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两个向量之间的夹角公式_数学必修四平面向量学习笔记知识点
2020-12-31 22:21:081.高二数学平面向量基本概念:向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。2.高二数学平面向量加法与减法的代数运算:(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则ab=(x1+x2,y1+y2).向量加法与...1.高二数学平面向量基本概念:
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
2.高二数学平面向量加法与减法的代数运算:
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则ab=(x1+x2,y1+y2).
向量加法与减法的几何表示:平行四边形法则、三角形法则。
向量加法有如下规律:+=+(交换律);+(+c)=(+)+c(结合律);
3.高二数学平面向量实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量。
(1)||=||·||;
(2)当a>0时,与a的方向相同;当a<0时,与a的方向相反;当a=0时,a=0.
高二数学平面向量两个向量共线的充要条件:
(1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b=.
(2)若=,b=则‖b.
平面向量基本定理:
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使得=e1+e2.
4.P分有向线段所成的比:
设P1、P2是直线上两个点,点P是上不同于P1、P2的任意一点,则存在一个实数使=,叫做点P分有向线段所成的比。
当点P在线段上时,>0;当点P在线段或的延长线上时,<0;
分点坐标公式:若=;的坐标分别为,,;则(≠-1),中点坐标公式:.
5.向量的数量积:
(1).向量的夹角:
已知两个非零向量与b,作=,=b,则∠AOB=叫做向量与b的夹角。
(2).两个向量的数量积:
已知两个非零向量与b,它们的夹角为,则·b=||·|b|cos.
其中|b|cos称为向量b在方向上的投影.
(3).向量的数量积的性质:
若=,b=则e·=·e=||cos(e为单位向量);
⊥b·b=0(,b为非零向量);||=;
cos==.
(4).向量的数量积的运算律:
·b=b·;·b=(·b)=·(b);(+b)·c=·c+b·c.
6.主要思想与方法:
高二数学平面向量本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点。
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c++ 空间直线与平面夹角_中学生线性代数2——向量,向量空间,基底与矩阵的加减...
2020-12-20 17:31:56上一篇中(中学生线性代数1——从线性方程组到求矩阵的逆),我们从矩阵的角度介绍了行向量与列向量的概念。物理学中力,位移,速度,加速度,磁场电场量都可用向量表示。在物理的语境下,向量代表着一个空间或者平面...上一篇中(中学生线性代数1——从线性方程组到求矩阵的逆),我们从矩阵的角度介绍了行向量与列向量的概念。物理学中力,位移,速度,加速度,磁场电场量都可用向量表示。在物理的语境下,向量代表着一个空间或者平面上有方向与长度的几何量,就是一条有方向的线段。
向量的相等:
两个向量相等的意思除去大小相等,方向还得一致,就是平行且同向。向量相等可以代数形式表达成:
向量平行的判据:
这就是向量相等定义的一个直接推论,只需我们承认直线外一点可做且仅可做一条平行线,且任意固定两条线段的比为定值即可。
向量相加:
向量的相加按平行四边形或者三角形法则进行。
对于物理中的位移,向量加法法则是最好理解的,从A位移到B,再从B移动到C,等效于移动了
如果承认时空独立,则速度叠加按向量相加的方式进行就是位移叠加的简单微分。我们不是为了建立物理理论来讲向量,而是想介绍线性代数的核心内容,所以不展开说这个。
向量分解唯一性定理:
一般说来任意的平面的向量,可以由两个不相关的向量线性表示出来。而一个空间的三维向量可以用三个不相关的向量线性表达出来,甚至n个不相关的向量可以表达出一个所谓n维空间的任意一个向量。
基底:就是n维向量中n个相互独立的向量。
基底的选择可以任意,只需不相关即可。但在实际操作中具有明显意义的特殊基底会方便应用。如果定义直角坐标系xoy下,与x轴平行的单位向量为i,与y轴平行的单位向量为j,根据向量相等的定义平面直角坐标系xoy下任意向量就等于过O点与该向量平行,方向相同,大小相等的向量
如果A的坐标为(x,y),向量
在线性代数里我们可以用行向量或者列向量加以表示。
在xoy坐标系下,向量的加可以表示成对位x,y分量的加,如下图。
可以推广这种做法到任意两个矩阵。两个矩阵只有行列个数都一样,才能加减,就是对位元素相加减。
向量的投影与内积:
一个向量在一条直线上的投影是指,过向量端点向直线做垂线,垂足之间形成的向量叫这个向量在直线上的投影。
而由三角形在直接上投影的特征,如下图。
而向量内积满足交换律,也不难用平面几何的相似予以说明。当两个向量相互垂足的时候,投影会退化成一个点,这样可得
向量垂直的判据:
在直角坐标系xoy下,i,j分别是x方向,y方向单位向量
正交:行列向量的数积为0,则称两向量正交。
对于n维空间的任意两个向量V1,V2
的大小刻画了两个量的关联程度,越逼近1,两个向量越类似,从2维,3维的角度看方向越一致,其实代表了两个向量夹角的余弦值,而越逼近0,越逼近正交,这种想法被现代统计,现代数学,现代物理大量使用着。
几句多余的话:
线性代数的观念基本是法国式数学的观念,从笛卡尔抽象出x,y坐标用数对对应几何点就根植于法国数学文化之中,射影几何到降维,到变换,到操作符号的矩阵化都有法国人的贡献, 结构的形式更是法国式的。英美的实用主义特色,将矩阵广泛用于各类统计,概率中,这导致线性代数的思想贯穿于整个数学的发展中,以及近代物理,现代通信,计算机,人工智能,图形图像的各个领域。发端于具体问题,推广到各个角落,诠释数学的应用广度,没有比线性代数更广泛的科目了。太长了,下次再写矩阵与几何变换。
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[学习SLAM]两平面法向量与旋转向量/旋转矩阵,根据两平面法向量进行旋转
2019-06-11 16:49:13根据旋转前后的向量值求旋转矩阵 如果已知旋转前后的一向量的变化,那么该...可推出P,Q之间的夹角为: 2. 旋转轴 由1中可知,旋转角所在的平面为有P和Q所构成的平面,那么旋转轴必垂直该平面。 假定旋转前...根据旋转前后的向量值求旋转矩阵
如果已知旋转前后的一向量的变化,那么该如何求这个旋转矩阵呢?本篇结合Rodrigues' rotation formula,介绍一下该旋转矩阵的求法。
1.旋转角度
已知旋转前向量为P, 旋转后变为Q。由点积定义可知:
2. 旋转轴
由1中可知,旋转角所在的平面为有P和Q所构成的平面,那么旋转轴必垂直该平面。
假定旋转前向量为a(a1, a2, a3), 旋转后向量为b(b1, b2, b3)。由叉乘定义得:
所以旋转轴c(c1, c2, c3)为:
3. 罗德里格旋转公式(Rodrigues' rotation formula)
3.1 公式
已知单位向量
, 将它旋转θ角。由罗德里格旋转公式,可知对应的旋转矩阵
:
其中I是3x3的单位矩阵,
是叉乘中的反对称矩阵r:
3.2 公式证明
假设在坐标系(x, y, z)中,向量v=ax+by+cz,v绕z轴逆时针旋转θ角后得到新的向量v’。
根据2维(x,y)面上的旋转公式可得:
推出:
将上式中的叉乘表示为反对称矩阵得:
另外:
最终可以推出:
上式即为罗德里格旋转公式。
4. 求旋转矩阵
假设(旋转轴)的向量n=(nx, ny, nz);
I是单位矩阵,A是向量n的反对称矩阵,即
而θ旋转角度
最后求出的旋转矩阵如下
通过旋转矩阵可以求出(向量a)绕(旋转轴)旋转(角度θ)得到的(向量b)
设3X3的(旋转矩阵)为R
v' = Rv
根据旋转前后的两个向量值,使用上面的方法,先求出旋转角度和旋转轴,然后用罗德里格旋转公式即可求出对应的旋转矩阵。
C#的实现代码如下:
void Calculation(double[] vectorBefore, double[] vectorAfter) { double[] rotationAxis; double rotationAngle; double[,] rotationMatrix; rotationAxis = CrossProduct(vectorBefore, vectorAfter); rotationAngle = Math.Acos(DotProduct(vectorBefore, vectorAfter) / Normalize(vectorBefore) / Normalize(vectorAfter)); rotationMatrix = RotationMatrix(rotationAngle, rotationAxis); } double[] CrossProduct(double[] a, double[] b) { double[] c = new double[3]; c[0] = a[1] * b[2] - a[2] * b[1]; c[1] = a[2] * b[0] - a[0] * b[2]; c[2] = a[0] * b[1] - a[1] * b[0]; return c; } double DotProduct(double[] a, double[] b) { double result; result = a[0] * b[0] + a[1] * b[1] + a[2] * b[2]; return result; } double Normalize(double[] v) { double result; result = Math.Sqrt(v[0] * v[0] + v[1] * v[1] + v[2] * v[2]); return result; } double[,] RotationMatrix(double angle, double[] u) { double norm = Normalize(u); double[,] rotatinMatrix = new double[3,3]; u[0] = u[0] / norm; u[1] = u[1] / norm; u[2] = u[2] / norm; rotatinMatrix[0, 0] = Math.Cos(angle) + u[0] * u[0] * (1 - Math.Cos(angle)); rotatinMatrix[0, 1] = u[0] * u[1] * (1 - Math.Cos(angle) - u[2] * Math.Sin(angle)); rotatinMatrix[0, 2] = u[1] * Math.Sin(angle) + u[0] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle)); rotatinMatrix[1, 0] = u[2] * Math.Sin(angle) + u[0] * u[1] * (1 - Math.Cos(angle)); rotatinMatrix[1, 1] = Math.Cos(angle) + u[1] * u[1] * (1 - Math.Cos(angle)); rotatinMatrix[1, 2] = -u[0] * Math.Sin(angle) + u[1] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle)); rotatinMatrix[2, 0] = -u[1] * Math.Sin(angle) + u[0] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle)); rotatinMatrix[2, 1] = u[0] * Math.Sin(angle) + u[1] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle)); rotatinMatrix[2, 1] = Math.Cos(angle) + u[2] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle)); return rotatinMatrix; }
https://www.cnblogs.com/xpvincent/archive/2013/02/15/2912836.html
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c++ 空间直线与平面夹角_2020-10-19---空间向量综合问题(2)
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中
,
,则直线
和
所成角的余弦是
那当然可以按照定义做的.
那当然也可以建直角系,放在正方体中会比较简单.
选择基底:
,其夹角两两为
表达目标:
求模:
数量积:
解得
二维兄弟:如图,在
中,
,
是
上的两个三等分点,
,则
的最小值是
设
,
表达条件:
平面中挑两个不共线向量作为基底,空间中无非就是挑三个不共面向量作为基底.
例4:已知空间中的单位向量
,
,若空间向量
满足
,
,且对于任意
,
,
,则
,
,
分别为?
法一,直接平方:
以
为主元进行配方,得:
再对外面的
进行配方,得:
故
,解得
法二,几何意义:
设
,
,
,
向量
、
不共线,为平面
的一组基底,
当系数
、
任意变化时
表示平面
内任意向量,
,表示向量
的终点
到平面
内一点
的距离,最小值为点
到平面
的距离,记垂足为
.
作
,
,由
可知:
点
在过
垂直于
的平面上,且在过
垂直于
的平面上,即在两面的交线上.
根据上述条件可构造出以下四棱锥.
在底面建系求
,
,
应该是比较容易的,就这么着吧.
二维兄弟:
已知向量
是与单位向量
夹角为
的任意向量,则对任意的正实数
,
的最小值是?
画图或者坐标化
法一,直接平方:
故
,在
时取得.
法二,几何意义:
设
,
,
,
与
共线,故点
在直线
上,
,和
没啥关系,
就负责方向
显然在
时,所求最短,为
.
你说他们不是兄弟俩我都不信.
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