目录：

一、向量的内积和几何意义

二、向量的外积和几何意义

 

一、向量的内积和几何意义（点乘）

对于向量a和向量b：





1、a和b的内积公式为：

 



 

要求一维向量a和向量b的行列数相同。

2、内积的几何意义

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影。

二、向量的外积和几何意义（叉乘）

两个向量的外积，又叫向量积、叉乘等。外积的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

对于向量a和向量b：



 

1、a和b的外积公式为：

 



 

其中：



 

根据i、j、k间关系，有：



 



2、叉乘几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

向量的加法



向量的减法

内积
计算公式





几何意义

两个向量之间的夹角
向量b在向量a上的投影

推导过程






外积
计算公式







几何意义

两个向量构成的平面的法向量
构件三维坐标系
外积在数值上等于两个向量组成平行四边形的面积

reference

https://www.cnblogs.com/gxcdream/p/7597865.html

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叉乘，也叫向量的外积62616964757a686964616fe59b9ee7ad9431333365643639、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。
|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin
向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断(用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向)。
因此
向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a×向量b= -
向量b×向量a
在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。
将向量用坐标表示(三维向量)，
若向量a=(a1,b1,c1)，向量b=(a2,b2,c2)，
则
向量a×向量b=
| i j k |
|a1 b1 c1|
|a2 b2 c2|
=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)
(i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量)。
数学中，既有大小又有方向且遵循平行四边形法则的量叫做向量(vector)。
向量
向量
有方向与大小，分为自由向量与固定向量。
数学中，把只有大小但没有方向的量叫做数量，物理中称为标量。例如距离、质量、密度、温度等。
注：在线性代数中(实数空间/复数空间)的向量是指n个实数/复数组成的有序数组，称为n维向量。α=(a1，a2，…，an) 称为n维向量。其中ai称为向量α的第i个分量。
("a1"的"1"为a的下标，"ai"的"i"为a的下标，其他类推)
在编程语言中，也存在向量。向量有起点，有方向。常用一个带箭头的线段表示。

直线AB的法线向量n
                        (1)
              (2)
因此当求一个四边形 四条边的外法线向量时有
平面的法向量
三维坐标系中平面的法线向量采用向量叉乘法则，方向根据右手定则来判断，向量叉积公式
其中i,j,k为基向量,故向量叉乘结果为
向量点积的结果为
两向量叉积的模为两向量构成平行四边形的面积
两向量的叉积在与另一向量的点积为，叉积向量构成平面与点积向量所构成的平行六面体的体积   
MATLAB 判断点与直线的位置关系
在MATLAB 判断点与向量的位置关系也是利用了向量的叉积，另外还可以判断点在直线的左右，此时直线没有方向可参考以下连接
判断点在线的左边、右边 - carekee - 博客园​www.cnblogs.com
 ,   
 判断c点在直线ab的左右
向量ab叉乘ac产生了平行于z轴的向量，所以
   c点在向量ab的左侧
   c点在向量ab的右侧