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  • 利用经典的主成分分析方法来估计点的法向量,计算法向量与参考平面的夹角,利用最邻近点搜索算法,确定每个点的K 个最邻近点,并根据信息熵的定义,提出法向量夹角局部熵模型,局部熵的大小直接反映了表面的特征状况...
  • 1.高二数学平面向量基本概念:向量的定义向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。2.高二数学平面向量加法与减法的代数运算:(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则ab=(x1+x2,y1+y2).向量加法与...

    1.高二数学平面向量基本概念:

    向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。

    2.高二数学平面向量加法与减法的代数运算:

    (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则ab=(x1+x2,y1+y2).

    向量加法与减法的几何表示:平行四边形法则、三角形法则。

    向量加法有如下规律:+=+(交换律);+(+c)=(+)+c(结合律);

    3.高二数学平面向量实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量。

    (1)||=||·||;

    (2)当a>0时,与a的方向相同;当a<0时,与a的方向相反;当a=0时,a=0.

    高二数学平面向量两个向量共线的充要条件:

    (1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b=.

    (2)若=,b=则‖b.

    平面向量基本定理:

    若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使得=e1+e2.

    4.P分有向线段所成的比:

    设P1、P2是直线上两个点,点P是上不同于P1、P2的任意一点,则存在一个实数使=,叫做点P分有向线段所成的比。

    当点P在线段上时,>0;当点P在线段或的延长线上时,<0;

    分点坐标公式:若=;的坐标分别为,,;则(≠-1),中点坐标公式:.

    5.向量的数量积:

    (1).向量的夹角:

    已知两个非零向量与b,作=,=b,则∠AOB=叫做向量与b的夹角。

    (2).两个向量的数量积:

    已知两个非零向量与b,它们的夹角为,则·b=||·|b|cos.

    其中|b|cos称为向量b在方向上的投影.

    (3).向量的数量积的性质:

    若=,b=则e·=·e=||cos(e为单位向量);

    ⊥b·b=0(,b为非零向量);||=;

    cos==.

    (4).向量的数量积的运算律:

    ·b=b·;·b=(·b)=·(b);(+b)·c=·c+b·c.

    6.主要思想与方法:

    高二数学平面向量本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点。

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  • 上一篇中(中学生线性代数1——从线性方程组到求矩阵的逆),我们从矩阵的角度介绍了行向量与列向量的概念。物理学中力,位移,速度,加速度,磁场电场量都可用向量表示。在物理的语境下,向量代表着一个空间或者平面...
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    上一篇中(中学生线性代数1——从线性方程组到求矩阵的逆),我们从矩阵的角度介绍了行向量与列向量的概念。物理学中力,位移,速度,加速度,磁场电场量都可用向量表示。在物理的语境下,向量代表着一个空间或者平面上有方向与长度的几何量,就是一条有方向的线段。

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    向量的相等:

    两个向量相等的意思除去大小相等,方向还得一致,就是平行且同向。向量相等可以代数形式表达成:

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    向量平行的判据:

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    这就是向量相等定义的一个直接推论,只需我们承认直线外一点可做且仅可做一条平行线,且任意固定两条线段的比为定值即可。

    向量相加:

    向量的相加按平行四边形或者三角形法则进行。

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    对于物理中的位移,向量加法法则是最好理解的,从A位移到B,再从B移动到C,等效于移动了

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    如果承认时空独立,则速度叠加按向量相加的方式进行就是位移叠加的简单微分。我们不是为了建立物理理论来讲向量,而是想介绍线性代数的核心内容,所以不展开说这个。

    向量分解唯一性定理:

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    一般说来任意的平面的向量,可以由两个不相关的向量线性表示出来。而一个空间的三维向量可以用三个不相关的向量线性表达出来,甚至n个不相关的向量可以表达出一个所谓n维空间的任意一个向量。

    基底:就是n维向量中n个相互独立的向量。

    基底的选择可以任意,只需不相关即可。但在实际操作中具有明显意义的特殊基底会方便应用。如果定义直角坐标系xoy下,与x轴平行的单位向量为i,与y轴平行的单位向量为j,根据向量相等的定义平面直角坐标系xoy下任意向量就等于过O点与该向量平行,方向相同,大小相等的向量

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    如果A的坐标为(x,y),向量

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    在线性代数里我们可以用行向量或者列向量加以表示。

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    在xoy坐标系下,向量的加可以表示成对位x,y分量的加,如下图。

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    可以推广这种做法到任意两个矩阵。两个矩阵只有行列个数都一样,才能加减,就是对位元素相加减。

    向量的投影与内积:

    一个向量在一条直线上的投影是指,过向量端点向直线做垂线,垂足之间形成的向量叫这个向量在直线上的投影。

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    而由三角形在直接上投影的特征,如下图。

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    而向量内积满足交换律,也不难用平面几何的相似予以说明。当两个向量相互垂足的时候,投影会退化成一个点,这样可得

    向量垂直的判据:

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    在直角坐标系xoy下,i,j分别是x方向,y方向单位向量

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    正交:行列向量的数积为0,则称两向量正交。

    对于n维空间的任意两个向量V1,V2

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    的大小刻画了两个量的关联程度,越逼近1,两个向量越类似,从2维,3维的角度看方向越一致,其实代表了两个向量夹角的余弦值,而越逼近0,越逼近正交,这种想法被现代统计,现代数学,现代物理大量使用着。

    几句多余的话:

    线性代数的观念基本是法国式数学的观念,从笛卡尔抽象出x,y坐标用数对对应几何点就根植于法国数学文化之中,射影几何到降维,到变换,到操作符号的矩阵化都有法国人的贡献, 结构的形式更是法国式的。英美的实用主义特色,将矩阵广泛用于各类统计,概率中,这导致线性代数的思想贯穿于整个数学的发展中,以及近代物理,现代通信,计算机,人工智能,图形图像的各个领域。发端于具体问题,推广到各个角落,诠释数学的应用广度,没有比线性代数更广泛的科目了。太长了,下次再写矩阵与几何变换。

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  • 根据旋转前后的向量值求旋转矩阵 如果已知旋转前后的一向量的变化,那么该...可推出P,Q之间的夹角为: 2. 旋转轴 由1中可知,旋转角所在的平面为有P和Q所构成的平面,那么旋转轴必垂直该平面。 假定旋转前...

    根据旋转前后的向量值求旋转矩阵

    如果已知旋转前后的一向量的变化,那么该如何求这个旋转矩阵呢?本篇结合Rodrigues' rotation formula,介绍一下该旋转矩阵的求法。

    1.旋转角度

    已知旋转前向量为P, 旋转后变为Q。由点积定义可知:

    image可推出P,Q之间的夹角为:

    image

    2. 旋转轴

    由1中可知,旋转角所在的平面为有P和Q所构成的平面,那么旋转轴必垂直该平面。

    假定旋转前向量为a(a1, a2, a3), 旋转后向量为b(b1, b2, b3)。由叉乘定义得:

    image

    所以旋转轴c(c1, c2, c3)为:

    image

    3.  罗德里格旋转公式(Rodrigues' rotation formula)

    3.1 公式

    已知单位向量Inline3 , 将它旋转θ角。由罗德里格旋转公式,可知对应的旋转矩阵Inline5

    image

    其中I是3x3的单位矩阵,

    omega^~ 是叉乘中的反对称矩阵r:

    NumberedEquation1

    3.2 公式证明

    假设在坐标系(x, y, z)中,向量v=ax+by+cz,v绕z轴逆时针旋转θ角后得到新的向量v’。

    img1

    根据2维(x,y)面上的旋转公式可得:

    image

    推出:

    image 已知:

    image将上式带入v’的公式:

    image  将cz替换掉,可得:

    image

    将上式中的叉乘表示为反对称矩阵得:

    image

    另外:

    image

    最终可以推出:

    image

    上式即为罗德里格旋转公式。

     

    4. 求旋转矩阵

    假设(旋转轴)的向量n=(nx, ny, nz);

    I是单位矩阵,A是向量n的反对称矩阵,即

    而θ旋转角度

    最后求出的旋转矩阵如下

    通过旋转矩阵可以求出(向量a)绕(旋转轴)旋转(角度θ)得到的(向量b)

    设3X3的(旋转矩阵)为R

    v' = Rv

     

    根据旋转前后的两个向量值,使用上面的方法,先求出旋转角度和旋转轴,然后用罗德里格旋转公式即可求出对应的旋转矩阵。

    C#的实现代码如下:

    void Calculation(double[] vectorBefore, double[] vectorAfter)
    {
        double[] rotationAxis;
        double rotationAngle;
        double[,] rotationMatrix;
        rotationAxis = CrossProduct(vectorBefore, vectorAfter);
        rotationAngle = Math.Acos(DotProduct(vectorBefore, vectorAfter) / Normalize(vectorBefore) / Normalize(vectorAfter));
        rotationMatrix = RotationMatrix(rotationAngle, rotationAxis);
    }
    
    double[] CrossProduct(double[] a, double[] b)
    {
        double[] c = new double[3];
    
        c[0] = a[1] * b[2] - a[2] * b[1];
        c[1] = a[2] * b[0] - a[0] * b[2];
        c[2] = a[0] * b[1] - a[1] * b[0];
    
        return c;
    }
    
    double DotProduct(double[] a, double[] b)
    {
        double result;
        result = a[0] * b[0] + a[1] * b[1] + a[2] * b[2];
    
        return result;
    }
    
    double Normalize(double[] v)
    {
        double result;
    
        result = Math.Sqrt(v[0] * v[0] + v[1] * v[1] + v[2] * v[2]);
    
        return result;
    }
    
    double[,] RotationMatrix(double angle, double[] u)
    {
        double norm = Normalize(u);
        double[,] rotatinMatrix = new double[3,3];
        
        u[0] = u[0] / norm;
        u[1] = u[1] / norm;
        u[2] = u[2] / norm;
    
        rotatinMatrix[0, 0] = Math.Cos(angle) + u[0] * u[0] * (1 - Math.Cos(angle));
        rotatinMatrix[0, 1] = u[0] * u[1] * (1 - Math.Cos(angle) - u[2] * Math.Sin(angle));
        rotatinMatrix[0, 2] = u[1] * Math.Sin(angle) + u[0] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));
    
        rotatinMatrix[1, 0] = u[2] * Math.Sin(angle) + u[0] * u[1] * (1 - Math.Cos(angle));
        rotatinMatrix[1, 1] = Math.Cos(angle) + u[1] * u[1] * (1 - Math.Cos(angle));
        rotatinMatrix[1, 2] = -u[0] * Math.Sin(angle) + u[1] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));
          
        rotatinMatrix[2, 0] = -u[1] * Math.Sin(angle) + u[0] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));
        rotatinMatrix[2, 1] = u[0] * Math.Sin(angle) + u[1] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));
        rotatinMatrix[2, 1] = Math.Cos(angle) + u[2] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));
    
        return rotatinMatrix;
    }

    https://www.cnblogs.com/xpvincent/archive/2013/02/15/2912836.html

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  • 选择基底:,其夹角两两为表达目标:求模:数量积:解得二维兄弟:如图,在中,,是上两个三等分点,,则最小值是 设,表达条件:平面中挑两个不共线向量作为基底,空间中无非就是挑三个不共面向量作为基底....

    例3:已知正四面体

    ,则直线
    所成角的余弦是

    90c659ef0e68702466efc88a77a0ceef.png

    那当然可以按照定义做的.

    那当然也可以建直角系,放在正方体中会比较简单.

    选择基底:

    ,其夹角两两为

    表达目标:

    求模:

    数量积:

    解得

    二维兄弟:如图,在

    中,
    上的两个三等分点,
    ,则
    的最小值是

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    表达条件:

    平面中挑两个不共线向量作为基底,空间中无非就是挑三个不共面向量作为基底.

    例4:已知空间中的单位向量

    ,若空间向量
    满足
    ,且对于任意
    ,则
    分别为?

    法一,直接平方:

    为主元进行配方,得:

    再对外面的

    进行配方,得:

    ,解得

    法二,几何意义:

    向量

    不共线,为平面
    的一组基底,

    当系数

    任意变化时
    表示平面
    内任意向量,
    ,表示向量
    的终点
    到平面
    内一点
    的距离,最小值为点
    到平面
    的距离,记垂足为
    .

    ,由
    可知:

    在过
    垂直于
    的平面上,且在过
    垂直于
    的平面上,即在两面的交线上.

    根据上述条件可构造出以下四棱锥.

    e4347d7b085070e14432881137f859a9.png

    在底面建系求

    应该是比较容易的,就这么着吧.

    二维兄弟:

    已知向量

    是与单位向量
    夹角为
    的任意向量,则对任意的正实数
    的最小值是?

    画图或者坐标化

    法一,直接平方:

    ,在
    时取得.

    法二,几何意义:

    共线,故点
    在直线
    上,

    ,和
    没啥关系,
    就负责方向

    8585f7df5d4515c4eaa4253f828b3332.png

    显然在

    时,所求最短,为
    .

    c394371964deaca7f3930a1a12fad7a4.png

    你说他们不是兄弟俩我都不信.

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  • 平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,把数量|a||b|cosθ叫做a和b的数量积(或内积),记作a·b.即a&m...积化和差,指初等数学三角函数部分的一组恒等式。可以通过展开角的...
  • 在前两节中已经总结过了向量以及其运算,本篇内容开始向量应用的相关内容。 一、空间曲面 上面的定义说,在曲面上任意取一点都能使方程成立,方程的任一一个解都在曲面上,换言之二者...(三)两个平面的夹角 要注
  • 展开全部表示方法两个向量a和b的叉积写作a...模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义平面上。)方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直...
  • 向量的叉积及其应用

    2017-05-06 21:37:58
    模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0° ≤ θ ≤ 180°),它位于这两个矢量所定义平面上。) 方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则。 ...
  • 向量和矩阵点乘和叉乘

    千次阅读 2020-05-24 11:14:55
    几何解释:a.b = |a| |b|,故而点乘可以计算出两个向量的夹角,且向量垂直,点乘结果为零。 叉乘:又叫向量积、外积、叉积,叉乘,向量a[x1,y1,z1]和向量b[x2,y2,z2]叉乘的运算结果是一个向量,并且两个向量的叉积...
  • 在这里θ表示两向量之间夹角(0° ≤ θ ≤ 180°),它位于这两个矢量 所定义的平面上。 向量模(长度)可以解释成以a和b为邻边平行四边形面积。求三角形ABC面积,根据向量意义
  • 参考JTSCGAlgorithms类distancePointLine方法,实现原理是根据向量原理进行计算 利用向量积(叉积)计算三角形...在这里θ表示两向量之间夹角(0° ≤ θ ≤ 180°),它位于这两个矢量 所定义的平面上。 向...
  • 在这里θ表示两向量之间夹角(0° ≤ θ ≤ 180°),它位于这两个矢量 所定义的平面上。 向量模(长度)可以解释成以a和b为邻边平行四边形面积。求三角形ABC面积,根据向量意义,...
  • 在这里θ表示两向量之间夹角(0° ≤ θ ≤ 180°),它位于这两个矢量 所定义的平面上。 向量模(长度)可以解释成以a和b为邻边平行四边形面积。求三角形ABC面积,根据向量意义,得到: a=...
  • 向量外积应用

    千次阅读 2017-09-26 17:45:49
    方向:右手法则,叉乘后的向量的方向与这两个向量所在的平面垂直 理解:|c|=|a×b|=|a| |b|sinθ c的长度在数值上等于以a,b夹角θ组成的平行四边形的面积应用决定点在直线的哪一侧只取数值的结果,AB × AP = |AB| ...
  • 在这里θ表示两向量之间夹角(0° ≤ θ ≤ 180°),它位于这两个矢量 所定义的平面上。 向量模(长度)可以解释成以a和b为邻边平行四边形面积。求三角形ABC面积,根据向量意义,得到...
  • 1. 两平面的夹角(二面角)的定义:两平面向量之间的夹角 2. 两平面垂直于平行的充要条件 3. 平面位置关系示例 4. 求过一点与两个已知平面都垂直的平面的方程 5. 练习 ...
  • 仅在三维空间,两个向量的叉积才有定义,记作 u ^ v ...其中,θ表示u 和 v 的夹角, ||u|| 和 ||v|| 分别是向量 u和v 的模,n 则是u、v 所构成平面的法向(垂直于u、v平面的单位向量),方向由右手定则决定。
  • 向量积计算三角形面积

    千次阅读 2020-02-09 17:57:33
    模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义平面上。) 向量积的模(长度)在数值上等于,,及其夹角θ组成的平行四边形的面积。所以求三角形ABC的...
  • theta是两个向量的夹角,n是垂直与2维平面的方向向量,由右手定则可以判断方向。 根据定义可以通过向量的坐标计算外积 这里面由于u,v是二维平面上的向量, u3 v3 都为0。 所以 u叉乘v = (u1v2 - u2v1)*K。 K 就是第...
  • 根据旋转前后的向量值求旋转矩阵

    千次阅读 2014-02-27 12:30:38
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平面向量的夹角定义