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  • 1.9 向量投影

    2020-03-19 19:37:09
    但有时需要计算力在某个平面内的分量,即力在平面的投影,或者计算力垂直于某平面的分量,都可通过投影解决。 几何上,也经常涉及投影,如点到直线或平面的距离,此距离点到直线或平面的最短距离,求此距离可...

    向量投影

    力的正交分解就是投影,高中时一般向坐标轴投影,有时也需计算力在任意方向分量,即力在这个方向的投影,可通过内积计算。但有时需要计算力在某个平面内的分量,即力在平面内的投影,或者计算力垂直于某平面的分量,都可通过投影解决。

    几何上,也经常涉及投影,如点到直线或平面的距离,此距离是点到直线或平面的最短距离,求此距离可通过投影解决。

    再举个例子,为什么称为“投影”,投影就是物体在太阳光的照射下在地面形成的影子。当太阳光与地面垂直时是正投影,这就是线性代数中研究的投影。当物体与地面垂直时,影子长度(投影)为0。中国古时利用投影来计时,发明了日晷。希望读者根据物理学和几何学,获得投影的几何图像。

    当转向高维空间时,投影不局限于低维子空间,可投向任意维度的子空间,所以需要代数方法,但理解需要几何图像。向量在子空间的投影,本质上是向量的正交分解,分解为两个向量:一个向量位于子空间,另一个位于其正交补空间。

    子空间 S1S_1无关组 V=(v1,,vn)V = (\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n}) 张成,如何求任意向量 v\mathbf{v} 在子空间的投影向量呢?这是线性代数基本问题之一,也是理解线性方程的核心之一,必须十分重视。

    投影向量位于子空间 S1S_1 内,故其可表示为生成向量的线性组合,这是解决问题的关键一步,令投影向量为 v=α1v1++αnvn\mathbf{v}^{\bot} = \alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n} ,只要算出表示系数组就可得到投影向量。另一正交分量 v=vv\mathbf{v}^{-} = \mathbf{v}-\mathbf{v}^{\bot} 位于正交补空间 S1S_1^{\bot} ,垂直子空间 S1S_1 内任意向量。故两个分向量垂直,内积为零!这是关键第二步。
    0=(v,v)=(v,vv)=(v,v)(v,v)(v,v)=(v,v)(α1v1++αnvn,v)=(α1v1++αnvn,α1v1++αnvn)=ijαiαj(vi,vj) 0 = (\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}^{-}) = (\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}-\mathbf{v}^{\bot}) = (\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}) - (\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}^{\bot})\\ 得:(\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}) = (\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}^{\bot}) \\ 得:(\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n}, \mathbf{v}) =(\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n},\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n})=\sum_{ij}\alpha_i\alpha_j(\mathbf{v_i},\mathbf{v_j})

    根据正交分解的唯一性,v\mathbf{v}^{\bot} 是唯一的,根据无关组表示向量的唯一性,表示系数组存在且唯一。无关组是任意向量时,利用向量理论很难表示出表示系数,必须用矩阵理论才能方便表示。

    无关组是标准正交基时,却很容易求出表示系数。 根据标准正交基性质: (vi,vj)=0,ij;=1i=j(\mathbf{v_i},\mathbf{v_j})=0,\forall i\ne j; \quad =1 ,\forall i= j 。代入上式,
    (α1v1++αnvn,v)=α1(v1,v)++αn(vn,v)=α12++αn2 (\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n}, \mathbf{v}) = \alpha_1(\mathbf{v_1}, \mathbf{v})+\cdots+\alpha_n(\mathbf{v_n}, \mathbf{v}) = \alpha_1^2+\cdots+\alpha_n^2
    显然当 αi=(vi,v),i[1,n]\alpha_i = (\mathbf{v_i}, \mathbf{v}), \forall i \in [1,n] 时,等式恒成立!故投影向量为:
    v=(v1,v)v1++(vn,v)vn \mathbf{v}^{\bot}=(\mathbf{v_1}, \mathbf{v})\mathbf{v_1}+\cdots+(\mathbf{v_n}, \mathbf{v})\mathbf{v_n}
    标准正交基可以看作坐标轴,向量与坐标轴的内积就是向量在该轴方向的分量(坐标值),子空间内所有坐标轴方向的分量相加就是投影!

    特别重要的特例,当子空间就是整个空间时,显然投影向量就是向量本身,得:

    重要性质 mm 维空间任意向量 v\mathbf{v} 与标准正交基 VV 的正交分解:
    v=(v1,v)v1++(vm,v)vm \mathbf{v}=(\mathbf{v_1}, \mathbf{v})\mathbf{v_1}+\cdots+(\mathbf{v_m}, \mathbf{v})\mathbf{v_m}

    这就是物理学中的正交分解!得到最简基节同样结论。

    下面证明垂线距离最短,几何上就是直角三角形斜边长度大于直角边,线性代数也是这样证明的。假设子空间 S1S_1 内任意向量 u\mathbf{u} ,向量 v\mathbf{v} 分解为 v=u+w\mathbf{v}=\mathbf{u}+\mathbf{w} ,则向量 w\mathbf{w} 是斜边,向量 vv\mathbf{v}-\mathbf{v}^\bot 是垂线,请想象出二维点到直线距离,三维点到平面距离的图像。
    w2=vu2=(vv)+(vu)2=(vv)2+(vu)2(vv)2 \|\mathbf{w}\|^2 = \|\mathbf{v}-\mathbf{u}\|^2=\|(\mathbf{v}-\mathbf{v}^\bot) + (\mathbf{v}^\bot-\mathbf{u})\|^2 = \|(\mathbf{v}-\mathbf{v}^\bot)\|^2 + \|(\mathbf{v}^\bot-\mathbf{u})\|^2 \ge \|(\mathbf{v}-\mathbf{v}^\bot)\|^2
    向量 vv\mathbf{v}-\mathbf{v}^{\bot} 位于正交补空间 S1S_1^{\bot} ,垂直子空间内任意向量,向量 (v,u)(\mathbf{v}^\bot,\mathbf{u}) 位于子空间内,故 vv\mathbf{v}-\mathbf{v}^{\bot} 垂直 (vu)(\mathbf{v}^\bot-\mathbf{u}) ,根据勾股定理,得到中间等式。

    向量投影有个应用,就是判断向量是否位于子空间内?如果向量等于子空间投影,则向量位于子空间内。子空间内的向量能被子空间的生成向量组表示。

    向量投影的这两个性质对于理解线性方程很关键,特别是最小二乘法。

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  • 平面本质:自由度比空间维度小1 如三维空间中的一个“超平面”就是一个A、B、C参数确定的平面 即x、y、z三个参数任意两个确定,第三个参数也就...tips:向量的乘法(a’·b’=2|a||b|cosθ),注意投影关系 ...

    超平面本质:自由度比空间维度小1

    如三维空间中的一个“超平面”就是一个A、B、C参数确定的平面
    在这里插入图片描述
    即x、y、z三个参数任意两个确定,第三个参数也就确定了,也就是自由度为2,比空间维度3小1

    tips:向量的乘法(a’·b’=2|a||b|cosθ),注意投影关系

    在这里插入图片描述

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  • 【线性代数】正交投影

    万次阅读 多人点赞 2014-11-16 18:07:28
    注意这里我们的投影是向量的投影,几何的投影(并不一定是垂直投影的)可见度娘百科。同样的,我们从简单的二维投影来开始讨论。  1、二维投影 上图表示的是,向量b在向量a上的投影。显然有如下表达式: 其中,P...
           我们在初中就应该学过投影,那么什么是投影呢?形象点说,就是将你需要投影的东西上的每一点向你要投影的平面作垂线,垂线与平面的交点的集合就是你的投影。注意这里我们的投影是向量的投影,几何的投影(并不一定是垂直投影的)可见度娘百科。同样的,我们从简单的二维投影来开始讨论。
    

       1、二维投影


    上图表示的是,向量b在向量a上的投影。显然有如下表达式:


    其中,P为投影矩阵,由P的表达式可以看出,它具有如下性质:


    2、三维投影

           三维投影,就是将一个向量投影到一个平面上。同上面一样,假设是将b向量投影到平面上的p向量,则有表达式:

    e是垂直与平面的向量。由于p向量在平面上,则p向量可以由该平面的2个线性无关向量(正如,在xy平面的任何向量都可以由x轴,y轴表示)表示:

    由于e垂直平面,则e向量垂直与平面中的任意向量,则有:


    将上式化简求得x:


    又因为p=Ax,Pb=p,则得到投影矩阵为:


    由P的表达式可以看出,它具有如下性质:


    上面的投影矩阵是通式,当投影在一维情况时,A即为直线上的任意一个向量a,投影矩阵为:


    注意:一个数值的逆是它的倒数。

    3、举例说明

    下面以一个实例来说明:

    如上图,假设我们要将向量b投影到水平面上,其投影为p,a1,a2为水平面的两个线性无关向量,它们的参数分别为:


    那么A=[a1 a2]即:


    由上面我们求得的通式,可得投影矩阵P:


    知道投影矩阵P后,我们可以得到b在水平面上的投影p为:


    显然,p与我们图中所示的结果相同。这里我们是以三维情况进行举例的,更高维情况,我们无法用图像来描述,但是通式也是成立的。

    三维图的matlab程序如下:

    clear all
    clc
     
    a1=[1 0 0];
    a2=[0 1 0];
    b=[1 1 1];
    p=[1 1 0];
    e=b-p;
    quiver3(0,0,0,a1(1),a1(2),a1(3),1,'color','r')
    hold on
    quiver3(0,0,0,a2(1),a2(2),a2(3),1,'color','r')
    hold on
    quiver3(0,0,0,b(1),b(2),b(3),1,'color','g')
    hold on
    quiver3(0,0,0,p(1),p(2),p(3),1,'color','g')
    hold on
    quiver3(p(1),p(2),p(3),e(1),e(2),e(3),1,'color','b')

    原文:http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/41174555

    作者:nineheadedbird




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  • 正交投影

    千次阅读 2017-07-22 12:41:37
    注意这里我们的投影是向量的投影,几何的投影(并不一定是垂直投影的)可见度娘百科。同样的,我们从简单的二维投影来开始讨论。  1、二维投影 上图表示的是,向量b在向量a上的投影。显然有如下表达式: ...
    我们在初中就应该学过投影,那么什么是投影呢?形象点说,就是将你需要投影的东西上的每一点向你要投影的平面作垂线,垂线与平面的交点的集合就是你的投影。注意这里我们的投影是向量的投影,几何的投影(并不一定是垂直投影的)可见度娘百科。同样的,我们从简单的二维投影来开始讨论。
    

       1、二维投影


    上图表示的是,向量b在向量a上的投影。显然有如下表达式:


    其中,P为投影矩阵,由P的表达式可以看出,它具有如下性质:


    2、三维投影

           三维投影,就是将一个向量投影到一个平面上。同上面一样,假设是将b向量投影到平面上的p向量,则有表达式:

    e是垂直与平面的向量。由于p向量在平面上,则p向量可以由该平面的2个线性无关向量(正如,在xy平面的任何向量都可以由x轴,y轴表示)表示:

    由于e垂直平面,则e向量垂直与平面中的任意向量,则有:


    将上式化简求得x:


    又因为p=Ax,Pb=p,则得到投影矩阵为:


    由P的表达式可以看出,它具有如下性质:


    上面的投影矩阵是通式,当投影在一维情况时,A即为直线上的任意一个向量a,投影矩阵为:


    注意:一个数值的逆是它的倒数。

    3、举例说明

    下面以一个实例来说明:

    如上图,假设我们要将向量b投影到水平面上,其投影为p,a1,a2为水平面的两个线性无关向量,它们的参数分别为:


    那么A=[a1 a2]即:


    由上面我们求得的通式,可得投影矩阵P:


    知道投影矩阵P后,我们可以得到b在水平面上的投影p为:


    显然,p与我们图中所示的结果相同。这里我们是以三维情况进行举例的,更高维情况,我们无法用图像来描述,但是通式也是成立的。
    三维图的matlab程序如下:
    1. clear all  
    2. clc  
    3.    
    4. a1=[1 0 0];  
    5. a2=[0 1 0];  
    6. b=[1 1 1];  
    7. p=[1 1 0];  
    8. e=b-p;  
    9. quiver3(0,0,0,a1(1),a1(2),a1(3),1,'color','r')  
    10. hold on  
    11. quiver3(0,0,0,a2(1),a2(2),a2(3),1,'color','r')  
    12. hold on  
    13. quiver3(0,0,0,b(1),b(2),b(3),1,'color','g')  
    14. hold on  
    15. quiver3(0,0,0,p(1),p(2),p(3),1,'color','g')  
    16. hold on  
    17. quiver3(p(1),p(2),p(3),e(1),e(2),e(3),1,'color','b')  

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平面向量的投影是什么