1

平面向量的所有公式

设

a=

(

x

，

y

)

，

b=(x'

，

y')

。

1

、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC

。

a+b=(x+x'

，

y+y')

。

a+0=0+a=a

。

向量加法的运算律：

交换律：

a+b=b+a

；

结合律：

(a+b)+c=a+(b+c)

。

2

、向量的减法

如果

a

、

b

是互为相反的向量，那么

a=-b

，

b=-a

，

a+b=0. 0

的反向量为

0

AB-AC=CB.

即

“

共同起点，指向被减

”

a=(x,y) b=(x',y')

则

a-b=(x-x',y-y').

3

、数乘向量

实数

λ

和向量

a

的乘积是一个向量，记作

λa

，且∣

λa

∣

=

∣

λ

∣

•

∣

a

∣。

当

λ

＞

0

时，

λa

与

a

同方向；

当

λ

＜

0

时，

λa

与

a

反方向；

当

λ=0

时，

λa=0

，方向任意。

当

a=0

时，对于任意实数

λ

，都有

λa=0

。

注：按定义知，如果

λa=0

，那么

λ=0

或

a=0

。

实数

λ

叫做向量

a

的系数，

乘数向量

λa

的几何意义就是将表示向量

a

的有向线段伸长或压

缩。

当∣

λ

∣＞

1

时，表示向量

a

的有向线段在原方向(

λ

＞

0

)或反方向(

λ

＜

0

)上伸长为原来

的∣

λ

∣倍；

当∣

λ

∣＜

1

时，表示向量

a

的有向线段在原方向(

λ

＞

0

)或反方向(

λ

＜

0

)上缩短为原来

的∣

λ

∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：

(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)

。

向量对于数的分配律(第一分配律)

：

(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律(第二分配律)

：

λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：

①

如果实数

λ≠0

且

λa=λb

，

那么

a=b

。

②

如果

a≠0

且

λa=μa

，

那么

λ=μ

。

4

、向量的的数量积

定义：

已知两个非零向量

a,b

。

作

OA=a,OB=b,

则角

AOB

称作向量

a

和向量

b

的夹角，

记作

〈

a,b

〉并规定

0≤

〈

a,b

〉

≤π

定义：

两个向量的数量积

(内积、

点积)

是一个数量，

记作

a•b

。

若

a

、

b

不共线，

则

a•b=|a|•|b|•cos

〈

a

，

b

〉

；若

a

、

b

共线，则

a•b=+

-

∣

a

∣∣

b

∣。

向量的数量积的坐标表示：

a•b=x•x'+y•y'

。

向量的数量积的运算律

a•b=b•a

(交换律)

；

(λa)•b=λ(a•b)(

关于数乘法的结合律

)

；

(

a+b)•c=a•c+b•c

(分配律)

；

向量的数量积的性质

a•a=|a|

的平方。

a

⊥

b

〈

=

〉

a•b=0

。

|a•b|≤|a|•|b|

。

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1

、向量的数量积不满足结合律，即：

(a•b)•c≠a•(b•c)

；例如：

(a•b)^2≠a^2•b^2

。

a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉是定义，推出交换律，分配率，与数的乘法的结合

律，以及垂直时为零。

∴(x1,y1)·(x2,y2)＝[x1i+y1j]·[x2i+y2j]

＝x1x2(i·i)+y1y2(j·j)+[x1y2+x2y1](i·j)＝x1x2+y1y2.

[ i,j是x轴。y轴上的单位向量。i²＝1, j²＝1, i·j＝0 ]

看你是要高中证明还是大学证明还是更严密的证明。

向量有点量积、矢量积、旋量积之分。大多高中只接触个点积而已

三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明；也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。

下面把向量外积定义为：

a

×

b

=

|a|·|b|·Sin

b>.

分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

下面给出代数方法。我们假定已经知道了：

1)外积的反对称性：

a

×

b

=

-

b

×

a.

这由外积的定义是显然的。

2)内积(即数积、点积)的分配律：

a·(b

+

c)

=

a·b

+

a·c,

(a

+

b)·c

=

a·c

+

b·c.

这由内积的定义a·b

=

|a|·|b|·Cos

有些东西，看上去比较熟，用起来没什么问题，但细想起来却一脸茫然，这种感觉非常不爽。向量的点乘公式就是这样。就这么一个简简单单的公式：

$$

\vec{a}\cdot{\vec{b}}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta

$$

要是没记错的话，初中学的东西，一直在用，可总是想不起来是怎么来的。这里给出一个形象化的解释，省的后面再次遇到仍然不爽。

物理中有一个基本的公式，这里就称为做功公式，如下：

$$

W=F\cdot{S}

$$

这里，$F$是施加在物体上的力，$S$是物体沿力的方向移动的距离，$W$就是力$F$做的功。对于力和位移方向相同的情况比较好理解。中学物理讨论的也基本上都是这种情况。

对于方向不同的情况，我们放到二维的向量平面中进行分析，如下：

可以将力$F$和位移$S$沿x、y轴进行分解。x轴上的分力和分位移分别为$F_x$、$S_x$，y轴上的分力和分位移分别为$F_y$、$S_y$。所以沿x轴、y轴做的功分别为：

$$

W_x=F_x\cdot{S_x}\

W_y=F_y\cdot{S_y}

$$

总的做功为：

$$

W=W_x+W_y=F_x\cdot{S_x}+F_y\cdot{S_y}

$$

也就是力向量和位移向量的点乘。

同样的，我们还可以选用不同的坐标来进行分解。这次选用位移$S$向量所在的轴为横轴，垂直于$S$的轴为纵轴。则位移$S$在纵轴的分量为0。此时，不管力$F$在纵轴的分量是多少，纵轴方向上做的功恒为0。再看横轴。由于$S$和横轴在同一条线上，所以其分量就是本身。$F$在横轴的分量为：

$$

F_s=\frac{|F|\cdot\cos{\theta}}{|S|}\cdot{S}

$$

力$F$沿$S$做的功，也就是总功为：

$$

W=|F_s|\cdot|S|=|F||S|\cos\theta

$$

所以有：

$$

F\cdot{S}=|F||S|\cos\theta

$$

将$F$、$S$换成$\vec{a}$、$\vec{b}$，于是有：

$$

\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta

$$

问题得证。