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  • 向量夹角公式由余弦定理: 推导出 下面为具体的推导: 等号左边又可以展开为: 将展开后的结果代入余弦定理公式: 因此: 推导完毕。 3. 垂直和正交的区别 假如 则和正交 如果和正交,...

    1. 公式

    R^n中两个向量的夹角公式:

    \vec{a} \cdot \vec{b} = \left \| \vec{a} \right \| \left \| \vec{b} \right \| \cos \Theta

    且规定,当 \vec{a} = c \vec{b} (向量共线)时:

    c > 0 \Rightarrow \Theta = 0^{\circ}

    c < 0 \Rightarrow \Theta = 180^{\circ}

    \vec{a} \cdot \vec{b} = 0(向量垂直)时,\Theta = 90^{\circ}

    2. 推导过程

    向量夹角公式由余弦定理:

    c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \Theta

    推导出

    下面为具体的推导:

    \left \| \vec{a} - \vec{b} \right \| ^2 = \left \| \vec{a} \right \| ^2 + \left \| \vec{b} \right \| ^2 - 2 \left \| \vec{a} \right \| \left \| \vec{b} \right \| \cos \Theta

    等号左边又可以展开为:

    \left \| \vec{a} - \vec{b} \right \| ^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})

    = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}

    = \left \| \vec{a} \right \| ^2 - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \left \| \vec{b} \right \| ^2

    将展开后的结果代入余弦定理公式:

    \left \| \vec{a} \right \| ^2 - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \left \| \vec{b} \right \| ^2 = \left \| \vec{a} \right \| ^2 + \left \| \vec{b} \right \| ^2 - 2 \left \| \vec{a} \right \| \left \| \vec{b} \right \| \cos \Theta

    因此:

    \vec{a} \cdot \vec{b} = \left \| \vec{a} \right \| \left \| \vec{b} \right \| \cos \Theta

    推导完毕。

    3. 垂直和正交的区别

    假如

    \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

    则 \vec{a} 和 \vec{b} 正交

    如果 \vec{a} 和 \vec{b} 正交,且 \vec{a} 和 \vec{b} 都不等于 \vec{0} ,则 \vec{a} 和 \vec{b} 垂直

    总结:所有垂直的向量都正交,正交的向量不一定垂直,\vec{0} 与任何向量(包括 \vec{0})正交

    4. R3中平面的一般形式

    法向量:垂直于平面的向量称为该平面的法向量(normal vector)

    假设平面上的一个定点为x_0,平面上的任何其它点为x,平面的法向量为\vec{n}

    \vec{x_0}=\begin{bmatrix} x_0\\ y_0\\ z_0 \end{bmatrix} \; \vec{x}=\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} \; \vec{n}=\begin{bmatrix} n_0\\ n_1\\ n_2 \end{bmatrix} \;

    向量 \vec{x} - \vec{x_0} 位于平面上,且与法向量 \vec{n} 垂直,因此:

    \vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{x_0}) = 0

    \begin{bmatrix} n_0\\ n_1\\ n_2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x-x_0\\ y-y_0\\ z-z_0 \end{bmatrix} = 0

    n_0(x-x_0) + n_1(y-y_0) + n_2(z-z_0)=0

    n_0x + n_1y + n_2z = n_0x_0 + n_1y_0 + n_2z_0

    R3中平面的一般形式即:

    Ax + By +Cz = D

    总结:法向量和平面上的一个定点,可以定义该平面

     

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  • 这个文档,介绍了平面内,求两个向量夹角的算法,同时附上了C++的算法实现。很简单,希望可以帮助到需要的朋友
  • 数学 平面内 两个向量夹角计算公式 C++实现 double VectorAngle(double v1x, double v1y, double v2x, double v2y) { double ret = 0.0; double l1, l2; double err = 0.00001; l1 = sqrt(v1x * v1x + v1y * ...

    两直线夹角:可以用两条直线上的向量来计算
    两个向量的夹角计算公式 C++实现

    double VectorAngle(double v1x, double v1y, double v2x, double v2y)
    {
      double ret = 0.0;
      double l1, l2;
      double err = 0.00001;
      l1 = sqrt(v1x * v1x + v1y * v1y);
      l2 = sqrt(v2x * v2x + v2y * v2y);
      if((l1 > err) && (l2 > err))
      {
        ret = acos((v1x * v2x + v1y * v2y) / (l1 * l2));
      }
      return ret;
    }
    

    方向可以用两个向量的X乘来计算

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  • (1)如图,在四面体 中, 平面 , 是边长为 的等边三角形,若 ,则四面体 外接球的表面积为_____观察本道题目,由于底面不是直角三角形,因此难以通过将图形放入直四棱柱的进而求出对角线的方法解题,所以,本人选择建...

    5c4bac440abde3ef520ff1265514ee08.png

    (1)如图,在四面体

    中,
    平面
    ,
    是边长为
    的等边三角形,若
    ,则四面体
    外接球的表面积为_____

    8beac6a49a8eadc4998bc0f2ee8da618.png
    观察本道题目,由于底面不是直角三角形,因此难以通过将图形放入直四棱柱的进而求出对角线的方法解题,所以,本人选择建系

    解:如图,以

    为原点,建立空间直角坐标系,则易得各点坐标(已标在图上,

    不妨设外接球圆心

    由球的定义可知

    解得

    (2)如图,在二面角

    中,
    ,
    ,点
    在直线
    上运动,满足
    ,
    ,现将平面
    沿着
    进行翻折,在翻折的过程中,线段
    长的取值范围是______

    先做个图

    4791506b0f3921a376a588ff4d7c713c.png
    如图,建立空间直角坐标系(建系时请注意底边角的形状,又是为了更好解题,我们可以将俯视图画出),因为
    与平面
    的特殊关系,故我们设

    解:

    由此可以作图

    3b09b2dd7edbecbee8e1f6a43ab10d2f.png
    以a为横坐标,b为纵坐标
    因为
    ,所以我们只需知道知道
    的取值范围即可

    笔者认为题目强调“在翻折的过程中”,那么原图的未翻折转态,即
    的值无法取到

    (3)如图,在底面为正方形的四棱锥

    中,
    底面
    ,且
    ,
    ,
    分别为
    上的动点,且满足

    0c40664afb9ae4fba447b2ccb80a568d.png

    时,求异面直线
    所成角的余弦值

    若平面
    平面
    ,求
    的值

    (Ⅰ)解:由题意得

    ,

    注意,异面直线以及线面角的夹角为
    ,面面角的范围为

    同时,值得注意的是,线面角公式所求出来的余弦角大小实则为正弦值大小

    (Ⅱ)解:

    设平面

    的一个法向量为

    解得

    同理解得平面

    的一个法向量

    平面
    平面

    此方法从分利用题中所给条件,简单易行,所求
    值不需进行复杂转换,具有较好的操作性

    方法二:利用

    解得

    时,
    不合题意,舍去

    时,

    此时

    此方法需要注意,所求的
    不是最终答案,还需转化为
    ,同时,部分学生会在做题时将
    由此解出错误答案,出现该问题的根源是没有理清两个
    间的不同含义
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  • 向量夹角的计算

    千次阅读 2020-05-07 16:05:05
    在使用PaddleHub对姿态关键点分析的时候,想计算一下关节点的夹角,竟然有一些卡住了,在此记录一下。 使用内积计算夹角 刚开始想到的,就是内积公式 a⋅b=∣a∣∣b∣cosθa \cdot b = |a||b|cos\thetaa⋅b=∣a∣∣b...

    背景

    在使用PaddleHub对姿态关键点分析的时候,想计算一下关节点的夹角,竟然有一些卡住了,在此记录一下。

    使用内积计算夹角

    刚开始想到的,就是内积公式
    a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ c o s θ a \cdot b = |a||b|cos\theta ab=abcosθ
    但是上面的公式有一个问题,因为 θ \theta θ的定义域在 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]之间,所以计算的角度就有些问题。
    当顺时针角度大于 π \pi π的时候,就会有问题。

    使用外积来判断是否超过了 π \pi π

    外积的模长是 ∣ a × b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ s i n θ |a\times b|=|a||b|sin\theta a×b=absinθ
    方向由a指向b的右手规则给出
    使用公式有
    ( i j k x a y a z a x b y b z b ) \begin{pmatrix}i&j&k\\ x_a&y_a&z_a\\ x_b&y_b&z_b \end{pmatrix} ixaxbjyaybkzazb
    假设平面的z坐标为0,可以得到上式的i与j的系数都是0,而k的系数= x a y b − x b y a x_a y_b-x_b y_a xaybxbya
    考虑在右手坐标系当中,如果两都的夹角<180度,则外积大于0,如果超过了180,外积小于0.这样结合cos计算出来的值,就可以确定顺时针多少度。

    计算公式

    θ = a r c c o s ( a ⋅ b ∣ a ∣ ∣ b ∣ ) \theta=arccos(\frac {a\cdot b}{|a||b|}) θ=arccos(abab)
    计算 x a y b − x b y a x_a y_b-x_b y_a xaybxbya
    如果上值大于0,则返回 θ \theta θ,如果值小于0,则返回 2 π − θ 2\pi - \theta 2πθ

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空空如也

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平面向量的夹角公式