精华内容
下载资源
问答
  • 如何将一个向量投影到一个平面上_向量的各种积
    千次阅读
    2020-11-21 03:13:08

    目录

    一.点乘(内积)

    1.定义

    2.举例

    3.点乘几何意义

    二.叉乘(向量积)

    1.定义

    2.叉乘几何意义

    一.点乘(内积)

    1.定义

    向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位置相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。

    2.举例

    对于向量a和向量b:

    a和b的点积公式为:

    要求一维向量a和向量b的行列数相同。

    3.点乘几何意义

    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:

    二.叉乘(向量积)

    1.定义

    两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    对于向量a和向量b:

    a和b的叉乘公式为:

    其中:

    根据i、j、k间关系,有:

    2.叉乘几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。

    在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

    63117344e01f5932338ed8103da754bb.png
    更多相关内容
  • 向量到一个平面投影向量

    千次阅读 2021-12-28 15:36:06
    求一个向量投影到一个平面上的投影向量,如下图 已知项: 向量 sq,平面法向量 n 设点 o 为点 q 到平面的垂点 则向量 oq 垂直于平面 则向量 so 即为 sq 在平面上的投影。 so = sq + qo so = sq + (n * -1) * |qo| ...

    向量到一个平面的投影向量

    求一个向量投影到一个平面上的投影向量,如下图
    在这里插入图片描述

    已知项: 向量 sq,平面法向量 n
    设点 o 为点 q 到平面的垂点
    则向量 oq 垂直于平面
    则向量 so 即为 sq 在平面上的投影。
    so = sq + qo
    so = sq + n*(sq·n* -1)

    在上面的推理中对于 qo 的一步步转换是这样的
    因为qo 平行于 n,且 n 是单位向量
    |qo| = |sq·n|
    sq 朝向平面正面时 sq·n >= 0,qon 方向相反
    sq 朝向平面负面时 sq·n <= 0, qon 方向相同
    所以 qo = n*(sq·n -1)

    展开全文
  • 向量积目录:向量积的定义。向量积的点乘。向量积的叉乘。1.向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的...

    056db2f0f1de5f5ef7f4b291692ea3ab.png

    向量积

    目录:

    • 向量积的定义。
    • 向量积的点乘。
    • 向量积的叉乘。

    1.向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。

    2.向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组。向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。那么接下来对点乘公式做一点解释:

    点乘公式
    对于向量a和向量b:

    cb5a2ec639413e1a66cf514057313fb7.png

    3f6a0b8f1f1719bfd9c302e3bd5ca687.png

    a和b的点积公式为:

    8d4bd9423fd4c6dfc3e99be12e2183fa.png

    要求一维向量a和向量b的行列数相同。

    点乘几何意义

    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:

    3d1c1e6662443935d77fc85e5013a796.png

    推导过程如下,首先看一下向量组成:

    ebbee88a93f860c30428a2840932329c.png

    定义向量:

    8c38d9d39b93422b250fd638005e2725.png

    根据三角形余弦定理有:

    b8da620473cf5ad4ce58a005573e4ba8.png

    根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有:

    8abc2e3c4fd28df63ad613c36676b3d0.png

    即:

    e81db3300701df55457fa689ccf43089.png

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

    a2301f1fe29e603e01c5b73f802f915c.png

    根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:
    a·b>0 方向基本相同,夹角在0°到90°之

    a·b=0 正交,相互垂直。

    a·b<0 方向基本相反,夹角在90°到180°之间。

    3.叉乘公式

    两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    对于向量a和向量b:

    c139c63b6c09f7feb03454cf3bd03421.png

    a和b的叉乘公式为:

    5e5076ac4bf0df7edddb0a8923a647c4.png

    其中:

    d2b1dc11b28aa5dd837477c5748da775.png

    根据i、j、k间关系,有:

    dfc9d92feede40c78d090cbbe953c22c.png

    叉乘几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

    5d4164325ae1734f80068e91af7ba8d6.png

    在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

    参考资料:https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832

    展开全文
  • Jerry:线性代数(十二)四个子空间的正交性​zhuanlan.zhihu.com向量的投影向量投影需要一个向量、一条直线和一束光来完成。假设有一条直线 上有向量 和另一个向量 他们有共同的起点,成夹角 一道正道的光(在...

    上一章我们讲了两组“正交补”的矩阵,欢迎点开链接复习。这一节我们要了解向量和矩阵的投影。投影是一种“逆张成”的行为,它把空间内的向量重新恢复到(指定)基向量方向上的长度。

    Jerry:线性代数(十二)四个子空间的正交性​zhuanlan.zhihu.com

    向量的投影

    向量投影需要一个向量、一条直线和一束光来完成。假设有一条直线

    上有向量
    和另一个向量
    他们有共同的起点,成夹角
    一道正道的光(在平面内垂直于
    )倾泻下来,在
    上留下一道阴影。这阴影就是
    上的投影,记作

    35b51a13a6f7958a5e8b3c2d68c55799.png
    老铁们我做的对吗?对吗对吗?

    小学三年级的时候我们曾学过向量的投影公式是

    意思是两向量求内积再消去
    的影响力。所以,决定
    的只有
    无关。但是我们还是想把它写成一个与
    有关的式子,毕竟
    是平行的,我们可以找到一个系数
    使得

    这时就要诉诸垂直关系了:这条垂直的向量可以表示为

    且令
    注意这里把
    除到分母上是因为它是一个实数(等会在矩阵内操作就不行了)。用这个方法,可以快速找到并表示
    向量的投影。

    刚刚完成了

    接着我们再把
    写成
    的形式。

    这个变换就是先改变系数的位置,再把
    从分数线上“挤下去”。因此得到投影矩阵
    的特点是:秩为1,

    我们一个个来看:首先,秩为一是因为它把向量投射到一条直线上。

    其次,多次对已经投影在直线上的向量再做同样的操作,得到的向量

    是不变的。因此多次投影对应的

    矩阵的投影

    刚刚我们对一个向量进行投影操作,现在我们来把向量的集合“矩阵的列空间”投影到另一个空间

    中去。把
    写成线性组合
    我们就需要找到新的

    原理:利用刚刚提到的

    ,我们知道
    在这里就有
    (
    可以把
    写成行向量的方式来理解,此时
    应与
    中的任何向量垂直,当然包括这些基。这一段对理解一场关键)

    由此我们得到

    所以

    写成

    的形式,

    请注意,这里的

    因为
    很大概率上不是一个可逆方阵。初学者(自己)一开始很容易犯错。

    Reference

    Strang, G. (2019).Introduction to linear algebra(Fifth ed.).

    展开全文
  • 第15讲 子空间投影Projections onto subspaces网易公开课​open.163.com投影(射影)Projections投影问题的几何解释就是:如何在向量a的方向上寻找与向量b距离最近的一点。从图中可以看出,这个距离最近的点p就位于...
  • 一维空间的投影矩阵 先来看一维空间内向量的投影: 向量p是b在a上的投影,也称为b在a上的分量,可以用b乘以a方向的单位向量来计算,现在,我们打算尝试用更“贴近”线性代数的方式表达。 因为p趴在a上,所以p实际...
  • 我的公众号“每日晴天”,可关注领取我的笔记pdf版哦~------------------------------------------------------------------------------一、向量1、简单的高中那些就不说了....2、左右手系:右手系:将右手四指...
  • 本文介绍到标准单纯型集(The Standard Simplex Set)的投影算法。1. 简介在优化算法当中,我们的目标问题常常带有各种各样的限制条件。例如在某项投资活动中,我们想计算投入为多少时收益最大,那么我们的投入应该是...
  • 写在前面初次见面,请多多关照——阿拉丁平面向量基本定理在上一节中我们吐槽了向量的名字,这一节我们就要来考虑向量的好朋友——数形结合。平面内任何向量改如何表示?我们知道在我们熟悉的自然数里1作为一个特殊...
  • 向量在法向量所垂直的平面上的投影过程
  • 2 使用方法 参数1 方向 参数2 平面的法向量 投影向量 var pj = Vector3.ProjectOnPlane(dir, normal); 返回值是一个投影向量,平行于指定的平面 3 效果演示 4 参考代码 using UnityEditor; using UnityEngine; ...
  • 投影(Projection)上图为二维平面投影。其中p是b在a方向上的投影,则有:(1) (2) (3) (正交)因此可得 进而可得 (P为矩阵:Ax=b的形式,bp均为向量,则A为矩阵)其中 就是说一个向量b在a方向的投影可写作一...
  • 2015平面向量专题(极化恒等式与投影).ppt
  • 最近一直在计算旋转矩阵,奈何高中数学实在是差,大学高等数学也不行,线性代数也不行,现在做起...第三个: 已知平面的法向量,将任意向量投影平面,求投影后的向量 推理过程如下(劣质美工画):  
  • 预备知识:向量投影平面A由基向量 所张成(Span),换言之,平面A是 的列空间。 是平面外的一点, 是 在平面上的投影, ,求 是 和 之间的距离 : 用人话来解释下: 构建了一个平面平面内的任何向量,均可由它俩.....
  • 线性代数笔记3:向量投影

    万次阅读 2018-03-21 19:26:32
    向量投影是线性代数中很重要的应用,用于找到向量到目标投影空间的投影向量。这是下一节线性回归的基础。 Ax=bAx=bAx=b有解时 当计算线性方程组Ax=bAx=bAx=b 有解时, bbb就在C(A)C(A)C(A)的子空间中,则Ax=bAx=...
  • 我希望求得这五个点在该平面上的一个投影: ,这个时候,我们就需要平面的相关知识。 这个平面方程我们可以直接通过点法式获得: 哎,脑阔疼 所以,为了简便起见,我们用性能小霸王的射线来.
  • 计算2个向量在某一平面投影的夹角顺时针逆时针如何投影到某个平面具体逻辑 顺时针逆时针 这里右手系 指定一个轴,向量叉乘得到的向量和轴比对,同向则是逆时针 如何投影到某个平面 向量与该平面法线利用点乘进行计算...
  • 有时候,三维空间的点需要投影的某一特定的平面。比如说,一个点集,连接成一个平面,如果不进行投影,直接连接,可能会出现怪异的现象。 为了简单,示例只用到了一个点的投影。多个点延伸就可以了
  • 本文主要通过特征向量法来求解投影矩阵。 投影矩阵的代码实现 已知条件 n个三维世界坐标点(保存在dat文件中) n个二维图像坐标点(保存在dat文件中) 使用工具: 环境:windows10+python3.7+pycharm2019 第三方库:...
  • 1.9 向量投影

    2020-03-19 19:37:09
    向量投影 力的正交分解就是投影,高中时一般向坐标轴投影,有时也需计算力在任意方向分量,即力在这个方向的投影,可通过内积计算。但有时需要计算力在某个平面内的分量,即力在平面内的投影,或者计算力垂直于某...
  • 本文介绍向量空间投影投影矩阵,并阐述其作用
  • 文章目录向量投影和最小二乘法1. 向量的投影1.1 向量在向量上的投影1.2 向量在空间上的投影2. 最小二乘法2.1 最小二乘法近似2.2 直线和抛物线的拟合3. 参考资料 向量投影和最小二乘法 1. 向量的投影 问题1: 某个...
  • 展开全部平面Ax+By+cZ+D=0的法向量为n=(A,B,C),M点在平面上的投影M‘的坐标e69da5e887aa3231313335323631343130323136353331333431366339(x2,y2,z2)。所以Ax2+By2+cZ2+D=0(1),向量MM’=(x2-x1,y2-y1,z2-z1) 且MM’...
  • 手推向量投影长度、投影向量

    千次阅读 2019-06-07 21:36:49
    投影 (tóuyǐng),数学术语,指图形的影子投到一个面或一条线上。 声明向量F为F、 向量F的大小为|F|,向量b为b、向量b的大小为、|b| 当我们得到了投影的大小之后|F| ...因此 投影向量F为 (|F| * b)/ |b| ...
  • Unity向量投影使用

    2019-10-07 05:46:17
    官方例图 测试: code: public Transform point1; public Transform point2; public Transform humanPoint; public Transform targetPoint; void Start() { } void Update() ... targe...
  • 若 V是Rn 的一个子空间,已知V的一组基向量 {b1, b2, b3,... bk} 则: 可构建矩阵 :A(nxk) = {b1 b2 b3 b4.....矩阵 A 包含平面的基向量 A(3x3) 根据投影的定义有 : 原向量 - 投影向量 = 投影向量的正交补 ...
  • 点在直线的投影坐标 n维向量投影坐标 几何投影坐标 一、点在直线的投影坐标  如下图所示,直线l1:y=kx+b,直线外有一点P(x0, y0),问:点P在直线上的投影坐标为多少呢?   求点P的投影坐标,即是求过点P(x0,...
  • 计算机图形学 8.2 平面几何投影

    千次阅读 2021-03-11 10:49:57
    平面几何投影及其分类 投影 将n维的点变换成小于n维的点 将3维的点变换成小于2维的点 投影中心(COP:Center of Projection) 视觉系统—观察点、视点 电影放映机—光源 投影面 不经过投影中心 平面--...
  • 龙源期刊网http://www.qikan.com.cn空间直线在平面上投影方程的多种解法作者:丁小帅来源:《课程教育研究·上》2014年第11期【摘要】本文利用...【关键词】直线平面方向向量法向量投影直线【中图分类号】O1【文献标...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 25,872
精华内容 10,348
关键字:

平面向量的投影是什么