1．高二数学平面向量基本概念：
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
2．高二数学平面向量加法与减法的代数运算：
(1)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)则ab=(x1+x2，y1+y2)．
向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
向量加法有如下规律：＋=＋(交换律)；+(+c)=(+)+c(结合律)；
3．高二数学平面向量实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。
(1)｜｜=｜｜·｜｜；
(2)当a＞0时，与a的方向相同；当a＜0时，与a的方向相反；当a=0时，a=0．
高二数学平面向量两个向量共线的充要条件：
(1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=．
(2)若=，b=则‖b．
平面向量基本定理：
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得=e1+e2．
4．P分有向线段所成的比：
设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使=，叫做点P分有向线段所成的比。
当点P在线段上时，＞0；当点P在线段或的延长线上时，＜0；
分点坐标公式：若=；的坐标分别为，，；则(≠－1)，中点坐标公式：．
5．向量的数量积：
(1)．向量的夹角：
已知两个非零向量与b，作=，=b，则∠AOB=叫做向量与b的夹角。
(2)．两个向量的数量积：
已知两个非零向量与b，它们的夹角为，则·b=｜｜·｜b｜cos．
其中｜b｜cos称为向量b在方向上的投影．
(3)．向量的数量积的性质：
若=，b=则e·=·e=｜｜cos(e为单位向量)；
⊥b·b=0(，b为非零向量)；｜｜=；
cos==．
(4)．向量的数量积的运算律：
·b=b·；·b=(·b)=·(b)；(＋b)·c=·c+b·c．
6.主要思想与方法：
高二数学平面向量本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。

上一篇中(中学生线性代数1——从线性方程组到求矩阵的逆)，我们从矩阵的角度介绍了行向量与列向量的概念。物理学中力，位移，速度，加速度，磁场电场量都可用向量表示。在物理的语境下，向量代表着一个空间或者平面上有方向与长度的几何量，就是一条有方向的线段。
向量的相等：
两个向量相等的意思除去大小相等，方向还得一致，就是平行且同向。向量相等可以代数形式表达成：
向量平行的判据：
这就是向量相等定义的一个直接推论，只需我们承认直线外一点可做且仅可做一条平行线，且任意固定两条线段的比为定值即可。
向量相加：
向量的相加按平行四边形或者三角形法则进行。
对于物理中的位移，向量加法法则是最好理解的，从A位移到B，再从B移动到C，等效于移动了
如果承认时空独立，则速度叠加按向量相加的方式进行就是位移叠加的简单微分。我们不是为了建立物理理论来讲向量，而是想介绍线性代数的核心内容，所以不展开说这个。
向量分解唯一性定理：
一般说来任意的平面的向量，可以由两个不相关的向量线性表示出来。而一个空间的三维向量可以用三个不相关的向量线性表达出来，甚至n个不相关的向量可以表达出一个所谓n维空间的任意一个向量。
基底：就是n维向量中n个相互独立的向量。
基底的选择可以任意，只需不相关即可。但在实际操作中具有明显意义的特殊基底会方便应用。如果定义直角坐标系xoy下，与x轴平行的单位向量为i，与y轴平行的单位向量为j，根据向量相等的定义平面直角坐标系xoy下任意向量就等于过O点与该向量平行，方向相同，大小相等的向量
如果A的坐标为(x，y)，向量
在线性代数里我们可以用行向量或者列向量加以表示。
在xoy坐标系下，向量的加可以表示成对位x，y分量的加，如下图。
可以推广这种做法到任意两个矩阵。两个矩阵只有行列个数都一样，才能加减，就是对位元素相加减。
向量的投影与内积：
一个向量在一条直线上的投影是指，过向量端点向直线做垂线，垂足之间形成的向量叫这个向量在直线上的投影。
而由三角形在直接上投影的特征，如下图。
而向量内积满足交换律，也不难用平面几何的相似予以说明。当两个向量相互垂足的时候，投影会退化成一个点，这样可得
向量垂直的判据：
在直角坐标系xoy下，i，j分别是x方向，y方向单位向量
正交：行列向量的数积为0，则称两向量正交。
对于n维空间的任意两个向量V1，V2
的大小刻画了两个量的关联程度，越逼近1，两个向量越类似，从2维，3维的角度看方向越一致，其实代表了两个向量夹角的余弦值，而越逼近0，越逼近正交，这种想法被现代统计，现代数学，现代物理大量使用着。
几句多余的话：
线性代数的观念基本是法国式数学的观念，从笛卡尔抽象出x，y坐标用数对对应几何点就根植于法国数学文化之中，射影几何到降维，到变换，到操作符号的矩阵化都有法国人的贡献， 结构的形式更是法国式的。英美的实用主义特色，将矩阵广泛用于各类统计，概率中，这导致线性代数的思想贯穿于整个数学的发展中，以及近代物理，现代通信，计算机，人工智能，图形图像的各个领域。发端于具体问题，推广到各个角落，诠释数学的应用广度，没有比线性代数更广泛的科目了。太长了，下次再写矩阵与几何变换。

根据旋转前后的向量值求旋转矩阵

如果已知旋转前后的一向量的变化，那么该如何求这个旋转矩阵呢？本篇结合Rodrigues' rotation formula，介绍一下该旋转矩阵的求法。

1.旋转角度

已知旋转前向量为P, 旋转后变为Q。由点积定义可知：

可推出P，Q之间的夹角为：



2. 旋转轴

由1中可知，旋转角所在的平面为有P和Q所构成的平面，那么旋转轴必垂直该平面。

假定旋转前向量为a(a1, a2, a3)， 旋转后向量为b（b1, b2, b3)。由叉乘定义得：



所以旋转轴c(c1, c2, c3)为：



3.  罗德里格旋转公式(Rodrigues' rotation formula)

3.1 公式

已知单位向量 ， 将它旋转θ角。由罗德里格旋转公式，可知对应的旋转矩阵 ：



其中I是3x3的单位矩阵，

 是叉乘中的反对称矩阵r：



3.2 公式证明

假设在坐标系(x, y, z）中，向量v=ax+by+cz，v绕z轴逆时针旋转θ角后得到新的向量v’。



根据2维（x,y)面上的旋转公式可得：



推出：

 已知：

将上式带入v’的公式：

  将cz替换掉，可得：



将上式中的叉乘表示为反对称矩阵得：



另外：



最终可以推出：



上式即为罗德里格旋转公式。

 

4. 求旋转矩阵

假设（旋转轴）的向量n=(nx, ny, nz);

I是单位矩阵，A是向量n的反对称矩阵，即



而θ旋转角度

最后求出的旋转矩阵如下



通过旋转矩阵可以求出（向量a）绕（旋转轴）旋转（角度θ）得到的（向量b）



设3X3的（旋转矩阵）为R

v' = Rv

 

根据旋转前后的两个向量值，使用上面的方法，先求出旋转角度和旋转轴，然后用罗德里格旋转公式即可求出对应的旋转矩阵。

C#的实现代码如下：

void Calculation(double[] vectorBefore, double[] vectorAfter)
{
    double[] rotationAxis;
    double rotationAngle;
    double[,] rotationMatrix;
    rotationAxis = CrossProduct(vectorBefore, vectorAfter);
    rotationAngle = Math.Acos(DotProduct(vectorBefore, vectorAfter) / Normalize(vectorBefore) / Normalize(vectorAfter));
    rotationMatrix = RotationMatrix(rotationAngle, rotationAxis);
}

double[] CrossProduct(double[] a, double[] b)
{
    double[] c = new double[3];

    c[0] = a[1] * b[2] - a[2] * b[1];
    c[1] = a[2] * b[0] - a[0] * b[2];
    c[2] = a[0] * b[1] - a[1] * b[0];

    return c;
}

double DotProduct(double[] a, double[] b)
{
    double result;
    result = a[0] * b[0] + a[1] * b[1] + a[2] * b[2];

    return result;
}

double Normalize(double[] v)
{
    double result;

    result = Math.Sqrt(v[0] * v[0] + v[1] * v[1] + v[2] * v[2]);

    return result;
}

double[,] RotationMatrix(double angle, double[] u)
{
    double norm = Normalize(u);
    double[,] rotatinMatrix = new double[3,3];
    
    u[0] = u[0] / norm;
    u[1] = u[1] / norm;
    u[2] = u[2] / norm;

    rotatinMatrix[0, 0] = Math.Cos(angle) + u[0] * u[0] * (1 - Math.Cos(angle));
    rotatinMatrix[0, 1] = u[0] * u[1] * (1 - Math.Cos(angle) - u[2] * Math.Sin(angle));
    rotatinMatrix[0, 2] = u[1] * Math.Sin(angle) + u[0] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));

    rotatinMatrix[1, 0] = u[2] * Math.Sin(angle) + u[0] * u[1] * (1 - Math.Cos(angle));
    rotatinMatrix[1, 1] = Math.Cos(angle) + u[1] * u[1] * (1 - Math.Cos(angle));
    rotatinMatrix[1, 2] = -u[0] * Math.Sin(angle) + u[1] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));
      
    rotatinMatrix[2, 0] = -u[1] * Math.Sin(angle) + u[0] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));
    rotatinMatrix[2, 1] = u[0] * Math.Sin(angle) + u[1] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));
    rotatinMatrix[2, 1] = Math.Cos(angle) + u[2] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));

    return rotatinMatrix;
}

https://www.cnblogs.com/xpvincent/archive/2013/02/15/2912836.html

例3：已知正四面体
中
，
，则直线
和
所成角的余弦是 
那当然可以按照定义做的.
那当然也可以建直角系，放在正方体中会比较简单.
选择基底：
，其夹角两两为
表达目标：
求模：
数量积：
解得
二维兄弟：如图，在
中，
，
是
上的两个三等分点，
，则
的最小值是 
设
，
表达条件：
平面中挑两个不共线向量作为基底，空间中无非就是挑三个不共面向量作为基底.
例4：已知空间中的单位向量
，
，若空间向量
满足
，
，且对于任意
，
，
，则
，
，
分别为？
法一，直接平方：
以
为主元进行配方，得：
再对外面的
进行配方，得：
故
，解得
法二，几何意义：
设
，
，
，
向量
、
不共线，为平面
的一组基底，
当系数
、
任意变化时
表示平面
内任意向量， 
，表示向量
的终点
到平面
内一点
的距离，最小值为点
到平面
的距离，记垂足为
.
作
，
，由
可知：
点
在过
垂直于
的平面上，且在过
垂直于
的平面上，即在两面的交线上.
根据上述条件可构造出以下四棱锥. 
在底面建系求
，
，
应该是比较容易的，就这么着吧.
二维兄弟：
已知向量
是与单位向量
夹角为
的任意向量，则对任意的正实数
，
的最小值是？
画图或者坐标化  
法一，直接平方：
故
，在
时取得.
法二，几何意义：
设
，
，
，
与
共线，故点
在直线
上，
，和
没啥关系，
就负责方向 
显然在
时，所求最短，为
.
你说他们不是兄弟俩我都不信.