数量积的坐标运算与度量公式PPT学习教案.pptx
2021-10-07 21:08:48平面向量数量积的坐标运算与度量公式PPT学习教案.pptx -
平面向量数量积的坐标运算与量公式PPT教案学习.pptx
2021-10-02 21:33:33平面向量数量积的坐标运算与量公式PPT教案学习.pptx -
平面向量内积的坐标表示.ppt
2020-12-18 23:08:437.10 平面向量内积的坐标表示 1、掌握用直角坐标计算向量的内积公式。 2、掌握向量长度、垂直的坐标表示及夹角公式,掌握平面两点间距离公式; 学习 目标 重点 难点 课型 学法 通过推导和题组训练,理解并掌握向量... -
全国通用版2018_2019高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式练习...
2021-08-06 00:57:09全国通用版2018_2019高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式练习新人教B版必修4 -
向量的外积、向量积
2019-02-28 12:06:38叉乘,也叫向量的外积、向量积。顾名思义,求下来的结果是一个向量,记这个向量为c。 |向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b> 向量c的方向与a,b所在的平面垂直,且方向要用“右手法则”判断(用... -
向量的内积和外积
2021-02-06 08:07:43二、向量的外积和几何意义 一、向量的内积和几何意义(点乘) 对于向量a和向量b: 1、a和b的内积公式为: 要求一维向量a和向量b的行列数相同。 2、内积的几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或... -
向量积的坐标运及度量公式.ppt
2020-12-30 13:38:07向量积的坐标运及度量公式* * 向量数量积的 坐标运算与度量公式 一.... 即: x o B(b1,b2) A(a1,a2) y 所以,根据平面向量数量积的坐标表示,向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。 二.探究新知: 2... -
高三复习-平面向量基本定理和公式.pdf
2021-10-07 03:34:19高三复习-平面向量基本定理和公式.pdf -
平面向量夹角公式是怎么计算的 上下分别怎么算 细讲
2020-12-20 18:46:43展开全部平面向量夹角公式:cos=(ab的内积)/(|a||b|)(1)上部分:a与b的数量积坐标运算:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2(2)下部分:是a与b的模的62616964757a686964616fe58685e5aeb931333431333939乘积:设a=... -
七、向量的外积以及内外积的几何解释
2019-05-09 17:24:34向量的乘法有两种,一种是点积--dot product,一种是外积--cross product 点积和外积的区别: 点积可以在任何维数的空间中定义,外积只能在三维空间中定义 点积的结果是一个标量,外积的结果是一个向量 2. 外积... -
向量内积的坐标表示.ppt
2021-01-14 19:19:29向量内积的坐标表示7.11向量内积的坐标表示 授课人:邱群灯 * 7.11 向量内积的坐标表示 向量的内积 a... 平面向量基本定理: 如果 是同一平面内的两个不共 线向量,那么对于平面内的任一向量a ,有且只有与一对实数 ... -
2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式练习新人教B版必修4
2021-09-09 08:45:562019_2020学年高中数学第2章平面向量2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式练习新人教B版必修4 -
向量的内积(点乘)与外积(叉乘)
2021-02-08 15:48:55向量的内积(点乘)与外积(叉乘) 向量的内积=点乘 向量的外积=叉乘 向量的内积(点乘) 内积的几何意义: 用来表征或计算两个向量之间的夹角 在b向量在a向量方向上的投影。 向量的外积(叉乘) 两个向量的外... -
高中数学之向量外积的运用
2018-06-16 22:43:20关于向量外积的运用 公式(a,b均为向量,θ为a,b的夹角) 1,|**a** * **b**| = |**a**|*|**b**|sinθ 2,**a** * **b** = (l, m, n)*(o, p, q) = (mq - np, no - lq, lp - mo) 3,**a** * **b** = - **b** * **... -
向量的内、外积及其几何含义
2019-03-18 15:37:51一、向量的内积(点乘) ...a和b的点积公式为: 这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量) 定义:两个向量a与b的内积为a·b= |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a=a·0... -
如何将一个向量投影到一个平面上_向量积的种类以及表示方法
2020-11-21 03:13:171.向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。2.向量是由n个实数组成的一个n行1... -
超平面的法向量与距离公式
2020-04-21 15:46:14文章目录1、超平面一般表示形式2、超平面的法向量3、点到超平面的距离4、平行超平面之间的距离公式 1、超平面一般表示形式 在n维空间中,设任意点坐标为 xT=[x(1),x(2),...x(n)]T∈Rnx^T=[x^{(1)},x^{(2)},...x^... -
向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义
2018-12-05 10:06:32向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;...向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点...