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  • 平面向量的坐标运算与距离公式
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    2020-12-28 20:30:07

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    平面向量内积的坐标运算与距离公式

    德清乾元职高

    朱见锋

    【教材分析】

    本课是在平面向量坐标运算、

    内积定义基础上学习的,

    主要知识是平面向量内积的坐标运算与平面内两点

    间的距离公式,是后面学习曲线方程的重要公式和推导依据,是进一步学习相关数学知识的重要基础。

    【教学目标】

    1.

    掌握平面向量内积的坐标表示,会应用平面向量内积的知识解决平面内有关长度、两向量的夹角和垂直的问题.

    2.

    能够根据平面向量的坐标,判断两向量是否垂直,求两向量的夹角等。

    3.

    通过学习平面向量的坐标表示,使学生进一步了解数学知识的相同性,培养学生辩证思维能力.提高学生数学知识

    的应用能力。

    【教学重点】

    :平面向量内积的坐标公式式,平面向量垂直的充要条件,平面内两点间距离公式的应用.

    【教学难点】

    :平面向量内积的坐标公式的推导和应用。

    【教学方法】

    本节课采用问题启发式教学和讲练结合的教学方法.

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    1平面向量的所有公式设a=(x,y),b=(x',y')。1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。AB+BC=AC。a+b=(x+x',y+y')。a+0=0+a=a。向量加法的运算律:交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。2、...

    1

    平面向量的所有公式

    a=

    (

    x

    y

    )

    b=(x'

    y')

    1

    、向量的加法

    向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

    AB+BC=AC

    a+b=(x+x'

    y+y')

    a+0=0+a=a

    向量加法的运算律:

    交换律:

    a+b=b+a

    结合律:

    (a+b)+c=a+(b+c)

    2

    、向量的减法

    如果

    a

    b

    是互为相反的向量,那么

    a=-b

    b=-a

    a+b=0. 0

    的反向量为

    0

    AB-AC=CB.

    共同起点,指向被减

    a=(x,y) b=(x',y')

    a-b=(x-x',y-y').

    3

    、数乘向量

    实数

    λ

    和向量

    a

    的乘积是一个向量,记作

    λa

    ,且∣

    λa

    =

    λ

    a

    ∣。

    λ

    0

    时,

    λa

    a

    同方向;

    λ

    0

    时,

    λa

    a

    反方向;

    λ=0

    时,

    λa=0

    ,方向任意。

    a=0

    时,对于任意实数

    λ

    ,都有

    λa=0

    注:按定义知,如果

    λa=0

    ,那么

    λ=0

    a=0

    实数

    λ

    叫做向量

    a

    的系数,

    乘数向量

    λa

    的几何意义就是将表示向量

    a

    的有向线段伸长或压

    缩。

    当∣

    λ

    ∣>

    1

    时,表示向量

    a

    的有向线段在原方向(

    λ

    0

    )或反方向(

    λ

    0

    )上伸长为原来

    的∣

    λ

    ∣倍;

    当∣

    λ

    ∣<

    1

    时,表示向量

    a

    的有向线段在原方向(

    λ

    0

    )或反方向(

    λ

    0

    )上缩短为原来

    的∣

    λ

    ∣倍。

    数与向量的乘法满足下面的运算律

    结合律:

    (λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)

    向量对于数的分配律(第一分配律)

    (λ+μ)a=λa+μa.

    数对于向量的分配律(第二分配律)

    λ(a+b)=λa+λb.

    数乘向量的消去律:

    如果实数

    λ≠0

    λa=λb

    那么

    a=b

    如果

    a≠0

    λa=μa

    那么

    λ=μ

    4

    、向量的的数量积

    定义:

    已知两个非零向量

    a,b

    OA=a,OB=b,

    则角

    AOB

    称作向量

    a

    和向量

    b

    的夹角,

    记作

    a,b

    〉并规定

    0≤

    a,b

    ≤π

    定义:

    两个向量的数量积

    (内积、

    点积)

    是一个数量,

    记作

    a•b

    a

    b

    不共线,

    a•b=|a|•|b|•cos

    a

    b

    ;若

    a

    b

    共线,则

    a•b=+

    -

    a

    ∣∣

    b

    ∣。

    向量的数量积的坐标表示:

    a•b=x•x'+y•y'

    向量的数量积的运算律

    a•b=b•a

    (交换律)

    (λa)•b=λ(a•b)(

    关于数乘法的结合律

    )

    (

    a+b)•c=a•c+b•c

    (分配律)

    向量的数量积的性质

    a•a=|a|

    的平方。

    a

    b

    =

    a•b=0

    |a•b|≤|a|•|b|

    向量的数量积与实数运算的主要不同点

    1

    、向量的数量积不满足结合律,即:

    (a•b)•c≠a•(b•c)

    ;例如:

    (a•b)^2≠a^2•b^2

    展开全文
  • a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉是定义,推出交换律,分配率,与数的乘法的结合律,以及垂直时为零。...y轴上的单位向量。i²=1, j²=1, i·j=0 ]看你是要高中证明还是大学证明还是更严密的证明。向...

    a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉是定义,推出交换律,分配率,与数的乘法的结合

    律,以及垂直时为零。

    ∴(x1,y1)·(x2,y2)=[x1i+y1j]·[x2i+y2j]

    =x1x2(i·i)+y1y2(j·j)+[x1y2+x2y1](i·j)=x1x2+y1y2.

    [ i,j是x轴。y轴上的单位向量。i²=1, j²=1, i·j=0 ]

    看你是要高中证明还是大学证明还是更严密的证明。

    向量有点量积、矢量积、旋量积之分。大多高中只接触个点积而已

    三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质,以代数方法证明。

    下面把向量外积定义为:

    a

    ×

    b

    =

    |a|·|b|·Sin

    b>.

    分配律的几何证明方法很繁琐,大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

    下面给出代数方法。我们假定已经知道了:

    1)外积的反对称性:

    a

    ×

    b

    =

    -

    b

    ×

    a.

    这由外积的定义是显然的。

    2)内积(即数积、点积)的分配律:

    a·(b

    +

    c)

    =

    a·b

    +

    a·c,

    (a

    +

    b)·c

    =

    a·c

    +

    b·c.

    这由内积的定义a·b

    =

    |a|·|b|·Cos

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    向量的点乘公式就是这样。就这么一个简简单单的公式:$$\vec{a}\cdot{\vec{b}}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$要是没记错的话,初中学的东西,一直在用,可总是想不起来是怎么来的。这里给出一个形象化的解释,省的...

    有些东西,看上去比较熟,用起来没什么问题,但细想起来却一脸茫然,这种感觉非常不爽。向量的点乘公式就是这样。就这么一个简简单单的公式:

    $$

    \vec{a}\cdot{\vec{b}}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta

    $$

    要是没记错的话,初中学的东西,一直在用,可总是想不起来是怎么来的。这里给出一个形象化的解释,省的后面再次遇到仍然不爽。

    物理中有一个基本的公式,这里就称为做功公式,如下:

    $$

    W=F\cdot{S}

    $$

    这里,$F$是施加在物体上的力,$S$是物体沿力的方向移动的距离,$W$就是力$F$做的功。对于力和位移方向相同的情况比较好理解。中学物理讨论的也基本上都是这种情况。

    对于方向不同的情况,我们放到二维的向量平面中进行分析,如下:

    可以将力$F$和位移$S$沿x、y轴进行分解。x轴上的分力和分位移分别为$F_x$、$S_x$,y轴上的分力和分位移分别为$F_y$、$S_y$。所以沿x轴、y轴做的功分别为:

    $$

    W_x=F_x\cdot{S_x}\

    W_y=F_y\cdot{S_y}

    $$

    总的做功为:

    $$

    W=W_x+W_y=F_x\cdot{S_x}+F_y\cdot{S_y}

    $$

    也就是力向量和位移向量的点乘。

    同样的,我们还可以选用不同的坐标来进行分解。这次选用位移$S$向量所在的轴为横轴,垂直于$S$的轴为纵轴。则位移$S$在纵轴的分量为0。此时,不管力$F$在纵轴的分量是多少,纵轴方向上做的功恒为0。再看横轴。由于$S$和横轴在同一条线上,所以其分量就是本身。$F$在横轴的分量为:

    $$

    F_s=\frac{|F|\cdot\cos{\theta}}{|S|}\cdot{S}

    $$

    力$F$沿$S$做的功,也就是总功为:

    $$

    W=|F_s|\cdot|S|=|F||S|\cos\theta

    $$

    所以有:

    $$

    F\cdot{S}=|F||S|\cos\theta

    $$

    将$F$、$S$换成$\vec{a}$、$\vec{b}$,于是有:

    $$

    \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta

    $$

    问题得证。

    展开全文
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